【廣東省廣州市】2017屆高考二模文科數(shù)學試卷-答案

PAGE14-/NUMPAGES15廣東省廣州市2017屆高考二模文科數(shù)學試卷答案一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1~5．CDBAA6~10．CCDCB11~12．CB二、填空題13．14．15．2316．三、解答題（本大題共5小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．（12分）解：（Ⅰ）因為，由正弦定理得，．因為，所以．即．因為，所以．因為，所以．因為，所以．（Ⅱ）設BC邊上的高線為AD，則．因為，則，．所以，．由余弦定理得．所以．18．（12分）解：（Ⅰ）這50名學生身高的頻率分布直方圖如下圖所示：（Ⅱ）由題意可估計這50名學生的平均身高為．所以估計這50名學生身高的方差為．所以估計這50名學生身高的方差為80．（Ⅲ）記身高在的4名男生為a，b，c，d，2名女生為A，B．從這6名學生中隨機抽取3名學生的情況有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20個基本事件．其中至少抽到1名女生的情況有：，，，，，，，，，，，，，，，共16個基本事件．所以至少抽到1名女生的概率為．19．（12分）證明：（Ⅰ）連接BD，因為ABCD是正方形，所以．因為，，所以．因為，所以．因為，，所以．所以B，D，F(xiàn)，E四點共面．因為，所以．解：（Ⅱ）設，連接EO，F(xiàn)O．由（Ⅰ）知，，所以．因為平面FEO將三棱錐分為兩個三棱錐和，所以．因為正方形ABCD的邊長為a，，所以，．取BE的中點G，連接DG，則．所以等腰三角形FEO的面積為．所以．所以三棱錐的體積為．20．（12分）解：（Ⅰ）設點M到直線l的距離為d，依題意．設，則有．化簡得．所以點M的軌跡C的方程為．（Ⅱ）設，代入中，得設，，則，．所以．因為，即，所以．所以直線的斜率為，直線的斜率為．因為，所以，即為直角三角形．所以的外接圓的圓心為線段AB的中點，線段AB是直徑．因為，所以當時線段AB最短，最短長度為4，此時圓的面積最小，最小面積為．21．（12分）解：（Ⅰ）因為函數(shù)，所以其定義域為．所以．當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．當時，．當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．綜上可知，當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（Ⅱ）因為，所以（）．因為函數(shù)存在極小值點，所以在上存在兩個零點，，且即方程的兩個根為，，且，所以，解得．則．當或時，，當時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為與，單調(diào)遞增區(qū)間為．所以為函數(shù)的極小值點．由，得．由于等價于．由，得，所以.因為，所以有，即．因為，所以．解得．所以實數(shù)a的取值范圍為．請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22．（10分）解：（1）根據(jù)題意，曲線C的參數(shù)方程為，則其普通方程為：，將直線代入可得：，解可得或3，故；（2）要求在橢圓上求一點P，使的面積最大，則P到直線l的距離最大；設P的坐標為，其中，則P到直線l的距離，又由，則，所以當，即時，d取得最大值，且，此時，的最大面積．[選修4-5：不等式選講]23．（I）證明：由柯西不等式可得，，；（Ⅱ）解：①當時，不等式即，顯然不能任意實數(shù)x均成立．②當時，，此時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得y的最小值為．不等式對任意實數(shù)x均成立，，解得．③當時，，此時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得y的最小值為．不等式對任意實數(shù)x均成立，，解得．綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是．

廣東省廣州市2017屆高考二模文科數(shù)學試卷解析1【考點】1E：交集及其運算．【分析】化簡集合B，根據(jù)交集的定義寫出A∩B．【解答】解：集合A={﹣1，0，1，2，3，4，5}，B={b|b=n2﹣1，n∈Z}={﹣1，0，3，8，15，…，}，∴A∩B={﹣1，0，3}．【點評】本題考查了交集的定義與應用問題，是基礎題．2【考點】A5：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】利用復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的定義即可得出．【解答】解：（3﹣4i+z）i=2+i，則3﹣4i+z===﹣2i+1．∴z=﹣2+2i．【點評】本題考查了復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．3【考點】2E：復合命題的真假．【分析】利用不等式的解法化簡命題p，q，再利用復合命題的判定方法即可得出．【解答】解：命題p：∵△=a2﹣4a2=﹣3a2≤0，因此?x∈R，x2+ax+a2≥0（a∈R），是真命題．命題q：由2x2﹣1≤0，解得≤x，因此不存在x0∈N*，使得，是假命題．則下列命題中為真命題的是p∨q．【點評】本題考查了不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．4【考點】EF：程序框圖．【分析】由已知中的程序語句可知該框圖的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：s=0，i=2，s=2，i=3，s=﹣1．i=4，s=3，i=5，s=﹣2，i=6，s=4，i=7＞6，結束循環(huán)，輸出s=4，【點評】本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結論，屬于基礎題．5【考點】3O：函數(shù)的圖象．【分析】化簡f（x），利用導數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性即可得出正確答案．【解答】解：f（x）的定義域為{x|x＜﹣1或x＞1}．f（x）=，∴f′（x）=，∴當x＞1時，f′（x）＞0，當x＜﹣2時，f′（x）＞0，當﹣2＜x＜﹣1時，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上單調(diào)遞增，在（﹣2，﹣1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．【點評】本題考查了函數(shù)圖象的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．6【考點】CF：幾何概型．【分析】根據(jù)根與系數(shù)之間的關系，求出a的取值范圍，結合幾何概型的概率公式進行計算即可．【解答】解：若方程x2﹣2ax+4a﹣3=0有兩個正根，則滿足，即，得＜a≤1或a≥3，∵﹣1≤a≤5則對應的概率P=+=+=，【點評】本題主要考查幾何概型的概率的計算，根據(jù)根與系數(shù)之間的關系求出a的取值范圍是解決本題的關鍵．7【考點】IG：直線的一般式方程．【分析】三條直線若兩兩相交圍成一個三角形，則斜率必不相同；否則，只要有兩條直線平行，或三點共線時不能構成三角形．【解答】解：∵三條直線不能圍成一個三角形，∴（1）l1∥l3，此時m=；l2∥l3，此時m=﹣；（2）三點共線時也不能圍成一個三角形2x﹣3y+1=0與4x+3y+5=0交點是（﹣1，﹣）代入mx﹣y﹣1=0，則m=．【點評】本題考查兩直線平行的條件，當斜率相等且截距不相等時兩直線平行．屬于基礎題．8【考點】9R：平面向量數(shù)量積的運算．【分析】設C（x，2x2），得出關于x的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求出最小值．【解答】解：設C（x，2x2），則=（4，4），=（x+1，2x2﹣1），∴=4（x+1）+4（2x2﹣1）=8x2+4x=8（x+）2﹣．∴當x=﹣時取得最小值﹣．【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，函數(shù)最值得計算，屬于中檔題．9【考點】LA：平行投影及平行投影作圖法．【分析】由于截面被平行平面所截，所以截面為梯形，取AA1的中點N，可知截面為等腰梯形，利用題中數(shù)據(jù)可求．【解答】解：取AA1的中點N，連接MN，NB，MC1，BC1，由于截面被平行平面所截，所以截面為梯形，且MN=BC1=，MC1=BN，=，∴梯形的高為，∴梯形的面積為（）×=，【點評】本題的考點是棱柱的結構特征，主要考查幾何體的截面問題，關鍵利用正方體圖形特征，從而確定截面為梯形．10【考點】8H：數(shù)列遞推式．【分析】數(shù)列{an}滿足a2=2，an+2+（﹣1）n+1an=1+（﹣1）n（n∈N*），n=2k（k∈N*）時，a2k+2﹣a2k=2，因此數(shù)列{a2k}為等差數(shù)列，首項為2，公差為2．n=2k﹣1（k∈N*）時，a2k+1+a2k﹣1=0．通過分組求和，利用等差數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：數(shù)列{an}滿足a2=2，an+2+（﹣1）n+1an=1+（﹣1）n（n∈N*），n=2k（k∈N*）時，a2k+2﹣a2k=2，因此數(shù)列{a2k}為等差數(shù)列，首項為2，公差為2．n=2k﹣1（k∈N*）時，a2k+1+a2k﹣1=0．∴S100=（a1+a3+…+a97+a99）+（a2+a4+…+a100）=0+2×50+=2550．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關系、分類討論方法、分組求和，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．11【考點】H2：正弦函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)區(qū)間[0，1]上，求出ωx+的范圍，由于在區(qū)間[0，1]上恰有3個最高點，建立不等式關系，求解即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），∵x∈[0，1]上，∴ωx+∈[，]，圖象在區(qū)間[0，1]上恰有3個最高點，∴+，解得：．【點評】本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．12【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】根據(jù)三視圖可知三棱錐倒立放置，從而得出棱錐的高，根據(jù)俯視圖找出三棱錐的底面，得出底面積，從而可求出棱錐的體積．【解答】解：由主視圖和側視圖可知三棱錐倒立放置，棱錐的底面水平放置，故三棱錐的高為h=4，∵主視圖為直角三角形，∴棱錐的一個側面與底面垂直，結合俯視圖可知三棱錐的底面為俯視圖中的左上三角形，∴S底==4，∴V==．【點評】本題考查了棱錐的三視圖和體積計算，根據(jù)三視圖的特征找出棱錐的底面是關鍵，屬于中檔題．13【考點】KB：雙曲線的標準方程．【分析】求得雙曲線的b2=2，由c=和e=，解關于a的方程，即可得到所求值．【解答】解：由雙曲線（a＞0）得到b2=2，則c=，所以=2，解得a=．故答案是：．【點評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，注意運用離心率公式和基本量a，b，c的關系，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．14【考點】8H：數(shù)列遞推式．【分析】設等比數(shù)列{an}的公比為q＞0，由a1=2，，可得+=4，化簡解出q，再利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．【解答】解：設等比數(shù)列{an}的公比為q＞0，∵a1=2，，∴+=4，化為：q4﹣4q2+4=0，解得q2=2，q＞0，解得q=．則數(shù)列{an}的通項公式an==．故答案為：．【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．15【考點】F4：進行簡單的合情推理．【分析】根據(jù)“三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二”找到三個數(shù)：第一個數(shù)能同時被3和5整除；第二個數(shù)能同時被3和7整除；第三個數(shù)能同時被5和7整除，將這三個數(shù)分別乘以被7、5、3除的余數(shù)再相加即可求出答案．【解答】解：我們首先需要先求出三個數(shù)：第一個數(shù)能同時被3和5整除，但除以7余1，即15；第二個數(shù)能同時被3和7整除，但除以5余1，即21；第三個數(shù)能同時被5和7整除，但除以3余1，即70；然后將這三個數(shù)分別乘以被7、5、3除的余數(shù)再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再減去3、5、7最小公倍數(shù)的整數(shù)倍，可得：233﹣105×2=23，或者105k+23（k為正整數(shù)）．∴這堆物品至少有23，故答案為：23．【點評】本題考查的是帶余數(shù)的除法，簡單的合情推理的應用，根據(jù)題意下求出15、21、70這三個數(shù)是解答此題的關鍵，屬于中檔題．16【考點】5B：分段函數(shù)的應用．【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性即可．【解答】解：∵，∴f（﹣x）=f（x），即函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，在[0，+∞）上為增函數(shù)，則不等式f（3a﹣1）≥8f（a），等價為f（|3a﹣1|）≥f（2|a|），∴|3a﹣1|≥2|a|，解得a∈．故答案為．【點評】本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關鍵．綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．17【考點】HT：三角形中的幾何計算．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理求和三角形的三角的關系，以及兩角和的正弦公式sinB=cosB，即可求出B，（Ⅱ）設BC邊上的高線為AD，運勾股定理和余弦定理，即可求得cosB，再由正弦定理，即可求出【點評】本題考查正弦定理和余弦定理的運用，考查兩角和的正弦公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．18【考點】CC：列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；B8：頻率分布直方圖．【分析】（Ⅰ）由頻率分布表能作出這50名學生身高的頻率分布直方圖．（Ⅱ）由頻率分布直方圖能估計這50名學生的平均身高，并能估計這50名學生身高的方差．（Ⅲ）記身高在[175，185]的4名男生為a，b，c，d，2名女生為A，B．利用列舉法能求出從這6名學生中隨機抽取3名學生，至少抽到1名女生的概率．【點評】本題考查頻率分布直方圖的應用，概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．19【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】（Ⅰ）連接BD，推導出AC⊥BD，AC⊥FD，從而AC⊥平面BDF．推導出EB∥FD，從而B，D，F(xiàn)，E四點共面，由此能證明EF⊥AC．（Ⅱ）設AC∩BD=O，連接EO，F(xiàn)O，由VE﹣FAC=VA﹣FEO+VC﹣FEO，能求出三棱錐E﹣FAC的體積．【點評】本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．20【考點】KN：直線與拋物線的位置關系；J3：軌跡方程．【分析】（Ⅰ）利用直接法，即可求動圓M的圓心軌跡C的方程；（Ⅱ）證明△PAB的外接圓的圓心為線段AB的中點，線段AB是直徑．得到當k=0時線段AB最短，最短長度為4，此時圓的面積最小，最小面積為4π．【點評】本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線位置關系的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．2