二輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)經(jīng)典技巧與方法第27講導(dǎo)函數(shù)的混合還原學(xué)案

27講導(dǎo)函數(shù)的混合還原

知識(shí)與方法對(duì)于一個(gè)含有函數(shù)fx與其導(dǎo)函數(shù)f'xfx與f'x混合的不等式,構(gòu)造新函數(shù)的類(lèi)型可分成如下幾類(lèi):

(1)對(duì)于結(jié)構(gòu)f'x+g'x,構(gòu)造函數(shù)Fx=fx+gx;

(2)對(duì)于結(jié)構(gòu)f'x-g'x,構(gòu)造函數(shù)Fx=fx-gx;

(3)對(duì)于結(jié)構(gòu)式f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,構(gòu)造函數(shù)Fx=fxgx;

(4)對(duì)于結(jié)構(gòu)f'xgx-fxg'x,構(gòu)造函數(shù)Fx=fxgxgx≠0

(1)函數(shù)fx與x乘除組合:

(1)對(duì)于xf'x+fx,構(gòu)造函數(shù)hx=xfx;

(2)對(duì)于xf'x-fx,構(gòu)造函數(shù)hx=fxx.

(3)一般地,對(duì)于mf'x+mfx,夠著函數(shù)hx=xmfx(m為常數(shù))

(2)函數(shù)fx與ex

【答案】A

【解析】設(shè)hx=fxgx,因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí),f'(x)g(x)+f(x)g'(x)<0

所以當(dāng)x<0時(shí),h'(x)<0,即函數(shù)y=hx在-∞0單調(diào)遞減,

又因?yàn)閒x,g

所以等式f(x)g(x)<0的解集為-10∪1+∞,故選A.

【例2】(多選)定義在0+∞上的函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f'x且f'(x)<f(x)x,則對(duì)任意x1,x2∈0+∞,其中x1≠x2,則下列不等式中一定成立的有（）

A.f(x1+x2)<f(x1)+f(x2)

B.f(x1)+f(x2)<x2x1f(x1)+x1x2f(x2)

C.f(2x1)<2x1f(1)

D.f(x1x2)<f(x1)f(x2)

【答案】ABC

【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)x(x>0),則g(x)=xf'(x)-f(x)x2<0,

所以gx在0+∞單調(diào)遞減,故(x1-x2)[g(x1)-g(x2【答案】-2022-2019

【解析】根據(jù)題意,令gx=x3fx,

所以g'x=3x2fx+x3f'x=x23fx+xf'x

因?yàn)閤∈-∞0時(shí),3f(x)+xf'(x)>0,所以g'(x)>0,

所以gx在-∞A.0+∞ B.-∞-1∪0+∞

C.-∞0∪1+∞ D.-1+∞

【答案】A

【解析】由f(x)>1-f'(x)知f(x)+f'(x)>1,exf(x)+exf'(x)A.-∞1 B.1+∞ C.1e D.e+∞

【答案】A

【解析】令gx=2fxex+1-1,則g'(x)=2(f'(x)-f(x))ex+1>0,故gx在R上單調(diào)遞增,而g1=A.0+∞ B.-1+∞ C.-∞0 D.-∞-1

【答案】

【解析】設(shè)Fx=fx+2e2x,則F'x=f'x-2fx-4e2x,因?yàn)閒(x)-2f'(x)-4>0,所以F'(x)>0,

即函數(shù)FA.e2021 B.2021+∞ C.e+∞ D.ee+1

【答案】A

【解析】因?yàn)槎x在e,+∞上的函數(shù)fx滿足f(x)+xln?xf'(x)<0,設(shè)gx=fxlnx,

則g'(x)=f'(x)ln?x+f(x)x=f'(x)xln?x+f(x)x<0在e,+∞恒成立,

所以gx在e,+∞單調(diào)遞減,又f2021=0

所以g2021=f2021ln2021=0,

要求f(x)>0,因?yàn)閘n?x>0,所以只需g(x)>0即可,即g(x)>0=g(2021),

所以e?x<2021,

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題由已知條件構(gòu)造函數(shù)gx=fxlnx,求導(dǎo),根據(jù)已知求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,

結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值,即可f(x)>0的解集.

【例9】設(shè)函數(shù)fx是定義在區(qū)間12+∞上的函數(shù),f'x是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù),且xf'(x)ln?2x>f(x)(x>12),f(e2)=1A.f(5π6)C.f(-5π6)<f(-4π3) D.f(-π4)<f(-π)

【答案】C

【解析】令gx=fx+12cos2x,所以g'x=f'x-sin2x,

當(dāng)x∈0+∞時(shí),g'(x)=f'(x)-sin?2x<0,所以gx在0+∞上單調(diào)遞減;f-x+fx=2sin2x

所以gx-12cos2x+g-x-12cos2x=2sin2x

所以gx+g-x=1

所以g-x=1-gx

所以f-5π6=g-5π6-12cos-5π3=1-g5π6-14=34-g5π6,f-4π3=g-4π3-12cos-4π3=1-g4π3+14=54-g4π3,

又g(4π3)<g(5π6)所以f(-5π6)=34-g(5π6)<f(-4π3)=54-g(4π3),

所以答案為:C.

綜合應(yīng)用型

【例11】設(shè)函數(shù)fx滿足x2f'x+2xfx=exx,f2=e28,則x>0時(shí),fx

A.有極大值,無(wú)極小值

B.有極小值,無(wú)極大值

【答案】D

【解析】x2f1.設(shè)fx,gx分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),fx滿足f-3=0,且f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是

A.-30∪3+∞

B.-30∪03

C.-∞-3∪03

D.-∞-3∪3+∞

【答案】C

【解析】令hx=fxgx,則h-x=f-xg-x=-fxgx=-hx,因此hx是

奇函數(shù).(1)因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí),h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,所以hx在-∞0h-3=f-3g-3=0,所以不等式f(x)g(x)<0等價(jià)于h(x)<h-3,所以x<-3.(2)當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)hx在R上是奇函數(shù),可知hx在0+∞上

單調(diào)遞增,且h3=-h-3=0,所以h(x)<0解集為03.綜上所述,不等式fxg(x)<0的解集是-∞-3∪03.

故選:C.

2.已知fx是定義在-∞+∞上的函數(shù),f'x為fx的導(dǎo)函數(shù),且滿足fx+(x-1)f'(x)>0,則下列結(jié)論中正確的是

A.f(x)>0恒成立

B.f(x)<0恒成立

C.f1=0x∈-∞1時(shí),f(x)<0;當(dāng)x∈1+∞時(shí),f(x)>0

【答案】A

【解析】設(shè)gx=x-1fx,所以g'(x)=f(x)+(x-1)f'(x)【答案】0+∞

【解析】構(gòu)造函數(shù)gx=ex?fx-ex,因?yàn)間'x=ex?fx+ex?f'x-ex=ex[f(x)+f'(x)]-ex>ex-ex=0,所以gx為Rg0=1,所以原不等式轉(zhuǎn)化為g(x)>g(0),解得x>0.

6.定義在R上的函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f'x,f0=0,若對(duì)任意x∈R,都有f(x)>f'(x)+1,則使得f(x)+ex<1成立的x的取值范圍為

A.-∞1 B.-∞0 C.-1+∞ D.0+∞

【答案】

【解析】構(gòu)造函數(shù):gx=fx-1ex,g0=f0-1e0=-1.

因?yàn)閷?duì)任意x∈R,都有f(x)>f'(x)+1,

所以g'(x)=f'(x)ex-[f(x)-1]ex(ex)2=f'(x)-f(x)+1ex<0,

所以函數(shù)gx在R單調(diào)遞減,

由f(x)+ex<A.-π2π4 B.-π4π4

C.π4π2 D.-π2π4∪π4π2

【答案】C

【解析】構(gòu)造函數(shù)gx=fxcosx,因?yàn)閒'(x)cos?x+f(x)sin?x<0,所以gx在-π2π2單調(diào)遞減,f(x)<2f(π4)cos?x,即f(x)cos?x<f(π4)22=f(π4)cos?π4,

即A.-∞2 B.12+∞ C.-∞12 D.2+∞

【答案】B

【解析】令Fx=fx-x3由，可得，故為偶函數(shù)，不等式化為，所以，所以由函數(shù)單調(diào)性可知：，解得，故選：．12.設(shè)是定義在上的函數(shù)，對(duì)任意的，恒有成立，函數(shù)滿足，則是_______(選填：“奇函數(shù)”、偶函數(shù)”、“非奇非偶函數(shù)”、“既奇又偶