2022年湘贛十四校、等數(shù)學高三第一學期期末教學質量檢測模擬試題含解析

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知定義在上的函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，且對任意，，都有，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．若兩個非零向量、滿足，且，則與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．3．函數(shù)的最大值為，最小正周期為，則有序數(shù)對為（）A． B． C． D．4．已知復數(shù)z=2i1-i，則A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知，則（）A． B． C． D．6．已知數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列.若的前n項和為，則的最小值為（）A． B． C． D．7．正三棱錐底面邊長為3，側棱與底面成角，則正三棱錐的外接球的體積為（）A． B． C． D．8．若不等式對于一切恒成立，則的最小值是（）A．0 B． C． D．9．設，，分別是中，，所對邊的邊長，則直線與的位置關系是（）A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直10．自2019年12月以來，在湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，研究表明，該新型冠狀病毒具有很強的傳染性各級政府反應迅速，采取了有效的防控阻擊措施，把疫情控制在最低范圍之內.某社區(qū)按上級要求做好在鄂返鄉(xiāng)人員體格檢查登記，有3個不同的住戶屬在鄂返鄉(xiāng)住戶，負責該小區(qū)體格檢查的社區(qū)診所共有4名醫(yī)生，現(xiàn)要求這4名醫(yī)生都要分配出去，且每個住戶家里都要有醫(yī)生去檢查登記，則不同的分配方案共有（）A．12種 B．24種 C．36種 D．72種11．若，則實數(shù)的大小關系為（）A． B． C． D．12．設，則復數(shù)的模等于()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的焦點坐標為______.14．，則f（f（2））的值為____________．15．在的二項展開式中，x的系數(shù)為________．（用數(shù)值作答）16．已知等差數(shù)列的前n項和為，，，則＝_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的焦點為，，離心率為，點P為橢圓C上一動點，且的面積最大值為，O為坐標原點.(1)求橢圓C的方程；(2)設點，為橢圓C上的兩個動點，當為多少時，點O到直線MN的距離為定值.18．（12分）在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為．（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；（2）設點，直線l與曲線C交于不同的兩點A、B，求的值．19．（12分）如圖，四棱錐中，底面是矩形，面底面，且是邊長為的等邊三角形，在上，且面.（1）求證:是的中點；（2）在上是否存在點，使二面角為直角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.20．（12分）在中，設、、分別為角、、的對邊，記的面積為，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的值．21．（12分）設函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值為，且，求的最小值．22．（10分）為了拓展城市的旅游業(yè)，實現(xiàn)不同市區(qū)間的物資交流，政府決定在市與市之間建一條直達公路，中間設有至少8個的偶數(shù)個十字路口，記為，現(xiàn)規(guī)劃在每個路口處種植一顆楊樹或者木棉樹，且種植每種樹木的概率均為.（1）現(xiàn)征求兩市居民的種植意見，看看哪一種植物更受歡迎，得到的數(shù)據(jù)如下所示：A市居民B市居民喜歡楊樹300200喜歡木棉樹250250是否有的把握認為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關性；（2）若從所有的路口中隨機抽取4個路口，恰有個路口種植楊樹，求的分布列以及數(shù)學期望；（3）在所有的路口種植完成后，選取3個種植同一種樹的路口，記總的選取方法數(shù)為，求證：.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)題意，分析可得函數(shù)的圖象關于對稱且在上為減函數(shù)，則不等式等價于，解得的取值范圍，即可得答案.【詳解】解:因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于對稱，因為對任意，，都有，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，則，解得：.即實數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點睛】本題考查函數(shù)的對稱性與單調性的綜合應用，涉及不等式的解法，屬于綜合題.2、A【解析】

設平面向量與的夾角為，由已知條件得出，在等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運算律可求得的值，即為所求.【詳解】設平面向量與的夾角為，，可得，在等式兩邊平方得，化簡得.故選：A.【點睛】本題考查利用平面向量的模求夾角的余弦值，考查平面向量數(shù)量積的運算性質的應用，考查計算能力，屬于中等題.3、B【解析】函數(shù)（為輔助角）∴函數(shù)的最大值為，最小正周期為故選B4、C【解析】分析：根據(jù)復數(shù)的運算，求得復數(shù)z，再利用復數(shù)的表示，即可得到復數(shù)對應的點，得到答案．詳解：由題意，復數(shù)z=2i1-i所以復數(shù)z在復平面內對應的點的坐標為(-1,-1)，位于復平面內的第三象限，故選C．點睛：本題主要考查了復數(shù)的四則運算及復數(shù)的表示，其中根據(jù)復數(shù)的四則運算求解復數(shù)z是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力．5、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性，即當?shù)讛?shù)大于1時單調遞增，當?shù)讛?shù)大于零小于1時單調遞減，對選項逐一驗證即可得到正確答案.【詳解】因為，所以，所以是減函數(shù)，又因為，所以，，所以，，所以A,B兩項均錯；又，所以，所以C錯；對于D，，所以，故選D.【點睛】這個題目考查的是應用不等式的性質和指對函數(shù)的單調性比較大小，兩個式子比較大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性質得到大小關系，有時可以代入一些特殊的數(shù)據(jù)得到具體值，進而得到大小關系.6、D【解析】

利用等比中項性質可得等差數(shù)列的首項，進而求得，再利用二次函數(shù)的性質，可得當或時，取到最小值.【詳解】根據(jù)題意，可知為等差數(shù)列，公差，由成等比數(shù)列，可得，∴，解得.∴.根據(jù)單調性，可知當或時，取到最小值，最小值為.故選：D.【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式、等比中項性質、等差數(shù)列前項和的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意當或時同時取到最值.7、D【解析】

由側棱與底面所成角及底面邊長求得正棱錐的高，再利用勾股定理求得球半徑后可得球體積．【詳解】如圖，正三棱錐中，是底面的中心，則是正棱錐的高，是側棱與底面所成的角，即＝60°，由底面邊長為3得，∴．正三棱錐外接球球心必在上，設球半徑為，則由得，解得，∴．故選：D．【點睛】本題考查球體積，考查正三棱錐與外接球的關系．掌握正棱錐性質是解題關鍵．8、C【解析】

試題分析：將參數(shù)a與變量x分離，將不等式恒成立問題轉化為求函數(shù)最值問題，即可得到結論．解：不等式x2+ax+1≥0對一切x∈(0，]成立，等價于a≥-x-對于一切成立，∵y=-x-在區(qū)間上是增函數(shù)∴∴a≥-∴a的最小值為-故答案為C．考點：不等式的應用點評：本題綜合考查了不等式的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，屬于中檔題9、C【解析】試題分析：由已知直線的斜率為，直線的斜率為，又由正弦定理得，故，兩直線垂直考點：直線與直線的位置關系10、C【解析】

先將4名醫(yī)生分成3組，其中1組有2人，共有種選法，然后將這3組醫(yī)生分配到3個不同的住戶中去，有種方法，由分步原理可知共有種.【詳解】不同分配方法總數(shù)為種.故選：C【點睛】此題考查的是排列組合知識，解此類題時一般先組合再排列，屬于基礎題.11、A【解析】

將化成以為底的對數(shù)，即可判斷的大小關系；由對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質，可判斷出與1的大小關系，從而可判斷三者的大小關系.【詳解】依題意，由對數(shù)函數(shù)的性質可得.又因為，故.故選:A.【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質，考查了對數(shù)函數(shù)的性質，考查了對數(shù)的運算性質.兩個對數(shù)型的數(shù)字比較大小時，底數(shù)相同，則構造對數(shù)函數(shù)，結合對數(shù)的單調性可判斷大小；若真數(shù)相同，則結合對數(shù)函數(shù)的圖像或者換底公式可判斷大小；若真數(shù)和底數(shù)都不相同，則可與中間值如1,0比較大小.12、C【解析】

利用復數(shù)的除法運算法則進行化簡,再由復數(shù)模的定義求解即可.【詳解】因為,所以,由復數(shù)模的定義知,.故選:C【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算法則和復數(shù)的模;考查運算求解能力;屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

變換得到，計算焦點得到答案.【詳解】拋物線的標準方程為，，所以焦點坐標為．故答案為：【點睛】本題考查了拋物線的焦點坐標，屬于簡單題.14、1【解析】

先求f（1），再根據(jù)f（1）值所在區(qū)間求f（f（1））.【詳解】由題意，f（1）=log3（11–1）=1，故f（f（1））=f（1）=1×e1–1=1，故答案為：1．【點睛】本題考查分段函數(shù)求值，考查對應性以及基本求解能力.15、-40【解析】

由題意，可先由公式得出二項展開式的通項，再令10-3r=1，得r=3即可得出x項的系數(shù)【詳解】的二項展開式的通項公式為，r=0，1，2，3，4，5，令，所以的二項展開式中x項的系數(shù)為.故答案為：-40.【點睛】本題考查二項式定理的應用，解題關鍵是靈活掌握二項式展開式通項的公式，屬于基礎題.16、【解析】

利用求出公差，結合等差數(shù)列的通項公式可求.【詳解】設公差為，因為，所以，即.所以.故答案為：【點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式的求解，利用等差數(shù)列的基本量是求解這類問題的通性通法，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）當＝0時，點O到直線MN的距離為定值.【解析】

（1）的面積最大時，是短軸端點，由此可得，再由離心率及可得，從而得橢圓方程；（2）在直線斜率存在時，設其方程為，現(xiàn)橢圓方程聯(lián)立消元（）后應用韋達定理得，注意，一是計算，二是計算原點到直線的距離，兩者比較可得結論．【詳解】（1）因為在橢圓上，當是短軸端點時，到軸距離最大，此時面積最大，所以，由，解得，所以橢圓方程為．（2）在時，設直線方程為，原點到此直線的距離為，即，由，得，，，所以，，，所以當時，，，為常數(shù)．若，則，，，，，綜上所述，當＝0時，點O到直線MN的距離為定值.【點睛】本題考查求橢圓方程與橢圓的幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查運算求解能力．解題方法是“設而不求”法．在直線與圓錐曲線相交時常用此法通過韋達定理聯(lián)系已知式與待求式．18、（1），（2）【解析】

(1)利用極坐標與直角坐標的互化公式即可把曲線的極坐標方程化為直角坐標方程,利用消去參數(shù)即可得到直線的直角坐標方程;(2)由于在直線上,寫出直線的標準參數(shù)方程參數(shù)方程,代入曲線的方程利用參數(shù)的幾何意義即可得出求解即可.【詳解】（1）直線的普通方程為，即，根據(jù)極坐標與直角坐標之間的相互轉化，，，而，則，即，故直線l的普通方程為，曲線C的直角坐標方程（2）點在直線l上，且直線的傾斜角為，可設直線的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），代入到曲線C的方程得，，，由參數(shù)的幾何意義知．【點睛】熟練掌握極坐標與直角坐標的互化公式、方程思想、直線的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是解題的關鍵,難度一般.19、(1)見解析;(2).【解析】試題分析：(1)連交于可得是中點，再根據(jù)面可得進而根據(jù)中位線定理可得結果；(2)取中點，由（1）知兩兩垂直.以為原點，所在直線分別為軸,軸，軸建立空間直角坐標系，求出面的一個法向量，用表示面的一個法向量，由可得結果.試題解析：(1)證明：連交于，連是矩形，是中點.又面，且是面與面的交線，是的中點.(2)取中點，由（1）知兩兩垂直.以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖），則各點坐標為.設存在滿足要求，且，則由得：，面的一個法向量為，面的一個法向量為，由，得，解得，故存在，使二面角為直角，此時.20、（1）；（2）【解析】

（1）由三角形面積公式，平面向量數(shù)量積的運算可得，結合范圍，可求，進而可求的值．（2）利用同角三角函數(shù)基本關系式可求，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求的值，由正弦定理可求得的值．【詳解】解：（1）由，得，因為，所以，可得：．（2）中，，所以.所以：，由正弦定理，得，解得，【點睛】本題主要考查了三角形面積公式，平面向量數(shù)量積的運算，同角三角函數(shù)基本關系式，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．21、（1）或（2）最小值為．【解析】

（1）討論，，三種情況，分別計算得到答案.（2）計算得到，再利用均值不等式計算得