工科數(shù)學(xué)分析 課件 6-6 空間曲面與空間曲線

第六節(jié)空間曲面與空間曲線工科數(shù)學(xué)分析北京理工大學(xué)第二學(xué)期空間曲面及其方程曲面方程的概念旋轉(zhuǎn)曲面柱面橢圓錐面小結(jié)水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等．曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡．曲面的實(shí)例：一、曲面方程的概念空間曲面可看做點(diǎn)的軌跡，而點(diǎn)的軌跡可由點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程來(lái)表達(dá)。因此，空間曲面可由方程來(lái)表示，反過(guò)來(lái)也成立。曲面方程的定義：以下給出幾例常見(jiàn)的曲面.解根據(jù)題意有所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為解根據(jù)題意有所求方程為根據(jù)題意有化簡(jiǎn)得所求方程解例4

方程的圖形是怎樣的？根據(jù)題意有圖形上不封頂，下封底．解以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問(wèn)題：（2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀．（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面、二次曲面）（1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程．二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．播放二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的特征：如圖將代入將代入得方程解

圓錐面方程例6

將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．旋轉(zhuǎn)雙曲面單葉雙曲面為雙重直紋曲面的典型例子假如一個(gè)曲面上的任意一點(diǎn)均有兩條不同的直線經(jīng)過(guò)，那么稱該曲面為雙重直紋曲面（英語(yǔ)：DoublyRuledSurface）。雙曲拋物面和單葉雙曲面即為雙重直紋曲面的典型例子。對(duì)于曲面上每個(gè)點(diǎn)均有三條或更多的直線經(jīng)過(guò)的曲面，可稱為三重和多重直紋曲面。在三維歐幾里得空間中，除了平面以外，不存在這樣的直紋曲面。旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面播放定義三、柱面觀察柱面的形成過(guò)程:平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.定義三、柱面觀察柱面的形成過(guò)程:平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.定義三、柱面觀察柱面的形成過(guò)程:平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.定義三、柱面觀察柱面的形成過(guò)程:平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.定義三、柱面觀察柱面的形成過(guò)程:平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.定義三、柱面觀察柱面的形成過(guò)程:平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.定義三、柱面觀察柱面的形成過(guò)程:平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.定義三、柱面觀察柱面的形成過(guò)程:平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.定義三、柱面觀察柱面的形成過(guò)程:平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.定義三、柱面觀察柱面的形成過(guò)程:平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.定義三、柱面觀察柱面的形成過(guò)程:平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.定義三、柱面觀察柱面的形成過(guò)程:平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.定義三、柱面觀察柱面的形成過(guò)程:平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的直線所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.柱面舉例拋物柱面平面從柱面方程看柱面的特征：（其他類推）實(shí)例橢圓柱面//軸雙曲柱面//軸拋物柱面//軸**錐面橢圓錐面c.二次錐面曲面方程的概念旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法.柱面的概念(母線、準(zhǔn)線).四、小結(jié)橢圓錐面的概念(母線、準(zhǔn)線).空間曲線及其方程空間曲線的一般方程空間曲線的參數(shù)方程空間曲線在坐標(biāo)面上的投影柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系小結(jié)空間曲線的一般方程

曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在曲線上，不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程.空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.特點(diǎn)：一、空間曲線的一般方程例1

方程組表示怎樣的曲線？解表示圓柱面，表示平面，交線為橢圓.例2

方程組表示怎樣的曲線？解上半球面,圓柱面,交線如圖.空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程

動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)t時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到M(x,y,z)點(diǎn)螺旋線的參數(shù)方程取時(shí)間t為參數(shù)，解螺旋線的參數(shù)方程還可以寫(xiě)為螺旋線的重要性質(zhì)：上升的高度與轉(zhuǎn)過(guò)的角度成正比．即上升的高度螺距消去變量z后得：曲線關(guān)于的投影柱面設(shè)空間曲線的一般方程：以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面.投影柱面的特征：三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影如圖:投影曲線的研究過(guò)程.空間曲線投影曲線投影柱面類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影面上的投影曲線,面上的投影曲線,空間曲線在面上的投影曲線例4

求曲線在坐標(biāo)面上的投影.解（1）消去變量z后得在面上的投影為（3）同理在面上的投影也為線段.（2）因?yàn)榍€在平面上，所以在面上的投影為線段.截線方程為解如圖,補(bǔ)充:空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影