8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計課件高二下學期數(shù)學人教A版選擇性

8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計復習回顧1、經(jīng)驗回歸方程：

我們將稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線.

這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫做最小二乘法.2、最小二乘估計：經(jīng)驗回歸方程中的參數(shù)

計算公式為：例題解析1、經(jīng)驗表明，對于同一樹種，一般樹的胸徑(樹的主干在地面以上1.3m處的直徑)越大，樹就越高.由于測量樹高比測量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預測樹高.在研究樹高與胸徑之間的關(guān)系時，某林場收集了某種樹的一些數(shù)據(jù)如下表所示，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立樹高關(guān)于胸徑的經(jīng)驗回歸方程.編號123456789101112胸徑/cm18.120.122.224.426.028.329.632.433.735.738.340.2樹高/m18.819.221.021.022.122.122.422.623.024.323.924.7解：以胸徑為橫坐標，樹高為縱坐標作散點圖

在右圖中，散點大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兩個變量線性相關(guān)，并且是正相關(guān)，因此可以用一元線性回歸模型刻畫樹高與胸徑之間的關(guān)系.一元線性回歸模型的應(yīng)用例題解析1、經(jīng)驗表明，對于同一樹種，一般樹的胸徑(樹的主干在地面以上1.3m處的直徑)越大，樹就越高.由于測量樹高比測量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預測樹高.在研究樹高與胸徑之間的關(guān)系時，某林場收集了某種樹的一些數(shù)據(jù)如下表所示，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立樹高關(guān)于胸徑的經(jīng)驗回歸方程.編號123456789101112胸徑/cm18.120.122.224.426.028.329.632.433.735.738.340.2樹高/m18.819.221.021.022.122.122.422.623.024.323.924.7解：用d表示胸徑，h表示樹高，根據(jù)據(jù)最小二乘法，計算可得經(jīng)驗回歸方程為:相應(yīng)的經(jīng)驗回歸直線如圖所示.一元線性回歸模型的應(yīng)用例題解析殘差分析：根據(jù)經(jīng)驗回歸方程，由胸徑的數(shù)據(jù)可以計算出樹高的預測值(精確到0.1)以及相應(yīng)的殘差，如下表所示.一元線性回歸模型的應(yīng)用編號胸徑/cm樹高觀測值/m樹高預測值/m殘差/m118.118.819.4-0.6220.119.219.9-0.7322.221.020.40.6424.421.020.90.1526.022.121.30.8628.322.121.90.2729.622.422.20.2832.422.622.9-0.3933.723.023.2-0.21035.724.323.70.61138.323.924.4-0.51240.224.724.9-0.2例題解析以胸徑為橫坐標，殘差為縱坐標，作殘差圖，得到下圖.一元線性回歸模型的應(yīng)用30252015-1.0-0.50.00.51.0·······殘差/m·····354045胸徑/cm觀察殘差表和殘差圖，可以看到殘差的絕對值最大是0.8，所有殘差分布在以橫軸為對稱軸、寬度小于2的帶狀區(qū)域內(nèi).可見經(jīng)驗回歸方程較好地刻畫了樹高與胸徑的關(guān)系，我們可以根據(jù)經(jīng)驗回歸方程由胸徑預測樹高.例題解析2、人們常將男子短跑100m的高水平運動員稱為“百米飛人”.下表給出了1968年之前男子短跑100m世界紀錄產(chǎn)生的年份和世界紀錄的數(shù)據(jù).試依據(jù)這些成對數(shù)據(jù)，建立男子短跑100m世界紀錄關(guān)于紀錄產(chǎn)生年份的經(jīng)驗回歸方程一元線性回歸模型的應(yīng)用編號12345678年份18961912192119301936195619601968記錄/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95解：以成對數(shù)據(jù)中的世界紀錄產(chǎn)生年份為橫坐標，世界紀錄為縱坐標作散點圖，得到下圖

在左圖中，散點看上去大致分布在一條直線附近，似乎可用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗回歸方程.例題解析2、人們常將男子短跑100m的高水平運動員稱為“百米飛人”.下表給出了1968年之前男子短跑100m世界紀錄產(chǎn)生的年份和世界紀錄的數(shù)據(jù).試依據(jù)這些成對數(shù)據(jù)，建立男子短跑100m世界紀錄關(guān)于紀錄產(chǎn)生年份的經(jīng)驗回歸方程一元線性回歸模型的應(yīng)用編號12345678年份18961912192119301936195619601968記錄/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95解：用Y表示男子短跑100m的世界紀錄，t表示紀錄產(chǎn)生的年份，利用一元線性回歸模型來刻畫世界紀錄和世界紀錄產(chǎn)生年份之間的關(guān)系.根據(jù)最小二乘法，由表中的數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗回歸方程為：

將經(jīng)驗回歸直線疊加到散點圖，得到下圖：從圖中可以看到，經(jīng)驗回歸方程較好地刻畫了散點的變化趨勢，請再仔細觀察圖形，你能看出其中存在的問題嗎自主探究思考1：從圖中可以看到，經(jīng)驗回歸方程較好地刻畫了散點的變化趨勢，請再仔細觀察圖形，你能看出其中存在的問題嗎

第一個世界紀錄所對應(yīng)的散點遠離經(jīng)驗回歸直線，并且前后兩時間段中的散點都在經(jīng)驗回歸直線的上方，中間時間段的散點都在經(jīng)驗回歸直線的下方.

這說明散點并不是隨機分布在經(jīng)驗回歸直線的周圍，而是圍繞著經(jīng)驗回歸直線有一定的變化規(guī)律，即成對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的非線性相關(guān)的特征.自主探究思考2：你能對模型進行修改，以使其更好地反映散點的分布特征嗎？仔細觀察右圖，可以發(fā)現(xiàn)散點更趨向于落在中間下凸且遞減的某條曲線附近.回顧已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)y＝－lnx的圖象具有類似的形狀特征

注意到100m短跑的第一個世界紀錄產(chǎn)生于1896年，因此可以認為散點是集中在曲線y=f(t)=c1+c2ln(t-1895)的周圍，其中c1、c2為未知參數(shù)，且c2<0.自主探究思考3：這是一個非線性經(jīng)驗回歸函數(shù)，如何利用成對數(shù)據(jù)估計參數(shù)c1、c2y=f(t)=c1+c2ln(t-1895)為了利用一元線性回歸模型估計參數(shù)參數(shù)c1、c2，引進一個中間變量x，令x=ln(t-1895)，則Y=c2x+c1.編號12345678年份/t18961912192119301936195619601968x0.002.833.263.563.714.114.174.29記錄/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95通過x=ln(t-1895)，將年份變量數(shù)據(jù)進行變換，得到新的成對數(shù)據(jù)，如下表.自主探究得到散點圖如下：編號12345678x0.002.833.263.563.714.114.174.29記錄/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95由表中的數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗回歸方程為：在上圖中畫出經(jīng)驗回歸直線，如圖所示.上圖表明，經(jīng)驗回歸方程對于成對數(shù)據(jù)具有非常好的擬合精度.將x=ln(t-1895)代入：自主探究思考4：對于通過創(chuàng)紀錄時間預報世界紀錄的問題，我們建立了兩個回歸模型，得到了兩個回歸方程，你能判斷哪個回歸方程擬合的精度更好嗎？(1)直接觀察法：在同一坐標系中畫出成對數(shù)據(jù)散點圖、非線性經(jīng)驗回歸方程②的圖象(藍色)以及經(jīng)驗回歸方程①的圖象(紅色).我們發(fā)現(xiàn)，散點圖中各散點都非?？拷诘膱D象，表明非線性經(jīng)驗回歸方程②對于原始數(shù)據(jù)的擬合效果遠遠好于經(jīng)驗回歸方程①.自主探究思考4：對于通過創(chuàng)紀錄時間預報世界紀錄的問題，我們建立了兩個回歸模型，得到了兩個回歸方程，你能判斷哪個回歸方程擬合的精度更好嗎？(2)殘差分析：殘差平方和越小，模型擬合效果越好.殘差平方和：Q2明顯小于Q1，說明非線性回歸方程的擬合效果要優(yōu)于線性回歸方程.自主探究思考4：對于通過創(chuàng)紀錄時間預報世界紀錄的問題，我們建立了兩個回歸模型，得到了兩個回歸方程，你能判斷哪個回歸方程擬合的精度更好嗎？(3)利用決定系數(shù)R2刻畫回歸效果..R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好R2越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差.①和②的R2分別為0.7325和0.9983顯然0≤R2≤1，R2越接近1，則線性回歸刻畫的效果越好.在一元線性回歸模型中R2=r2，即決定系數(shù)R2等于響應(yīng)變量與解釋變量的樣本相關(guān)系數(shù)r的平方.概念講解分析模型的回歸效果方法：(2)殘差平方和(1)殘差分析好的回歸方程對應(yīng)的殘差散點圖應(yīng)是均勻地分布在橫軸兩側(cè)的帶狀區(qū)域內(nèi).且?guī)顓^(qū)域越窄，說明模型擬合效果越好．列殘差表畫殘差圖(3)決定系數(shù)R2法殘差平方和越小，說明模型擬合效果越好.R2越大，說明模型擬合效果越好.概念講解建立線性回歸模型的基本步驟(1)確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是響應(yīng)變量．(2)畫出解釋變量與響應(yīng)變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)．(3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型．(4)按一定規(guī)則(如最小二乘法)估計經(jīng)驗回歸方程中的參數(shù).(5)得出結(jié)果后需進行線性回歸分析.①殘差平方和越小，模型的擬合效果越好.②決定系數(shù)R2取值越大，說明模型的擬合效果越好.注意:若題中給出了檢驗回歸方程是否理想的條件，則根據(jù)題意進行分析檢驗即可.概念講解解決非線性回歸問題的方法及步驟(1)確定變量：確定解釋變量為x，響應(yīng)變量為y；(2)畫散點圖：通過觀察散點圖并與學過的函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等)作比較，選取擬合效果好的函數(shù)模型；(3)變量置換：通過變量置換把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題；(4)分析擬合效果：通過計算決定系數(shù)來判斷擬合效果；(5)寫出非線性經(jīng)驗回歸方程．隨堂練習1、一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與一定范圍內(nèi)的溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了6組觀測數(shù)據(jù)列于表中：溫度x/℃212324272932產(chǎn)卵數(shù)y/個61120275777經(jīng)計算得：線性回歸殘差的平方和：其中xi、yi分別為觀測數(shù)據(jù)中的溫度和產(chǎn)卵數(shù)，i=1，2，3，4，5，6.e8.0605≈3167(1)若用線性回歸模型擬合，求y關(guān)于x的回歸方程

(精確到0.1)；(2)若用非線性回歸模型擬合，求得y關(guān)于x回歸方程為

，且決定系數(shù)R2＝0.9522．②用擬合效果好的模型預測溫度為35℃時該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù).(結(jié)果取整數(shù)).①試與(1)中的線性回歸模型相比較，用R2說明哪種模型的擬合效果更好隨堂練習解：(1)由題意得，n=6，所以y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為(2)①對于線性回歸模型，相關(guān)系數(shù)∵0.9398＜0.9522∴非線性回歸模型的回歸方程比線性回歸方程為

擬合的擬合效果更好

隨堂練習(2)②由①知擬合效果好的模型為所以當x=35時，所以預測溫度為35℃時該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)為190個．概念講解在使用經(jīng)驗回歸方程進行預測時，需注意以下問題1、回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體；2、我們所建立的回歸方程一般都有時效性；3、解釋變量的取值范圍不能離開樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠.樣本采集的范圍會影響回歸方程的適用范圍；4、不能期望回歸方程得到的預報值就是預報變量的精確值.事實上，它是預報變量的可取值的平均值.課堂小結(jié)1、殘差平方和：2、最小二乘法將稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程.3、判斷模型擬合的效果：①殘差分析②決定系數(shù)R2法R2越大，表示