江蘇省決勝新高考2023屆高三年級下冊5月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

決勝新高考——2023屆高三年級大聯(lián)考

數(shù)學(xué)

本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試時間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.將條形碼橫貼

在答題卡“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相

應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按

以上要求作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1,若復(fù)數(shù)(2T)z=3+4i,則Z+Z=()

2

A.3B.4C.-

5

2.已知集合A=B=,則AB=()

A.^O<x<VTo|B.C.1

D.x|0<x<—

3.把分別標(biāo)有1號、2號、3號、4號的4個不同的小球放入分別標(biāo)有1號、2號、3號的3個盒子中，沒

有空盒子且任意一個小球都不能放入標(biāo)有相同標(biāo)號的盒子中，則不同的放球方法種數(shù)為()

A.8B.12C.16D.20

4.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,且S,=4S2，4"=2。“+1.設(shè)2=%,則

1111

--------1----------1----------FH----------=()

b\b?b2b3b3b44瓦。

91899

A—B.—C.—D.—

37371938

5.蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾(J.Napier,1550-1617)發(fā)明的對數(shù)及對數(shù)表(如下表)，為當(dāng)時的天文學(xué)家處理

“大數(shù)”的計(jì)算大大縮短了時間.即就是任何一個正實(shí)數(shù)N可以表示成N=axlO"(1<?<10,?eZ),貝U

lgN=〃+lga(OKlgavl),這樣我們可以知道N的位數(shù).己知正整數(shù)AT】是35位數(shù)，則知的值為

()

N23451112131415

lgN0.300480.600701.041.081.111.15118

A.3B.12C.13D.14

6.已知圓O：d+),2=〃2+〃與雙曲線C：二一的右支交于點(diǎn)A,B,若

ab~

7

cosZAOB=——,則C的離心率為()

25

A.2B.y[5C.石D.不

aB

7.若tancrtan尸,貝iJcosa+cos/?=()

A.0B.gC.1v

10e

8.已知a=eR/，b^\n-,c=0.1°」，則()

A.h<c<aB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.某企業(yè)為普及法制教育，對本單位1500名員工開展了一次法律知識競賽答題活動.現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100

人的得分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則根據(jù)該直方圖，下列結(jié)論正確的是

A.估計(jì)該企業(yè)16%的員工得分在區(qū)間［80,90)內(nèi)B.該企業(yè)員工競賽得分不小于90的人數(shù)估計(jì)為195

人

C.估計(jì)該企業(yè)員工的平均競賽得分約為74.5D.該企業(yè)員工競賽得分的第75百分位數(shù)約為83

10.已知函數(shù)/（x）=sins-百cos5（0>0）的最小正周期為兀，則（）

A.佃=&

B.直線》=一己是/（X）圖象的一條對稱軸

IJTJTA

c./（x）在（片,萬）上單調(diào)遞增

D.將“X）的圖象上所有的點(diǎn)向右平移g個單位長度，可得到y(tǒng)=2sin2x的圖象

6

11.定義在R上的函數(shù)/（4）滿足〃l+x）+〃l-x）=6,/（2+x）=〃2-x）+2x,貝!!（）

A..f（l+x）的圖象關(guān)于（0,3）對稱B.4是〃x）的一個周期

21

C."1）=3D.￡/（/）=273

/=1

12.已知拋物線C：y2=4x焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線為/,經(jīng)過點(diǎn)尸的直線與拋物線。相交A,8兩點(diǎn)，A,

B在/上的射影分別為A，用，/與x軸相交于點(diǎn)M,則下列說法正確的是（）

A.\FLBXFB.AMBM>0

C.若AF=2FB，則|A@=3D.若AQ=QM,,/=2畋|,則

IAFI-IBF|=4

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

22

13.已知橢圓C：3+5=1的上頂點(diǎn)為A,兩個焦點(diǎn)為耳，尼?過6且垂直于AK的直線與。交于

兩點(diǎn)，則VADE的周長為..

14.若曲線y=xlnx有兩條過（e,a）的切線，則“的范圍是.

15.在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)片（％,y）,鳥（工2，必）間的“曼哈頓距離“定義為

忸剛=|x「xj+|x,則平面內(nèi)與兩定點(diǎn)耳（—1,0）和瑪（1,0）的“曼哈頓距離”之和等于4的點(diǎn)的軌跡

圍成的面積為.

7T

16.已知菱形48。的邊長為1,44。。=一，將人"心沿4c翻折，當(dāng)三棱錐?！狝6c表面積最大時，

3

其內(nèi)切球表面積為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在-A8c中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,己知（/?一J^c）sin8+csinC=asinA.

（1）求角A的大??；

7T

（2）若3AO=AC，NDBC=3,C=6,求,ABC的面積.

18.設(shè)數(shù)列｛。,,｝的前“項(xiàng)和為S”，且滿足Sn=2%+3.

（1）求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

（2）證明：數(shù)列｛a,,｝中的任意不同的三項(xiàng)均不能構(gòu)成等差數(shù)列.

19.在四棱錐。一ABC。中，平面平面A8C￡>,AB//CD,AB=2，AD=ZX?=CB=1,

（1）設(shè)平面BIB與平面PCQ的交線為/,求證：///平面A8CD；

（2）點(diǎn)E在棱尸8上，直線AE與平面48co所成角為5,求點(diǎn)E到平面PCD的距離.

6

20.為了進(jìn)一步深入開展打造“書香校園”活動，讓讀書成為每位師生的習(xí)慣，努力培育師生人文素養(yǎng)，讓

閱讀成為學(xué)校、家庭、社會的一種良好風(fēng)氣，現(xiàn)對我校60名師生閱讀喜好進(jìn)行調(diào)查，其中教師與學(xué)生的

人數(shù)之比為1:2,教師中喜歡讀文學(xué)類的人數(shù)占學(xué)生中喜歡文學(xué)類的占9,得到下面的列聯(lián)表：

NA

教師學(xué)生合計(jì)

文學(xué)類

理工類

合計(jì)

（1）請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，判斷數(shù)據(jù)能否有90%的把握認(rèn)為教師與學(xué)生的閱讀喜好存在差異.

（2）若從學(xué)校隨機(jī)抽取11人，用樣本的頻率估計(jì)概率，預(yù)測11人中喜歡閱讀理工類的人數(shù)最有可能是多

少？

n(ad-be?

附：K2其中力=a+〃+c+d.

(a+0)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

P(K2>k)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

21.設(shè)拋物線C：J/=2尤的焦點(diǎn)為F,P是拋物線外一點(diǎn)，直線雨，尸8與拋物線C切于4,B兩點(diǎn)，過

點(diǎn)尸的直線交拋物線C于。，E兩點(diǎn)，直線A8與。E交于點(diǎn)Q.

⑴若48過焦點(diǎn)F,且|何|砥|=4,求直線AB的傾斜角；

PQ|+〔PQ|的佰

(2)求兩卡網(wǎng)的值.

?X+4]

22.已知函數(shù)/(x)=----,g(x)--ax3—x2+3x.

er3

(1)求曲線y=/(x)—g(x)在尤=0處的切線方程；

⑵若r(x)+g'(x)?0,求〃的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1,若復(fù)數(shù)(2T)z=3+4i,則z+z=()

24

A.3B.4C.-D.

5

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解z,再求其共期復(fù)數(shù)得出結(jié)果.

3+4i(3+4i)(2+i)211

【詳解】由QT)Z=3+4I得z=o==

-211.-4

z=—一--1,所rrr以Iz+z=1.

故選：D.

2.已知集合4=(H電工<^1,S={x|5x<16},則AB=()

|x|0<

A.|x|0<x<>/l()jB.|x|x<Vl()|C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】先化簡集合A，B,再利用集合的交集運(yùn)算求解.

［詳解］解：因?yàn)榧?=1'坨*<3}=卜|()<x<B={x|5x<16)=|x|x<y|,

所以AB={x|0<x<V10},

故選:A

3.把分別標(biāo)有1號、2號、3號、4號的4個不同的小球放入分別標(biāo)有1號、2號、3號的3個盒子中，沒

有空盒子且任意一個小球都不能放入標(biāo)有相同標(biāo)號的盒子中，則不同的放球方法種數(shù)為()

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【解析】

【分析】由分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】4個小球放入3個盒子，沒有空盒子，則有兩個小球放入同一個盒子，因此分為兩類：

第一類：4號小球單獨(dú)放入一個盒子，分2步：

第1步，從1號、2號、3號3個小球中，選出2個小球，放入與未被選中小球標(biāo)號相同的盒子中，有C；

種方法；

第2步，將未被選中的小球和4號小球，分別放入另外2個盒子中，有A；種方法.

4號小球單獨(dú)放入一個盒子，有C；A；=3x2=6種方法.

例如：第1步，選出2號、3號小球放入1號盒；第2步，1號小球放入2號盒，4號小球放入3號盒.

第二類：4號小球與另一小球共同放入一個盒子，分2步：

第1步，從1號、2號、3號3個小球中，選出1個小球，有C；種方法；

第2步，將4號小球與第1步選出的小球放入與選出小球標(biāo)號不同的盒子中，有C；種方法；

第3步，剩余的2個小球，其中1個，與剩余的兩個空盒其中的1個標(biāo)號相同，只有1方法放置.

；?4號小球與另一小球共同放入一個盒子，有C；C；x1=3x2=6種方法.

例如：第1步，選出1號球；第2步，將1號、4號小球放入2號盒；第3步，2號小球放入3號盒，3號小

球放入1號盒.

...沒有空盒子且任意一個小球都不能放入標(biāo)有相同標(biāo)號的盒子中，則不同的放球方法種數(shù)為6+6=12種.

故選：B.

4.已知等差數(shù)列{%}的前”項(xiàng)和為S“，且S?=4S2，4"=2?！?1.設(shè)瓦=。4，則

1111

--------1----------FhH=()

力我b2b3b3b4--------bgb1。

189

B.——D.

3738

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式,依據(jù)題意列方程組，解方程組解出4和d,寫出通項(xiàng)

公式，最后應(yīng)用應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求和即可.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為4,公差為d.

由S4=4s2,+1,得

4a,+6d=84+4dfa=1

J解得，

q+(2〃-1”=2q+2(〃-l)d+1[d=2

因此凡=2n-l,HeN*.

hn=旬=2q,-1=2(2"-1)-1=4〃-3,

1_]_\_(_J_______1_

b〃b〃+i(4〃—3)(4〃+l)414〃—34n+l

9

所以----1------1------F---H-----

結(jié)2b2b3b3b4bgbw37

故選:A.

5.蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾(J.Napier,1550-1617)發(fā)明的對數(shù)及對數(shù)表(如下表)，為當(dāng)時的天文學(xué)家處理

“大數(shù)”的計(jì)算大大縮短了時間.即就是任何一個正實(shí)數(shù)N可以表示成N=axlO"(1<a<10,neZ),則

lg/V=/?+lga(0<lg?<l),這樣我們可以知道N的位數(shù).已知正整數(shù)加31是35位數(shù)，則M的值為

()

N23451112131415

IgN0.300.480.600.701.041.081.111.151.18

A.3B.12C.13D.14

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，列出不等式，再取常用對數(shù)即可判斷作答.

3435

【詳解】依題意，1。34WA/3I<1035,兩邊取常用對數(shù)得34W311gM<35,于是即

1.09<lgA/<1.13,

所以M=13.

故選：c

6.已知圓。：f+）2=〃2與雙曲線0：二一六=1（。＞0,。＞0）的右支交于點(diǎn)A,B,若

7

cosZAOB=——，則C的離心率為（）

A.2B.逐C.垂＞D.不

【答案】B

【解析】

X2+y2=/+/

【分析】由y2,解得點(diǎn)48的縱坐標(biāo)，再由點(diǎn)A,B關(guān)于X軸對稱，得到|A8|,然后在

KU

-A06中，利用余弦定理求解.

f+y2=々2+

，22

【詳解】解：由IfV2，解得y=士匚二

------------=1C

U2b2

因?yàn)辄c(diǎn)A,B關(guān)于x軸對稱,

在中,

24(2Y

由余弦定理得|OA『+|O8「-|4砰7,

cos/A08=

2|O4|.|OB|2c225

22

日n2(c-aX7印1114

即1_______L=__L,即1一一r=-,

c225e-5

解得e?=5，所以6=1^或6=—石(舍去)，

故選：B

aB

7.—貝iJcosa+cos/?=()

D.B

A.0B.y

2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意和正弦的倍角公式，化簡得到4siM4sin22=cosacos￡,再由余弦的倍角公式，得

22

到4$而45五2=(1-25狂4)(1一25抽22),令工=5泊24,〉=5皿22,求得X+y=],結(jié)合

2222222

cos?+cos^=l-2sin2-^+l-2sin2，，即可求解.

aB

【詳解】解：由tana?tan/?Tan5，tanG=1，

-re..Q.a.BaP

可得sinasinpsinysiny=cosacospocosycosy,

又由正弦的倍角公式，可得4sin?—cos—sin2—cos—=cosacos/?cos—cos—,

222222

即4sin?微sin2§=cosacos尸=(1—2sin2gq_2sin2爭，

4"%=sin2—,y=sin2—,則4Ay=(l_2x)(l—2y)=]_2x_2y+4d，解得x+y=1，

222

所以cosa+cos/?=1-2sin23+1-2sin2，=2-2(x+y)=1.

故選：C.

10e

8.已知a=e如,=In—,c=0.10J.則()

A.b<c<aB.c<b<aC.c<a<hD.a<c<b

【答案】B

【解析】

【分析】由8=ln華=ln號1+1=—ln(l+0.1)+l,構(gòu)造函數(shù)〃力=b+111(1+%)-l(x>0),

g(x)=ex-l-x(x>0),利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，可得函數(shù)“X)=e-*+In(1+x)—1在(0,+。)上單調(diào)

遞增，進(jìn)而得到/(。/)>/(())=0,可得a>b；構(gòu)造函數(shù)〃(x)=lnx—x+l(x>l),利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)

性，可得lnx<x-l(x>l),進(jìn)而得到。=—lnl.l+l>0.9,由

O.910=(0.92)5=0.815>0.85=0.32768>0.1,進(jìn)而得到b>c,進(jìn)而求解.

【詳解】由〃=ln殿=ln—!—+l=-ln(l+0.1)+l.

111+0.1''

設(shè)/(x)=e~x4-ln(l+x)-l(x>0),

則/'(X)=_e-*+4J,

1+xe1+x

設(shè)g(x)=e*-l-x(x>。)，

則g'(x)=e*T>0,

所以函數(shù)8(月=占一1一%在(0,+。)上單調(diào)遞增，

所以g(x)>g(O)=O,即e'-l-x>0，

即e'>1+x>0，即一7<----，

e1+x

所以尸(力=-!+左〉0,

則函數(shù)/(x)=e-*+In(1+x)-1在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(0.1)>/(0)=0,即e{i+ln(l+0.1)—1>0,

即e山」>一出(1+0.1)+1,即“>〃；

設(shè)〃(x)=lnx—x+l(x>l),

1]—x

則u(x\=-1=——<0，

XX

所以函數(shù)〃(x)=lnx—x+l在(1,+8)上單調(diào)遞減，

則”(x)v"(1)=。，BpInx—x+1<0,

即即InLlvLl—1=0.1,

所以b=—lnl.l+l>0.9,

又09°=(0.92￥=0.815>0.85=0.32768>0.1,

所以0.9>。1°」，即6>c,

所以c<8<a.

故選：B.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：比較大小問題，常常根據(jù)：

(1)結(jié)合函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行比較；

(2)利用特殊值進(jìn)行估計(jì)，再進(jìn)行間接比較；

(3)根據(jù)結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，進(jìn)而判斷大小..

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.某企業(yè)為普及法制教育，對本單位1500名員工開展了一次法律知識競賽答題活動.現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100

人的得分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則根據(jù)該直方圖，下列結(jié)論正確的是

()

A.估計(jì)該企業(yè)16%的員工得分在區(qū)間［80,90)內(nèi)B.該企業(yè)員工競賽得分不小于90的人數(shù)估計(jì)為195

人

C.估計(jì)該企業(yè)員工的平均競賽得分約為74.5D.該企業(yè)員工競賽得分的第75百分位數(shù)約為83

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形面積之和為1求出x,即可判斷A,再求出得分在區(qū)間［90,100］

內(nèi)的頻率，即可判斷B,根據(jù)平均數(shù)公式判斷C,根據(jù)百分位數(shù)公式判斷D.

【詳解】由頻率分布直方圖可得(0.01+0.013+x+0.028+0.032)xl0=l,解得>0.017,

對于A：由頻率分布直方圖可知得分在區(qū)間［80,90)內(nèi)頻率為0.17,

即估計(jì)該企業(yè)17%的員工得分在區(qū)間［80,90)內(nèi)，故A錯誤；

對于B：得分在區(qū)間［90,100］內(nèi)的頻率為0.013x10=0.13,

故該企業(yè)員工競賽得分不小于90的人數(shù)估計(jì)為0.13x1500=195人，故B正確；

對于C：估計(jì)該企業(yè)員工的平均競賽得分約為

(0.01x55+0.028x65+0.032x75+0.017x85+0.013x95)x10=74.5,故C正確；

對于D：因?yàn)?0.01+0.028+0.032+0.017)x10=0.87>0.75,

故第75百分位數(shù)位于［80,90)之間，設(shè)為x,

則(0.01+0.028+0.032)x10+(x—80)x0.017=0.75，解得x《82.94,

故企業(yè)員工競賽得分的第75百分位數(shù)約為83,故D正確；

故選：BCD

10.已知函數(shù)/(x)=sintox-Gcosox(0>O)的最小正周期為兀，則()

B.直線％=是〃力圖象的一條對稱軸

7171

c.7(x)在上單調(diào)遞增

6,2

D.將/(X)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移5個單位長度，可得到y(tǒng)=2sin2x的圖象

6

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)輔助角公式和函數(shù)的最小正周期可得/(x)=2sin(2x-g],然后利用丁=4411(5+8)的

性質(zhì)可得.

71

【詳解】/(x)=sineyx-V3cos69x=2sincox——

3

,2兀

因/(x)取小正周期為兀，69〉0,故—=兀，得6y=2,

(0

故/(x)=2sin12尤-gj,

選項(xiàng)A：

/Q=2sin^2xy-y^=2sin^=V3,故A正確；

選項(xiàng)B：

/(x)=2sin|2x—四］的對稱軸為2x—至=2+E,kwZ,

\3)32

5兀lot

B|Jx=一十一ZeZ,

122

TT

當(dāng)左=-1時，了二一一,故B正確；

12

選項(xiàng)C：

ji111t

令---b2lai<2x---<—+2foi,ksZ,

232

,071,,,5兀..

得-----FkitKxW---Fkit,kwZ,

1212

兀5兀

故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為一6+&兀,二+&兀,keZ,

1212

兀5兀

當(dāng)攵=()時，/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為-7T，一，故C錯誤;

選項(xiàng)D：

71兀c.J2c

將/(x)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移，個單位長度，可得到y(tǒng)=2sin2卜=2sin12x—~I,

3

故D錯誤

故選：AB

11.定義在R上的函數(shù))(x)滿足“1+力+/。一力=6,1(2+力=/(2—％)+2無，則()

A.〃l+x)的圖象關(guān)于(0,3)對稱B.4是“X)的一個周期

21

C./⑴=3D.￡/(/)=273

/=1

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A,令f=l+x可得〃。+/(27)=6,即可得到“X)對稱性，對于B,令g(x)=/(x)-x,

即可得到4為g(x)的一個周期，從而得到了(x+4)=/(x)+4,對于C,令龍=0,對于D,結(jié)合前面的結(jié)

論，求出函數(shù)值即可.

【詳解】因?yàn)椤╨+x)+/(l_x)=6,即〃l+x)+/[2_(l+x)]=6,

令f=l+x,則/⑺+/(2T)=6,所以關(guān)于(1,3)對稱，

則+x)的圖象關(guān)于(0,3)對稱，故A正確；

因?yàn)?(2+x)=/(2-x)+2x,則/(2+x)-(2+x)=/(2-x)-(2-x),

令g(x)=〃x)—x,則g(2+x)=g(2—x),則g(x)的圖象于x=2對稱,

因?yàn)?(l+x)+/(l-x)=6,所以/(l+x)-(l+x)+/(l-x)-(l-x)=8,

即g(1+x)+g(1—x)=8,則g(x)的圖象關(guān)于(1,4)對稱.

所以g(x)+g(2—x)=8,又g(2+x)=g(2-x),所以g(x)+g(2+x)=8,

所以g(2+x)+g(4+x)=8,所以g(x+4)=g(x),

所以4為g(x)的一個周期，即/(x+4)-(x+4)=f(x)-x,

則y(x+4)=/(x)+4,故B不正確；

對于C：因?yàn)椤╨+x)+〃l—x)=6,令x=0可得"1)=3,故C正確；

對于D：因?yàn)椤╨+x)+“l(fā)r)=6,則〃2)+/(0)=6,/(3)+/(-1)=6,〃4)+/(—2)=6,

又〃4)=/(0)+4,/(3)=/(-1)+4./(2)=/(-2)+4,

所以/(3)=5,〃4)+/(2)=10,

〃5)=〃1)+4=7,/(7)=/(3)+4=9,

/⑻+/(6)=/(4)+〃2)+8=18,

/(9)=/(5)+4=11,/(11)=/(7)+4=13,/(12)+/(10)=/(8)+/(6)+8=26,

〃13)=〃9)+4=15,/(15)=/(11)+4=17,/(16)+/(14)=/(12)+/(10)+8=34,

川7)=/(13)+4=19,〃19)=/(15)+4=21,/(20)+/(18)=〃16)+/(14)+8=42,

21

〃21)=/。7)+4=23,所以?(i)=273,故D正確；

i=l

故選：ACD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：令g(x)=/(x)-x是解題的關(guān)鍵，通過研究g(x)的對稱性，周期性得到/*)的性質(zhì).

12.已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,經(jīng)過點(diǎn)尸的直線與拋物線。相交A,8兩點(diǎn)，A,

B在/上的射影分別為A，用，/與x軸相交于點(diǎn)”，則下列說法正確的是()

A.A.FVB.FB.AMBM>Q

C.若AF=2FB，則[A耳=3D,若AQ=QM,,〃|=2忸0,貝!]

\AF\-\BF|=4

【答案】ACD

【解析】

【分析】設(shè)A(子,yj,次亨,內(nèi))，聯(lián)立直線和拋物線方程得到韋達(dá)定理，得至MA/X凝,F=T，即得選

________萬

項(xiàng)A正確；AM4m2>0.所以選項(xiàng)B錯誤；求出〃?='二即得選項(xiàng)C正確；由題得

4

乙46加=5，求出%2=4石一8,即得選項(xiàng)D正確.

22

【詳解】解：設(shè)4(』-,y),8(2-,%)，則A(-LX),g(-1,%)，

當(dāng)直線AB斜率顯然不能為零，設(shè)其方程為彳=陽+1,聯(lián)立拋物線方程得/一4沖-4=0,所以

A=16/M2+16>0

<+>2=4m

”=-4

所以以FX&^F=/^^=一1,所以4b_14尸，所以選項(xiàng)A正確；

所以AA7?=1+-T+%-+%.江+X%=4，〃2N0,所以選項(xiàng)B錯誤;

如圖，設(shè)|A/q=2a,|B/|=a,過點(diǎn)B作BNLAA,則|AN|=a,||8N|=20a,

由題得直線AB的斜率為-=過包，，用=變,??.y+為=血，

ma4

9

（X+乃）2-2X），2+2=+2=—

所以|=』-+里+2=2-

444-44

所以|AF|=￡x|AB|=3,所以選項(xiàng)C正確;

71

由題得=一,

2

斫DIkAB'k/M=7,---x——=-1,：%=—，y4+16y2-16=0

所以M+%絲+i%22

4

所以必2=46一8.

16_2

所以|4用一跳|=堂.五=菖2=3=16-(49一8)2=4.

2

4444y24(4君-8)

所以選項(xiàng)D正確.

故選：ACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

22

13.已知橢圓C：'V+'V=1的上頂點(diǎn)為A,兩個焦點(diǎn)為《，?過大且垂直于A6的直線與C交于RE

兩點(diǎn)，則VADE的周長為..

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件及等邊三角形的性質(zhì)，再利用等腰三角形的三線合一定理及橢圓的定義，結(jié)合三角形

的周長公式即可求解.

22

【詳解】由1-=1>得〃2=4，b,=3,c2=ci2—b1=4—3=1>

43

解得4=2,b=M,c=1,

因?yàn)闄E圓C的上頂點(diǎn)為A,兩個焦點(diǎn)為片，F(xiàn)?,所以|A6|=|Ag|=a=2,忻勾=2c、=2,

所以|A周=|A周=|耳閭，即/為等邊三角形,

因?yàn)檫^6且垂直于AF2的直線與。交于。,E兩點(diǎn)，

所以|陽=|。段,|A￡|=|Eg|,

由橢圓的定義可知，|。可+|。4|=2a=2x2=4,lEEl+lEFJkZauZxZnd,

所以VADE的周長為|陰+|他+。目=|。周+但閭+|。耳|+|母|=4?=4X2=8.

故答案為：8

14.若曲線y=xlnx有兩條過(e,a)的切線，則。的范圍是.

【答案】(―8,e)

【解析】

【分析】由題可將曲線y=xlnx有兩條過(e,o)的切線轉(zhuǎn)化為函數(shù)/(x)=(lnx+l)e-x圖象與直線

曠=。有兩個交點(diǎn).后利用導(dǎo)數(shù)研究“力單調(diào)性，畫出“可大致圖象，即可得答案.

【詳解】設(shè)切線切點(diǎn)為(事,為)，因("In")=由"+1,則切線方程為：

[yo=xolnxo

y=(inxQ+1)(x-7)+x0In/=(inx0+1]x-x().

因過(e,a),則a=(inx0+1)e-x0,由題函數(shù)/(x)=(inx+1)e-x圖象

與直線丁=。有兩個交點(diǎn)(x)=--1=3二,

XX

得/(X)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減.

又/(He=〃e)=e，x—0,/(x)r-oo，x—+<x>,/(x)f一―

據(jù)此可得/(x)大致圖象如下廁由圖可得，當(dāng)ae(F,e)時，曲線y=xlnx有兩條過(e,a)的切線.

故答案為：(一83)

15.在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)6(x，yJ,2(赴，%)間的“曼哈頓距離”定義為

||^||=|x,-x2|+|yI-y2|,則平面內(nèi)與兩定點(diǎn)耳(—1,0)和6(1,0)的“曼哈頓距離”之和等于4的點(diǎn)的軌跡

圍成的面積為.

【答案】6

【解析】

【分析】根據(jù)“曼哈頓距離”的定義，把“曼哈頓距離”表示出來直接去絕對值符號畫圖象即可求解；

【詳解】設(shè)〃(x,y),因?yàn)榕c兩定點(diǎn)耳(一1,0)和6(1,0)的“曼哈頓距離”之和等于4,所以

|x-l|+|x+l|+2|y|=4,

①當(dāng)xw±l且y/o時，

一九一y=2,x<-l,y<0

-x+y=2,

1-y=2,

l+y=2,-lvx(l,y)0

x-y=2,x>l,y<0

x+y=2,x>l,y>0

②當(dāng)x=l時，y=±l；當(dāng)x=—l時，y=±-i；當(dāng)y=。時，x=±2；

作出圖象如圖所示,

(2+4)xl

所以M點(diǎn)軌跡是一個六邊形，六邊形面積是兩個相等梯形面積和，S=2x^——」=6.

2

故答案為：6.

TT

16.已知菱形A8CD的邊長為1,乙4。。=一，將AADC沿AC翻折，當(dāng)三棱錐O—ABC表面積最大時,

3

其內(nèi)切球表面積為.

【答案】(14-88)兀

【解析】

【分析】求內(nèi)切球的表面積，只需根據(jù)等體積法求出內(nèi)切球的半徑即可求解.

因?yàn)榱庑蔚乃臈l邊相等，對角線互相垂直

三棱錐。一A3c中，面ADC與面ABC的面積是確定的，所以要使三棱錐表面積最大，則需要面。與

面DAB最大即可，而且SDCB=SDAB；

=|sinZDCBDCBC,當(dāng)NOCB=5時，SDOM取得最大值?

過點(diǎn)。向平面ABC作垂線，設(shè)AC的中點(diǎn)為E垂足為

因?yàn)镈B=垃，EB=ED=—,所以由余弦定理知cosNBEO=-J,

23

所以sinNOEO'=迪，易得。。'=巫

33

因?yàn)镾ABDuBDC'2'SABC=SADC

設(shè)內(nèi)切球的半徑為「，則根據(jù)等體積法，有:

1V3、

lxlxJx2+—一x--xrx2,=6,

32J(34J12

即2+叵=也，解之得「=---0---

36124+2V3

所以其內(nèi)切球的表面積為5=4兀/=4兀14-8百)兀

故答案為:14-8@兀

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在一ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知(/?-Gc)sinB+csinC=asinA.

(1)求角A的大小;

JT

(2)若3AD=AC，ZDBC=,c=6,求..ABC的面積.

【答案】⑴-

6

⑵973

【解析】

【分析】(1)由正弦定理得到從一回。+。2=片，由余弦定理得到cosA=#，結(jié)合Ae(O,7i),求出答

案;

71

(2)設(shè)ADx得C￡>=2x,設(shè)NABO=，得到N4CB=^—6,表達(dá)出80=2尤sin(三一夕｝由正

3

弦定理得到sin(29+/J=l,求出671

ZACB=~,ZABC=—,故BC=AB=6,由三角形面

663

積公式求出答案.

【小問1詳解】

在心ABC中，由正弦定理,

得一J=—2—=-^=2R,其中，2R為-ABC的外接圓直徑,

sinAsinBsinC

所以sinA=-^-,sinB-,sinC-,

2R2R2R

代入(〃-6c)sinB+csinC=asinA,

得b2—也be+c2=a1,

由正弦定理，得COSAJ+L.=昱，

因?yàn)樵谥?，AG(O,71),

所以A==兀.

6

【小問2詳解】

設(shè)=x,由3A￡>=AC，得CD=2x.

7Tjr

設(shè)&則NAC6=——e,o<0<-.

33

在Rt二￡)5C中，BD=C￡>sin-0^=2xsin三一夕

在△AB￡>中，由正弦定理，

sg2xsinf-

得---------=----------,即—包——2

sinZABDsinABADsin。.兀

sin—

6

整理得，sinsin~，即——sincos——sin20=—

4224

變形得到把sin26+'cos26=1，即sin26+^=1，

22I6J

TTTTTT7r

因?yàn)?＜。＜巳，所以2夕+上=乙，解得。=勺.

jrZjr

所以NACB=：,NABC=一，所以BC=/W=6,

所以_ABC的面積S