高中數(shù)學(xué) 第2章末質(zhì)量評估 北師大版必修2

章末質(zhì)量評估(二)(時間：100分鐘滿分：120分)一、選擇題(每 小題5分，共50分)1．若三點A(3,1)，B(－2，b)，C(8,11)在同一直線上，則實數(shù)b等于()．A．2B．3C．9D．－9解析由kAB＝kAC，得b＝－9.答案D2．過原點且在x，y軸上的截距分別為p、q(p、q均不為0)的圓的方程是()．A．x2＋y2－px－qy＝0B．x2＋y2＋px－qy＝0C．x2＋y2－px＋qy＝0D．x2＋y2＋px＋qy＝0解析由題意知，圓過原點，且在x，y軸上的截距分別為p、q，則圓的圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，\f(q,2)))且常數(shù)項為0.答案A3．直線Ax＋By＋C＝0，經(jīng)過第一、二、三象限，則()．A．AB＞0B．AB＜0C．AB＝0D．A與B的符號不確定解析由題意，知直線的傾斜角為銳角，則k＝－eq\f(A,B)＞0，則AB＜0.答案B4．已知正方體不在同一側(cè)面上的兩頂點A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，則正方體的體積是()．A．16B．192C．64D．48解析要求正方體的體積，只要知道它的棱長問題就解決了．根據(jù)已知A、B為不在同一側(cè)面上的兩頂點，我們可以求出該正方體的對角線長為：|AB|＝eq\r(3＋12＋－2－22＋3＋12)＝4eq\r(3)，∴正方體的棱長為eq\f(\r(3),3)|AB|＝4.∴正方體的體積是43＝64.答案C5．已知直線l1：ax＋4y－2＝0與直線l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足為(1，c)，則a＋b＋c的值為()．A．－4B．20C．0D．24解析垂足(1，c)是兩直線的交點，且l1⊥l2，故－eq\f(a,4)×eq\f(2,5)＝－1，∴a＝10，l1：10x＋4y－2＝0.將(1，c)代入，得c＝－2；將(1，－2)代入l2：得b＝－12.則a＋b＋c＝10＋(－12)＋(－2)＝－4.答案A6．曲線y＝1＋eq\r(4－x2)與直線y＝k(x－2)＋4有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,12))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,4))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，\f(3,4)))解析首先明確曲線y＝1＋eq\r(4－x2)表示半圓，由數(shù)形結(jié)合可得，eq\f(5,12)＜k≤eq\f(3,4).答案D7．在平面直角坐標(biāo)系中，正三角形ABC的邊BC所在直線斜率是0，則AC、AB所在直線斜率之和為()．A．－2eq\r(3)B．0C.eq\r(3)D．2eq\r(3)解析kAB＝tan60°＝eq\r(3)，kAC＝tan120°＝－eq\r(3)，所以kAB＋kAC＝0.答案B8．過點M(2,1)的直線與x軸，y軸分別交于點P，Q兩點，且|MP|＝|MQ|，則l的方程是()．A．x－2y＋3＝0B．2x－y－3＝0C．2x＋y－5＝0D．x＋2y－4＝0解析由題意可知，M為線段PQ的中點，Q(0,2)，P(4,0)，可求得直線l的方程x＋2y－4＝0.答案D9．直線y＝x＋b與曲線x＝eq\r(1－y2)有且只有一個公共點，則b的取值范圍是()．A．|b|＝eq\r(2) B．－1＜b＜1或b＝－eq\r(2)C．－1＜b≤1 D．－1＜b≤1或b＝－eq\r(2)解析如圖，由數(shù)形結(jié)合知，選D.答案D10．△ABC的頂點坐標(biāo)是A(3,1,1)、B(－5,2,1)、Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，2，3))，則它在yOz平面上射影圖形的面積是()．A．4B．3C．2D．1解析△ABC在yOz平面上的射影點的坐標(biāo)分別為(0,1,1)、(0,2,1)、(0,2,3)，它在yOz平面上的射影圖形是一個直角三角形，容易求出它的面積為1.答案D二、填空題(每小題5分，共30分)11．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點B是點A(1,2,3)在坐標(biāo)平面yOz內(nèi)的正射影，則|OB|＝________.解析易知點B坐標(biāo)為(0,2,3)，故OB＝eq\r(13).答案eq\r(13)12．若平行直線2x＋3y－6＝0和4x＋6y＋a＝0之間的距離等于eq\f(5\r(13),26)，則a的值是________．解析2x＋3y－6＝0,2x＋3y＋eq\f(a,2)＝0，d＝eq\f(5\r(13),26)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－6－\f(a,2))),\r(22＋32)).∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6＋\f(a,2)))＝eq\f(5,2)，解之得a＝－7或a＝－17.答案－7或－1713．設(shè)圓x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圓心為A，點P在圓上，則PA的中點M的軌跡方程是_____________________________________________________．解析將x2＋y2－4x＋2y－11＝0配方，得(x－2)2＋(y＋1)2＝16，則圓心A(2，－1)，設(shè)PA的中點M(x，y)，則P(2x－2,2y＋1)代入方程x2＋y2－4x＋2y－11＝0.化簡，得x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.答案x2＋y2－4x＋2y＋1＝014．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點A(1,0,2)，B(1，－3,1)，點M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標(biāo)是________．解析設(shè)M(0，y,0)，由12＋y2＋4＝1＋(－3－y)2＋1，可得y＝－1，故M(0，－1,0)．答案(0，－1,0)15．過點A(2,1)的所有直線中，距離原點最遠的直線方程為________． 解析如圖所示，只有當(dāng)直線l與OA垂直時，原點到l的距離最大， 此時kOA＝eq\f(1,2)，∴kl＝－2， ∴方程為y－1＝－2(x－2)， 即2x＋y－5＝0. 答案2x＋y－5＝016．直線l與圓(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a(a＜3)相交于兩點A，B，弦AB的中點為 (0,1)，則直線l的方程為________．解析圓心為(－1,2)，弦中點與圓心連線的斜率為eq\f(2－1,－1－0)＝－1， 由圓的性質(zhì)知，弦AB所在直線即l的斜率為k＝1.故l的方程為x－y＋1＝0. 答案x－y＋1＝0三、解答題(本大題共4小題，共40分) 17．(10分)求過點M(2,3)且與點P(1,0)的距離是1的直線方程． 解當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)過點M(2,3)且與點P(1,0)距離是1的直線的方 程是y－3＝k(x－2)，將其化簡為一般形式得kx－y－2k＋3＝0.由點到直線的 距離公式得P點到直線的距離是1＝eq\f(|k－2k＋3|,\r(k2＋1))，解得k＝eq\f(4,3)，所求直線方程 為4x－3y＋1＝0. 當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為x＝2時也滿足已知條件． 綜上所述可知，所求直線方程為4x－3y＋1＝0或x＝2.18．(10分)直線l：3x＋4y－10＝0與曲線C：x2＋y2－5y＋p＝0交于A，B兩點， 且OA⊥OB，O為坐標(biāo)原點，求實數(shù)p的值． 解直線l和曲線C的方程聯(lián)立，得 eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－10＝0，,x2＋y2－5y＋p＝0，))消去x，得25y2－125y＋100＋9p＝0. ∴y1y2＝eq\f(100＋9p,25). 同理，x1x2＝eq\f(16p－100,25). ∵OA⊥AB，∴eq\f(y1y2,x1x2)＝－1. ∴eq\f(\f(100＋9p,25),\f(16p－100,25))＝－1， 解得p＝0.19．(10分)如圖，已知△ABC中A(－8,2)，AB邊上中線CE所在直線的方程為x ＋2y－5＝0，AC邊上的中線BD所在直線的方程為2x－5y＋8＝0，求直線 BC的方程． 解設(shè)B(x0，y0)， 則AB中點E的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－8,2)，\f(y0＋2,2)))， 由條件可得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x0－5y0＋8＝0，,\f(x0－8,2)＋2·\f(y0＋2,2)－5＝0，)) 得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x0－5y0＋8＝0，,x0＋2y0－14＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝6，,y0＝4，)) 即B(6,4)，同理可求得C點的坐標(biāo)為(5,0)． 故所求直線BC的方程為eq\f(y－0,4－0)＝eq\f(x－5,6－5)，即4x－y－20＝0.20．(10分)已知動直線l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0與圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝ 9. (1)求證：無論m為何值，直線l與圓C總相交． (2)求直線l被圓C所截得的弦長的最小值． (1)證明法一設(shè)圓心C(3,4)到動直線l的距離為d， 則d＝eq\f(|m＋3·3－m＋2·4＋m|,\r(m＋32＋m＋22)) ＝eq\f(1,\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(5,2)))2＋\f(1,2)))≤eq\r(2). ∴當(dāng)m＝－eq\f(5,2)時，dmax＝eq\r(2)＜3(半徑)． 故動直線l總與圓C相交．法二直線l變形為m(x－y＋1)＋(3x－2y)＝0. 令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al