高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)案

第三章函數(shù)

學(xué)案（1）映射（選講）

心目標(biāo)

1.理解函數(shù)的定義；函數(shù)的定義域、值域（陪域）和對(duì)應(yīng)法則三個(gè)要素;

2.理解靜與動(dòng)的辯證關(guān)系，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性.

復(fù)習(xí)

初中（傳統(tǒng)）的函數(shù)的定義是什么？初中學(xué)過(guò)哪些函數(shù)？

，口新遽

什么叫做映射？___________________________________________

象_____________________________________

原象_____________________________________

定義域，值域（陪域），對(duì)應(yīng)法則

例1判斷下列對(duì)應(yīng)是否是映射？

例3判斷下列兩個(gè)對(duì)應(yīng)是否是集合A到集合B的映射？

(1)設(shè)人={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9),

對(duì)應(yīng)法則/：X-?2%+1

(2)設(shè)—=>*,8={0,1},對(duì)應(yīng)法則/：XTX除以2得的余數(shù)

(3)A=N,8={0,1,2},和IWf彳觸余數(shù)

(4)設(shè)*={1,2,3,4},丫={1，:二,，}廣,3%取倒數(shù)

(5)A-{x\x>2,xeN},B-N,7:xT小于龍的最大質(zhì)數(shù)

轡爻練習(xí)

1.設(shè)A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},集合A中的元素x按照對(duì)應(yīng)法則“乘2

加1”和集合B中的元素2x+l對(duì)應(yīng).這個(gè)對(duì)應(yīng)是不是映射？

2.設(shè)人=",B={0,1},集合A中的元素x按照對(duì)應(yīng)法則“x除以2得的余數(shù)”和集

合B中的元素對(duì)應(yīng).這個(gè)對(duì)應(yīng)是不是映射？

3.A=Z,B=N*,集合A中的元素x按照對(duì)應(yīng)法則“求絕對(duì)值”和集合B中的元素對(duì)

應(yīng)，這個(gè)對(duì)應(yīng)是不是映射?

4.A={0,1,2,4},B={0,1,4,9,64},集合A中的元素x按照對(duì)應(yīng)法則

“f：a-?b=伍-1)2”和集合B中的元素對(duì)應(yīng).這個(gè)對(duì)應(yīng)是不是映射？

5.下面說(shuō)法正確的是()

(A)B中的某一個(gè)元素b的原象可能不止一個(gè)

(B)A中的某一個(gè)元素a的象可能不止一個(gè)

(C)A中的兩個(gè)不同元素所對(duì)應(yīng)的象必不相同

(D)B中的兩個(gè)不同元素的原象可能相同

6.下面哪一個(gè)說(shuō)法正確？()

(A)對(duì)于任意兩個(gè)集合A與B,都可以建立一個(gè)從集合A到集合B的映射

(B)對(duì)于兩個(gè)無(wú)限集合A與B,一定不能建立一個(gè)從集合A到集合B的映射

(C)如果集合A中只有一個(gè)元素，B為任一非空集合，那么從集合A到集合B只能

建立?個(gè)映射

(D)如果集合B只有一個(gè)元素，A為任一非空集合，則從集合A到集合B只能建立

一個(gè)映射

2n-1?x-l

7.集合A=N,B={mI----,nEN},f:x-*y=------，xeA,y￡B.請(qǐng)計(jì)算在f作用

2〃+l2x4-1

下，象二9，二11的原象分別是多少？

1113

學(xué)案(2)函數(shù)的三要素

目標(biāo)

1.鞏固定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則；

2.了解復(fù)合函數(shù)的意義.

復(fù)習(xí)

已學(xué)函數(shù)的定義域和值域

1.一次函數(shù))，=分+/?(。。0):定義域R,值域R;

2.反比例函y=公伙。0):定義域{x|xwO},值域{y|y。0};

3.二次函數(shù)y=a》2+bx+ch0)：定義域R

4ac—4ac—

值域：當(dāng)a>0時(shí)，b|y>k當(dāng)a<0時(shí)，f\y\y<

4a[4a

Z新課

函數(shù)的三要素：____________________

例1求下列函數(shù)的定義域：

①/(x)=―-一：②/(x)=j3x+2；③/(x)=Jx+1+一!一

x-22-x

例2已知函數(shù)/(1)=3以2-5X+2,求f(3),f(-V2),f(a+1).

例3已知函數(shù)〃勸=2/+3%+4,試求其值域.

例4已知函數(shù)/(X)=2/+3X+4(-1<X<2),試求其值域.

例5下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)y=x是同一個(gè)函數(shù)?

(1)y-(Vx)'；(2)y-；(3)y=

例6下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是否為相同的函數(shù)？

,、(x+3)(x-5).

⑴必—為=1

x+3

(2)y1=Jx+lJx-ly2=-y/(x+l)(x-1)

(3)力(x)=(j2x-5-%(x)=2x-5

例7已知/(J7+1)=x+2J7,試求f(x)的解析式.

學(xué)案（3）函數(shù)的表示法

*0目標(biāo)

1.掌握函數(shù)的解析法、列表法、圖象法三種主要表示方法；

2.培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，掌握分段函數(shù)的概念.

函數(shù)的表示方法：

（1）解析法：______________________________________

（2）列表法：_____________________________________

（3）圖象法：_____________________________________

例1某種筆記本每個(gè)5元，買(mǎi)xe{1,2,3,4}個(gè)筆記本的錢(qián)數(shù)記為y（元），試寫(xiě)出以

x為自變量的函數(shù)y的解析式，并畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖像.

例2國(guó)內(nèi)投寄信函（外埠），每封信函不超過(guò)20g付郵資80分，超過(guò)20g而不超過(guò)

40g付郵資160分，依次類(lèi)推，每封xg（0<xW100）的信函應(yīng)付郵資為（單位：分），試

寫(xiě)出以x為自變量的函數(shù)y的解析式，并畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖像.

X20

一的圖象.

-xx<0

例4（選講）作出分段函數(shù)y=k-1|+k+2|的圖像.

例5(選講)作出函數(shù)y=x+』的圖象.

x

例6.求下列函數(shù)的值域.

①y=3x+2(TWxWl)②/(x)=2+，4-x

X1

③y=±④(選做)y=x+2

x+1x

例7求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域.

?y=x2-4x+l;

=x2-4x+l,xe[3,4]；

@y=x2+[0,1]：

=x2-4x+1,XG[0,5]

例8.（選講）求函數(shù)y=|x+l+婕-2|的值域.

學(xué)案(4)函數(shù)的單調(diào)性

目標(biāo)

(1)了解單調(diào)函數(shù)、單調(diào)區(qū)間的概念；

(2)根據(jù)函數(shù)的圖象指出單調(diào)性、寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間；

(3)掌握運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性定義解決一些具體問(wèn)題；能運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性定義證明

簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性.

區(qū)白復(fù)習(xí)

i.比較兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)整式大小的方法是什么；

2.試?yán)斫狻皢握{(diào)”的含義；

3.一次函數(shù)與反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象是什么樣的，觀察圖象，理解這些函數(shù)

的單調(diào)性.

新課

增函數(shù)與減函數(shù)_____________________________________________

單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間___________________________

例1如圖，是定義在閉區(qū)間15,5］上的函數(shù)

y=/(x)的圖象，根據(jù)圖象說(shuō)出y=/(x)的單調(diào)區(qū)

間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)y=/(x)是增函數(shù)

還是減函數(shù).

例2證明函數(shù)/(x)=3x+2在R上是增函數(shù).

例3證明函數(shù)/1)=上在(0,+8)上是減函數(shù).

X

ss正練習(xí)

1.函數(shù)y=x、x+2單調(diào)減區(qū)間是()

A、［—―,+°o)(-1,+8)

C、(-00,一D、(-8,+oo)

2.下面說(shuō)法正確的選項(xiàng)()

A.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以是函數(shù)的定義域

B.函數(shù)的多個(gè)單調(diào)增區(qū)間的并集也是其單調(diào)增區(qū)間

C.具有奇偶性的函數(shù)的定義域定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

D.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖象一定是奇函數(shù)的圖象

3.函數(shù)f(x)=2x?—mx+3,當(dāng)xW［-2,+8)時(shí),增函數(shù)，當(dāng)xw(-8,-2陽(yáng)，是減函數(shù)，則f(l)

等于()

A.-3B.13

C.7D.由m而定的其它常數(shù)

4.如果函數(shù)f(x)=x2+2(d-l)x+2在區(qū)間(-8,4］上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍

是()

A.a》一"3B.aW-3

C.D.a23

5.函數(shù)曠=(2左+1次+8在實(shí)數(shù)集上是增函數(shù)，則

()

,1,1

A..k>----B.k<----

22

C.b>0D.h>0

1,

6.已知函數(shù)y=,x--2x求：

(1)當(dāng)0<xW3時(shí)，函數(shù)的最值；

(2)當(dāng)3Wx<5時(shí)，函數(shù)的最值.

型作業(yè)

試討論函數(shù)廣幻=-2ax+3在(-2,2)內(nèi)的單調(diào)性.

學(xué)案（5）函數(shù)的奇偶性

目標(biāo)

1.理解函數(shù)的奇偶性及其幾何意義；學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)；學(xué)

會(huì)判斷函數(shù)的奇偶性;

2.通過(guò)函數(shù)奇偶性概念的形成過(guò)程,培養(yǎng)觀察、歸納、抽象的能力，滲透數(shù)形結(jié)合

的數(shù)學(xué)思想;

3.通過(guò)函數(shù)的奇偶性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)從特殊到一般的概括歸納問(wèn)題的能力.

新課

觀察下列函數(shù)的圖象，總結(jié)各函數(shù)之間的共性.

f(x)=x2

偶函數(shù)：_______________________________________________

奇函數(shù)：_______________________________________________

例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性

(1)/(x)=x2xe[-1,2]

r3-r2

(2)〃X)=--

x-1

-x2+l(x>0)

g(x)=<

-1x2-l(x<0)

例2.判斷下列函數(shù)的奇偶性

⑴小)=/⑵小)“⑶/(，)=，+;⑷小)=/

例3.已知/(x)是奇函數(shù)，在(0,+8)上是增函數(shù).

證明：/(x)在(-8,0)上也是增函數(shù).

練習(xí)

1.判斷下列函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由.

①〃x)=0,xe[—6,—2]U[2,6]

②/(x)=|x-2|+|x+2|

2.設(shè)/(x)在R上是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=x(l-x)

試問(wèn)：當(dāng)x<0時(shí)，/(x)的表達(dá)式是什么？

學(xué)案（6）反函數(shù)（一）（選講）

..f目標(biāo)

1.了解反函數(shù)的實(shí)際背景，理解并掌握反函數(shù)的定義、圖像性質(zhì)，會(huì)求解反函數(shù)；

2.通過(guò)對(duì)反函數(shù)的概念、性質(zhì)的歸納、抽象和概括，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和形成的

過(guò)程，培養(yǎng)抽象概括能力；在解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí).進(jìn)而知

道生活中很多事物都有??正一反兩個(gè)方面，有一個(gè)全局的思想會(huì)對(duì)生活的理解有幫助.

成白復(fù)習(xí)

觀圖回答：

」的意義是什么？

alb

2x+3

1.試求函數(shù)y=的值域.

（提示：利用分離常數(shù)法與反解法，在這里我們突出利用反解法）

2.反函數(shù)的定義:

試?yán)枚x填寫(xiě)下表:

函數(shù)y=/(x)反函數(shù)y=/-'(x)

定義域A

值域B

3.試討論原函數(shù)與其反函數(shù)的圖象關(guān)系:

4.試求（l）y=2x+l（2）y=2x+l（xN-』）的反函數(shù)，并對(duì)比有何不同.

5.求解反函數(shù)的步驟：

例求下列函數(shù)的反函數(shù)

2x4-1

(Dy=3x-l(xGR)(2)y=-----

x-2

(3)y=x3+l(xGR)(4)y=y/~x+l(x>0)

6.思考：是不是所有的函數(shù)都有反函數(shù)?并舉例說(shuō)明.

練習(xí)

1.已知函數(shù)y=9二（xeR且xwl）,那么它的反函數(shù)為（）

x-1

A、y=+5(xGR且xW1)B、y=-+5(x￡R月xW6)

x-lx—6

D、y=--R月/W-5)

C、y=———|XG||(XG

■6x+516)

Ix2（x<0）

2.函數(shù)y=11的反函數(shù)是（）

卜-<x0）

i-2M九0)i-2x(x0)

A、y=|V7(x>0)B、y=1廠,

f-4x(x>0)

D、」M。)

C、。)

|\[x(x>0)4x(x>0)

3.已知點(diǎn)（a,b）在kf（x）的圖像上，則下列各點(diǎn)中位于其反函數(shù)圖像上的點(diǎn)是（）

A、3JT（。））B、（尸⑸⑹C、（尸（心）D、（仇廣炳）

4,若函數(shù)/*）=/一1（天〈一1）,則廣十4）的值為（）

A、V5B、—5/5C、15D、V3

5.函數(shù)y=41+?awRjlxW-c)的反函數(shù)為y=――,求。,b,c的值

x+cx+2

6.已知/“(X)=2j^—3,x>1,求f(x)

學(xué)案(7)反函數(shù)(二)(選講)

目標(biāo):

1.了解互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系的定理及其證明;

2.會(huì)利用互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系解決有關(guān)問(wèn)題.

復(fù)習(xí)：

1.反函數(shù)的定義：

2.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù))=/(X)與)，=/T(x)間的關(guān)系:

函數(shù)y=/(x)反函數(shù)y=/-'(%)

定義域AB

值域BA

3.反函數(shù)的求法：一反解、二互換、三標(biāo)明;

4.原函數(shù)與其反函數(shù)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng).

新課:

例1.求函數(shù)y=x2(x<0)的反函數(shù)，并利用對(duì)稱(chēng)關(guān)系作出其反函數(shù)的圖象.

CIO

例2.求函數(shù)y=*r2的值域.

3x—2

例3已知/(x)=—(X<-1),求/T(—1).

1-x-3

例4若點(diǎn)A(l,2)既在函數(shù)/(x)=Jax+6的圖象上，又在/(x)的反函數(shù)的圖象上,

求a,b的值.

例5若/(4+1)=X+24(X20),試求反函數(shù)y=

練習(xí)：

1.求下列函數(shù)的反函數(shù)：

(1)y-』X，-3(x<-V3)；

(2)y=/-6x+12(xW3);

(3)y=J_x_2(xW-2).

2.已知函數(shù)尸。x+2的反函數(shù)是y=3x+b,求a,b的值.

3.函數(shù)取)=川6-9/是否有反函數(shù)?_________；當(dāng)xw0,-時(shí)，反函數(shù)

_3_

-4'

為,定義域?yàn)椋划?dāng)xe--,0時(shí)，反函數(shù)為,定義域

為o

4.設(shè)皿)的反函數(shù)為廣心)，/T(X)=3X+2,則廣|(3)=,f(3)=—

5.若點(diǎn)(1,2)既在函數(shù)“X)=Nax+b的圖象上，又在函數(shù)f(x)的反函數(shù)f-'(x)的圖象

上，貝IIQ=,b=

6.f(x)在(0,+8)上為遞增函數(shù)，則/'I)與/t⑶的大小關(guān)系是

解答題

7.函數(shù)產(chǎn)f(x)的圖象是過(guò)點(diǎn)(2,1)的直線，其反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,-1),求函數(shù)f(x)

學(xué)案(8)函數(shù)圖象變換

目標(biāo)

根據(jù)函數(shù)解析式作出它們的圖象，并且能根據(jù)圖象分析函數(shù)的性質(zhì)；同時(shí)了解圖象

的簡(jiǎn)單變換(平移變換和對(duì)稱(chēng)變換).

1.根據(jù)所給定義域，畫(huà)出函數(shù)y=x2-2x+2的圖象,并確定其最值.

(1)XER(2)XG(-1,2](3)XE(-1,2]且xcZ

2.函數(shù)y=(x+l>-2和y=。-(尸+1的圖象分別是由y=/函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)如何

變化得到的.

練習(xí)

1.已知二次函數(shù)y=x?+4x+l,不求值比較f(—3)和f(5)的大小關(guān)系.

2.方程X2—2QX+4=0的兩根均大于1,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

3.已知二次函數(shù)f(x)=x2+x+a(a>0),若f(m)<0,則f(m+1)的值是()

(A)正數(shù)(B)負(fù)數(shù)(C)零(D)符號(hào)與。有關(guān)

4.不等式(a—2)X2+2(a-2)x-4<0對(duì)xeR恒成立，則a的取值范圍是

5.已知二次函數(shù)y=x?+(3。+6)x+2是偶函數(shù)，則。的取值范圍是—

6.二次函數(shù)y=ax'+bx+c滿足f(4)=f(1),那么()

(A)f(2)>f(3)(B)f(2)<f(3)

(C)f(2)=f(3)(D)f(2)與f(3)的大小關(guān)系不能確定

7.已知二次函數(shù)y=2x?+4(a—3)x+5在區(qū)間(一8,3)上是減函數(shù)，則a的取值

范圍是.

25

8.若二次函數(shù)y=(—3x—4的定義域?yàn)閇0,m],值域?yàn)閇一三，-4],則m的取值范

4

圍是()

333

(A)[0,4](B)[-,4](C)[-,3](D)[-,

222

9.設(shè)二次函數(shù)y=a/+bx+c,對(duì)任意的實(shí)數(shù)t都有f(2+t)=f(2—t)成立，在函

數(shù)值f(2)、f(1)、f(一1)、f(5)中，最小的一個(gè)不可能是()

(A)f(2)(B)f(1)(C)f(-1)(D)f(5)

10.已知函數(shù)丫=(^+6和yuax'+bx+c,那么它們的圖象是()

學(xué)案(9)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式

目標(biāo)

了解待定系數(shù)法及其應(yīng)用

乩㈠新課

例1：-次函數(shù)圖像在y軸上的縱截距為1,且過(guò)(-1,2),求該函數(shù)的解析式.

例2：一次函數(shù)/(X)滿足/"(x)]=4x+5,求該函數(shù)的解析式.

例3.二次函數(shù)例x)的圖像的頂點(diǎn)為的,-2),且過(guò)(3,1),求〃x)的解析式.

例4.已知二次函數(shù)/(x),/(0)=-5,/(-1)=-4,/(2)=—5,求函數(shù)/(x).

例5.已知多項(xiàng)式/(X)=ax+7,g(x)=x2+42x+b2,且

/(x)+g(x)=x?+2近犬+9.試求a、b的值.

例6.已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)=2,f(x+l)—f(x)=x—1,求f(x)的解析式.

d連練習(xí)

1.已知一次函數(shù)通過(guò)點(diǎn)A(2,1),B(-1,4),求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式.

2.已知二次函數(shù)的圖象過(guò)(0,1)、(2,4)、(3,10)三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解

析式.

3.已知二次函數(shù)f(x)=x?—bx+c滿足f(1+x)=f(1—