2023屆安徽省定遠縣育才中學高三數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若點x,y位于由曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界），則A．-3,1 B．-3,5 C．-∞,-32．函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．3．已知雙曲線（）的漸近線方程為，則（）A． B． C． D．4．博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發(fā)奇想，設計兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1，P2，則（）A．P1?P2＝ B．P1＝P2＝ C．P1+P2＝ D．P1＜P25．如圖示，三棱錐的底面是等腰直角三角形，，且，，則與面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．6．已知集合，集合，則（）.A． B．C． D．7．如圖，長方體中，，，點T在棱上，若平面.則（）A．1 B． C．2 D．8．已知雙曲線：（，）的焦距為.點為雙曲線的右頂點，若點到雙曲線的漸近線的距離為，則雙曲線的離心率是（）A． B． C．2 D．39．復數(shù)的虛部為（）A． B． C．2 D．10．設a,b∈(0,1)∪(1,+∞)，則"a=b"是"logA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知數(shù)列滿足，則（）A． B． C． D．12．若單位向量，夾角為，，且，則實數(shù)（）A．－1 B．2 C．0或－1 D．2或－1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，若向量與向量平行，則實數(shù)___________．14．已知向量，滿足，，且已知向量，的夾角為，，則的最小值是__．15．已知一組數(shù)據(jù)，1，0，，的方差為10，則________16．已知一組數(shù)據(jù)1.6，1.8，2，2.2，2.4，則該組數(shù)據(jù)的方差是_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，從流水線上隨機抽取件產(chǎn)品，統(tǒng)計其質(zhì)量指標值并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：規(guī)定產(chǎn)品的質(zhì)量指標值在的為劣質(zhì)品，在的為優(yōu)等品，在的為特優(yōu)品，銷售時劣質(zhì)品每件虧損元，優(yōu)等品每件盈利元，特優(yōu)品每件盈利元，以這件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于該區(qū)間的概率．（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤；（2）該企業(yè)主管部門為了解企業(yè)年營銷費用（單位：萬元）對年銷售量（單位：萬件）的影響，對該企業(yè)近年的年營銷費用和年銷售量，數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點圖（如圖2）及一些統(tǒng)計量的值．表中，，，．根據(jù)散點圖判斷，可以作為年銷售量（萬件）關于年營銷費用（萬元）的回歸方程．①求關于的回歸方程；②用所求的回歸方程估計該企業(yè)每年應投入多少營銷費，才能使得該企業(yè)的年收益的預報值達到最大？（收益銷售利潤營銷費用，?。└剑簩τ谝唤M數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．18．（12分）如圖所示，在四棱錐中，平面，底面ABCD滿足AD∥BC，，，E為AD的中點，AC與BE的交點為O.（1）設H是線段BE上的動點，證明：三棱錐的體積是定值；（2）求四棱錐的體積；（3）求直線BC與平面PBD所成角的余弦值．19．（12分）已知曲線的極坐標方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線的直角坐標方程與直線的普通方程；（2）已知點，直線與曲線交于、兩點，求.20．（12分）已知，，動點滿足直線與直線的斜率之積為，設點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若過點的直線與曲線交于，兩點，過點且與直線垂直的直線與相交于點，求的最小值及此時直線的方程.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，為正三角形，平面平面分別是的中點.（1）證明:平面（2）若，求二面角的余弦值.22．（10分）已知數(shù)列中，（實數(shù)為常數(shù)），是其前項和，且數(shù)列是等比數(shù)列，恰為與的等比中項．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）若，當時，的前項和為，求證：對任意，都有．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

畫出曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域，y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(x,y)【詳解】畫出曲線x=y-2+1與y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(x,y)和定點P(2,-1)設k=y+1x-2，結(jié)合圖形可得k≥k由題意得點A,B的坐標分別為A(3,0),B(1,2)，∴kPA∴k≥1或k≤-3，∴y+1x-2的取值范圍為-∞,-3故選D．【點睛】解答本題的關鍵有兩個：一是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求解問題，即把y+1x-22、D【解析】

由題可得函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除選項B；又，，所以排除選項A、C，故選D．3、A【解析】

根據(jù)雙曲線方程（），確定焦點位置，再根據(jù)漸近線方程得到求解.【詳解】因為雙曲線（），所以，又因為漸近線方程為，所以，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.4、C【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、321方案一坐車可能：132、213、231，所以，P1＝；方案二坐車可能：312、321，所以，P1＝；所以P1+P2＝故選C.【點睛】本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數(shù)，屬于基礎題.5、A【解析】

首先找出與面所成角，根據(jù)所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)關系求出所成角的正弦值.【詳解】由題知是等腰直角三角形且，是等邊三角形，設中點為，連接，，可知，，同時易知，，所以面，故即為與面所成角，有，故.故選：A.【點睛】本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計算，屬于基礎題.6、A【解析】

算出集合A、B及，再求補集即可.【詳解】由，得，所以，又，所以，故或.故選：A.【點睛】本題考查集合的交集、補集運算，考查學生的基本運算能力，是一道基礎題.7、D【解析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可知；結(jié)合即可證明，進而求得.由線段關系及平面向量數(shù)量積定義即可求得.【詳解】長方體中，，點T在棱上，若平面.則，則，所以，則，所以，故選：D.【點睛】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)應用，平面向量數(shù)量積的運算，屬于基礎題.8、A【解析】

由點到直線距離公式建立的等式，變形后可求得離心率．【詳解】由題意，一條漸近線方程為，即，∴，，即，，．故選：A．【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，掌握漸近線方程與點到直線距離公式是解題基礎．9、D【解析】

根據(jù)復數(shù)的除法運算，化簡出，即可得出虛部.【詳解】解：=，故虛部為-2.故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算和復數(shù)的概念.10、A【解析】

根據(jù)題意得到充分性，驗證a=2,b=1【詳解】a,b∈0,1∪1,+∞，當"a=b當logab=log故選：A.【點睛】本題考查了充分不必要條件，意在考查學生的計算能力和推斷能力.11、C【解析】

利用的前項和求出數(shù)列的通項公式，可計算出，然后利用裂項法可求出的值.【詳解】.當時，；當時，由，可得，兩式相減，可得，故，因為也適合上式，所以.依題意，，故.故選：C.【點睛】本題考查利用求，同時也考查了裂項求和法，考查計算能力，屬于中等題.12、D【解析】

利用向量模的運算列方程，結(jié)合向量數(shù)量積的運算，求得實數(shù)的值.【詳解】由于，所以，即，，即，解得或.故選：D【點睛】本小題主要考查向量模的運算，考查向量數(shù)量積的運算，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題可得，因為向量與向量平行，所以，解得．14、【解析】

求的最小值可以轉(zhuǎn)化為求以AB為直徑的圓到點O的最小距離，由此即可得到本題答案.【詳解】如圖所示，設，由題，得，又，所以，則點C在以AB為直徑的圓上，取AB的中點為M，則，設以AB為直徑的圓與線段OM的交點為E，則的最小值是，因為，又，所以的最小值是.故答案為：【點睛】本題主要考查向量的綜合應用問題，涉及到圓的相關知識與余弦定理，考查學生的分析問題和解決問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.15、7或【解析】

依據(jù)方差公式列出方程，解出即可．【詳解】，1，0，，的平均數(shù)為，所以解得或．【點睛】本題主要考查方差公式的應用．16、0.08【解析】

先求解這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，然后利用方差的公式可得結(jié)果.【詳解】首先求得，．故答案為：0.08.【點睛】本題主要考查數(shù)據(jù)的方差，明確方差的計算公式是求解的關鍵，側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）元．（2）①②萬元【解析】

（1）每件產(chǎn)品的銷售利潤為，由已知可得的取值，由頻率分布直方圖可得劣質(zhì)品、優(yōu)等品、特優(yōu)品的概率，從而可得的概率分布列，依期望公式計算出期望即為平均銷售利潤；（2）①對取自然對數(shù)，得，令，，，則，這就是線性回歸方程，由所給公式數(shù)據(jù)計算出系數(shù)，得線性回歸方程，從而可求得；②求出收益，可設換元后用導數(shù)求出最大值．【詳解】解：（1）設每件產(chǎn)品的銷售利潤為，則的可能取值為，，．由頻率分布直方圖可得產(chǎn)品為劣質(zhì)品、優(yōu)等品、特優(yōu)品的概率分別為、、．所以；；．所以的分布列為所以（元）．即每件產(chǎn)品的平均銷售利潤為元．（2）①由，得，令，，，則，由表中數(shù)據(jù)可得，則，所以，即，因為取，所以，故所求的回歸方程為．②設年收益為萬元，則令，則，，當時，，當時，，所以當，即時，有最大值．即該企業(yè)每年應該投入萬元營銷費，能使得該企業(yè)的年收益的預報值達到最大，最大收益為萬元．【點睛】本題考查頻率分布直方圖，考查隨機變量概率分布列與期望，考查求線性回歸直線方程，及回歸方程的應用．在求指數(shù)型回歸方程時，可通過取對數(shù)的方法轉(zhuǎn)化為求線性回歸直線方程，然后再求出指數(shù)型回歸方程．18、（1）證明見解析（2）（3）【解析】

（1）因為底面ABCD為梯形，且，所以四邊形BCDE為平行四邊形，則BE∥CD，又平面，平面，所以平面，又因為H為線段BE上的動點，的面積是定值，從而三棱錐的體積是定值.（2）因為平面，所以，結(jié)合BE∥CD，所以，又因為，，且E為AD的中點，所以四邊形ABCE為正方形，所以，結(jié)合，則平面，連接，則，因為平面，所以，因為，所以是等腰直角三角形，O為斜邊AC上的中點，所以，且，所以平面，所以PO是四棱錐的高，又因為梯形ABCD的面積為，在中，，所以.（3）以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，則B（，0，0），C（0，，0），D（，，0），P（0，0，），則，設平面PBD的法向量為，則即則，令，得到，設BC與平面PBD所成的角為，則，所以，所以直線BC與平面PBD所成角的余弦值為．19、(1).(2)【解析】

（1）根據(jù)極坐標與直角坐標互化公式，以及消去參數(shù)，即可求解；（2）設兩點對應的參數(shù)分別為，，將直線的參數(shù)方程代入曲線方程，結(jié)合根與系數(shù)的關系，即可求解.【詳解】（1）對于曲線的極坐標方程為，可得，又由，可得，即，所以曲線的普通方程為.由直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)可得，即直線的方程為，即.（2）設兩點對應的參數(shù)分別為，，將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）代入曲線中，可得.化簡得：，則.所以.【點睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，極坐標方程與直角坐標方程的互化，以及直線的參數(shù)方程的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.20、（1）（2）的最小值為1，此時直線：【解析】

（1）用直接法求軌跡方程，即設動點為，把已知用坐標表示并整理即得．注意取值范圍；（2）設：，將其與曲線的方程聯(lián)立，消元并整理得，設，，則可得，，由求出，將直線方程與聯(lián)立，得，求得，計算，設.顯然，構(gòu)造，由導數(shù)的知識求得其最小值，同時可得直線的方程.【詳解】（1）設，則，即整理得（2）設：，將其與曲線的方程聯(lián)立，得即設，，則，將直線：與聯(lián)立，得∴∴設.顯然構(gòu)造在上恒成立所以在上單調(diào)遞增所以，當且僅當，即時取“=”即的最小值為1，此時直線：.（注：1.如果按函數(shù)的性質(zhì)求最值可以不扣分；2.若直線方程按斜率是否存在討論，則可以根據(jù)步驟相應給分.）【點睛】本題考查求軌跡方程，考查直線與橢圓相交中的最值．直線與橢圓相交問題中常采用“設而不求”的思想方法，即設交點坐標為，設直線方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立并消元，然后用韋達定理得（或），把這個代入其他條件變形計算化簡得出結(jié)論，本題屬于難題，對學生的邏輯推理、運算求解能力有一定的要求．21、（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）連接，由菱形的性質(zhì)以及中位線，得，由平面平面，且交線，得平面，故而，最后由線面垂直的判定得結(jié)論.（2）以為原點建平面直角坐標系，求出