黑龍江省哈爾濱市第三中學2025屆高三數(shù)學下學期第一次調(diào)研考試試題理含解析

PAGE23-黑龍江省哈爾濱市第三中學2025屆高三數(shù)學下學期第一次調(diào)研考試試題理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，則滿意A∪C＝B的集合C的個數(shù)為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】由可確定集合中元素肯定有的元素，然后列出滿意題意的狀況，得到答案.【詳解】由可知集合中肯定有元素2，所以符合要求的集合有，共4種狀況，所以選A項.【點睛】考查集合并集運算，屬于簡潔題.2.已知的共軛復數(shù)是，且（為虛數(shù)單位），則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】設(shè)，整理得到方程組，解方程組即可解決問題．【詳解】設(shè)，因為，所以，所以，解得：，所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，此點位于第四象限.故選D【點睛】本題主要考查了復數(shù)相等、復數(shù)表示的點學問，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．3.設(shè)a，b，c為正數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不修要條件【答案】B【解析】【分析】依據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行推斷即可．【詳解】解：，，正數(shù)，當，，時，滿意，但不成立，即充分性不成立，若，則，即，即，即，成立，即必要性成立，則“”是“”的必要不充分條件，故選：．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的推斷，結(jié)合不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．4.已知數(shù)列的前項和為，且，，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)已知條件推斷出數(shù)列是等比數(shù)列，求得其通項公式，由此求得.【詳解】由于，所以數(shù)列是等比數(shù)列，其首項為，其次項為，所以公比為.所以，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的證明，考查等比數(shù)列通項公式，屬于基礎(chǔ)題.5.已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡為，求出它的圖象向左平移個單位長度后的圖象的函數(shù)表達式，利用所得到的圖象關(guān)于軸對稱列方程即可求得，問題得解．【詳解】函數(shù)可化為：，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，又所得到的圖象關(guān)于軸對稱，所以，解得：，即：，又，所以.故選A.【點睛】本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質(zhì)等學問，考查轉(zhuǎn)化實力，屬于中檔題．6.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】用解除B，C；用解除；可得正確答案.【詳解】解：當時，，，所以，故可解除B，C；當時，，故可解除D．故選：A．【點睛】本題考查了函數(shù)圖象，屬基礎(chǔ)題．7.如圖所示，三國時代數(shù)學家在《周脾算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影），設(shè)直角三角形有一個內(nèi)角為，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲200顆米粒（大小忽視不計，?。瑒t落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（）A.20 B.27 C.54 D.64【答案】B【解析】【分析】設(shè)大正方體的邊長為，從而求得小正方體的邊長為，設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，利用概率模擬列方程即可求解．【詳解】設(shè)大正方體的邊長為，則小正方體的邊長為，設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，則，解得：故選B【點睛】本題主要考查了概率模擬的應用，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題．8.若雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用圓心到漸近線的距離等于半徑即可建立間的關(guān)系.【詳解】由已知，雙曲線的漸近線方程為，故圓心到漸近線的距離等于1，即，所以，.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求法，求雙曲線離心率問題，關(guān)鍵是建立三者間的方程或不等關(guān)系，本題是一道基礎(chǔ)題.9.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是（）A.若,,則 B.若，,則C.若,,則 D.若,,則【答案】C【解析】【分析】在A中，與相交或平行；在B中，或；在C中，由線面垂直的判定定理得；在D中，與平行或．【詳解】設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則：在A中，若，，則與相交或平行，故A錯誤；在B中，若，，則或，故B錯誤；在C中，若，，則由線面垂直的判定定理得，故C正確；在D中，若，，則與平行或，故D錯誤．故選C．【點睛】本題考查命題真假的推斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學問，是中檔題．10.已知定義在R上的偶函數(shù)滿意，當時，，函數(shù)（），則函數(shù)與函數(shù)的圖象的全部交點的橫坐標之和為（）A.2 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)的性質(zhì)可得：的圖像關(guān)于直線對稱且關(guān)于軸對稱，函數(shù)（）的圖像也關(guān)于對稱，由函數(shù)圖像的作法可知兩個圖像有四個交點，且兩兩關(guān)于直線對稱，則與的圖像全部交點的橫坐標之和為4得解.【詳解】由偶函數(shù)滿意，可得的圖像關(guān)于直線對稱且關(guān)于軸對稱，函數(shù)（）圖像也關(guān)于對稱，函數(shù)的圖像與函數(shù)（）的圖像的位置關(guān)系如圖所示，可知兩個圖像有四個交點，且兩兩關(guān)于直線對稱，則與的圖像全部交點的橫坐標之和為4.故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，駕馭函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.11.設(shè)為坐標原點，是以為焦點的拋物線上隨意一點，是線段上的點，且,則直線的斜率的最大值為()A. B. C. D.1【答案】C【解析】試題分析：設(shè)，由題意，明顯時不符合題意，故，則，可得：，當且僅當時取等號，故選C．考點：1．拋物線的簡潔幾何性質(zhì)；2．均值不等式．【方法點晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應用及拋物線標準方程方程，均值不等式的敏捷運用，屬于中檔題．解題時肯定要留意分析條件，依據(jù)條件，利用向量的運算可知，寫出直線的斜率，留意均值不等式的運用，特殊是要分析等號是否成立，否則易出問題．12.已知函數(shù)且，則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，推斷出的單調(diào)性和奇偶性，由此求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，由解得，所以的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，而，所以在定義域上為增函數(shù)，且.由得，即，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式，屬于中檔題.第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.平面直角坐標系中,O為坐標原點,己知A(3,1),B(-1,3),若點C滿意,其中α,β∈R,且α+β=1,則點C的軌跡方程為【答案】【解析】【分析】依據(jù)向量共線定理得A,B,C三點共線，再依據(jù)點斜式得結(jié)果【詳解】因為,且α+β=1，所以A,B,C三點共線，因此點C的軌跡為直線AB:【點睛】本題考查向量共線定理以及直線點斜式方程，考查基本分析求解實力，屬中檔題.14.滿意約束條件的目標函數(shù)的最小值是.【答案】-2【解析】【詳解】可行域是如圖的菱形ABCD，代入計算，知為最小.15.甲、乙、丙、丁四名同學報名參與淮南文明城市創(chuàng)建志愿服務活動，服務活動共有“走進社區(qū)”、“環(huán)境監(jiān)測”、“愛心義演”、“交通宣揚”等四個項目，每人限報其中一項，記事務為“4名同學所報項目各不相同”，事務為“只有甲同學一人報走進社區(qū)項目”，則的值為______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)條件概率的求法，分別求得，再代入條件概率公式求解.【詳解】依據(jù)題意得所以故答案為：【點睛】本題主要考查條件概率的求法，還考查了理解辨析的實力，屬于基礎(chǔ)題.16.四面體中，底面，，，則四面體的外接球的表面積為______【答案】【解析】【分析】由題意畫出圖形，補形為長方體，求其對角線長，可得四面體外接球的半徑，則表面積可求．【詳解】解：如圖，在四面體中，底面，，，可得，補形為長方體，則過一個頂點的三條棱長分別為1，1，，則長方體的對角線長為，則三棱錐的外接球的半徑為1．其表面積為．故答案為：．【點睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，補形是關(guān)鍵，屬于中檔題．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.在平面四邊形中，已知，.（1）若，求的面積；（2）若求的長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在三角形中，利用余弦定理列方程，解方程求得的長，進而由三角形的面積公式求得三角形的面積.（2）利用誘導公式求得，進而求得，利用兩角差的正弦公式，求得，在三角形中利用正弦定理求得，在三角形中利用余弦定理求得的長.【詳解】（1）在中，，解得，.（2）在中，，..【點睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于中檔題.18.如圖,三棱柱中,底面是等邊三角形,側(cè)面是矩形,是的中點,是棱上的點,且.（1）證明：平面；（2）若,求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連結(jié)BM，推導出BC⊥BB1，AA1⊥BC，從而AA1⊥MC，進而AA1⊥平面BCM，AA1⊥MB，推導出四邊形AMNP是平行四邊形，從而MN∥AP，由此能證明MN∥平面ABC．（2）推導出△ABA1是等腰直角三角形，設(shè)AB，則AA1＝2a，BM＝AM＝a，推導出MC⊥BM，MC⊥AA1，BM⊥AA1，以M為坐標原點，MA1，MB，MC為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值．【詳解】（1）如圖1，在三棱柱中，連結(jié)，因為是矩形，所以，因為，所以，又因為，，所以平面，所以，又因為，所以是中點，取中點，連結(jié)，，因為是的中點，則且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因平面，平面，所以平面.（圖1）（圖2）（2）因為，所以是等腰直角三角形，設(shè)，則，.在中，，所以.在中，，所以，由（1）知，則，，如圖2，以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，.所以，則，，設(shè)平面的法向量為，則即取得.故平面的一個法向量為，因為平面的一個法向量為，則.因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明，考查了利用空間向量法求解二面角的方法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學問，考查運算求解實力，是中檔題．19.某校為了解校內(nèi)平安教化系列活動的成效，對全校學生進行一次平安意識測試，依據(jù)測試成果評定“合格”、“不合格”兩個等級，同時對相應等級進行量化：“合格”記分，“不合格”記分.現(xiàn)隨機抽取部分學生的成果，統(tǒng)計結(jié)果及對應的頻率分布直方圖如下所示：等級不合格合格得分頻數(shù)624（Ⅰ）若測試的同學中，分數(shù)段內(nèi)女生的人數(shù)分別為，完成列聯(lián)表，并推斷：是否有以上的把握認為性別與平安意識有關(guān)？是否合格性別不合格合格總計男生女生總計（Ⅱ）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中，共選取人進行座談，現(xiàn)再從這人中任選人，記所選人的量化總分為，求的分布列及數(shù)學期望；（Ⅲ）某評估機構(gòu)以指標（，其中表示的方差）來評估該校平安教化活動的成效，若，則認定教化活動是有效的；否則認定教化活動無效，應調(diào)整平安教化方案.在（Ⅱ）的條件下，推斷該校是否應調(diào)整平安教化方案？附表及公式：，其中.【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）不須要調(diào)整平安教化方案.【解析】【分析】（I）依據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫好列聯(lián)表，計算出的值，由此推斷出在犯錯誤概率不超過的前提下，不能認為性別與平安測試是否合格有關(guān).（II）利用超幾何分布的計算公式，計算出的分布列并求得數(shù)學期望.（III）由（II）中數(shù)據(jù)，計算出，進而求得的值，從而得出該校的平安教化活動是有效的，不須要調(diào)整平安教化方案.【詳解】解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知，得分在的頻率為，故抽取的學生答卷總數(shù)為，.性別與合格狀況的列聯(lián)表為：是否合格性別不合格合格小計男生女生小計即在犯錯誤概率不超過的前提下，不能認為性別與平安測試是否合格有關(guān).（Ⅱ）“不合格”和“合格”的人數(shù)比例為，因此抽取的人中“不合格”有人，“合格”有人，所以可能的取值為,.的分布列為：20151050所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）知：.故我們認為該校的平安教化活動是有效的，不須要調(diào)整平安教化方案.【點睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨立性檢驗，考查超幾何分布的分布列、數(shù)學期望和方差的計算，所以中檔題.20.已知橢圓的左、右焦點分別為直線垂直于軸，垂足為，與拋物線交于不同的兩點，且過的直線與橢圓交于兩點，設(shè)且.（1）求點的坐標；（2）求取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)出的坐標，代入，結(jié)合在拋物線上，求得兩點的橫坐標，進而求得點的坐標.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，結(jié)合，求得的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.【詳解】（1）可知，設(shè)則，又，所以解得所以.（2）據(jù)題意，直線的斜率必不為所以設(shè)將直線方程代入橢圓的方程中，整理得，設(shè)則①②因為所以且將①式平方除以②式得所以又解得又，所以令，則所以【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查向量數(shù)量積的坐標運算，考查向量模的坐標運算，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查運算求解實力，屬于難題.21.某公司欲投資一新型產(chǎn)品的批量生產(chǎn)，預料該產(chǎn)品的每日生產(chǎn)總成本價格)(單位:萬元)是每日產(chǎn)量(單位:噸)的函數(shù):.（1）求當日產(chǎn)量為噸時的邊際成本(即生產(chǎn)過程中一段時間的總成本對該段時間產(chǎn)量的導數(shù))；（2）記每日生產(chǎn)平均成本求證：；（3）若財團每日注入資金可按數(shù)列(單位:億元)遞減，連續(xù)注入天，求證:這天的總投入資金大于億元.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）求得函數(shù)的導函數(shù)，由此求得求當日產(chǎn)量為噸時的邊際成本.（2）將所要證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)證得，由此證得不等式成立.（3）利用（2）的結(jié)論，推斷出，由此結(jié)合對數(shù)運算，證得.【詳解】（1）因為所以當時，（2）要證，只需證，即證，設(shè)則所以在上單調(diào)遞減，所以所以，即；（3）因為又由（2）知，當時，所以所以所以【點睛】本小題主要考查導數(shù)的計算，考查利用導數(shù)證明不等式，考查放縮法證明數(shù)列不等式，屬于難題.請考生在22、23兩題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22.在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，