高中數學 章末質量評估1活頁訓練 新人教B版必修2

章末質量評估(一)(時間：90分鐘滿分：120分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．圓錐的高擴大到原來的2倍，底面半徑縮短到原來的eq\f(1,2)，則圓錐的體積()．A．縮小到原來的一半 B．擴大到原來的2倍C．不變 D．縮小到原來的eq\f(1,6)解析設原圓錐的高為h，底面半徑為r，體積為V，則V＝eq\f(π,3)r2·h；變化后圓錐的體積V′＝eq\f(π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)r))2×2h＝eq\f(1,6)πr2·h＝eq\f(1,2)V.答案A2．已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如右圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么原△ABC是一個 ()．A．等邊三角形B．直角三角形C．三邊中有兩邊相等的等腰三角形D．三邊互不相等的三角形解析依據斜二測畫法的原則可得，BC＝B′C′＝2，OA＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴AB＝AC＝2，故△ABC是等邊三角形．答案A3．頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是 ()．A．16π B．20πC．24π D．32π解析設正四棱柱的底邊長為a，球半徑為R，則a2·4＝16，∴a＝2.又(2R)2＝22＋22＋42，∴R2＝6.∴S球面＝4πR2＝4π×6＝24π.答案C4．設直線m與平面α相交但不垂直，則下列說法中正確的是 ()．A．在平面α內有且只有一條直線與直線m垂直B．過直線m有且只有一個平面與平面α垂直C．與直線m垂直的直線不可能與平面α平行D．與直線m平行的平面不可能與平面α垂直解析畫圖或在正方體模型中觀察可得．答案B5．如圖，α∩β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是 ()．A．直線AC B．直線ABC．直線CD D．直線BC解析D∈l，l?β，∴D∈β.又C∈β，∴CD?β.同理CD?平面ABC，∴平面ABC∩平面β＝CD.答案C6．對兩條不相交的空間直線a與b，必存在平面α，使得 ()．A．a?α，b?α B．a?α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a?α，b⊥α解析因為已知兩條不相交的空間直線a和b，所以可以在直線a上任取一點A，則A?b.過A作直線c∥b，則過a，c必存在平面α且使得a?α，b∥α.答案B7．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點A∈α，A?l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關系中，不一定成立的是 ()．A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β解析容易判斷A、B、C三個答案都是正確的，對于D，雖然AC⊥l，但AC不一定在平面α內，故它可以與平面β相交、平行，但不一定垂直．答案D8．如圖△ABC中，∠ACB＝90°，直線l過點A且垂直于平面ABC，動點P∈l，當點P逐漸遠離點A時，∠PCB的大小 ()．A．變大 B．變小C．不變 D．有時變大有時變小解析由于直線l垂直于平面ABC，∴l(xiāng)⊥BC，又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面APC，∴BC⊥PC，即∠PCB為直角，與點P的位置無關，選C.答案C9．設m、n表示不同直線，α、β表示不同平面，則下列結論中正確的是()．A．若m∥α，m∥n，則n∥αB．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，則n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n?β，則n∥β解析A選項不正確，n還有可能在平面α內，B選項不正確，平面α還有可能與平面β相交，C選項不正確，n也有可能在平面β內，選項D正確．答案D10．某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中最大的是()．A．8 B．6eq\r(2)C．10 D．8eq\r(2)解析將三視圖還原成幾何體的直觀圖如圖所示．它的四個面的面積分別為8,6,10,6eq\r(2)，故最大的面積應為10.答案C11．在四面體ABCD中，已知棱AC的長為eq\r(2)，其余各棱長都為1，則二面角ACDB的平面角的余弦值為 ()．A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(2),3)解析取AC的中點E，CD的中點F，連接EF，BF，BE，∵AC＝eq\r(2)，其余各棱長都為1，∴AD⊥CD.∴EF⊥CD.又∵BF⊥CD，∴∠BFE是二面角ACDB的平面角．∵EF＝eq\f(1,2)，BE＝eq\f(\r(2),2)，BF＝eq\f(\r(3),2)，∴EF2＋BE2＝BF2.∴∠BEF＝90°，∴cos∠BFE＝eq\f(EF,BF)＝eq\f(\r(3),3).答案C12．如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與直線A1D1，EF，CD都相交的直線 A．不存在B．有且只有兩條C．有且只有三條D．有無數條解析在EF上任意取一點M，直線A1D1與M確定一個平面，這個平面與CD有且僅有1個交點N，當M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點N，而直線MN與這3條異面直線都有交點，如下圖，故選D.答案D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上)13．某三角形的直觀圖是斜邊為2的等腰直角三角形，如圖所示，則原三角形的面積是________．解析原三角形是兩直角邊長分別為2與2eq\r(2)的直角三角形．∴S＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2).答案2eq\r(2)14．已知平面α，β和直線m，給出條件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β.當滿足條件________時，有m⊥β.(填所選條件的序號)解析若m⊥α，α∥β，則m⊥β.故填②④.答案②④15．如圖，四棱錐SABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E是SA上一點，當點E滿足條件：________時，SC∥平面EBD.解析E為SA中點，連接AC交BD于O，連接OE，則OE∥SC，∴SC∥平面EBD.答案E為SA中點16．如圖，在長方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E為CD的中點，F為線段EC(端點除外)上一動點，現將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD內過點D作DK⊥AB，K為垂足，設AK＝t，則t的取值范圍是________．解析過K作KM⊥AF于M點，連接DM.易得DM⊥AF，與折射前的圖形對比，可知由折前的圓形中D，M，K三點共線，且DK⊥AF.∴△DAK∽△FDA∴eq\f(AK,AD)＝eq\f(AD,DF)即eq\f(t,1)＝eq\f(1,DF)∴t＝eq\f(1,DF)又DF∈(1,2)∴t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))三、解答題(本大題共4小題，共40分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB＝BC1、E、F、G分別為線段AC1、A1C1、BB(1)平面ABC⊥平面ABC1，(2)EF∥平面BCC1B1，(3)GF⊥平面AB1C1證明(1)∵BC⊥AB，BC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴BC⊥平面ABC1，∵BC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1.(2)∵AE＝EC1，A1F＝FC1∴EF∥AA1，∵BB1∥AA1，∴EF∥BB1，∵EF?平面BCC1B1，∴EF∥平面BCC1B1.(2)連接EB，則四邊形EFGB為平行四邊形．∵EB⊥AC1，∴FG⊥AC1，∵BC⊥平面ABC1，∴B1C1⊥平面ABC1，∴B1C1⊥BE，∴FG⊥B1C1，∵B1C1∩AC1＝C1，∴GF⊥平面AB1C1.18．(10分)某幾何體的三視圖如圖所示，P是正方形ABCD對角線的交點，G是PB的中點．(1)根據三視圖，畫出該幾何體的直觀圖；(2)在直觀圖中，①證明：PD∥平面AGC；②證明：平面PBD⊥平面AGC.(1)解(1)該幾何體的直觀圖如圖所示．(2)證明如圖所示，①連接AC、BD交于點O，連接OG，因為G為PB的中點，O為BD的中點，所以OG∥PD.又OG?平面AGC，PD?平面AGC，所以PD∥平面AGC.②連接PO，由三視圖可知PO⊥平面ABCD，所以AO⊥PO.又AO⊥BO，所以AO⊥平面PBD.因為AO?平面AGC，所以平面PBD⊥平面AGC.19．(10分)如圖所示，正方形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直，G是AF的中點．(1)求證：ED⊥AC；(2)若直線BE與平面ABCD成45°角，求異面直線GE與AC所成角的余弦值．(1)證明在矩形ADEF中，ED⊥AD，∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥AC.(2)解由(1)知：ED⊥平面ABCD，∴∠EBD是直線BE與平面ABCD所成的角，即∠EBD＝45°，設AB＝a，則DE＝BD＝eq\r(2)a，取DE中點M，連接AM，∵G是AF的中點，∴AM∥GE，∴∠MAC是異面直線GE與AC所成角或其補角．連接BD交AC于點O，連接MO.∵AM＝CM＝eq\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2)＝eq\f(\r(6),2)a，O是AC的中點，∴MO⊥AC，∴cos∠MAC＝eq\f(AO,AM)＝eq\f(\f(\r(2),2)a,\f(\r(6),2)a)＝eq\f(\r(3),3)，∴異面直線GE與AC所成角的余弦值為eq\f(\r(3),3).20．(10分)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1∠ACB＝90°，AA1＝BC＝2AC＝2.(1)若D為AA1中點，求證：平面B1CD⊥平面B1C1D(2)在AA1上是否存在一點D，使得二面角B1CDC1的大小為60°.(1)證明∵∠A1C1B1＝∠ACB∴B1C1⊥A1C1又由直三棱柱性質知B1C1⊥CC1，∴B1C1⊥平面ACC1A1.又CD?平面ACC1A1∴B1C1⊥CD，由AA1＝BC＝2AC＝2，D為AA1中點，可知DC＝DC1＝eq\r(2)，∴DC2＋DCeq\o\al(2,1)＝CCeq\o\al(2,1)＝4，即CD⊥DC1，又B1C1⊥CD，且B1C1∩DC1＝C1∴CD⊥平面B1C1D，又CD?平面B1CD，故平面B1CD⊥平面B1C1D.(2)解當AD＝eq\f(\r(2),2)AA1時二面角B1CDC1的大小為60°.假設在AA1上存在一點D滿足題意，由(1)可知B1C1⊥平面ACC1A1，如圖，在平