必修二講義第二章第二節(jié)向心力

其次節(jié)向心力

1.向心力是按效果命名的力，不能認為做圓周

運動的物體除了受到另外物體的作用，還受

到一個向心力的作用。

_V2

2.圓周運動向心力大小F=ma)1r=m—,方向

般理律指向圓心，不轉(zhuǎn)變速度的大小，只轉(zhuǎn)變速度

笠記率的方向。

3.向心加速度描述圓周運動線速度方向轉(zhuǎn)變的

快慢，向心加速度的方向與向心力的方向全

..."4712r

都M，大小為a=：=w/=亍-。

4.勻速圓周運動向心力和向心加速度的大小恒

定，方向時刻在轉(zhuǎn)變，因此勻速圓周運動是

變加速運動。

.理療域科姆■課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高

一、感受向心力

i.向心力

做勻速圓周運動的物體受到與速度方向不在同始終線上的合力作用，這個力總是沿著

半徑指向圓心,叫做向心力。

2.向心力的大小

⑴試驗探究

①探究目的：探究向心力大小廠與質(zhì)量加、角速度。和半徑r之間的關(guān)系。

②試驗方法：掌握變量法。

③試驗過程

a.保持。、r相同，爭論向心力廠與小球質(zhì)量之間的關(guān)系。

b.保持m、r相同，爭論向心力尸與角速度包之間的關(guān)系。

c.保持。、機相同，爭論向心力尸與半徑r之間的關(guān)系。

④試驗結(jié)論：做勻速圓周運動所需向心力的大小，在質(zhì)量和角速度肯定時，與半徑成

正比；在質(zhì)量和半徑肯定時，與角速度的平方成正比；在半徑和角速度肯定時，與質(zhì)量成

正比。

2

(2)向心力的公式：F=m(orF=m—0

3.向心力的特點

(1)向心力的方向沿半徑指向圓心，與質(zhì)點運動的方向垂直。

(2)向心力不轉(zhuǎn)變質(zhì)點速度的大小，只轉(zhuǎn)變速度的方向。

二、向心加速度

1.定義

由向心力產(chǎn)生的指向圓心的加速度叫做向心加速度。

2.大小

力

〃=小/或a=-o

3.方向

向心加速度的方向總是沿著半徑指向圓心，即方向始終與運動方向垂直。

4.物理意義

向心加速度始終與速度垂直，只轉(zhuǎn)變速度的方向，不轉(zhuǎn)變速度的大小，向心加速度的

大小表示速度方向轉(zhuǎn)變的快慢。

三'生活中的向心力

1.在水平大路上行駛的汽車，轉(zhuǎn)彎時所需的向心力是由車輪與路面間的靜摩擦力供應(yīng)

的，假如轉(zhuǎn)彎時速度過大，所需向心力F大于最大靜摩擦力,汽車將易滑出路面而造成交

通事故。因此，在大路彎道處，車輛行駛速度不允許超過規(guī)定速度。

N

mg

圖221

2.汽車在大路的轉(zhuǎn)彎處時，大路對汽車的支持力N的方向不再是豎直的，而是斜向彎

道的內(nèi)側(cè)，它與重力的合力指向圓心，為汽車轉(zhuǎn)彎供應(yīng)向心力。

N

F=mgtan\0

mg

圖2-2-2

3.汽車過凸形橋最高點時，對橋面壓力小王汽車重力；汽車過凹形橋最低點時，對橋

面壓力大王汽車重力。

1.自主思索一判一判

(1)向心力既可以轉(zhuǎn)變速度的大小，也可以轉(zhuǎn)變速度的方向。(X)

(2)物體做圓周運動的速度越大，向心力肯定越大。(X)

(3)向心力和重力、彈力一樣，是性質(zhì)力。(X)

(4)勻速圓周運動是加速度不變的曲線運動。(X)

(5)勻速圓周運動的向心加速度的方向始終與速度方向垂直。(J)

(6)物體做勻速圓周運動時，速度變化量為零。(X)

2.合作探究——議一議

(1)如圖2-2-3所示，用長短不同、材料和粗細均相同的兩根繩子各拴著一個質(zhì)量相同的

小球，在光滑的水平面上做勻速圓周運動，假設(shè)兩個小球以相同的角速度運動，長繩簡單

斷還是短繩簡單斷？假設(shè)兩個小球以相同的線速度運動呢？

圖223

提示：假設(shè)兩小球角速度相同，由廠=相切2r可知，長繩中張力大，長繩易斷。

假設(shè)兩小球線速度相同，由戶=叼■可知，短繩中張力大，短繩易斷。

(2)甲同學(xué)認為由公式知向心加速度a與運動半徑r成反比；而乙同學(xué)認為由公式

a="2r知向心加速度”與運動半徑r成正比，他們兩人誰的觀點正確？說一說你的觀點。

提示：他們兩人的觀點都不精確？???？。當?？隙〞r，。與r成反比；當o肯定時，a

與r成正比。

(3)如圖2-2-4所示，物體在圓筒壁上隨筒壁一起繞豎直轉(zhuǎn)軸勻速轉(zhuǎn)動，試問：物體受幾

個力作用？向心力由什么力供應(yīng)？

圖224

提示：物體受三個力，分別為重力、彈力和摩擦力。物體做勻速圓周運動，向心力等

于以上三個力的合力，由于重力與摩擦力抵消，實際上向心力僅由彈力供應(yīng)。

課堂講練設(shè)計，舉一能通類題

考點一”對向心力的理解

0通知識

力4九2

1.大?。篎=ma=m~=ma>2r=ma)v=nr^r

(1)勻速圓周運動中向心力的大小始終不變。

(2)非勻速圓周運動中向心力的大小隨速率。的變化而變化，公式表述的只是瞬時值。

2.方向：無論是否為勻速圓周運動，其向心力總是沿半徑指向圓心，方向時刻轉(zhuǎn)變，

故向心力是變力。

3.向心力是效果力

(1)向心力因其方向時刻指向圓心而得名，是效果力。

(2)它的作用效果是只轉(zhuǎn)變速度方向不轉(zhuǎn)變速度大小。

(3)不是由于物體做圓周運動才產(chǎn)生向心力，而是向心力作用迫使物體不斷轉(zhuǎn)變速度方

向而做圓周運動。

4.向心力的來源

物體做圓周運動時，向心力由物體所受力中沿半徑方向的力供應(yīng)。可以由一個力充當

向心力；也可以由幾個力的合力充當向心力；還可以是某個力的分力充當向心力。

實例向心力示意圖

用細線拴住的小球在豎直面內(nèi)繩子的拉力和重力的合力供應(yīng)

轉(zhuǎn)動至最高點時向心力，方向=b+G

用細線拴住小球在光滑水平面

線的拉力供應(yīng)向心力，F(xiàn)向=7

內(nèi)做勻速圓周運動

物體隨轉(zhuǎn)盤做勻速圓周運動，轉(zhuǎn)盤對物體的靜摩擦力供應(yīng)向

且相對轉(zhuǎn)盤靜止心力，F(xiàn)向=/

小球在細線作用下，在水平面重力和細線的拉力的合力供應(yīng)

內(nèi)做圓周運動向心力，F(xiàn)向=_F合fit)

0通方法

［典例］如圖2-2-5所示，物塊P置于水平轉(zhuǎn)盤上隨轉(zhuǎn)盤一起運動，圖中C方向沿半徑

指向圓心，a方向與c方向垂直。當轉(zhuǎn)盤逆時針勻速轉(zhuǎn)動時，以下說法正確的選項是()

圖225

A.尸受的摩擦力方向為a

B.P受的摩擦力方向為8

C.P受的摩擦力方向為c

D.尸受的摩擦力方向可能為d

［思路點撥］

對

P—豎直向下：重力二力

受靜摩擦

力豎直向上：支持力平衡

力提供

分

析水平方向：靜摩擦力向心力

［解析］物塊產(chǎn)在水平轉(zhuǎn)盤上隨轉(zhuǎn)盤一起做勻速圓周運動，必需有向心力作用，而重

力、支持力合力為零，故物塊尸的向心力應(yīng)由指向圓心的靜摩擦力來供應(yīng)，應(yīng)選C。

［答案］C

向心力與合外力的辨析

(1)“肯定"關(guān)系：無論是勻速圓周運動還是非勻速圓周運動，物體所受各力沿半徑方

向重量的矢量和肯定為向心力。

(2)“不肯定"關(guān)系：勻速圓周運動中，向心力就是合外力；非勻速圓周運動中，向心

力不是合外力，向心力是合外力沿半徑方向的分力，合外力不指向圓心。

(3)“肯定不"關(guān)系：對物體進行受力分析時，肯定不要在分析完重力、彈力、摩擦力

等性質(zhì)力后，又多出一個“向心力”，向心力只是上述性質(zhì)力合成或分解得到的一個效果

力。

5甌題組I

1.(多項選擇)關(guān)于做勻速圓周運動的物體所受的向心力，以下說法正確的選項是()

A.因向心力總是沿半徑指向圓心，且大小不變，故向心力是一個恒力

B.因向心力指向圓心，且與線速度的方向垂直，所以它不能轉(zhuǎn)變線速度的大小

C.它是物體所受的合力

D.向心力和向心加速度的方向都是不變的

解析：選BC做勻速圓周運動的物體所受的向心力是物體所受的合力，由于始終指向

圓心，且與線速度垂直，故不能轉(zhuǎn)變線速度的大小，只能轉(zhuǎn)變線速度的方向，向心力雖大

小不變，但方向時刻轉(zhuǎn)變，不是恒力，由此產(chǎn)生的向心加速度也是變化的，所以A、D錯

誤，B、C正確。

2.如圖2-2-6所示，一只老鷹在水平面內(nèi)回旋做勻速圓周運動，那么關(guān)于老鷹受力的

說法正確的選項是（）

圖226

A.老鷹受重力、空氣對它的作用力和向心力的作用

B.老鷹受重力和空氣對它的作用力

C.老鷹受重力和向心力的作用

D.老鷹受空氣對它的作用力和向心力的作用

解析：選B老鷹在空中做圓周運動，受重力和空氣對它的作用力的作用，兩個力的

合力充當它做圓周運動的向心力。向心力是依據(jù)力的作用效果命名的，不是物體實際受到

的力，在分析物體的受力時，不能將其作為物體受到的力。選項B正確。

3.（多項選擇）如圖2-2-7所示，一小球用輕繩懸掛于。點，將其拉離豎直位置一個角度

后釋放，那么小球以。點為圓心做圓周運動，運動中小球所需的向心力是（）

A.繩的拉力

B.重力和繩的拉力的合力

C.重力和繩的拉力的合力沿繩方向的分力

D.繩的拉力和重力沿繩方向的分力的合力

解析：選CD小球受重力和繩子的拉力作用，向心力是指向圓心方向的合力。因此，

可以說向心力是小球所受合力沿繩方向的分力，也可以說向心力是各力沿繩方向的分力的

合力，C、D正確。

考點二對向心加速度的理解

0通知識I

1.公式拓展

v2°4n2

a=-=(Dzr=-^-r=cov

r

由〃葉圖像可以看出：〃與r成正比還是反比，要看是切恒定還是。恒定。

3.向心加速度公式也適用于非勻速圓周運動，在變速圓周運動（速度大小變化）中，物

體的加速度不指向圓心，該加速度沿圓心方向的重量是向心加速度。

方法I

［典例］如圖2-2-9所示，一個大輪通過皮帶拉著小輪轉(zhuǎn)動，皮帶和兩輪之間無滑動，

大輪的半徑是小輪的2倍，大輪上的一點S與轉(zhuǎn)動軸的距離是半徑的;，當大輪邊緣上P點

的向心加速度是12m/s2時，大輪上的S點和小輪邊緣上的Q點的向心加速度分別為多大？

圖229

［思路點撥］輪上尸點和S點屬同軸轉(zhuǎn)動，角速度相同，由可建立聯(lián)系。輪上

尸點和。點屬皮帶傳動，線速度相同，由。=?可建立聯(lián)系。

［解析］設(shè)S和P到大輪軸心的距離分別為rs和rp,由向心加速度公式a=rco2,且60s

=@p可知，S與尸兩點的向心加速度之比為強=上

（iprp

解得as=~ap=4m/s2

rp

設(shè)小輪半徑為和，由向心加速度公式Q=7，且笠尸可得P與。兩點的向心加速

度之比蝶蘭

解得“2=方?=24m/s2o

［答案］4m/s224m/s2

常用向心加速度的計算公式及關(guān)系

已知曾、r,則a=

r

已知以丁?則a=Rr二一127rv=cor

已知T、r,則a=侔7r」”一~T

已知3、則a-cov---------------

b通題組

i.關(guān)于向心加速度，以下說法中正確的選項是()

A.向心加速度是描述線速度變化快慢的物理量

B.向心加速度只轉(zhuǎn)變線速度的方向，不轉(zhuǎn)變線速度的大小

C.向心加速度大小恒定，方向時刻轉(zhuǎn)變

D.向心加速度的大小也可以用迎來計算

解析：選B加速度是描述速度變化快慢的物理量，而向心加速度是描述線速度方向

變化快慢的物理量，故A錯誤，B正確。依據(jù)向心加速度的計算公式可知，只有勻速

圓周運動的向心加速度大小才恒定，故C錯誤。圓周運動的加速度是時刻轉(zhuǎn)變的，向心加

速度是瞬時加速度而不是平均加速度，故不能用來計算,只能用Q=?或2r

=(2動來計算，故D錯誤。

2.2016年1月29日，第十三屆全國冬季運動會把戲滑冰雙人滑自由滑競賽在冰上運動

中心短道把戲館結(jié)束，哈爾濱隊的隋文雅和韓聰奪得冠。如圖2-2-10所示，在男女雙人把

戲滑冰運動中，男運發(fā)動以自身為轉(zhuǎn)動軸拉著女運發(fā)動做勻速圓周運動。假設(shè)運發(fā)動的轉(zhuǎn)

速為30r/min,女運發(fā)動觸地冰鞋的線速度為4.8m/s,求女運發(fā)動做圓周運動的角速度、

觸地冰鞋做圓周運動的半徑及向心加速度的大小。

圖2210

解析：男女運發(fā)動的轉(zhuǎn)速、角速度是相同的，由切=2九〃得。=2Xrad/s=3.14

rad/s

由寫=①〃付r=—=,3.14)m"1.53m

由a=(o2r,得a2X1.53m/s2^15.1m/s2o

答案：3.14rad/s1.53m15.1m/s2

圓周運動中的動力學(xué)問題

包甬方法

［典例］如圖2-2-11所示，水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為m的物塊，當物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為r

時，連接物塊和轉(zhuǎn)軸的繩剛好被拉直(繩中張力為零)。物塊與轉(zhuǎn)盤間最大靜摩擦力是其重力

的左倍，當繩中張力到達8如取時，繩子將被拉斷。求：

圖2-2-11

⑴轉(zhuǎn)盤的角速度為3=,繩中的張力Ti;

⑵轉(zhuǎn)盤的角速度為。2=、修時，

繩中的張力T1-,

(3)要將繩拉斷，轉(zhuǎn)盤的最小轉(zhuǎn)速“min。

［思路點撥］

(1)當轉(zhuǎn)速較小時，由靜摩擦力供應(yīng)物塊做圓周運動的向心力。

(2)當轉(zhuǎn)速較大時，由最大靜摩擦力和繩上的拉力共同供應(yīng)物塊做圓周運動的向心力。

［解析］設(shè)角速度為。0時繩剛好被拉直且繩中張力為零，那么由題意有：心〃g=HMWO2r

解得：0)0=

(1)當轉(zhuǎn)盤的角速度為。1=時，由于物塊所受靜摩擦力足以供應(yīng)物塊隨

轉(zhuǎn)盤做圓周運動所需向心力，繩子張力為零，即：71=0。

(2)當轉(zhuǎn)盤的角速度為02=時，由于"2＞。0,物塊所受最大靜摩擦力缺乏以供應(yīng)

物塊隨轉(zhuǎn)盤做圓周運動所需向心力，那么繩子有張力。

那么有：kmg+Ti=m(o^r

解得：Ti=kkmgo

(3)要將繩拉斷，靜摩擦力和繩子的張力都要到達最大值，那么有：

kmg+8kmg=mcomir^r

解得:@mta=31停。

［答案］(1)0(2^kmg(3)3、y§

圓周運動動力學(xué)問題的解題步驟

(1)明確爭論對象：解題時要明確所爭論的是哪一個做圓周運動的物體。

(2)確定物體做圓周運動的軌道平面，并找出圓心和半徑。

(3)確定爭論對象在某個位置所處的狀態(tài)，分析物體的受力狀況，推斷哪些力供應(yīng)向心

力，這是解題的關(guān)鍵。

(4)依據(jù)向心力公式列方程求解。

e通題組

1.如圖2-2-12所示，一個圓形框架以豎直的直徑為轉(zhuǎn)軸勻速轉(zhuǎn)動。在框架上套著兩個

質(zhì)量相等的小球A、3,小球4、5到豎直轉(zhuǎn)軸的距離相等，它們與圓形框架保持相對靜止。

以下說法正確的選項是()

圖2212

A.小球A所受的合力小于小球B所受的合力

B.小球A與框架間可能沒有摩擦力

C.小球3與框架間可能沒有摩擦力

D.圓形框架以更大的角速度轉(zhuǎn)動，小球3受到的摩擦力肯定增大

解析：選C小球受到的合力充當向心力，由于到豎直轉(zhuǎn)軸的距離相等，所以兩小球

的速度大小相等，半徑相等，由尸金=機?！隹芍?，兩小球受到的合力大小相等，A錯誤；小

球A受到的重力豎直向下，受到的支持力垂直圓環(huán)該點切線方向背向圓心，故兩個力的合

力不行能指向豎直轉(zhuǎn)軸，所以肯定受到摩擦力作用，小球B受到豎直向下的重力，垂直該

點切線方向指向圓心的支持力，合力可能垂直指向豎直轉(zhuǎn)軸，所以小球3可能不受摩擦力

作用，B錯誤，C正確；當圓形框架以更大的角速度轉(zhuǎn)動時，小球3受到的摩擦力可能增

大，也可能減小，故D錯誤。

2.如圖2-2-13所示，在光滑的水平桌面上有一光滑小孔O,一根輕繩穿過小孔，一端連

接質(zhì)量為帆=1kg的小球A,另一端連接質(zhì)量為M=4kg的重物8。求:

圖2213

（1）當A球沿半徑為R=0.1m的圓做勻速圓周運動，其角速度為a）=10rad/s時，5對

地面的壓力為多少？

（2）要使B物體對地面恰好無壓力，A球的角速度應(yīng)為多大？恁取10m/s2）

解析：（1）對小球A來說，小球受到的重力和支持力平衡，因此繩子的拉力供應(yīng)向心力，

那么

T=mR（i）2=lXX102N=10No

對物體5來說，物體受到三個力的作用：重力Mg、繩子的拉力T、地面的支持力N,

由力的平衡條件可得

T+N=Mg,

所以

將7=10N代入上式，可得：N=4X10N-10N=30N。

由牛頓第三定律可知，3對地面的壓力為30N,方向豎直向下。

（2）當3對地面恰好無壓力時，有：Mg=T',拉力T'供應(yīng)小球A所需向心力，那么：

際（4X10

2

T'=mRa）',那么to'=7俄=AJ1X0xrad/s=20rad/so

即當5對地面恰好無壓力時，A球的角速度應(yīng)為20rad/s。

答案：（1）30N,方向豎直向下（2）20rad/s

課后層級訓(xùn)練，步步提升能力

一、基礎(chǔ)題與熟

L（多項選擇）關(guān)于向心力的以下說法中正確的選項是（）

A.物體受到向心力的作用才能做圓周運動

B.向心力是指向圓心方向的合外力，它是依據(jù)力的作用效果命名的

C.向心力可以是重力、彈力、摩擦力等各種力的合力，也可以是某種力的分力

D.向心力不但能轉(zhuǎn)變物體的運動方向，而且可以轉(zhuǎn)變物體運動的快慢

解析：選BC向心力是依據(jù)力的作用效果命名的力，而不是一種性質(zhì)力，物體之所以

能做圓周運動，不是由于物體多受了一個向心力的作用，而是物體所受各種力的合力始終

指向圓心，從而只轉(zhuǎn)變物體速度的方向而不轉(zhuǎn)變速度的大小，應(yīng)選項A、D錯誤，B、C正

確。

2.甲、乙兩質(zhì)點做勻速圓周運動，其半徑之比Ri：&=3：4,角速度之比“1：g=4：3,

那么甲、乙兩質(zhì)點的向心加速度之比?：念是（）

916

16D.y

解析：選A由于半徑之比Ri：&=3：4,角速度之比MI：（02=4：3,依據(jù)a=（o2R

得：ai:痣=4:3,應(yīng)選A。

3.（多項選擇）如圖1所示，為A、5兩質(zhì)點做勻速圓周運動的向心加速度隨半徑變化的

圖像，其中A為雙曲線的一個分支，由圖可知（）

圖1

A.A物體運動的線速度大小不變

B.A物體運動的角速度大小不變

C.5物體運動的角速度大小不變

D.3物體運動的線速度大小不變

解析：選AC勻速圓周運動的向心加速度的計算式有兩個：〃=7或〃=/2q因此不

能不加推斷就認為Q與r成反比或〃與r成正比，而只能這樣表述：當u的大小相等時，a

的大小跟r成反比；當口相同時，a的大小跟，成正比。5質(zhì)點做勻速圓周運動的向心加速

度隨半徑變化規(guī)律是通過原點的一條直線，即〃8〃故C項對。A質(zhì)點做勻速圓周運動的

向心加速度隨半徑變化規(guī)律是雙曲線的一支，即“8，故A項對。

4.如圖2所示，一圓盤可繞一通過圓心且垂直于盤面的豎直軸轉(zhuǎn)動，在圓盤上放一塊橡

皮，橡皮塊隨圓盤一起轉(zhuǎn)動（俯視為逆時針）。某段時間圓盤轉(zhuǎn)速不斷增大，但橡皮塊仍相對

圓盤靜止，在這段時間內(nèi)，關(guān)于橡皮塊所受合力F的方向的四種表示（俯視圖）中，正確的選

項是（）

圖2

解析：選C橡皮塊做加速圓周運動，合力不指向圓心，但肯定指向圓周的內(nèi)側(cè)；由

于做加速圓周運動，速率不斷增加，故合力與速度的夾角小于90。，選項C正確。

5.如圖3所示，長為L的輕桿，一端固定一個質(zhì)量為，〃的小球，另一端固定在水平轉(zhuǎn)

軸。上，桿隨轉(zhuǎn)軸。在豎直平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動，角速度為包,某時刻桿對球的作用力恰好與

桿垂直，那么此時桿與水平面的夾角。是（）

A.sinO=翦

B.tan0=

g

C.sin6>=焉D.tan

解析：選A小球所受重力和輕桿的作用力的合力供應(yīng)向心力，依據(jù)牛頓其次定律有

mgsin0=mLco2,解得sin，=,故A正確，B、C、D錯誤。

S

6.4、3兩個質(zhì)點分別做勻速圓周運動，在相等時間內(nèi)通過的弧長之比必：SB=4：3,

轉(zhuǎn)過的圓心角之比（PA:（PB=3:2o那么以下說法中正確的選項是（）

A.它們的線速度之比以：VB=4：3

B.它們的角速度之比:（OB=2：3

C.它們的周期之比TA：TB=3:2

D.它們的向心加速度之比領(lǐng)：在=3：2

解析：選AA、3兩質(zhì)點分別做勻速圓周運動，假設(shè)在相等時間內(nèi)它們通過的弧長之

As

比為SA:SB=4:3,依據(jù)公式線速度之比為VA:Ub=4：3,故A正確；通過的圓

心角之比他：（PB=3:2,依據(jù)公式3=角速度之比為3?2,故B錯誤；由公式T=。,

周期之比為TA：TB=2：3,故C錯誤；依據(jù)a=co%可知aA：aB=2：1,故D錯誤。

二、易錯題畬B月

7.如圖4所示，將完全相同的兩個小球A、B,用長L=0.8m的細繩懸于以u=4m/s

向右勻速運動的小車頂部，兩球與小車前后壁接觸，由于某種緣由，小車突然停止運動，

此時懸線的拉力之比FB：FA為@取10m/s2）（）

B.1：2

C.1：3D.1：4

解析：選C小車突然停止，3球受到的拉力外仍舊等于小球的重力，A球票做圓周

運動，由牛頓其次定律得尸一醒=機，解得尸機所以：：正確。

47L4=3g,FBFA=13,C

8.（多項選擇）如圖5所示，長為L的懸線固定在。點，在。點正下方有一釘子C,0C

距離為寺，把懸線另一端的小球機拉到跟懸點在同一水平面上無初速度釋放，小球運動到懸

點正下方時懸線遇到釘子，那么小球的（）

圖5

A.線速度突然增大為原來的2倍

B.角速度突然增大為原來的2倍

C.向心加速度突然增大為原來的2倍

D.懸線拉力突然增大為原來的2倍

解析：選BC懸線與釘子碰撞前后，線的拉力始終與小球運動方向垂直，小球的線速

7）7;2

度不變，A錯；當半徑減小時，由知①變大為原來的2倍，B對；再由。=不知向心

加速度突然增大為原來的2倍，C對；而在最低點方一故遇到釘子后合力變?yōu)樵?/p>

來的2倍，懸線拉力變大，但不是原來的2倍，D錯。

三、能力題畬通

9.如圖6所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度。轉(zhuǎn)動，

盤面上離轉(zhuǎn)軸距離2.5m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止。物體與盤面間的動摩擦因

數(shù)為坐（設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力），盤面與水平面的夾角為30。，g取10m/s2。那么

的最大值是（）

圖6

A.^/5rad/sB?M§rad/s

C.1.0rad/sD.0.5rad/s

解析：選C物體隨圓盤做圓周運動，運動到最低點時最簡單滑動，因此物體在最低

點且剛好要滑動時的轉(zhuǎn)動角速度為最大值，這時，依據(jù)牛頓其次定律可知，fimgcos30°-

mgsin30°=/wra2,求得s=L0rad/s,C項正確，A、B、D項錯誤。

10.如圖7所示，倒置的光滑圓錐面內(nèi)側(cè)，有質(zhì)量相同的兩個小玻璃球A、B,沿錐面在

水平面內(nèi)做勻速圓周運動，關(guān)于A、B兩球的角速度、線速度和向心加速度正確的說法是

)

A.它們的角速度相等/4

B.它們的線速度。4＜加

C.它們的向心加速度相等

D.A球的向心加速度大于5球的向心加速度

解析：選C對A、3兩球分別受力分析，如下圖。

由圖可知

尸合=方合'=mgtan0

依據(jù)向心力公式有

V2

mgtan0=ma=m(ozR=nr^

解得

?=gtan0

v=yjgRtsin0

gtan，

(O=

由于A球轉(zhuǎn)動半徑較大，故A球的線速度較大，角速度較??；兩球的向心加速度一樣

大，應(yīng)選C。

11.如圖8所示，水平長桿43繞過B端的豎直軸OO'勻速轉(zhuǎn)動，在桿上套有一個質(zhì)量

帆=1kg的圓環(huán)，假設(shè)圓環(huán)與水平桿間的動摩擦因數(shù)4=0.5,且假設(shè)最大靜摩擦力與滑動摩

擦力大小相等（g取10m/s2）,求：

圖8

(1)當桿轉(zhuǎn)動的角速度(o=2rad/s時，圓環(huán)隨桿轉(zhuǎn)動的最大半徑為多大？

(2)假如水平桿轉(zhuǎn)動的角速度降為=1.5rad/s,圓環(huán)能否相對于桿靜止在原位置，此

時它所受的摩擦力有多大？

解析：(1)圓環(huán)在水平面內(nèi)做勻速圓周運動的向心力是桿施加給它的靜摩擦力供應(yīng)的，

那么最大向心力歹向=“〃喑，代入公式歹向=nzRmax(y2,得&1ax=%,代入數(shù)據(jù)可得Rmax=

1.25mo

(2)當水平桿轉(zhuǎn)動的角速度降為1.5rad/s時，圓環(huán)所需的向心力減小，那么圓環(huán)所受的

靜摩擦力隨之減小，不會相對于桿滑動，故圓環(huán)相對于桿仍靜止在原來的位置，此時的靜

摩擦力片機Rnax。'2仁2.81N。

答案：(1)1.25m(2)能2.81N

12.如圖9所示，用一根長為/=1m的細線，一端系一質(zhì)量為機=1kg的小球(可視為

質(zhì)點),另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角，=37。，當小球在水平面內(nèi)

繞錐體的軸做勻速圓周運動的角速度為。時，細線的張力為兀(g取10m/s2,結(jié)果可用根

式表示)求：

(1)假設(shè)要小球離開錐面，那么小球的角速度硒至少為多大？

(2)假設(shè)細線與豎直方向的夾角為60。，那么小球的角速度少為多大？

解析：⑴假設(shè)要小球剛好離開錐面，那么小球受到重力和細線拉力，小球做勻X

速圓周運動的軌跡圓在水平面上，故向心力水平。

在水平方向運用牛頓其次定律及向心力公式得：mgtan0=mcoo2lsin0

解得：°°2=舟，即°°='/高=煙rad/s。

(2)同理，當細線與豎直方向成60°角時，由牛頓其次定律及向心力公式有：

mgtanO=m(or2Zsin0

解得：co'2=且即s'=、]Q=2乖rad/so

/COS夕\]/cos0V

答案：(1)M12.5rad/s(2)2^5rad/s

微專題培優(yōu)(一|圓周運動的實例芬橋

火車轉(zhuǎn)彎問題

1.火車車輪的特點：火車的車輪有凸出的輪緣，火車在鐵軌上運行時，車輪與鐵軌有

水平與豎直兩個接觸面，這種結(jié)構(gòu)特點，主要是防止火車運行時脫軌，如圖1所示。

圖1

2.圓周平面的特點：彎道處外軌高于內(nèi)軌，但火車在行駛過程中，重心高度不變，即

火車的重心軌跡在同一水平面內(nèi)，火車的向心加速度和向心力均沿水平面指向圓心。

3.向心力的來源分析：火車速度適宜時，火車受重力和支持力作用，火車轉(zhuǎn)彎所需的

向心力完全由重力和支持力的合力供應(yīng)，合力沿水平方向，大小/=/ngtane。

圖2

4.規(guī)定速度分析：假設(shè)火車轉(zhuǎn)彎時只受重力和支持力作用，不受軌道壓力，那么mgtan

0—nr^-,可得vo=NgRtan9。(R為彎道半徑，。為軌道所在平面與水平面的夾角，如為轉(zhuǎn)

彎處的規(guī)定速度)

5.軌道壓力分析

(1)當火車行駛速度。等于規(guī)定速度。。時，所需向心力僅由重力和彈力的合力供應(yīng)，此

時火車對內(nèi)外軌道無擠壓作用。

(2)當火車行駛速度v與規(guī)定速度如不相等時，火車所需向心力不再僅由重力和彈力的

合力供應(yīng)，此時內(nèi)外軌道對火車輪緣有擠壓作用，詳細狀況如下。

①當火車行駛速度。＞如時，外軌道對輪緣有側(cè)壓力。

②當火車行駛速度。＜加時，內(nèi)軌道對輪緣有側(cè)壓力。

［典例］有一列重為100t的火車，以72km/h的速率勻速通過一個內(nèi)外軌一樣高的彎

道，軌道半徑為400m。(g取10m/s2)

⑴試計算鐵軌受到的側(cè)壓力大小；

⑵假設(shè)要使火車以此速率通過彎道，且使鐵軌受到的側(cè)壓力為零，我們可以適當傾斜

路基，試計算路基傾斜角度。的正切值。

［審題指導(dǎo)］

(1)問中，外軌對輪緣的側(cè)壓力供應(yīng)火車轉(zhuǎn)彎所需要的向心力。

(2)問中，重力和鐵軌對火車的支持力的合力供應(yīng)火車轉(zhuǎn)彎的向心力。

［解析］(1)0=72km/h=20m/s,外軌對輪緣的側(cè)壓力供應(yīng)火車轉(zhuǎn)彎所需要的向心力,

所以有：

v2105X202

S

F^=m—=40QN=1X1ON

由牛頓第三定律可知鐵軌受到的側(cè)壓力大小等于1X105N。

(2)火車過彎道，重力和鐵軌對火車的支持力的合力正好供應(yīng)向心力，

V2

如下圖，那么mgtan0=m~o

由此可得tan0=—=Q.lo

［答案］(1)105

火車轉(zhuǎn)彎問題的解題策略

(1)對火車轉(zhuǎn)彎問題肯定要搞清合力的方向，指向圓心方向的合外力供應(yīng)火車做圓周運

動的向心力，方向指向水平面內(nèi)的圓心。

(2)彎道兩軌在同一水平面上時，向心力由外軌對輪緣的擠壓力供應(yīng)。

(3)當外軌高于內(nèi)軌時，向心力由火車的重力和鐵軌的支持力以及內(nèi)、外軌對輪緣的擠

壓力的合力供應(yīng)，這還與火車的速度大小有關(guān)。

［強化訓(xùn)練］

(多項選擇)鐵路轉(zhuǎn)彎處的彎道半徑r是依據(jù)地形打算的。彎道處要求外軌比內(nèi)軌高，其

內(nèi)外軌高度差h的設(shè)計不僅與r有關(guān)，還與火車在彎道上的行駛速率。有關(guān)。以下說法正

確的選項是()

A.?？隙〞r，r越小那么要求人越大

B.?？隙〞r，r越大那么要求“越大

C.r肯定時，。越小那么要求〃越大

D.r肯定時，。越大那么要求人越大

或

解析：選AD設(shè)軌道平面與水平方向的夾角為，，由/ngtan夕=町"，得tan夕=1；

又由于tan，gsin所以)="?？梢娂嚎隙〞r，r越大，入越小，故A正確，B錯誤；

當r肯定時，。越大，ft越大,故C錯誤，D正確。

實例二汽車過拱形橋

汽車過凸橋與汽車過凹橋的比照分析

汽車過凸橋汽車過凹橋

N

N

受力

分析

mg

mg

牛頓第V2V2

mg—N=nr^N—mg=nr^

二定律

牛頓第V2V2

Fs=N=mg-nrnF壓=N=帆g+帆五

三定律

。增大，尸底減?。划?。增大到痂時，

爭論。增大，F(xiàn)壓增大

尸壓=0

汽車過凸橋速度時,OvNWmg；當還時,N=0；當v>\［gR

說明

時，汽車將脫離橋面，發(fā)生危急

［典例］x103kg的汽車，行駛到拱形橋頂端時，汽車運動速度為10m/s；那么此時汽

車運動的向心加速度為多大？向心力大小為多大？汽車對橋面的壓力是多少？(取9=10

m/s2)

圖3

及21()2

［解析］汽車的向心加速度”=7=訪m/s2=2.5m/s2o

汽車所需的向心力F=mfl=X103X2.5X103N?

在橋的最高點，汽車的向心力是由重力和支持力的合力供應(yīng)，如下圖，依據(jù)牛頓其次

定律，F(xiàn)=ing-Ffi=ma,那么尸N=mg一機“X1。3義(io-2.5)x1。3N,依據(jù)牛頓第三定律,

3

汽車對橋的壓力Fa=FNX10N?

［答案］2.5m/s2X103NX103N

汽車過拱形橋問題的解題策略

(1)對汽車過拱形橋問題，首先要分清是凸形橋，還是凹形橋，由于兩者的向心力表達

式不同。

⑵拱形橋的半徑就是汽車做圓周運動的半徑。

（3）汽車不在拱形橋最高點或最低點的情形比擬簡單，不能直接用重力和支持力相減表

示向心力。

［強化訓(xùn)練］

1.一汽車通過拱形橋頂點時速度為10m/s,車對橋頂?shù)膲毫檐囍氐谋炯偃缫蛊?/p>

車在橋頂對橋面沒有壓力，車速至少為（）

A.15m/sB.20m/s

C.25m/sD.30m/s

3v21p2v'2

解析：選B當FN=^G時，由于G—F^=m—,所以於=丐7,當FN=0時，G=zn-丁,

所以/=2^=20m/So

2.飛機駕駛員最多可承受9倍的重力加速度帶來的影響，當飛機在豎直平面上沿圓弧

軌道俯沖時速度為5那么圓弧的最小半徑為（）

v2V2

A?TB.T-

9g8g

v2v2

C.z-D.一

7gg

解析：選B飛機在圓弧的最低點飛行時，駕駛員受到的支持力WN最大，駕駛員在此

點受到重力mg和向上的支持力外兩個力的作用，由向心力公式可得尸N—雄=根無，所以

當F^=9mg時，R=短,選項B正確。

實例三豎直平面內(nèi)的圓周運動

在豎直平面內(nèi)做圓周運動的物體，運動至軌道最高點時的受力狀況可分為兩類。一是

無支撐（如球與繩連接，沿內(nèi)軌道的“過山車”等），稱為“輕繩模型"；二是有支撐（如球

與桿連接，小球在彎管內(nèi)運動等），稱為“輕桿模型"。

2.兩類模型比照

輕繩模型輕桿模型

情景萩

8滑管明

圖示、J

、、--

彈力彈力可能向下，可能向上，也可能等于

彈力可能向下，也可能等于零

特征零

FN

受力卜~、

/V'、

mgmg"6J

示意圖mgmgmg

o1。o1。

力學(xué)V2V2

mg+FT=m~mg±F^=m—

方程

F=0,即mg=

臨界T

v2v=0,即廠向=0,此時FN=mg

特征m-9得

v=y［gr

物體能否過最高點的臨界點FN表現(xiàn)為拉力還是支持力的臨界點

的意義

［典例］長L=0.5m的輕桿，其一端連接著一個零件A,A的質(zhì)量m=2kg?，F(xiàn)讓A

在豎直平面內(nèi)繞。點做勻速圓周運動，如圖4所示。在A通過最高點時，求以下兩種狀況

下對桿的作用力(g取10m/s2)：

圖4

(1)4的速率為1m/s；

(2)4的速率為4m/so

［思路點撥］零件A在最高點時，桿對零件A的彈力和零件A的重力的合力供應(yīng)向心

力；桿對零件A可能供應(yīng)支持力，也可能供應(yīng)拉力。

［解析］設(shè)桿轉(zhuǎn)到最高點，輕桿對零件的作用力恰好為零時，零件的速度為內(nèi)，由mg

得vo=\［gL=y［5m/so

(1)當歷=1m/s<m時，輕桿對零件A有向上的支持力，由牛頓其次定律得mg一尸i=

V12

tnT

解得輕桿對零件的支持力Fi=16N

再由牛頓第三定律得，零件A對輕桿的壓力戶J=Fi=16No

(2)當02=4m/s>oo時，輕桿對零件A有向下的拉力，

同理有mg-\-F2=nr~j-

解得輕桿對零件的拉力/