高中數學知識清單

學習好資料歡迎下載學習好資料歡迎下載學習好資料歡迎下載必修1數學知識點第一章：集合與函數概念§1.1.1、集合1、把研究的對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。集合三要素：確定性、互異性、無序性。2、只要構成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合相等。3、常見集合：正整數集合：或，整數集合：，有理數集合：，實數集合：.4、集合的表示方法：列舉法、描述法.§1.1.2、集合間的基本關系1、一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，則稱集合A是集合B的子集。記作.2、如果集合，但存在元素，且，則稱集合A是集合B的真子集.記作：AB.3、把不含任何元素的集合叫做空集.記作：.并規(guī)定：空集合是任何集合的子集.4、如果集合A中含有n個元素，則集合A有個子集，個真子集.§1.1.3、集合的運算1．交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作A∩B(讀作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．3、交集與并集的性質：A∩A=A，A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪φ=A,A∪B=B∪A.4、全集與補集（1）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。SCsAA（2）補集：設S是一個集合，A是S的一個子集（即ASCsAA所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）。記作：CSA，即CSA={x|xS且xA}（3）性質：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U(4)(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)(5)(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)§1.2.1、函數的概念1、設A、B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系，使對于集合A中的任意一個數，在集合B中都有惟一確定的數和它對應，那么就稱為集合A到集合B的一個函數，記作：其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．注意：1、如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合；2、函數的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式．定義域補充：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域，求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數不小于零；(3)對數式的真數必須大于零；(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數為零底不可以等于零(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.(注意：求出不等式組的解集即為函數的定義域。)2、構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域注意：（1）構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域．由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等（或為同一函數）。（2）兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法：①定義域一致；②表達式相同(兩點必須同時具備)值域補充(1)、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數的值域都應先考慮其定義域.(2)、應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解復雜函數值域的基礎。3、一個函數的構成要素為：定義域、對應關系、值域.如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，則稱這兩個函數相等.§1.2.2、函數的表示法函數的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法.常用的函數表示法及各自的優(yōu)點：函數圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據：作垂直于x軸的直線與曲線最多有一個交點。解析法：必須注明函數的定義域；圖象法：描點法作圖要注意：確定函數的定義域；化簡函數的解析式；觀察函數的特征；列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征．注意：解析法：便于算出函數值。列表法：便于查出函數值。圖象法：便于量出函數值補充一：分段函數在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的范圍里求函數值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應寫成函數值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．注意：（1）分段函數是一個函數，不要把它誤認為是幾個函數；（2）分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．補充二：復合函數如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)稱為f是g的復合函數。5.函數圖象知識歸納(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象．C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上.即記為C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行于Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。(2)畫法：A、描點法：根據函數解析式和定義域，求出x,y的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系內描出相應的點P(x,y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來.B、圖象變換法：常用變換方法有三種，即平移變換、對稱變換和伸縮變換Ⅰ、對稱變換:（1）將y=f(x)在x軸下方的圖象向上翻得到y=∣f(x)∣的圖象（2）y=f(x)和y=f(-x)的圖象關于y軸對稱。如（3）y=f(x)和y=-f(x)的圖象關于x軸對稱。如Ⅱ、平移變換:由f(x)得到f(xa)左加右減；由f(x)得到f(x)a上加下減作用：A、直觀的看出函數的性質；B、利用數形結合的方法分析解題的思路；C、提高解題的速度；發(fā)現解題中的錯誤。6．區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數軸表示．7．映射定義：一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：AB”給定一個集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象說明:函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，①集合A、B及對應法則f是確定的；②對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的；③對于映射f：A→B來說，則應滿足：（Ⅰ）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；（Ⅲ）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象§1.3.1、單調性與最大（?。┲?函數單調性（1）．增函數設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數。區(qū)間D稱為y=f(x)的單調增區(qū)間；（2）．減函數如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數.區(qū)間D稱為y=f(x)的單調減區(qū)間.注意：1、函數的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，是函數的局部性質；2、必須是對于區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2；當x1<x2時，總有f(x1)<f(x2)（或f(x1)＞f(x2)）。（3）圖象的特點如果函數y=f(x)在某個區(qū)間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，在單調區(qū)間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.(4).函數單調區(qū)間與單調性的判定方法(A)定義法：1任取x1，x2∈D，且x1<x2；2作差f(x1)－f(x2)；3變形（通常是因式分解和配方）；4定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；5下結論（指出函數f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性）．u=g(x)y=f(u)y=f[g(x)]增增增增減減減增減減減增(B)圖象法(從圖象上看升降)(C)復合函數的單調性：復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規(guī)律如下：復合函數單調性：口訣：同增異減注意：1、函數的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.(D)導數法：設函數在某個區(qū)間內可導，若，則為增函數；若，則為減函數.（5）判斷函數的單調性常用的結論①函數與的單調性相反；②當函數恒為正或恒有負時，與函數的單調性相反；③函數與函數（C為常數）的單調性相同；④當C>0（C為常數）時，與的單調性相同；當C<0（C為常數）時，與的單調性相反；⑤函數、都是增（減）函數，則仍是增（減）函數；⑥若且與都是增（減）函數，則也是增（減）函數；若且與都是增（減）函數，則也是減（增）函數；⑦設，若在定義域上是增函數，則、、都是增函數，而是減函數.§1.3.2、函數的奇偶性1.偶函數一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數．2.奇函數一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數．注意：1、函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質；函數可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數又是偶函數。2、由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個x，則－x也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱）．3.具有奇偶性的函數的圖象的特征偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．總結：利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：1首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；2確定f(－x)與f(x)的關系；3作出相應結論：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數．注意：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件．首先看函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱，(1)再根據定義判定;(2)有時判定f(-x)=±f(x)比較困難，可考慮根據是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;(3)利用定理，或借助函數的圖象判定.函數奇偶性的性質奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性完全相同；偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性恰恰相反.②奇函數的圖象關于原點對稱,偶函數的圖象關于軸對稱.③若為偶函數，則.④若奇函數定義域中含有0，則必有.⑤定義在關于原點對稱區(qū)間上的任意一個函數，都可表示成“一個奇函數與一個偶函數的和（或差）”.如設是定義域為R的任一函數，則，.⑥復合函數的奇偶性特點是：“內偶則偶，內奇同外”.⑦既奇又偶函數有無窮多個（，定義域是關于原點對稱的任意一個數集）.4.函數的解析表達式（1）函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.（2）求函數的解析式的主要方法有：待定系數法、換元法、消參法等，A、如果已知函數解析式的構造時，可用待定系數法；B、已知復合函數f[g(x)]的表達式時，可用換元法，這時要注意元的取值范圍；當已知表達式較簡單時，也可用湊配法；C、若已知抽象函數表達式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)5.函數最大（?。┲担?）利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（?。┲担唬?）利用圖象求函數的最大（?。┲?；（3）利用函數單調性的判斷函數的最大（?。┲担喝绻瘮祔=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞增，在區(qū)間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞減，在區(qū)間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；知識鏈接：函數與導數1、函數在點處的導數的幾何意義：函數在點處的導數是曲線在處的切線的斜率，相應的切線方程是.2、幾種常見函數的導數①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧3、導數的運算法則（1）.（2）.（3）.4、復合函數求導法則復合函數的導數和函數的導數間的關系為，即對的導數等于對的導數與對的導數的乘積.解題步驟:分層—層層求導—作積還原.5、函數的極值(1)極值定義：極值是在附近所有的點，都有＜，則是函數的極大值；極值是在附近所有的點，都有＞，則是函數的極小值.(2)判別方法：=1\*GB3①如果在附近的左側＞0，右側＜0，那么是極大值；=2\*GB3②如果在附近的左側＜0，右側＞0，那么是極小值.6、求函數的最值(1)求在內的極值（極大或者極小值）(2)將的各極值點與比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為極小值。注：極值是在局部對函數值進行比較（局部性質）；最值是在整體區(qū)間上對函數值進行比較(整體性質)。第二章：基本初等函數（Ⅰ）§2.1.1、指數與指數冪的運算1、一般地，如果，那么叫做的次方根。其中.2、當為奇數時，；當為偶數時，.3、我們規(guī)定：⑴；⑵；4、運算性質：⑴；⑵；⑶.§2.1.2、指數函數及其性質1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域為R．注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1．即a>0且a≠12、指數函數的圖象和性質0<a<1a>1圖像性質定義域R,值域（0，+∞）（1）過定點（0，1）,即x=0時，y=1(2)在R上是減函數(2)在R上是增函數（3）當x>0時,0<y<1;當x<0時,y>1（3）當x>0時,y>1;當x<0時,0<y<1圖象特征函數性質共性向x軸正負方向無限延伸函數的定義域為R函數圖象都在x軸上方函數的值域為R+圖象關于原點和y軸不對稱非奇非偶函數函數圖象都過定點（0，1）過定點（0，1）0<a<1自左向右看，圖象逐漸下降減函數在第一象限內的圖象縱坐標都小于1當x>0時,0<y<1;在第二象限內的圖象縱坐標都大于1當x<0時,y>1圖象上升趨勢是越來越緩函數值開始減小極快，到了某一值后減小速度較慢；a>1自左向右看，圖象逐漸上升增函數在第一象限內的圖象縱坐標都大于1當x>0時,y>1;在第二象限內的圖象縱坐標都小于1當x<0時,0<y<1圖象上升趨勢是越來越陡函數值開始增長較慢，到了某一值后增長速度極快；§2.2.1、對數與對數運算1、指數與對數互化式：；2、對數恒等式：.3、基本性質：，.4、運算性質：當時：⑴；⑵；⑶.5、換底公式：.6、重要公式：7、倒數關系：.§2..2.2、對數函數及其性質1、記住圖象：2、性質圖象性質(1)定義域：（0，+∞）（2）值域：R（3）過定點（1，0），即x=1時，y=0（4）在（0，+∞）上是增函數（4）在（0，+∞）上是減函數(5)；(5)；2、對數函數的圖像與性質：對數函數(a>0，且a≠1)在logab中，當a,b同在(0,1)或(1,+∞)內時，有l(wèi)ogab>0;當a,b不同在(0,1)內，或不同在(1,+∞)內時,有l(wèi)ogab<0.口訣：底真同大于0（底真不同小于0）.（其中，底指底數，真指真數，大于0指logab的值）3、如圖，底數a對函數的影響。規(guī)律:底大枝頭低,頭低尾巴翹。4、考點：Ⅰ、logab,當a,b在1的同側時,logab>0；當a,b在1的異側時,logab<0Ⅱ、對數函數的單調性由底數決定的，底數不明確的時候要進行討論。掌握利用單調性比較對數的大小，同底找對應的對數函數，底數不同真數也不同利用（1）的知識不能解決的插進1(=logaa)進行傳遞。Ⅲ、求指數型函數的定義域要求真數>0，值域求法用單調性。Ⅳ、分辨不同底的對數函數圖象利用1=logaa，用y=1去截圖象得到對應的底數。Ⅴ、y=ax(a>0且a≠1)與y=logax(a>0且a≠1)互為反函數，圖象關于y=x對稱。5、比較兩個冪的形式的數大小的方法:(1)對于底數相同指數不同的兩個冪的大小比較,可以利用指數函數的單調性來判斷.(2)對于底數不同指數相同的兩個冪的大小比較,可以利用比商法來判斷.(3)對于底數不同也指數不同的兩個冪的大小比較,則應通過中間值來判斷.常用1和0.6、比較大小的方法(1)利用函數單調性(同底數)；(2)利用中間值（如:0,1.）；(3)變形后比較；(4)作差比較§2.3、冪函數1、冪函數定義：一般地，形如的函數稱為冪函數，其中x是自變量，α為常數．2、冪函數性質歸納．（1）所有的冪函數在（0，+∞）都有定義，并且圖象都過點（1，1）；（2）α>0時，冪函數的圖象通過原點，并且在[0,+∞）上是增函數．特別地，當α>1時，冪函數的圖象下凸；當0<α<1時，冪函數的圖象上凸；（3）α<0時，冪函數的圖象在（0，+∞）上是減函數．在第一象限內，當x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當x趨于+∞時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸．第三章：函數的應用一、方程的根與函數的零點1、函數零點的概念：對于函數y=f(x),使f(x)=0的實數x叫做函數的零點。（實質上是函數y=f(x)與x軸交點的橫坐標）2、函數零點的意義：方程f(x)=0有實數根?函數y=f(x)的圖象與x軸有交點?函數y=f(x)有零點3、零點定理：函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的，并且有f(a)f(b)<0,那么函數y=f(x)在區(qū)間（a,b）至少有一個零點c，使得f(c)=0,此時c也是方程f(x)=0的根。4、函數零點的求法：求函數y=f(x)的零點：（1）（代數法）求方程f(x)=0的實數根；（2）（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數y=f(x)的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點．5、二次函數的零點：二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)．1）△＞0，方程f(x)=0有兩不等實根，二次函數的圖象與x軸有兩個交點，二次函數有兩個零點．2）△＝0，方程f(x)=0有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與x軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點．3）△＜0，方程f(x)=0無實根，二次函數的圖象與x軸無交點，二次函數無零點．二、二分法1、概念：對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數y=f(x),通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法。2、用二分法求方程近似解的步驟:⑴確定區(qū)間[a,b],驗證f(a)f(b)<0，給定精確度ε；⑵求區(qū)間(a,b)的中點c;⑶計算f(c),①若f(c)=0,則c就是函數的零點；②若f(a)f(c)<0,則令b=c（此時零點x0∈(a,c)）③若f(c)f(b)<0,則令a=c（此時零點x0∈(c,b)）(4)判斷是否達到精確度ε：即若|a-b|<ε,則得到零點近似值為a(或b);否則重復⑵~⑷三、函數的應用：（1）評價模型：給定模型利用學過的知識解模型驗證是否符合實際情況。（2）幾個增長函數模型：一次函數：y=ax+b(a>0)指數函數：y=ax(a>1)指數型函數：y=kax(k>0,a>1)冪函數：y=xn（n?N*)對數函數：y=logax(a>1)二次函數：y=ax2+bx+c(a>0)增長快慢：V(ax)>V(xn)>V(logax)解不等式(1)log2x<2x<x2(2)log2x<x2<2x（3）分段函數的應用：注意端點不能重復取，求函數值先判斷自變量所在的區(qū)間。（4）二次函數模型：y=ax2+bx+c(a≠0)先求函數的定義域，在求函數的對稱軸，看它在不在定義域內，在的話代進求出最值，不在的話，將定義域內離對稱軸最近的點代進求最值。（5）數學建模：(6)一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布兩個根都在（m,n)內兩個有且僅有一個在（m,n)內x1∈(m,n)x2∈(p,q)yxyxnmmmnmnmnpqf(m)f(n)<0兩個根都小于K兩個根都大于K一個根小于K，一個根大于Kyxyxkkkkkf(k)<0必修4數學知識點第一章：三角函數§1.1.1、任意角1、特殊角的集合:第一象限角的集合:第二象限角的集合:第三象限角的集合:第四象限角的集合:終邊落在軸非負半軸上的角的集合:終邊落在軸非正半軸上的角的集合:終邊落在軸上的角的集合:終邊落在軸非負半軸上的角的集合:終邊落在軸非正半軸上的角的集合:終邊落在軸上的角的集合:終邊落在坐標軸上的角的集合:2、終邊相同的角:所有與角終邊相同的角,連同角在內,可構成一個集合,即任一與角終邊相同的角都可以表示成角與整數個周角和的形式.3、常見結論:(1)若與的終邊關于軸對稱,則(2)若與的終邊關于軸對稱,則(3)若與的終邊關于原點對稱,則(4)若與的終邊在同一直線上,則§1.1.2、弧度制1、把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.2、.3、弧度制與角度制的換算:(1)rad(2)radrad(3)rad,rad4、弧長公式和扇形面積公式:(1)弧長公式:(2)扇形面積公式:§1.2.1、任意角的三角函數1、設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點，那么：2、設點為角終邊上任意一點，那么：（設），，，3、，，在四個象限的符號和三角函數線的畫法.正弦線：MP;余弦線：OM;正切線：AT§1.2.2、同角三角函數的基本關系式1、平方關系：.2、商數關系：.3、倒數關系：§1.3、三角函數的誘導公式（概括為“奇變偶不變，符號看象限”）記憶口訣:角的三角函數的所有誘導公式可以概括為:“奇變偶不變,符號看象限”.①把角化為()的形式.若為偶數,則函數名不變;若為奇數,則函數名作改變:正余.象限的過程中,一律將角看成銳角,再根據()的象限決定三角函數的符號(正負).1、誘導公式一：（其中：）2、誘導公式二：3、誘導公式三：4、誘導公式四：5、誘導公式五：6、誘導公式六：§1.4.1、正弦、余弦函數的圖象和性質1、記住正弦、余弦函數圖象：2、能夠對照圖象講出正弦、余弦函數的相關性質：定義域、值域、最大最小值、對稱軸、對稱中心、奇偶性、單調性、周期性.3、會用五點法作圖.在上的五個關鍵點為：§1.4.3、正切函數的圖象與性質記住正切函數的圖象：2、記住余切函數的圖象：3、能夠對照圖象講出正切函數的相關性質：定義域、值域、對稱中心、奇偶性、單調性、周期性.周期函數定義：對于函數，如果存在一個非零常數T，使得當取定義域內的每一個值時，都有，那么函數就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期.圖表歸納：正弦、余弦、正切函數的圖像及其性質圖象定義域值域[-1,1][-1,1]最值無周期性奇偶性奇偶奇單調性在上單調遞增在上單調遞減在上單調遞增在上單調遞減在上單調遞增對稱性對稱軸方程：對稱中心對稱軸方程：對稱中心無對稱軸對稱中心§1.5、函數的圖象1、對于函數：有：振幅A，周期，初相，相位，頻率.2、能夠講出函數的圖象與的圖象之間的平移伸縮變換關系.先平移后伸縮：平移個單位（左加右減）橫坐標不變縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍縱坐標不變橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋镀揭苽€單位（上加下減）先伸縮后平移：橫坐標不變縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍縱坐標不變橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋镀揭苽€單位（左加右減）平移個單位（上加下減）3、三角函數的周期，對稱軸和對稱中心函數，x∈R及函數，x∈R(A,,為常數，且A≠0)的周期；函數，(A,ω,為常數，且A≠0)的周期.對于和來說，對稱中心與零點相聯系，對稱軸與最值點聯系.求函數圖像的對稱軸與對稱中心，只需令與解出即可.余弦函數可與正弦函數類比可得.注:(1)函數中,影響函數圖象的最高點和最低點,即函數的最值;影響函數圖象每隔多少重復出現,即函數的周期;影響函數的初相.(2)對于函數的圖象,相鄰的兩個對稱中心或兩條對稱軸相距半個周期;相鄰的一個對稱中心和一條對稱軸相交周期的四分之一.3.1、求三角函數周期的方法(1)定義法，即利用周期函數的定義求解.(2)公式法，對形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常數，A≠0,ω≠0)的函數，(3)觀察法，即通過觀察函數圖象求其周期.3.2、求與正、余弦函數有關的單調區(qū)間的策略及注意點(1)結合正、余弦函數的圖象，熟記它們的單調區(qū)間.(2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函數的單調區(qū)間時，應采用“換元法”整體代換，將“ωx+φ”看作一個整體“z”，即通過求y=Asinz的單調區(qū)間而求出原函數的單調區(qū)間.求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函數的單調區(qū)間同上.(3)①ω<0時，一般用誘導公式轉化為-ω>0后求解；②若A<0，則單調性相反.4、由圖像確定三角函數的解析式利用圖像特征：，.要根據周期來求,要用圖像的關鍵點來求.第三章、三角恒等變換§3.1.1、兩角差的余弦公式記住15°的三角函數值：§3.1.2、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1、2、3、4、5、.6、.§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、，變形：.2、.變形如下：升冪公式：降冪公式：3、.4、§3.2、簡單的三角恒等變換注意正切化弦、平方降次.2、輔助角公式（其中輔助角所在象限由點的象限決定,).必修5數學知識點第一章：解三角形1、正弦定理：.（其中為外接圓的半徑）用途：⑴已知三角形兩角和任一邊，求其它元素；⑵已知三角形兩邊和其中一邊的對角，求其它元素。2、余弦定理：用途：⑴已知三角形兩邊及其夾角，求其它元素；⑵已知三角形三邊，求其它元素。注意：做題中兩個定理經常結合使用.3、三角形面積公式：4、三角形內角和定理：在△ABC中，有.5、一個常用結論：在中，(大角對大邊)若特別注意，在三角函數中，不成立。6、射影定理：7、設、、是的角、、的對邊，則：=1\*GB3①若，則；=2\*GB3②若，則；=3\*GB3③若，則．第二章：數列1、數列中與之間的關系：注意通項能否合并。2、等差數列：⑴定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d，（n≥2，n∈N），那么這個數列就叫做等差數列。⑵等差中項：若三數成等差數列⑶通項公式：或⑷前項和公式：⑸常用性質：①若，則；②下標為等差數列的項，仍組成等差數列；③數列（為常數）仍為等差數列；④若、是等差數列，則、(、是非零常數)、、，…也成等差數列。⑤單調性：的公差為，則：?。檫f增數列；ⅱ）為遞減數列；ⅲ）為常數列；⑥數列{}為等差數列（p,q是常數）⑦若等差數列的前項和，則、、…是等差數列。3、等比數列⑴定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列。⑵等比中項：若三數成等比數列（同號）。反之不一定成立。⑶通項公式：⑷前項和公式：⑸常用性質①若，則；②為等比數列，公比為(下標成等差數列,則對應的項成等比數列)③數列（為不等于零的常數）仍是公比為的等比數列；正項等比數列；則是公差為的等差數列；④若是等比數列，則是等比數列，公比依次是⑤單調性：為遞增數列；為遞減數列；為常數列；為擺動數列；⑥既是等差數列又是等比數列的數列是常數列。⑦若等比數列的前項和，則、、…是等比數列.4、非等差、等比數列通項公式的求法類型Ⅰ觀察法：已知數列前若干項，求該數列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據規(guī)律寫出此數列的一個通項。類型Ⅱ公式法：若已知數列的前項和與的關系，求數列的通項可用公式構造兩式作差求解。用此公式時要注意結論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達，（要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統一）。類型Ⅲ累加法：形如型的遞推數列（其中是關于的函數）可構造：將上述個式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關于的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和;=2\*GB3②若是關于的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和;=3\*GB3③若是關于的二次函數，累加后可分組求和;=4\*GB3④若是關于的分式函數，累加后可裂項求和.類型Ⅳ累乘法：形如型的遞推數列（其中是關于的函數）可構造：將上述個式子兩邊分別相乘，可得：有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。類型Ⅴ構造數列法：㈠形如（其中均為常數且）型的遞推式：（1）若時，數列{}為等差數列;（2）若時，數列{}為等比數列;（3）若且時，數列{}為線性遞推數列，其通項可通過待定系數法構造等比數列來求.方法有如下兩種：法一：設,展開移項整理得,與題設比較系數（待定系數法）得,即構成以為首項，以為公比的等比數列.再利用等比數列的通項公式求出的通項整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構成以為首項，以為公比的等比數列.求出的通項再轉化為類型Ⅲ（累加法）便可求出㈡形如型的遞推式：⑴當為一次函數類型（即等差數列）時：法一：設，通過待定系數法確定的值，轉化成以為首項，以為公比的等比數列，再利用等比數列的通項公式求出的通項整理可得法二：當的公差為時，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉化為類型Ⅴ㈠求出，再用類型Ⅲ（累加法）便可求出⑵當為指數函數類型（即等比數列）時：法一：設，通過待定系數法確定的值，轉化成以為首項，以為公比的等比數列，再利用等比數列的通項公式求出的通項整理可得法二：當的公比為時，由遞推式得：——①，，兩邊同時乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉化為類型Ⅴ㈠便可求出法三：遞推公式為（其中p，q均為常數）或（其中p，q,r均為常數）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數列（其中），得：再應用類型Ⅴ㈠的方法解決。⑶當為任意數列時，可用通法：在兩邊同時除以可得到，令，則，在轉化為類型Ⅲ（累加法），求出之后得.類型Ⅵ對數變換法：形如型的遞推式：在原遞推式兩邊取對數得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數不一定要取10，可根據題意選擇）。類型Ⅶ倒數變換法：形如（為常數且）的遞推式：兩邊同除于，轉化為形式，化歸為型求出的表達式，再求；還有形如的遞推式，也可采用取倒數方法轉化成形式，化歸為型求出的表達式，再求.類型Ⅷ形如型的遞推式：用待定系數法，化為特殊數列的形式求解。方法為：設，比較系數得，可解得，于是是公比為的等比數列，這樣就化歸為型?？傊?，求數列通項公式可根據數列特點采用以上不同方法求解，對不能轉化為以上方法求解的數列，可用歸納、猜想、證明方法求出數列通項公式5、非等差、等比數列前項和公式的求法⑴錯位相減法①若數列為等差數列，數列為等比數列，則數列的求和就要采用此法.②將數列的每一項分別乘以的公比，然后在錯位相減，進而可得到數列的前項和.此法是在推導等比數列的前項和公式時所用的方法.⑵裂項相消法一般地，當數列的通項時，往往可將變成兩項的差，采用裂項相消法求和.可用待定系數法進行裂項：設，通分整理后與原式相比較，根據對應項系數相等得，從而可得常見的拆項公式有：①②③④⑤⑶分組法求和有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.一般分兩步：=1\*GB3①找通向項公式=2\*GB3②由通項公式確定如何分組.⑷倒序相加法如果一個數列，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，則可用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到了一個常數列的和，這種求和方法稱為倒序相加法。特征：⑸記住常見數列的前項和：①②③第三章：不等式§3.1、不等關系與不等式1、不等式的基本性質①（對稱性）②（傳遞性）③（可加性）（同向可加性）（異向可減性）④（可積性）⑤（同向正數可乘性）（異向正數可除性）⑥（平方法則）⑦（開方法則）⑧（倒數法則）2、幾個重要不等式①,（當且僅當時取號）.變形公式：②（基本不等式）,（當且僅當時取到等號）.變形公式：用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”.③（三個正數的算術—幾何平均不等式）（當且僅當時取到等號）.④（當且僅當時取到等號）.⑤（當且僅當時取到等號）.⑥（當僅當a=b時取等號）（當僅當a=b時取等號）⑦其中規(guī)律：小于1同加則變大，大于1同加則變小.⑧⑨絕對值三角不等式3、幾個著名不等式①平均不等式：,（當且僅當時取號）.（即調和平均幾何平均算術平均平方平均）.變形公式：②冪平均不等式：③二維形式的三角不等式：④二維形式的柯西不等式：當且僅當時，等號成立.⑤三維形式的柯西不等式：⑥一般形式的柯西不等式：⑦向量形式的柯西不等式：設是兩個向量，則當且僅當是零向量，或存在實數，使時，等號成立.⑧排序不等式（排序原理）：設為兩組實數.是的任一排列，則（反序和亂序和順序和）當且僅當或時，反序和等于順序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函數、凹函數）若定義在某區(qū)間上的函數,對于定義域中任意兩點有則稱f(x)為凸（或凹）函數.4、不等式證明的幾種常用方法常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等.常見不等式的放縮方法：=1\*GB3①舍去或加上一些項，如=2\*GB3②將分子或分母放大（縮?。?，如等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項前的系數為正數.二判：判斷對應方程的根.三求：求對應方程的根.四畫：畫出對應函數的圖象.五解集：根據圖象寫出不等式的解集.記住：二次函數的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關系：判別式二次函數的圖象一元二次方程的根有兩個相異實數根有兩個相等實數根沒有實數根一元二次不等式的解集若二次項系數為負，先變?yōu)檎?guī)律：當二次項系數為正時，小于取中間，大于取兩邊.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根標在數軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切），結合原式不等號的方向，寫出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移項通分標準化，則（時同理）規(guī)律：把分式不等式等價轉化為整式不等式求解.8、無理不等式的解法：轉化為有理不等式求解⑴⑵⑶⑷⑸規(guī)律：把無理不等式等價轉化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解.9、指數不等式的解法：⑴當時,⑵當時,規(guī)律：根據指數函數的性質轉化.10、對數不等式的解法⑴當時,⑵當時,規(guī)律：根據對數函數的性質轉化.11、含絕對值不等式的解法：⑴定義法：⑵平方法：⑶同解變形法，其同解定理有：④規(guī)律：關鍵是去掉絕對值的符號.12、含有兩個（或兩個以上）絕對值的不等式的解法：規(guī)律：找零點、劃區(qū)間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含參數的不等式的解法解形如且含參數的不等式時，要對參數進行分類討論，分類討論的標準有：⑴討論與0的大小；⑵討論與0的大??；⑶討論兩根的大小.14、恒成立問題⑴不等式的解集是全體實數（或恒成立）的條件是：①當時②當時⑵不等式的解集是全體實數（或恒成立）的條件是：當時當時⑶恒成立恒成立⑷恒成立恒成立15、線性規(guī)劃問題⑴二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷：法一：取點定域法：由于直線的同一側的所有點的坐標代入后所得的實數的符號相同.所以，在實際判斷時，往往只需在直線某一側任取一特殊點（如原點），由的正負即可判斷出或表示直線哪一側的平面區(qū)域.即：直線定邊界，分清虛實；選點定區(qū)域，常選原點.法二：根據或，觀察的符號與不等式開口的符號，若同號，或表示直線上方的區(qū)域；若異號，則表示直線上方的區(qū)域.即：同號上方，異號下方.⑵二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域：不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.⑶利用線性規(guī)劃求目標函數為常數）的最值：法一：角點法：如果目標函數（即為公共區(qū)域中點的橫坐標和縱坐標）的最值存在，則這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點處取得，將這些角點的坐標代入目標函數，得到一組對應值，最大的那個數為目標函數的最大值，最小的那個數為目標函數的最小值法二：畫——移——定——求：第一步，在平面直角坐標系中畫出可行域；第二步，作直線，平移直線（據可行域，將直線平行移動）確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解；第四步，將最優(yōu)解代入目標函數即可求出最大值或最小值.第二步中最優(yōu)解的確定方法：利用的幾何意義：,為直線的縱截距.①若則使目標函數所表示直線的縱截距最大的角點處，取得最大值，使直線的縱截距最小的角點處，取得最小值；②若則使目標函數所表示直線的縱截距最大的角點處，取得最小值，使直線的縱截距最小的角點處，取得最大值.⑷常見的目標函數的類型：①“截距”型：②“斜率”型：或③“距離”型：或或在求該“三型”的目標函數的最值時，可結合線性規(guī)劃與代數式的幾何意義求解，從而使問題簡單化.第二章：平面向量§2.1.1、向量的物理背景與概念1、了解四種常見向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.§2.1.2、向量的幾何表示1、帶有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度.2、向量的大小，也就是向量的長度（或稱模），記作；長度為零的向量叫做零向量；長度等于1個單位的向量叫做單位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共線向量）.規(guī)定：零向量與任意向量平行.4、設，，則．．．．若、為非零向量，則．若，則．．．，，則§2.1.3、相等向量與共線向量1、長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.§2.2.1、向量加法運算及其幾何意義1、三角形加法法則和平行四邊形加法法則.2、≤.§2.2.2、向量減法運算及其幾何意義1、與長度相等方向相反的向量叫做的相反向量.2、三角形減法法則和平行四邊形減法法則.§2.2.3、向量數乘運算及其幾何意義1、規(guī)定：實數與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘.記作：，它的長度和方向規(guī)定如下：⑴,⑵當時,的方向與的方向相同；當時,的方向與的方向相反.2、平面向量共線定理：向量與共線，當且僅當有唯一一個實數，使.§2.3.1、平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內任一向量，有且只有一對實數，使.§2.3.2、平面向量的正交分解及坐標表示1、.§2.3.3、平面向量的坐標運算1、設，則：⑴，⑵，⑶，⑷.2、設，則：.§2.3.4、平面向量共線的坐標表示1、設，則⑴線段AB中點坐標為，⑵△ABC的重心坐標為.§2.4.1、平面向量數量積的物理背景及其含義1、.2、在方向上的投影為：.3、.4、.5、.1、設，則：⑴⑵⑶⑷2、設，則：.兩向量的夾角公式4、點的平移公式平移前的點為（原坐標），平移后的對應點為（新坐標），平移向量為，則函數的圖像按向量平移后的圖像的解析式為知識鏈接：空間向量空間向量的許多知識可由平面向量的知識類比而得.下面對空間向量在立體幾何中證明，求值的應用進行總結歸納.1、直線的方向向量和平面的法向量⑴．直線的方向向量：

若A、B是直線上的任意兩點，則為直線的一個方向向量；與平行的任意非零向量也是直線的方向向量.

⑵．平面的法向量：

若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系數法）：①建立適當的坐標系．②設平面的法向量為．③求出平面內兩個不共線向量的坐標．根據法向量定義建立方程組.解方程組，取其中一組解，即得平面的法向量.（如圖）用向量方法判定空間中的平行關系⑴線線平行設直線的方向向量分別是，則要證明∥，只需證明∥，即.即：兩直線平行或重合兩直線的方向向量共線。

⑵線面平行①（法一）設直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明∥，只需證明，即.即：直線與平面平行直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外②（法二）要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可.⑶面面平行若平面的法向量為，平面的法向量為，要證∥，只需證∥，即證.即：兩平面平行或重合兩平面的法向量共線。

3、用向量方法判定空間的垂直關系

⑴線線垂直設直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即.即：兩直線垂直兩直線的方向向量垂直。

⑵線面垂直①（法一）設直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明，只需證明∥，即.②（法二）設直線的方向向量是，平面內的兩個相交向量分別為，若即：直線與平面垂直直線的方向向量與平面的法向量共線直線的方向向量與平面內兩條不共線直線的方向向量都垂直。⑶面面垂直若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證.即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直。

4、利用向量求空間角求異面直線所成的角已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則⑵求直線和平面所成的角①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角②求法：設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，則為的余角或的補角

的余角.即有：⑶求二面角①定義：平面內的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面OABOABl二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點O，分別在兩個半平面內作射線，則OABOABl如圖：②求法：設二面角的兩個半平面的法向量分別為，再設的夾角為，二面角的平面角為，則二面角為的夾角或其補角根據具體圖形確定是銳角或是鈍角：◆如果是銳角，則,即；如果是鈍角，則，即.利用法向量求空間距離⑴點Q到直線距離若Q為直線外的一點,在直線上，為直線的方向向量，=，則點Q到直線距離為⑵點A到平面的距離若點P為平面外一點，點M為平面內任一點，平面的法向量為，則P到平面的距離就等于在法向量方向上的投影的絕對值.即⑶直線與平面之間的距離當一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉化為求直線上任一點到平面的距離，即轉化為點面距離。即⑷兩平行平面之間的距離利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉化為求點面距離。即⑸異面直線間的距離設向量與兩異面直線都垂直，則兩異面直線間的距離就是在向量方向上投影的絕對值。即6、三垂線定理及其逆定理⑴三垂線定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直推理模式：概括為：垂直于射影就垂直于斜線.⑵三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直推理模式：概括為：垂直于斜線就垂直于射影.7、三余弦定理設AC是平面內的任一條直線，AD是的一條斜線AB在內的射影，且BD⊥AD，垂足為D.設AB與(AD)所成的角為，AD與AC所成的角為，AB與AC所成的角為．則.8、面積射影定理已知平面內一個多邊形的面積為，它在平面內的射影圖形的面積為，平面與平面所成的二面角的大小為銳二面角，則9、一個結論長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有.（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.必修2數學知識點第一章：空間幾何體1、空間幾何體的結構⑴常見的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺；常見的旋轉體有：圓柱、圓錐、圓臺、球。⑵棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。⑶棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺。2、空間幾何體的三視圖和直觀圖把光由一點向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影線交于一點；把在一束平行光線照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影線是平行的?？臻g幾何體的表面積與體積(1)柱側面積；(1)⑵圓錐側面積：(2)⑶圓臺側面積：(3)⑷體積公式：；；⑸球的表面積和體積：.第二章：點、直線、平面之間的位置關系2.1.11平面含義：平面是無限延展的2平面的畫法及表示DCBADCBAα（2）平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。3三個公理：（1）公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內符號表示為αA∈LαB∈L=>LαA∈αB∈α公理1作用：判斷直線是否在平面內C·C·B·A·α符號表示為：A、B、C三點不共線=>有且只有一個平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。公理2作用：確定一個平面的依據。P·P·αLβ符號表示為：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據2.1.2空間中直線與直線之間的位置關系1空間的兩條直線有如下三種關系：共面直線相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；共面直線平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點。2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設a、b、c是三條直線=>a∥ca=>a∥cc∥b強調：公理4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據。3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補4注意點：①a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關，為了簡便，點O一般取在兩直線中的一條上；②兩條異面直線所成的角θ∈(0，)；③當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；⑤計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。2.1.3—2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系1、直線與平面有三種位置關系：（1）直線在平面內——有無數個公共點（2）直線與平面相交——有且只有一個公共點（3）直線在平面平行——沒有公共點指出：直線與平面相交或平行的情況統稱為直線在平面外，可用aα來表示aαa∩α=Aa∥α2.2.直線、平面平行的判定及其性質2.2.1直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：aαbβ=>a∥αa∥b2.2.2平面與平面平行的判定1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。符號表示：aβbβa∩b=Pβ∥αa∥αb∥α2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。2.2.3—2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：a∥αaβa∥bα∩β=b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。符號表示：α∥βα∩γ=aa∥bβ∩γ=b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質2.3.1直線與平面垂直的判定1、定義如果直線L與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點P叫做垂足。Lpα2、判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想。2.3.2平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形A梭lβBα2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。2.3.3—2.3.4直線與平面1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。1、公理1：如果一條直線上兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內。2、公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。3、公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。4、公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.5、定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。6、線線位置關系：平行、相交、異面。7、線面位置關系：直線在平面內、直線和平面平行、直線和平面相交。8、面面位置關系：平行、相交。9、線面平行：⑴判定：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行（簡稱線線平行，則線面平行）。⑵性質：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行（簡稱線面平行，則線線平行）。10、面面平行：⑴判定：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行（簡稱線面平行，則面面平行）。⑵性質：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行（簡稱面面平行，則線線平行）。11、線面垂直：⑴定義：如果一條直線垂直于一個平面內的任意一條直線，那么就說這條直線和這個平面垂直。⑵判定：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直（簡稱線線垂直，則線面垂直）。⑶性質：垂直于同一個平面的兩條直線平行。12、面面垂直：⑴定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。⑵判定：一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直（簡稱線面垂直，則面面垂直）。⑶性質：兩個平面互相垂直，則一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面。（簡稱面面垂直，則線面垂直）。第三章：直線與方程一、直線與方程（1）直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°（2）直線的斜率①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當時，；當時，；當時，不存在。②過兩點的直線的斜率公式：注意下面四點：(1)當時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。（3）直線方程①點斜式：直線斜率k，且過點注意：當直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。當直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示．但因l上每一點的橫坐標都等于x1，所以它的方程是x=x1。②斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b③兩點式：（）直線兩點，④截矩式：其中直線與軸交于點,與軸交于點,即與軸、軸的截距分別為。⑤一般式：（A，B不全為0）注意：eq\o\ac(○,1)各式的適用范圍eq\o\ac(○,2)特殊的方程如：平行于x軸的直線：（b為常數）；平行于y軸的直線：（a為常數）；（5）直線系方程：即具有某一共同性質的直線（一）平行直線系平行于已知直線（是不全為0的常數）的直線系：（C為常數）（二）過定點的直線系（?。┬甭蕿閗的直線系：，直線過定點；（ⅱ）過兩條直線，的交點的直線系方程為（為參數），其中直線不在直線系中。（6）兩直線平行與垂直當，時，；注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。（7）兩條直線的交點相交交點坐標即方程組的一組解。方程組無解；方程組有無數解與重合（8）兩點間距離公式：設是平面直角坐標系中的兩個點，則（9）點到直線距離公式：一點到直線的距離（10）兩平行直線距離公式在任一直線上任取一點，再轉化為點到直線的距離進行求解?？偨Y：1、傾斜角與斜率：2、直線方程：⑴點斜式：⑵斜截式：⑶兩點式：⑷截距式：⑸一般式：3、對于直線：有：；⑵和相交；⑶和重合；⑷.4、對于直線：有：；⑵和相交；和重合；⑷.5、兩點間距離公式：6、點到直線距離公式：7、兩平行線間的距離公式：：與：平行，則第四章：圓與方程1、圓的定義：平面內到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。2、圓的方程（1）標準方程，圓心，半徑為r；（2）一般方程當時，方程表示圓，此時圓心為，半徑為當時，表示一個點；當時，方程不表示任何圖形。（3）求圓方程的方法：一般都采用待定系數法：先設后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標準方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圓的幾何性質：如弦的中垂線必經過原點，以此來確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關系：直線與圓的位置關系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：（1）設直線，圓，圓心到l的距離為，則有；；（2）設直線，圓，先將方程聯立消元，得到一個一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有；；注：如果圓心的位置在原點，可使用公式去解直線與圓相切的問題，其中表示切點坐標，r表示半徑。(3)過圓上一點的切線方程：①圓x2+y2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(課本命題)．②圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(課本命題的推廣)．4、圓與圓的位置關系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。設圓，兩圓的位置關系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。當時兩圓外離，此時有公切線四條；當時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內公切線一條；當時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當時，兩圓內切，連心線經過切點，只有一條公切線；當時，兩圓內含；當時，為同心圓。總結：1、圓的方程：⑴標準方程：其中圓心為，半徑為.⑵一般方程：.其中圓心為，半徑為.2、直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系有三種:;;.弦長公式：3、兩圓位置關系：⑴外離：；⑵外切：；⑶相交：；⑷內切：；⑸內含：.3、空間中兩點間距離公式：必修3數學知識點第一章：算法1、算法三種語言：自然語言、流程圖、程序語言；2、流程圖中的圖框：起止框、輸入輸出框、處理框、判斷框、流程線等規(guī)范表示方法；3、算法的三種基本結構：順序結構、條件結構、循環(huán)結構序結構示意圖：語句n+1語句n+1語句n（圖1）⑵條件結構示意圖：IF-THEN-ELSE格式：滿足條件？滿足條件？語句1語句2是否（圖2）滿足條件？語句是否②滿足條件？語句是否（圖3）⑶循環(huán)結構示意圖：①當型（WHILE型）循環(huán)結構示意圖：滿足條件？滿足條件？循環(huán)體是否（圖4）②直到型（UNTIL型）循環(huán)結構示意圖：滿足條件？滿足條件？循環(huán)體是否（圖5）4、基本算法語句：①輸入語句的一般格式：INPUT“提示內容”；變量②輸出語句的一般格式：PRINT“提示內容”；表達式③賦值語句的一般格式：變量＝表達式（“=”有時也用“←”）.④條件語句的一般格式有兩種：IF—THEN—ELSE語句的一般格式為：IFIF條件THEN語句1ELSE語句2ENDIF（圖2）（圖2）IF—THEN語句的一般格式為：IFIF條件THEN語句ENDIF（圖3）⑤循環(huán)語句的一般格式是兩種：當型循環(huán)（WHILE）語句的一般格式：WHILE條件WHILE條件循環(huán)體WEND（圖（圖4）直到型循環(huán)（UNTIL）語句的一般格式：DODO循環(huán)體LOOPUNTIL條件（圖（圖5）⑹算法案例：①輾轉相除法—結果是以相除余數為0而得到利用輾轉相除法求最大公約數的步驟如下：ⅰ）：用較大的數m除以較小的數n得到一個商和一個余數；ⅱ）：若＝0，則n為m，n的最大公約數；若≠0，則用除數n除以余數得到一個商和一個余數；ⅲ）：若＝0，則為m，n的最大公約數；若≠0，則用除數除以余數得到一個商和一個余數；……依次計算直至＝0，此時所得到的即為所求的最大公約數。②更相減損術—結果是以減數與差相等而得到利用更相減損術求最大公約數的步驟如下：ⅰ）：任意給出兩個正數；判斷它們是否都是偶數。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。ⅱ）：以較大的數減去較小的數，接著把較小的數與所得的差比較，并以大數減小數。繼續(xù)這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數（等數）就是所求的最大公約數。③進位制十進制數化為k進制數—除k取余法k進制數化為十進制數第二章：統計1、抽樣方法：①簡單隨機抽樣（總體個數較少）②系統抽樣（總體個數較多）③分層抽樣（總體中差異明顯）注意：在N個個體的總體中抽取出n個個體組成樣本，每個個體被抽到的機會（概率）均為。2、總體分布的估計：⑴一表二圖：①頻率分布表——數據詳實②頻率分布直方圖——分布直觀③頻率分布折線圖——便于觀察總體分布趨勢注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為1。=2\*GB2⑵莖葉圖：①莖葉圖適用于數據較少的情況，從中便于看出數據的分布，以及中位數、眾位數等。②個位數為葉，十位數為莖，右側數據按照從小到大書寫，相同的數據重復寫。3、總體特征數的估計：⑴平均數：；取值為的頻率分別為，則其平均數為；注意：頻率分布表計算平均數要取組中值。=2\*GB2⑵方差與標準差：一組樣本數據方差：；標準差：注：方差與標準差越小，說明樣本數據越穩(wěn)定。平均數反映數據總體水平；方差與標準差反映數據的穩(wěn)定水平。⑶線性回歸方程①變量之間的兩類關系：函數關系與相關關系；②制作散點圖，判斷線性相關關系③線性回歸方程：（最小二乘法）注意：線性回歸直線經過定點。第三章：概率1、隨機事件及其概率：⑴事件：試驗的每一種可能的結果，用大寫英文字母表示；=2\*GB2⑵必然事件、不可能事件、隨機事件的特點；⑶隨機事件A的概率：.2、古典概型：⑴基本事件：一次試驗中可能出現的每一個基本結果；=2\*GB2⑵古典概型的特點：①所有的基本事件只有有限個；②每個基本事件都是等可能發(fā)生。⑶古典概型概率計算公式：一次試驗的等可能基本事件共有n個，事件A包含了其中的m個基本事件，則事件A發(fā)生的概率.3、幾何概型：⑴幾何概型的特點：①所有的基本事件是無限個；②每個基本事件都是等可能發(fā)生。=2\*GB2⑵幾何概型概率計算公式：；其中測度根據題目確定，一般為線段、角度、面積、體積等。4、互斥事件：⑴不可能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件；⑵如果事件任意兩個都是互斥事件，則稱事件彼此互斥。⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B發(fā)生的概率，等于事件A，B發(fā)生的概率的和，即：⑷如果事件彼此互斥，則有：⑸對立事件：兩個互斥事件中必有一個要發(fā)生，則稱這兩個事件為對立事件。事件的對立事件記作：對立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是對立事件。選修數學知識點專題一：常用邏輯用語（選修2——1）1、命題：可以判斷真假的語句叫命題；邏輯聯結詞：“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯結詞；簡單命題：不含邏輯聯結詞的命題;復合命題：由簡單命題與邏輯聯結詞構成的命題.常用小寫的拉丁字母，，，，……表示命題.2、四種命題及其相互關系四種命題的真假性之間的關系：⑴、兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；⑵、兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．3、充分條件、必要條件與充要條件⑴、一般地，如果已知，那么就說：是的充分條件，是的必要條件；若，則是的充分必要條件，簡稱充要條件．⑵、充分條件，必要條件與充要條件主要用來區(qū)分命題的條件與結論之間的關系：Ⅰ、從邏輯推理關系上看：①若，則是充分條件，是的必要條件；②若，但，則是充分而不必要條件;③若，但，則是必要而不充分條件;④若且，則是的充要條件；⑤若且，則是的既不充分也不必要條件.Ⅱ、從集合與集合之間的關系上看：已知滿足條件，滿足條件：①若,則是充分條件；②若,則是必要條件；③若AB，則是充分而不必要條件;④若BA，則是必要而不充分條件;⑤若，