河南省2025屆高三數(shù)學(xué)階段性測試試題七文含解析

PAGE21-河南省2025屆高三數(shù)學(xué)階段性測試試題（七）文（含解析）考生留意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.或【答案】D【解析】【分析】先解分式不等式得或，再依據(jù)集合運算即可.【詳解】因為或，，所以或．故選：D.【點睛】本題考查分式不等式的解法以及集合運算，是基礎(chǔ)題.2.若復(fù)數(shù)為實數(shù)，則正整數(shù)的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意可知只能為偶數(shù)，分別計算比較即可.【詳解】因為，，所以正整數(shù)的最小值為4．故選：B【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算，屬基礎(chǔ)題.3.已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的焦距為（）A.4 B.5 C.8 D.10【答案】D【解析】【分析】依據(jù)雙曲線方程和雙曲線的漸近線方程得，再依據(jù)計算即可解決.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，由雙曲線的漸近線方程為，可得，所以，．所以雙曲線的焦距為10．故選：D.【點睛】本題考查雙曲線的方程及性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.4.某地自2024年起，新高考科目設(shè)置采納“”模式，一般中學(xué)學(xué)生從高一上升二時將面臨著物理、歷史二選一的問題．該地，，三個學(xué)校高一的人數(shù)及高一學(xué)生選擇物理的狀況分別如圖（1）和圖（2）所示．為了解該地這三個學(xué)校學(xué)生選課的緣由，當(dāng)?shù)卣_定采納分層抽樣的方法抽取20%的學(xué)生進行調(diào)查，則學(xué)校抽取的選擇物理的學(xué)生人數(shù)為（）A.40 B.30 C.20 D.10【答案】C【解析】【分析】由題知抽取的學(xué)校人數(shù)為，其中選擇物理的學(xué)生占比，即可求解.【詳解】由題意得，抽取的學(xué)校人數(shù)為，其中選擇物理的學(xué)生占比，故學(xué)校抽取的選擇物理的學(xué)生人數(shù)為人．故選：C.【點睛】本題考查分層抽樣，是基礎(chǔ)題.5.若圓臺的母線與高的夾角為，且上、下底面半徑之差為2，則該圓臺的高為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】干脆計算即可.【詳解】設(shè)上、下底面半徑分別為，，圓臺高為，由題可知：，即，所以．故選：D【點睛】本題考查圓臺的幾何特征，屬基礎(chǔ)題.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】列出每一次循環(huán)，直到計數(shù)變量滿意退出循環(huán).【詳解】第一次循環(huán)：；其次次循環(huán)：；第三次循環(huán)：，退出循環(huán)，輸出的為.故選：B.【點睛】本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果，要留意在哪一步退出循環(huán)，是一道簡單題.7.函數(shù)在的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由可解除選項C、D；再由可解除選項A.【詳解】因為，故為奇函數(shù)，解除C、D；又，解除A.故選：B.【點睛】本題考查依據(jù)函數(shù)解析式選出函數(shù)圖象的問題，在做這類題時，一般要利用函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、特別點的函數(shù)值等，是一道基礎(chǔ)題.8.若，滿意約束條件，則的最大值為（）A.21 B.16 C.13 D.11【答案】B【解析】【分析】首先畫出可行域，確定最優(yōu)點，并求最大值.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，聯(lián)立解得．視察可知，當(dāng)直線過點時，有最大值16．故選：B【點睛】本題考查線性規(guī)劃，重點考查數(shù)形結(jié)合分析問題，屬于基礎(chǔ)題型.9.已知函數(shù)，則有關(guān)函數(shù)的說法正確的是（）A.的圖象關(guān)于點對稱 B.的最小正周期為C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.的最大值為【答案】B【解析】【分析】先利用三角恒等變換化簡函數(shù)得，再依據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解即可.詳解】由題可知．令，可得．當(dāng)時，，故函數(shù)的圖象不關(guān)于點對稱，也不關(guān)于直線對稱，故A，C錯誤；函數(shù)的最小正周期，故B正確；函數(shù)的最大值為1，故D錯誤；故選：B.【點睛】本題考查三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題.10.若角，，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】逆用兩角差的正弦公式化簡所給等式可推出之間的關(guān)系，再利用二倍角的余弦公式可求得，依據(jù)的范圍即可確定的值.【詳解】由題意可得．∵，，∴，則，∴，又，解得，又，∴．故選：A【點睛】本題考查兩角和與差的正弦公式、二倍角的余弦公式，屬于中檔題.11.已知，是函數(shù)的兩個極值點，則的最小值為（）A. B.9 C.5 D.【答案】A【解析】【分析】計算，可得，且，，然后結(jié)合基本不等式計算可得結(jié)果.【詳解】由題可知．因，為函數(shù)的兩個極值點，所以，，故，，又，則且所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取得最小值．此時，符合條件．故選：A【點睛】本題考查函數(shù)的極值點的性質(zhì)以及利用基本不等式求最值，屬基礎(chǔ)題.12.已知函數(shù)，若，恒成立，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意畫出和的大致圖象，視察可知，若，恒成立，則函數(shù)和在上有共同的零點，求解即可.【詳解】令，，畫出和的大致圖象，如圖所示．視察可知，若，恒成立，則函數(shù)和在上有共同的零點，因為函數(shù)的零點為，所以當(dāng)函數(shù)和有共同的零點時，恒成立，于是，解得．故選：C.【點睛】本題考查不等式恒成立問題，是中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，．若，則實數(shù)的值為__________．【答案】【解析】【分析】先計算出，再依據(jù)向量垂直時數(shù)量積為零求解即可.【詳解】由題意知．若，則，解得．故答案為：.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積以及向量的坐標(biāo)表示，是中檔題.14.設(shè)是正項等比數(shù)列的前項和，，則的公比_________．【答案】1【解析】【分析】將變形為，再利用等比數(shù)列性質(zhì)求解即可.【詳解】由，得，即，所以，因為是正項等比數(shù)列，所以，，所以．故答案為：.【點睛】本題考查等比數(shù)列前項和公式以及等比數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.15.在中，，，邊上的中線，則的面積為_________．【答案】【解析】【分析】利用，干脆依據(jù)余弦定理以及面積公式計算即可.【詳解】設(shè)，利用，可得，解得或（舍）所以，，．所以．所以．故答案為：【點睛】本題考查余弦定理、三角形面積公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系，著重考查計算，屬基礎(chǔ)題.16.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過焦點的直線與交于，兩點，，，垂足分別為，，若，則________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)拋物線的性質(zhì)可知，，進一步可知，然后運用勾股定理可得，最終利用等面積法可求得【詳解】如圖，設(shè)的準(zhǔn)線與軸的交點為．由拋物線的性質(zhì)知，，，因為軸，所以，，所以．在中，由勾股定理得，所以，所以．故答案為：【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)和直線與拋物線的位置關(guān)系，本題關(guān)鍵得到，屬中檔題.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第17-21題為必考題，每個試題考生都必需作答第22，23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17.已知等差數(shù)列的前項和為，且，．（Ⅰ）求、；（Ⅱ）設(shè)，的前項和為，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）．；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依據(jù)題意得出關(guān)于和的方程組，解出這兩個量的值，即可得出和；（Ⅱ）求得，利用裂項相消法求得，可得出，由此可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為．由題意可得，解得，所以，；（Ⅱ）由，得．所以．因為，所以，若恒成立，需．故的取值范圍為．【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式以及求和公式的求解，同時也考查了利用數(shù)列不等式恒成立求參數(shù)，考查裂項相消法的應(yīng)用，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.18.如圖，在四棱錐中，是邊長為4的正方形的中心，平面，，分別為，的中點．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，求點到平面的距離．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（1）先證明平面，再證明平面平面；（2）利用幾何關(guān)系和等體積法求解即可.【詳解】（Ⅰ）因為四邊形是正方形，所以．因為平面，平面，所以．因為平面，平面，且，所以平面．所以平面平面．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，為點到平面的高．所以．連接．因為平面，平面，所以．因為，，所以．又因，所以．在中，，，所以．設(shè)點到平面的距離為，由，得，所以．所以點到平面的距離為．【點睛】本題考查空間幾何體的線面關(guān)系以及等體積法求點到平面的距離，是中檔題.19.某動漫影視制作公司長期堅持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動漫題材，創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動漫影視作品，獲得市場和廣闊觀眾的一樣好評，同時也為公司贏得豐厚的利潤.該公司2013年至2024年的年利潤關(guān)于年份代號的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表(已知該公司的年利潤與年份代號線性相關(guān)):年份2013201420152024202420242024年份代號1234567年利潤(單位:億元)（Ⅰ）求關(guān)于的線性回來方程，并預(yù)料該公司2024年(年份代號記為)的年利潤；（Ⅱ）當(dāng)統(tǒng)計表中某年年利潤的實際值大于由中線性回來方程計算出該年利潤的估計值時，稱該年為級利潤年，否則稱為級利潤年.將中預(yù)料的該公司2024年的年利潤視作該年利潤的實際值，現(xiàn)從2015年至2024年這年中隨機抽取年，求恰有年為級利潤年的概率.參考公式:【答案】（Ⅰ），63億元；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）依據(jù)公式計算即可；（II）被評為級利潤年的有年，分別記為，評為級利潤年的有年，分別記為，采納枚舉法列出從2015至2024年中隨機抽取年的總的狀況以及恰有一年為級利潤年的狀況，再利用古典概型的概率計算公式計算即可.【詳解】依據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算可得又關(guān)于的線性回來方程為.將代入，(億元).該公司2024年的年利潤的預(yù)料值為億元.由可知2015年至2024年的年利潤的估計值分別為(單位:億元)，其中實際利潤大于相應(yīng)估計值的有年.故這年中，被評為級利潤年有年，分別記為；評為級利潤年的有年，分別記為從2015至2024年中隨機抽取年，總的狀況分別為:，共計種狀況.其中恰有一年為級利潤年的狀況分別為:，共有種狀況.記“從2015至2024年這年的年利潤中隨機抽取年，恰有一年為級利潤年”的概率為，故所求概率【點睛】本題考查線性回來方程的應(yīng)用及古典概型的概率計算問題，考查學(xué)生運算求解實力，是一道簡單題.20.橢圓的左、右焦點分別為，過點且斜率為的直線與橢圓相交于兩點.已知當(dāng)時，，且的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)當(dāng)時，求過點且圓心在軸上的圓的方程.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)由當(dāng)時，，且的面積為，得到，進而求出，求解即可得到，，從而可得橢圓方程；(2)當(dāng)時，，代入橢圓方程，求出點坐標(biāo)，進而可得線段的中垂線方程，從而可求出所求圓心和半徑，得到所求圓的方程.【詳解】(1)由已知得：當(dāng)時，，此時，所以，，所以橢圓的方程為.(2)當(dāng)時，，代入橢圓的方程得：，所以，，所以，線段的中點坐標(biāo)，線段的中垂線方程為，令，即圓心坐標(biāo)為，所以半徑，因此所求圓的方程為：.【點睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線方程，通常須要聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合題中條件求解，屬于常考題型.21.已知函數(shù).（1）探討函數(shù)單調(diào)性；（2）設(shè)，證明：曲線沒有經(jīng)過坐標(biāo)原點的切線.【答案】（1）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先求得導(dǎo)函數(shù),依據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可推斷單調(diào)區(qū)間.（2）先探討過原點的切線斜率是否存在.當(dāng)斜率不存在時,切線為y軸,分析可知不成立.當(dāng)斜率存在時,可設(shè)出切線方程和切點坐標(biāo).建立方程組,推斷方程組無解,即可證明不存在這樣的切線.【詳解】（1）定義域為,.當(dāng)時,,當(dāng)時,.所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.（2）因為定義域為,所以軸不是曲線的切線.當(dāng)經(jīng)過坐標(biāo)原點的直線不是軸時,設(shè)是曲線的切線,切點是.因為,所以.消去得,即.由（1）知在處取得最小值,則,所以無解.因此曲線沒有經(jīng)過坐標(biāo)原點的切線.【點睛】本題考查依據(jù)導(dǎo)函數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,利用導(dǎo)數(shù)探討曲線的切線方程,利用導(dǎo)數(shù)探討不等式成立問題,屬于中檔題.（二）選考題：共10分，請考生在第22，23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計分.22.在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與交于、兩點，中點為，的垂直平分線交于、.以為坐標(biāo)原點，極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系.（1）求的直角坐標(biāo)方程與點的直角坐標(biāo)；（2）求證：.【答案】（1），；（2）見解析.【解析】【分析】（1）將曲線的極坐標(biāo)方程變形為