高中數(shù)學-平面向量的分解定理教學設計學情分析教材分析課后反思

課題名稱：8.3平面向量的分解定理(第一課時)

課型：新授課

一、教學目標

1.理解和掌握平面向量的分解定理；

2.掌握平面內(nèi)任一向量都可以用兩個不平行向量來表示；掌握基的

概念，并能夠用基表示平面內(nèi)的向量；

3.根據(jù)學生已有的物理知識經(jīng)驗，在熟悉的問題情景中，體會研究

向量分解的必要性.

4.經(jīng)歷平面向量分解定理的探求過程，培養(yǎng)觀察能力、抽象概括能

力、體會化歸思想.

二、教學重點及難點：

1.教學重點：平面向量分解定理的發(fā)現(xiàn)和形成過程；

2.教學難點：分解唯一性的說明.

三、教學用具準備

電腦，活動單，互動課堂等.

四、教學過程設計

(-)舊知回顧

前面我們學習了向量的加減法及數(shù)乘運算，請同學回答黑板上

的題目.

1.如圖，在平行四邊形ABCD中，記那心舂微工工則

2.兩非零向量善謂平行的充要條件:

展示“活動一”，體會向量的合成.

（二）設置情景，引入課題

L觀察

前面我們學過向量的加法，知道兩個向量可以合成一個向量,

反過來，一個向量是否可以分解成兩個向量呢？

下面讓我們來看一個實例：

實例：一盞電燈，可以由電線CO吊在天花板上，也可以由電線

OA和繩BO拉住.CO所受的力F與電燈重力平衡，拉力F可以分

解為AO與BO所受的拉力F1和F2.

思考：從這個實例我們看到了什么？

答：一個向量可以分成兩個不同方向的向量.

(三)探索探究，主動建構

概括討論，提出新問題：

____________gT

如果向量微，出是同一平面內(nèi)的兩個不平行的向量，森是該平面內(nèi)

的一個非零向量，是否能用向量或，霰表示向量&?

數(shù)學實驗1

1.實驗設計：

(1)實驗目的：通過實驗讓學生探究：給定平面內(nèi)的兩個不平行

向量，對于給定的非零向量是否能分解成方向上的兩個向量，且分解

是否是唯一的？

(2)實驗報告：(由學生發(fā)言)分解步驟，得到結論可以分解，且分

解的長度和方向唯一的.

師：既然可以分解并且是唯一的，能不能用數(shù)學式子把和的關系

表示出來？

2=入通1+入202.

生：或露是不平行向量，建是平面內(nèi)給定的向量，在平面內(nèi)任取

一點。

(1)作次二就，OB=e^,OC=e^.

(2)過C作平行于直線OB的平行線與直線OA相交于點M；

(3)過C作平行于直線OA的平行線與直線OB相交于點N；

(4)四邊形OMCN為平行四邊形，由向量平行的充要條件可知

存在實數(shù)乙，”,使得OM=^iOA,ON=A2OBA2,則

OC—a-OM+ON=%g+40.

2.探究結果

幾何角度：平面內(nèi)的任一向量都可以表示為給定的兩個不平行向

量的線性組合，即，且分解是唯一的.

代數(shù)角度：說明唯一性：

證明：

⑴當d=6時，6=0?可+0?瓦

(2)當6時，

假設存在乂H及、入"也使得,=入；?可+為?可，

；d=%?可+入2.瓦

則有入；?可+入介石=%?可+%?五

即(乙一入。區(qū)+(%一人分冕=6

由于可、與不平行，

故A一入I=0,幾2—入；=。,

即入；=%,&=42與假設矛盾.，假設不成立

綜上，及、乙唯一性得證.

3.概括得出定理：

平面向量分解定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不平行向量，那么

對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)，使

我們把不平行的向量或廊叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基.

4.定理理解

請學生討論后回答下列問題.

(1)向量相國能否是零向量？

不能

(2).什么樣的兩個向量可以作為基？

不平行

(3)一個平面有幾組基？

無數(shù)組

(4)已知與霰是平面內(nèi)的兩個不平行向量

①若a〃久，則5=?瓦+一?瓦

②若益〃石,貝%=?瓦+—?瓦.

(幫助學生更好理解定理)

5.定理應用

學生完成“活動二”，展示同學畫圖結果.

(通過“活動二”，學生的動手作圖能力得到提高，更好地理解定

理)

(四)例題分析

例1(教材P66.例2)如圖：平行四邊形ABCD的兩條對角線相交

于點M,且AB="D=b,分別用g、b表示AM、MB、MC和MD.

解：在平行四邊形ABCD中，

.AC=AB+lj)=a+b,D

DB=AB-AD=a—h,C

/.MA=——AC=——（a+b）=—a——b,

2222

--*X--*1—f1—1f

??.MB=—DB=—（a-b）=—a——b,

2222

,~MD=-MB=~-~DB=~-a+-b

222

注：（1）把作為一組基，用向量表示平面內(nèi)的任何一個向量

（2）平行四邊形法則簡化為三角形法則.

練習：學生完成活動單“變式”，一名學生板演.

思考：由例1和變式思考平行四邊形ABCD中還有哪些線段可以作

為一組基？哪些線段不可以作為一組基？為什么？

（五）課堂小結：

1.平面向量的分解定理.對分解定理的理解：平面里的任何一個

向量都可以用兩個不共線的向量來表示.這是應用向量解決實際問

題的重要思想方法.

2.從基的角度認識幾何圖形，能夠在具體問題中適當?shù)倪x取基,

使其它向量都能夠統(tǒng)一用這組基來表達.

（六）作業(yè)布置

1.練習部分8.3

2.預習課本例3,并思考：

如下圖，O是直線AB外一點，由平面向量分解定理得

0P=入1,0A+入20B,%、

滿足什么條件時，A、B、P三點共線?

五、教學設計說明

本課主要是平面向量的分解定理及簡單的應用.

在課堂設計上做一種新的嘗試，把數(shù)學實驗帶入課堂，讓學生通

過實驗探究定理的內(nèi)容.課堂組織形式比較新穎，引起學生的學習興

趣，激發(fā)學生的求知欲，學生們積極的參與了整堂課的學習過程.

通過實驗的制作，培養(yǎng)了學生的動手作圖能力，通過學生對實驗

結果的討論，培養(yǎng)學生的抽象概括能力，語言表達能力.

學生在原有知識的基礎上，自主建構自己新的知識結構，充分體

現(xiàn)了學生為主體，教學為主導的建構主義教學觀.學生的學習效果很

好，基本上掌握分解定理的實質(zhì)內(nèi)容，并能把定理的思想應用到具體

的問題當中.

學情分析

本節(jié)課的授課對象是普通中學的高二學生。該年級的學生已經(jīng)學

習了向量的基本概念、基本運算（加減法、數(shù)乘運算），以及向量平

行的充要條件；學生對向量的物理背景有了初步的了解，如：力的合

成與分解，都為學習本課作了充分準備，具備了進一步探究的能力。

效果分析

本節(jié)課運用了“合作探究、分層遞進教學法”，使學生在個人自主

學習、小組合作探究、全班互相交流、教師點評總結的交互推動下，

主動學習，積極參與，全面合作，廣泛交流。教師營造了民主、平等、

互動、開放的學習、交流氛圍，較好地發(fā)揮了促進者、指導者和合作

者的作用，引領學生通過對各類有層次的問題的思考、探究、交流、

解決、反思、總結，提煉出了幾種重要的數(shù)學思想方法，不斷培養(yǎng)學

生的數(shù)學思維能力，提高學生運用知識分析問題、解決問題的能力。

整個教學過程把教學設計中的基本內(nèi)容、基本方法、基本問題有機地

融合在了一起，形成交互的三條線：知識線、問題線和思想方法線，

最后是通過師生合作交流，總結出這三條線。使學生在教師的引導下

對知識、對思想方法自主建構。通過本節(jié)課的學習，絕大多數(shù)同學都

能夠理解平面向量分解定理的內(nèi)容及推導過程，并且能夠用基來表示

平面上的任一向量。

教材分析

本節(jié)課選自上海教育出版社高二第一學期第八章8.3平面向量的

分解定理，本部分內(nèi)容應分為兩課時（第一課時新授課，第二課時習

題課）。

向量是溝通代數(shù)、幾何的一種工具。向量有著非常直觀的幾何意

義，是數(shù)與形的完美結合。一方面，它可以把幾何問題轉化為坐標的

代數(shù)運算；另一方面，它還可以結合圖形對向量的有關問題進行分析

求解。

平面向量的分解定理是說明同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩

個不平行向量的線性組合，而且這種表示唯一。該定理以共線向量為

基礎，通過一個向量在其他兩向量上的分解，說明了該定理的本質(zhì)。

在教學時，不必嚴格證明該定理，只要學生理解并會應用該定理就可

以了。

在上海教育出版社的教材中平面向量的分解定理在向量的坐標表

示之后，為了讓學生更好理解正交分解，在授課時進行了順序調(diào)整，

先學習分解定理，將正交分解作為分解的一種特殊情況，在之后進行

學習。

8.3平面向量的分解定理活動單

活動一向量合成

例1如圖8-12,已知向量4扃，求作向量使得G=-鼠+壇「

活動二向量分解

如圖，設兩個不平行的向量不高，）是平面內(nèi)的任一向量，

試將向量"分別分解！到"與兩個方向上.

1

fo1111h

/「Y」

Ji：：勺7i

1611iII14i||IlliI

a0+電。=電

=_0+_e2a=___C[+

活動三平面向量分解定理

平面向量分解定理：

我們把的向量,叫叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一

組—.

證明：

活動四定理理解

1.向量貳國能否是零向量？

2.什么樣的兩個向量可以作為基？

3.一個平面有幾組基？

4.填空：已知砧說是平面內(nèi)的兩個不平行向量,

(1)若0,則0=0+%.

(2)若〃電，貝(J?=%+?

活動五平面向量基本定理的應用

例2如圖8-14,平行四邊形J5C0的對角線XC和交于點時,

AB=a,AD=b,

試用基表示AM,育畫口礪.

變式.記K為入而為