高中數(shù)學(xué)解答題規(guī)范講義

高三數(shù)學(xué)春季班（教師版）

高中數(shù)學(xué)解答題解題規(guī)范

知識梳理

數(shù)學(xué)解答題是高考數(shù)學(xué)試卷中的一類重要題型，通常是高考的把關(guān)題和壓軸題，具有較好的區(qū)

分層次和選拔功能.目前的高考解答題已經(jīng)由單純的知識綜合型轉(zhuǎn)化為知識、方法和能力的綜合型

解答題.要求考生具有一定的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力等特點，解答題綜合考查運算能力、邏輯思維能

力、空間想象能力和分析問題、解決問題的能力.

針對不少學(xué)生答題格式不規(guī)范，出現(xiàn)“會而不對，對而不全”的問題，必須要規(guī)范每種題型的

答題方式，按照規(guī)范的解題程序和答題格式分步解答，實現(xiàn)答題步驟的最優(yōu)化.

解解答題的過程中，要以數(shù)學(xué)方法為載體，清晰梳理解題思路，完美展現(xiàn)解題程序，整個解答

過程必要要有合理的邏輯性、縝密的嚴謹性，得到的答案也必須是可逆推的，解題并不需要做到每

一步都計算出來，但對于解題格式的規(guī)范，是在高考中拿到高分的基礎(chǔ)。

?例題解析

一、復(fù)數(shù)方程

在復(fù)數(shù)集C中的一元二次方程的求根公式和韋達定理仍適用，但根的判別式僅在實數(shù)集

上有效，實系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)集中一定有根，若是虛根則一定成對出現(xiàn)，且不論是實根還是

虛根，一定要注意判別式“△”的的范圍以及最后所求值的檢驗。

【例1】關(guān)于X的方程2/—3（m一1）X+加2+1=0的兩根為a、4，且同+帆=3,求實數(shù)加的

值。

【難度】★★

【答案】因為關(guān)于％的方程2--3（加一1卜+二+1=0的兩根為（7、p,口.囪+披=3,所以

Qa|+忸『=9,|城+|呼+2|。4=9,若a、p為.實.數(shù).，則

△=9（加—1）2—8（加2+1）=加2—]8m+1,且△?（）,由韋達定理得a+M=3（；l）,必=%產(chǎn)，

將同2+|呼+21aq=9化簡成（a+Pl一?鄧+加可=9,即乳〃?。?-（m2+l）+m2+1=9,

3

解得加=—乂另聿;若a、夕為虛數(shù)，則a、6為共朝復(fù)數(shù)，且A<0,由冏+帆=3得同=|劃=],

所以|a/=|a「=9,解得加=舊（另舍），綜上所述，實數(shù)m的值是一1或后

【解析】復(fù)數(shù)方程的解答題本身難度不大，但很多學(xué)生拿不到全分，在求解的過程中，要么先是沒

有分類討論，要么是在分類討論中忘記了A的判斷和檢驗，而且需要注意的是，在所有分類討論的

解答題中，最后作答時一定要注意綜合所有分類情況，題中打著重號的部分都是規(guī)范的格式所在。

【鞏固訓(xùn)練】

1.若方程x2+bx+2=0SeR）的兩根以月滿足|a—，|=2,求實數(shù)b的值.

【難度】★★

【答案】〃=±2或6=±2后

【解析】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)|a-￡『=3一。）2不一定成立，但|（a——）2R。一02一定成立對于二

-b

次方程,韋達定理在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)是成立的.|(a-/7)2\=\b2-81=4,則。2=4或

〃=12,所以。=±2或。=±26.

二、三角函數(shù)的性質(zhì)及解三角形

三角函數(shù)解答題中，主要以三角函數(shù)的化簡為主，結(jié)合和利用正余弦、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì),

求解三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對稱性和最值。這類解答題的第一步：三角函數(shù)式的化簡，一般

化成y=4sin(5+°)+〃類似的形式，即化為“一角、一次、一函數(shù)”的形式；第二步：由y=5畝工、

y=cosx,y=tanx的性質(zhì)，將加r+0看做一個整體，解不等式，求角的范圍或函數(shù)值的范圍；

第三步：得到函數(shù)的單調(diào)性或者角、函數(shù)值的范圍，規(guī)范寫出結(jié)果；第四步：反思回顧，檢查公式

使用是否有誤，結(jié)果估算是否有誤.

【例2】已知函數(shù)/(x)=2cosx-sin(x+yj-V3sin2x+sinxcosx+1

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期；

(2)求函數(shù)/(x)的最大值及最小值;

(3)寫出函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

【難度】★★

【答案】由已知得/(x)=2cosxj—sinx+——cosx-V3sin2x+sinxcosx+1

=2sinxcosx+V3(cos2x-sin2x)+1

=sin2x+V3cos2x+l

2sin(2x+-+1

(1)函數(shù)/(x)的最小正周期為7=飛-=不；

(2)*.*-l?sin[2x+—)(1,

."--l<2sinl2x+yj+l<3.

...當(dāng)2犬+(=1+24"，keZ,即1=專+后萬，ZeZ時，/(x)取得最大值3；

77"'^TiTT/

當(dāng)2x+1=-5+2攵〃，keZ、即工=一~0■+攵乃，々cZ時，/(x)取得最小值一1.

冗冗冗

(3)山---F2卜兀W2xH—V—F2kji,kQZ,

232

W--+k7r<x<—+k7r,kGZ.

1212

函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-冷仆吟jk兀(ZwZ).

【解析】三角函數(shù)的化簡公式學(xué)生大都很熟悉，但在化簡過程中，有的學(xué)生在草稿紙上化簡完成，

然后將答案一步抄寫在答題紙上，這肯定是會扣分的，同樣，在求最值或者值域的過程，要注意最

值時必須要寫出此時取得最值的x的值，同時由于三角函數(shù)的周期性效果，必須要寫出攵eZ,不

要遺漏，在寫遞推關(guān)系時，一些邏輯連接詞和數(shù)學(xué)符號能寫則寫，可以增加整個解題過程的連貫性。

【例3】已知函數(shù)/(x),g(x)滿足關(guān)系g(x)=/(x)-/(x+c),其中a是常數(shù).

jr

(1)設(shè)/(%)=cosx+sinx,cr=—,求g(x)的解析式；

(2)設(shè)廿一個函數(shù)/(x)及一個a的值，使得g(x)=2cosx(cosx+百sinx)；

(3)當(dāng)/(x)=kinx|+cosx,a時，存在對任意工￡氏，g(x])<g(x)<放/)恒

成立，求|看一的最小值.

【難度】★★★

乃

【答案】(1)v/(x)=cosx+sinx,a=—/(x+a)=cosx-sinx；

g(x)=cos2x

(2),??g(x)=2cosx(cosx+V3sinx)=4cosxcos(x-y),

7T7T

若=2COSX，則/(x+a)==2cos(一)

jr-rr

=>二.a=—§(取a=2k冗-飛kGZ中一個都可以)，于(x)=2cosx

(3),/f(x)=|sinx|+cosx,「.g(尤)=/(%)?/(%+a)=(|sinx|4-cosx)(|cosx|-sinx)

(兀-

cos2xxe\2k兀，2k兀?——，

I2j

(j[

-sin2x-lxw2%乃+—,2左乃+乃,

I2」「

=<keZ

-cos2xxG2k/r+7C.2kfv+--,

I2J

(3萬一

l-2sin2xXG2&乃+——,24〃+2〃.

1I2J

顯然，g(x+2萬)=g(x)即y=g(x)的最小正周期是2乃，

因為存在Xi.WeR，對任意xeH,g(x。Vg(x)Vg。2)恒成立，

TT

所以當(dāng)司=2以■+萬或％=2ATT+5，&EZ時，g(x)Ng(x)=-l

7萬

當(dāng)入2=2攵4+彳,攵￡2時，gO)〈g(X2)=2

7%

所以W—司=2&圖+）一（2k2萬+彳），匕、k2eZ

或歸一與|=2Z］乃+方一（2攵27+^^）/I、k2EZ

%冗

所以|石一期|的最小值是半.

說明：寫出分段函數(shù)后畫出一個或多個周期上的函數(shù)圖像，用數(shù)形結(jié)合的方法解同樣給分

【例4】在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知&+c=2acosB.

（1）證明：A=28；

2

（2）若AABC的面積S=幺，求角A的大小.

4

【難度】★★

【答案】（1）根據(jù)已知條件，由正弦定理得sin8+sinC=2sinAcos3,

故2sinAcosB=sinB+sin（A+B）=sinB+sinAcosB+cosAsinB,

于是sinN=sin（A-_B）.

又A、8G（0,?）,故OvA—3V萬，

所以8二%一（4一8）或6=4—8,

因此A=;r（舍去）或A=23,

所以A=28.

（2）由5=土得，aZ?sinC=3"，故有

424

sinBsinC=—sin2B=sinBcosB，

2

因sinBwO,得sinC=cosB.

又B,Ce(O,〃)，所以C=g±B.

TT7T

當(dāng)B+C=工時，A=-；

22

TT7T

當(dāng)C—B=工時，A=-.

24

綜上，A=工或A=工.

24

【解析】(1)由正弦定理及兩角和的正弦公式可得sinB=sin(A—B),再判斷A—B的取值范圍,

進而可證A=2B；(2)先由三角形的面積公式及二倍角公式可價sinC=cosB,再利用三角形的

內(nèi)角和可得角A的大小.同時在解三角形的解答題中，判斷范圍是必須的一步，同時在得到多解的

可能性中要注意檢驗。

【鞏固訓(xùn)練】

1.已知函數(shù)/(x)=4tanxsin后

(I)求/(x)的定義域與最小正周期;

(II)討論/(x)在區(qū)間［一工，工］上的單調(diào)性.

44

【難度】★★

【答案】(I三+既,ZeZ1加(0)在區(qū)間—工,工上單調(diào)遞增，在區(qū)間—七,—工

2L124」L412

上單調(diào)遞減.

試題解析：(I)解：/(x)的定義域為.XX聲］+

71

/(A:)=4tanxcosxcosxV3=4sinxcos

—cosx+^^sinxj-\/3=2sin

=4sinxxcosx+2\/3sin2x-^3

22

=sin2x+G(1-cos2x)-G=sin2x-Gcos2x=2sin(2x)-y

所以，/(x)的最小正周期7=號=加

7TTtTTTT

(n)解：令2=2x一一，函數(shù)y=2sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是一,+2版■,,+/eZ.

3

1TC-._7Z7C-,/口/?5TC.T—

111-------FW2X-----4—F2k兀，侍--------FkjiWx<------Fk?i、kwZ,

2321212

7T、冗TTTT

設(shè)A—x—二71+4二5TT+攵乃Mez',易知AD8=.

1212I124

TT7T7171

所以，當(dāng)xw時，在區(qū)間-上二上單調(diào)遞增，在區(qū)間-工，-工上單調(diào)遞減.

44v71244"1*-2

【解析】(I)先利用誘導(dǎo)公式、兩角差余弦公式、二倍角公式、配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù):

/(x)=2sin(2x)-1,再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求定義域、周期(II)根據(jù)(【)的結(jié)論，研究三角函數(shù)

在區(qū)間［-工TT，工7T］上單調(diào)性.

44

2.已知函數(shù)/'(x)=〃sinx+Z?cosx,其中“、b為非零實常數(shù).

(1)若/亞,/(x)的最大值為JF5,求。、人的值.

⑵若a=l，x=二是/(x)圖像的一條對稱軸，求與的值，使其滿足/(x0)=73,.@.xoefO,2Kl.

6

【難度】★★

【答案】(1)因為/(x)=asinx+bcosx=y/a2+b2sin(x+0)(其中sin6=1”,

yla2+h2

COS0-.一.),

777^

所以/(X)的最大值為6+從.

山，/+/=慶,(2分)

及噌［=爭+率=也,(4分)

解得。=—1,Z?=3或a=3,b=—l.(6分)

(2)易知，當(dāng)苫=二時，取得最大值后IT或最小值-爐工，

6

于是//=；+等/)=±^/^71,解得匕=技(8分)

T*f(x)=sinx4-x/3cosx=2sin(x+,(10分)

當(dāng)f(x)=百時?，解得x=2左冗或1=2攵兀+/(AwZ).(12分)

3

IT

因為.€［0,2兀］,故所求與的值為0,—,27r.(13分)

【解析】在利用輔助角公式時，要注意夕的值雖然不一定要求解出來，但最好寫出9的關(guān)系式。

3.在AABC中，已知而口近=3麗二心.

(1)求證：tanB=3tanA；

(2)若cosC=匪,求角A的大小.

5

【難度】★★

【答案】(1)VABnAC=3BAQBCf，Affi4QiosA=384CBCios3，

即ACftosA=3JBC[JOSB..............2分

Arnr

由正弦定理，得----=-----,:.sinBttosA=3sinAiosB.....................4分

sinBsinA

sinBsinA

又<0<A+B<TTcosA>0,cosB>0.------=3D——即tanB=3tanA................6分

FcosBcosA

(2)cosC=^-,0<C<7V,sinC=Jl--

tanC=2...............8分

5VI5J5

一…]=2,即tan(A+吁2.，言翳翳7

..............10分

AfainA!

由(1),得----------=-2,解得tanA=LtanA=——...............12分

l-3tan2A3

7t

'/cosA>0,tanA=1.AA=—.14分

4

三、立體幾何

A

立體幾何解答題一般都是用來證明線面之間的位置關(guān)系，以及空間里的三角一距.在證

明線面平行時，需要注意的不僅只有證明線線平行，還需要說明直線上有點在平面外，也

不要寫錯了點線面之間從屬關(guān)系的數(shù)學(xué)符號的表示；同樣，在進行三角一距的求解與

證明時，首先要在解答中說明哪一個標(biāo)注的角為所求線線角、線面角、二面角的平

面角或其補角，如果是利用空間向量的方法來證明和求解的，也需要說明哪一個為B

所求的三角比，再利用反三角形函數(shù)來表示.

C

【例5】如圖，正三棱錐A—BCD的底面邊長為2,側(cè)棱長為3,E為棱BC的中點.

（1）求異面直線AE與8所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）;

（2）求該三棱錐的體積V.

【難度】★★

【答案】（1）取5。中點尸，連結(jié)AF、EF,因為EF〃C。，所以NAEF就是異面直線AE與8

所成的角（或其補角）....................................（2分）

在△AEE中，AE=AF=2五,EF=i,....................（1分）

1

7V2

所以cosNAEE=^=="....................................（2分）

2行8

所以，異面直線AE與CD所成的角的大小為arccosJ...............（1分）

8

（2）作AO_L平面88，則。是正△38的中心.......................（I分）

連結(jié)。石，OE=—...........................................（I分）

3

所以AO=JAE?-EO?=后,.........................（i分）

所以,昨那=3字x4xj1=W........................（2分）

【解析】在立體幾何的求解中，如果是利用輔助線的方式來求解的，必須要先設(shè)點，聯(lián)線，作輔助

線的一般步驟必須規(guī)范，同時再找到所求問題的相關(guān)量，說明其值與所求之間的具體關(guān)系，同時在

求解體積和表面積中，有單位的也不要忘記單位。

【例6】如圖，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，SDL平面ABCD,SD=AD=2

（1）求證：AC_LSB；

(2)求二面角C—S4-。的大小.

【難度】★★

【答案】(1)連接BD,：SD，平面A3CO

AC=平面A3CD

.\AC±SD......................4分

又四邊形ABCD是正方形，AAC1BD

AAC1.平面SBD

AAC±SB.............................6分

(2)設(shè)S4的中點為E,連接。E、CE,

VSD-AD,CS=CA,

/.DEXSA,CE1SA.

二NCED是二面角C—S4—。的平面角........9分

計算得：DE=0,CE=娓,CD=2,則CD_LDE.

cosZ.CED-,Z.CED=arccos-

33

所以所求二面角的大小為arccos—...........12分

3

【例7】在長方體ABCO—AgG。中，AB=2,AD=1,44]=1,點E在棱AB上移動.

(1)探求AE多長時，直線與平面成45。角：

(2)點E移動為棱A3中點時，求點E到平面4OG的距離.

A

FR

【難度】★★

【答案】(1)法一：長方體ABC?！狝4GA中，因為點E在棱AB上移動，所以E4_L平面

AA.D.D,從而NE^A為直線RE與平面44,00所成的平面角，

RfAED|A中，NED|A=45°=AE=AD1=0........................5分

法二：以。為坐標(biāo)原點，射線。A,DC,￡>〃依次為x,y,z軸軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點

D,(0,0,1),平面AA。。的法向量為成=(0,2,0),設(shè)E(l,y,0),得印=(l,y,-l),由

D^EDC.汽

-sin—得y=V2,故AE-0

Pin4

(2)以。為坐標(biāo)原點，射線D4,DC,￡>9依次為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點E(l,1,0),

A（1,0,1）,c.（0,2,1）,

從而函=(1,0,1),西=(0,2,1),DE=(i,i,o)........3分

n-DA.-0x+z=0

設(shè)平面D4.G的法向量為n=(x,y,z),由｛_______=>

n-DCt=02y+z=0

-1

令〃=(—1,—],1),所以點E到平面4OG的距離為4=4分

不

【鞏固訓(xùn)練】

1.如圖，正三棱柱ABC—AIBICI的各棱長都相等，M、E分別是A3和ABi的中點，點F在BC

上且滿足BF：FC=1：3.

(1)求證：BBi〃平面EFM：

C

(2)求四面體M-的體積。

B

【難度】★★

【答案】（1）證明：連結(jié)EM、MF,：M、E分別是正三棱柱的棱AB和ABi的中點,

ABBi/7ME,.......3分

又BBi?平面EFM,...BBi〃平面EFM........6分

（2）正三棱柱中用BJ.底面ABC,由（1）BB.//ME.所以平面

.......8分

根據(jù)條件得出8/=1,8W=2,NMBF=60°,所以以8”「=5-,.......10分

又EM=2,因此VM-BEF=匕：_“8-=,EM=-相。........12分

2.如圖，在直三棱柱ABC—A4G中，底面△ABC是等腰直角三角形，4c=8。=44=2,D

為側(cè)棱AA的中點.

（1）求證：BCJ_平面4CGA；

（2）求二面角片-CO-G的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.

【難度】★★

【答案】（1）因為底面4A8C是等腰直角三角形，且AC=8C,所以，AC_L8C,…（2分）

因為CCi，平面ABC,所以CG^BC..............................（4分）

所以，平面ACGA.（5分）

(2)以C為原點，直線C4,CB,CC、為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則C(0,0,0),4(2,0,0),5(0,2,0),C,(0,0,2),耳(0,2,2),￡>(2,0,1),

由(1),而=((),2,0)是平面ACG4的一個法向量......................(2分)

函=(0,2,2),西=(2,0,1),設(shè)平面的一個法向量為五=(x,y,z),則有

,?西=0,

令x=1,則z=—2,y-2,

[n-CD=0,2x+z=0,

所以五=(1,2,—2),..............................(5分)

設(shè)—C8■與五的夾角為。，則cose=￥CBn42.............（6分）

|CB|-|n|2x33

由圖形知二面角B}-CD-C,的大小是銳角,

2

所以，二面角4-CD-G的大小為arccos§.....................(7分)

3.如圖，在圓錐SO中，AB為底面圓。的直徑，點C為片8的中點，SO^AB.

(1)證明：平面SOC；

(2)若點。為母線SC的中點，求與平面SOC所成的角.(結(jié)果用反

三角函數(shù)表示)

【難度】★★

【答案】(1)證明：在圓錐SO中,SOLAB...........(2分)

?.?點C為A8的中點，,OC_LAB............(4分)

ABA.SO'

二由ABLOCInAB,平面SOC.......(6分)

SOIoc=c

(2)解：聯(lián)結(jié)0。，平面SOC

?.NADO為AO與平面SOC所成的角..........(8分)

設(shè)OC=a,則SO=2a,/.OD=-SC=-Ja2+(2tz)2=—a

22V2

在用A4。。中，tan/ADO=%=-#-=mg(11分)

ODy/55

—Cl

2x/^

/.ADO=arctan----(12分)

5

四、函數(shù)

對于題中已經(jīng)給出的函數(shù)或是要求的函數(shù)，都需要先確定函數(shù)的定義域.根據(jù)求單調(diào)性、值域、

最值等步驟探求函數(shù)/(X)的性質(zhì)，對于含參的分類討論、奇偶性和周期性證明方式、反函數(shù)存在的

意義等一般性的規(guī)范步驟，都需要尤其注意。

【例8】設(shè)a是實數(shù),函數(shù)/(尤)=4*+|2*-。|(xeR).

(1)求證：函數(shù)/(x)不是奇函數(shù)；

(2)當(dāng)aWO時，求滿足/(x)>/的％的取值范圍；

(3)求函數(shù)y=/(x)的值域(用a表示).

【難度】★★★

【解析】(1)假設(shè)f(x)是奇函數(shù)，那么對于一切xeR,<：］/(-x)=-/(x),

從而/(-0)=_/(0),即/(0)=0,但是f(0)=4°+|2°-a|=l+|l—a|HO,矛盾.

所以/(x)不是奇函數(shù).(也可用/(1)+/(-1)#0等證明)

(2)因為2*>0,4v>0,所以當(dāng)aWO時，/(x)=4'+2*-a,由/(無)>/,

得4"+2，一。>。2,即4'+2'-a(a+l)〉0,(2V-a)(2'+a+1)>0,

因為2'—a>0,所以2'+a+l>0,即2、>-(a+l).

①當(dāng)a+120,即一iWaWO時，2、>—(a+1)恒成立，故x的取值范圍是R；

②當(dāng)a+1<0,H|Ja<—1時，由2">—(a+1),得x>log,[—(<2+1)],故x的取值范圍是

Qog2[-(?+l)],+0°).

(3)令f=2*,則/>0,原函數(shù)變成丁=產(chǎn)+|/-創(chuàng).

①若aWO,則y=〃+r-a在fG(0,+8)上是增函數(shù)，值域為(一a,+8).

……(t2-t+a,O<t<a,

②右a>0,則y={

廣+f—.

對于0<「Wa,有y='-g)+。一；，

當(dāng)0<。<；時，y是關(guān)于f的減函數(shù)，y的取值范圍是[。2,幻；

當(dāng)時，乂.二。一:，當(dāng)g<a<l時，y的取值范圍是

當(dāng)。之1時，y的取值范圍是。一;，4.

對J1>a,有y=/+/—a=,+g]—a—；是關(guān)于￡的增函數(shù)，

其取值范圍(〃，+8).

綜上，當(dāng)aK0時，函數(shù)y=/(x)的值域是(-a,+8)；

當(dāng)0＜。＜5時，函數(shù)y=/(x)的值域是［a2,+00)；

當(dāng)azg時，函數(shù)y=/(x)的值域是a-；,+oo).

【解析】在證明函數(shù)的奇偶性時，首先需要說明定義域關(guān)于原點對稱，其次再求解解析式形式的統(tǒng)

一性，同時求解值域時，需要先看定義域，同時兩者都需要寫成集合的形式。

【例9】已知函數(shù)/(x)=2'的反函數(shù)為/T(X).

(1)若廣(x)-尸(1一力=1,求實數(shù)x的值；

(2)若關(guān)于x的方程〃x)+/(l-x)-加=0在區(qū)間［0,2］內(nèi)有解，求實數(shù)機的取值范圍.

【難度】★★

【答案】(1)/*'(%)=log2x(x＞0)

log2x-log,(l-x)=l

log2—=1,EP—=2,解得x=2

1—x1—x3

2

經(jīng)檢驗x=*是原方程的解.

3

(2)2x+2'-x-m=0

7

x|xr

w?=2+2-=2+—,

2X

設(shè)2』，當(dāng)04xV2,lW4

40

+-->2(當(dāng)且僅當(dāng)，=也，即％=■!■時等號成立.)

z

2

199

g(f)max=｛g⑴，g(4)｝，其中8(1)=36(4)=4+］=5，所以gQ)mx=5

所以20Kg⑺wg

所以實數(shù)機的取值范圍是［2J5,2］.

2

【解析】在求函數(shù)的反函數(shù)之前，首先需要確定原函數(shù)的值域，用來作為所求反函數(shù)的定義域，如

果所求函數(shù)中包含幾種不同的函數(shù)結(jié)構(gòu)，需要取所有函數(shù)定義域的交集。

【例10】已知函數(shù)/(x)=log“3(其中。＞()且,g(x)是/(x)的反函數(shù).

X+1

(1)已知關(guān)于工的方程log。------------=〃幻在區(qū)間［2,6］上有實數(shù)解，求實數(shù)”的取值范圍;

(x+l)(7-x)

(2)當(dāng)0＜。＜1時，討論函數(shù)/(用的奇偶性和增減性；

⑶設(shè)。=」一,其中pNl.記〃=g("),數(shù)列在｝的前〃項的和為7；(〃eN*),求證：

1+P

n＜TflV〃+4.

【難度】★★★

m

-.....>0

(x+l)(7-x)

【解析】—>0轉(zhuǎn)化為求函數(shù)m=(x-l)(7-x)在xe［2,6］上的值域,

x+1

mx-1

(x+l)(7—無)x+1

該函數(shù)在［2,4］上遞增、在［4,6］上遞減，所以m的最小值5,最大值9。所以掰的取值范圍為［5,9］

(2)/0)=108“三土的定義域為(-8,-1)111(1,+8)，..................5分

X+1

定義域關(guān)于原點對稱，又/(—x)=log“"—X—1=log“qY4-1,故f(—x)=—/(x),

-x+1x-1

所以函數(shù)/(X)為奇函數(shù)。

下面討論在(1,+8)上函數(shù)的增減性.任取X1,X2e(1,+00),設(shè)為<尤2，令--，

X+1

所以?否)一?》2)=—————因為無2>尤|>1，所以，(無)1一/。2)=—————<0.

(X]+1)(x2+1)(X]+1)(x2+1)

又當(dāng)0<。<1時，y=log“X是減函數(shù)，所以。ga?X])>log/(X2).

由定義知在(1,+8)上函數(shù)是減函數(shù).

又因為函數(shù)/(X)是奇函數(shù)，所以在(-8,-1)上函數(shù)也是減函數(shù).

(3)g(x)=1+f，-；因為a=」一，p>\,所以

1-611+p2

,八、1+a,2、

1<g⑴=----=1H—<3<5。

l-ap

1+———

設(shè)女22次eN*時，則為〉1,且仇=—(1?)=1+——,

1—1(1+P)-

(l+p)?

k

由二項式定理(1+p)=l+C'kP'+...+C：pk,

2444

所以為<1+,=1+—-—=1+-一一—,

C'k+C；女(Z+1)kk+l

4

從川j〃v(v"i+(〃-1)+2------<"i+〃+1<〃+4o

〃+1

【解析】判斷函數(shù)單調(diào)性時，需要先看判斷，再看定義域，證明函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性。同時證

明單調(diào)性的三個步驟也不要有遺漏：1、設(shè)值；2、作比較；3、作結(jié)論。

【鞏固訓(xùn)練】

1.已知f(x)=x|x-a|+Z?,xGR.

(1)當(dāng)a=l1=0時,判斷了(x)的奇偶性，并說明理由;

(2)當(dāng)=1時，若/(2')=j,求x的值；

(3)若匕<0,且對任何xe[O,l]不等式/(x)<0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【難度】★★

【解析】(1)當(dāng)a=l力=0時，/(x)=x|x—1|既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

?；/(-1)=-2,/(1)=0,二/(-I)*豐-/(I)

所以/(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

(2)當(dāng)a=l,b=l時，/(x)=x|x-l|+l,

由〃2')=』得232'-1|+1=*

44

2A>12*<1

即4,1

(2r)2-2'--=0(2')2-2'+-=0

解得2*=1±走或走(舍)，或

222

所以》=1082^^^=1082(1+&)-1或工=-1.

(3)當(dāng)x=0時，a取任意實數(shù)，不等式/(x)<0恒成立，

故只需考慮xe(O』]，此時原不等式變?yōu)閨x-a|<及

nnbb

即XH--<Cl<X------

XX

故(X+—)max<Q<(X—2)min，X￡(°，1]

XX

AA

又函數(shù)g(X)=X+2在(0,1］上單調(diào)遞增，所以(X+2)max=g6=l+。；

XX

b

對于函數(shù)7z(x)=x——,xe(0,l］

x

A

①當(dāng)8<—1時，在(0,1］上〃(無)單調(diào)遞減，(工一上空加=〃(D=1—b,又1—8>1+8，

所以，此時4的取值范圍是(1+41一6).

②當(dāng)一14。<0,在(0,1］上，h(x)=x-->2>Tb.

當(dāng)％="時，=2口，此時要使a存在，

X

必須有丫+“<2。即一14。<2及一3,止匕時a的取值范圍是(1+6,2日)

-l<Z?<0

綜上，當(dāng)6<—1時，a的取值范圍是(1+41—力；當(dāng)—lWb<2淄—3時，a的取值范圍是

(1+42。)；

當(dāng)20—34匕<0時，a的取值范圍是0.

2.已知函數(shù)八>)=2'-1的反函數(shù)為y=/T(x),記g(x)=/T(x—l).

(1)求函數(shù)y=2/T(x)—g(x)的最小值；

(2)若函數(shù)/(%)=2/7"+機)-8(幻在區(qū)間［1,+8)上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)機的取值范圍.

【難度】★★

【解析】(1)由y=2"-1得x=k)g2(y+1),即/-(X)=log2(x+1)(x>-l)

gM==log2x(x>0)

￡+2x+l1

y=2/T(x)-g(x)=2log2(x+1)—log2x=log,-------------=log,(x+—+2)

XX

由于x〉0,所以x+‘N2(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時，等號成立)

X

所以當(dāng)尤=1時，函數(shù)Vmin=logz4=2

(2)由/Ta)=iog2(x+i)(X>-1)

得，F(xiàn)(x)=2f-'(x+m)-g(x)=2log2(x+77?+1)-log2x

(/??+1)

F(x)=log,-+(〃?+D-=iOg,[X+~+2(m+1)]在區(qū)間口,+00)上是單調(diào)遞增函數(shù),

XX

需滿足：當(dāng)工之1時，x+m+1>0,即m>一2

[|m+l|,+oo)o[l,+oo),B[JIm+11<1-2<m<0,

所以一2<相<0

3.設(shè)/(x)是定義在R上的函數(shù)，對團，〃wR恒有/(機+〃)=/(加)?/(〃)，且當(dāng)x>0時,

0</(%)<1.

(1)求證：/(0)=1；

(2)證明：xeR時恒有/(龍)〉0；

(3)求證：/(x)在R上是減函數(shù)；

(4)若/(x>/(2+x)〉l,求x的范圍.

【難度】★★★

【答案】⑴取相=0,"=g,則/(g+O)=/(g))(O),因為/(；)〉0所以/(0)=1

(2)設(shè)X<0則一尤>0,由條件可知/(一X)〉0

又因為1=/(0)=/(x-x)=/(x)?/(-幻〉0,所以/(%)>0,

二xwR時，恒有/(%)>0

(3)設(shè)X[<々，則

―)-f(x2)=f{xx)-f(x2-xi+x})=/(X1)-/(x2-X1)/(%1)=f(x2-xj]

因為不<々，所以—X]>0,所以/(*2—西)<1,即1一/52—內(nèi))>0

又因為/(%)>0，所以/(%2-%,)]>0

所以/(%)—/(々)>0,即該函數(shù)在R上是減函數(shù).

(4)因為/(x)"(2+x)>l,所以/(x)-/(2+x)=/(2x+2)>/(。)

所以2x+2<0,所以那范圍為x<-l

【解析】解抽象函數(shù)不等式，往往利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性消去/,同時不要忘記“定義域優(yōu)先

五、數(shù)列

數(shù)列解答題的第一二問一般主要涉及對數(shù)列的通項和求和進行化簡和計算，在進行通項公式的

求解時，需要特別注意的是每次利用遞推關(guān)系時，如果出現(xiàn)了a,-類似的項，步驟中一定要寫出〃22

的范圍限制，當(dāng)然，〃wN*是必不可少的。在使用數(shù)列的性質(zhì)中，也要注意求公式的合理性，比如

說等比數(shù)列的求和公式的兩種不同形式，是需要討論其公比的取值范圍，在沒有得知公比q的范圍

時，要分類討論。

【例11］已知數(shù)列｛q｝滿足4=2,對任意"7、"N"都有冊+0=金?瑪.

(1)求數(shù)列｛%｝(〃￡N")的通項公式〃〃；

(2)數(shù)列也｝滿足勺=合h■+式h1+島h■+…+#hy("eN)求數(shù)列也｝的前〃項和B“；

(3)設(shè)％=*,求數(shù)列｛%｝(〃eN*)中最小項的值?

【難度】★★★

【答案】⑴,/對任意機、peN*都有am+p=a,”?%,成立，q=2,...令/n=〃,p=1,得

?n+1?eN*.

/.數(shù)列{a“}(〃eN*)是首項和公比都為2的等比數(shù)列./.an=a,-2"-'=2"(〃wN*).

b.b4h

(2)由a“=-----1----2--1--z----F??'H(〃eN*),得

2+122+l23+l------2"+l

打耳含++缶(72>2).

h

故ah==a=2，'-'(2"+D=22"-'+T''(n>2).

b-6,(n=l)

當(dāng)〃=1時,q——=4=6.于是，b=<

2+1'n22n-,+2,'-'.(〃22,〃eN*)

當(dāng)n=l時，4=4=6；

當(dāng)"？2時?，

Bn=仄+%+&+…+2

=6+(2"T+2-3-1+224-1+...+22"-1)+Q2T+23-1+24-1+---+2"-1)

/23(l-4"-')2(1-2n-1)

=6+-----------1----------