北師版九下數學2.4.3二次函數的應用（3）【導學案】

利用二次函數解決利潤最大問題導學案學習目標1、學會用二次函數解決利潤最大問題。2、在運用知識解決問題時體會二次函數的應用意義及數學的轉化思想。學習策略結合所學過的二次函數的知識，理解最值的意義；能利用二次函數解決利潤最大問題，體會數學與實踐相結合.學習過程 復習回顧：1、當x=（）時，二次函數y=x2+2x﹣2有最小值A．-1B．y=2C．y=1D．y=-22、在底邊長BC=20cm，高AM=12cm的三角形鐵板ABC上，要截一塊矩形鐵板EFGH，如圖所示．當矩形的邊EF=cm時，矩形鐵板的面積最大，其最大面積為cm2．二.新課學習：1.自學教材P48-49，回答以下問題銷售額的表達式：；利潤的公式：。在例2中，租金與收入的關系式：。2、自學課本P48-49思考下列問題：（1）你能指出例2中的變量跟常量嗎，租金與收入的關系式是什么？（2）解決“利潤最大”的步驟是什么？三.嘗試應用：1.某公司在甲、乙兩地同時銷售某種品牌的汽車．已知在甲、乙兩地的銷售利潤y（單位：萬元）與銷售量x（單位：輛）之間分別滿足：，，若該公司在甲，乙兩地共銷售15輛該品牌的汽車，則能獲得的最大利潤為（）。A．30萬元B．40萬元C．45萬元D．46萬元2.出售某種手工藝品，若每個獲利x元，一天可售出（8-x）個，則當x=元，一天出售該種手工藝品的總利潤y最大．3.春節(jié)期間，為了滿足百姓的消費需求，某商場計劃購進冰箱、彩電進行銷售．冰箱、彩電的進價、售價如表：進價（元/臺）售價（元/臺）冰箱M2500彩電m﹣4002000商場用80000元購進冰箱的數量用64000元購進彩電的數量相等，求表中m的值；（2）為了滿足市場需要要求，商場決定用不超過9萬元采購冰箱、彩電共50臺，且冰箱的數量不少于彩電數量的；若該商場將購進的冰箱、彩電全部售出，求能獲得的最大利潤w的值．自主總結：（1）解決“利潤最大”問題的基本方法：。（2）解決“利潤最大”問題的步驟：自變量；立函數的解析式；確定的取值范圍；根據頂點坐標公式求出最值或最值（在自變量的取值范圍內）。五.達標測試一、選擇題1．如圖所示，橋拱是拋物線形，其函數的表達式為y=﹣，當水位線在AB位置時，水面寬12m，這時水面離橋頂的高度為（）A．3mB．mC．4mD．9m2．某旅游景點的收入受季節(jié)的影響較大，有時候出現賠本的經營狀況．因此，公司規(guī)定：若無利潤時，該景點關閉．經跟蹤測算，該景點一年中的利潤W（萬元）與月份x之間滿足二次函數W=﹣x2+16x﹣48，則該景點一年中處于關閉狀態(tài)有（）月．A．5B．6C．7D．83．便民商店經營一種商品，在銷售過程中，發(fā)現一周利潤y（元）與每件銷售價x（元）之間的關系滿足y=-2（x-20）2+1558，由于某種原因，價格只能15≤x≤22，那么一周可獲得最大利潤是（）A.20B．1508C．1550D．1558二、填空題4.某電商銷售一款夏季時裝，進價40元/件，售價110元/件，每天銷售20件，每銷售一件需繳納電商平臺推廣費用a元（a＞0）。未來30天，這款時裝將開展“每天降價1元”的夏令促銷活動，即從第1天起每天的單價均比前一天降1元。通過市場調研發(fā)現，該時裝單價每降1元，每天銷量增加4件。在這30天內，要使每天繳納電商平臺推廣費用后的利潤隨天數t（t為正整數）的增大而增大，a的取值范圍應為_____________。5．某一型號飛機著陸后滑行的距離y（單位：m）與滑行時間x（單位：s）之間的函數表達式是y=60x﹣1.5x2，該型號飛機著陸后滑行的最大距離是m．6．出售某種文具盒，若每個獲利x元，一天可售出（6-x）個，則當x=元時，一天出售該種文具盒的總利潤y最大．三、解答題7．商店購進一種商品進行銷售，進價為每件40元，售價為每件60元，每月可賣出300件．市場調查反映：調整價格時，售價每漲1元每月要少賣10件；售價每下降1元每月要多賣20件．為了獲得更大的利潤，現將商品售價調整為60＋x（元/件）（x＞0即售價上漲，x＜0即售價下降），每月商品銷量為y（件），月利潤為w（元）．（1）直接寫出y與x之間的函數關系式；（2）當銷售價格是多少時才能使月利潤最大？最大月利潤時多少？8．銀隆百貨大樓服裝柜在銷售中發(fā)現：“COCOTREE”牌童裝每件成本60元，現以每件100元銷售，平均每天可售出20件．為了迎接“五?一”勞動節(jié)，商場決定采取適當的降價措施，以擴大銷售量，增加盈利，盡量減少庫存．經市場調查發(fā)現：如果每件童裝降價1元，那么平均每天就可多銷售2件．（1）要想平均每天銷售這種童裝盈利1200元，請你幫商場算一算，每件童裝應定價多少元？（2）這次降價活動中，1200元是最高日利潤嗎？若是，請說明理由；若不是，請試求最高利潤值．9．某企業(yè)設計了一款工藝品，每件的成本是50元，為了合理定價，投放市場進行試銷．據市場調查，銷售單價是100元時，每天的銷售量是50件，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本．（1）求出每天的銷售利潤y（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；（2）如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4000元，且每天的總成本不超過7000元，那么銷售單價應控制在什么范圍內？（每天的總成本＝每件的成本×每天的銷售量）10．某商品的進價為每件40元，當售價為每件60元時，每星期可賣出300件，現需降價處理，且經市場調查，每降價1元，每星期可多賣出20件，在確保盈利的前提下，解答下列問題：（1）若設每件降價x（x為整數）元，每星期售出商品的利潤為y元，請寫出x與y之間的函數關系式，并求出自變量x的取值范圍；（2）請畫出上述函數的大致圖象.（3）當降價多少元時，每星期的利潤最大？最大利潤是多少？小麗解答過程如下：解：（1）根據題意，可列出表達式：y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x),即y=-20x2+100x+6000.∵降價要確保盈利，∴40＜60-x60.解得0x＜20.（2）上述表達式的圖象是拋物線的一部分，函數的大致圖象如圖1：（3）∵a=-20＜0，∴當x==2.5時，y有最大值，y==6125.所以，當降價2.5元時，每星期的利潤最大，最大利潤為6125.老師看了小麗的解題過程，說小馬第（1）問的表達式是正確的，但自變量x的取值范圍不準確.（2）（3）問的答案，也都存在問題.請你就老師說的問題，進行探究，寫出你認為（1）（2）（3）中正確的答案，或說明錯誤原因.達標測試答案一、選擇題1．【解析】試題分析：由已知AB=12m知：點B的橫坐標為6．把x=6代入y=﹣，得y=﹣9．即水面離橋頂的高度為9m．故選D．考點：二次函數的應用．2．【解析】試題分析：由W=﹣x2+16x﹣48，令W=0，則x2﹣16x+48=0，解得x=12或4，∴不等式﹣x2+16x﹣48＞0的解為，4＜x＜12，∴該景點一年中處于關閉狀態(tài)有5個月．故選A．考點：二次函數的應用、二次不等式與二次函數的關系3．【解析】試題分析：∵一周利潤y（元）與每件銷售價x（元）之間的關系滿足y=-2（x-20）2+1558，且15≤x≤22，∴當x=20時，y最大值=1558．故選D．考點：二次函數的最值．二、填空題4．【解析】試題解析：設未來30天每天獲得的利潤為y，y=（110-40-t）（20+4t）-（20+4t）a化簡，得y=-4t2+（260-4a）t+1400-20a每天繳納電商平臺推廣費用后的利潤隨天數t（t為正整數）的增大而增大，∴?解得，a＜6，又∵a＞0，即a的取值范圍是：0＜a＜6．考點：二次函數的應用．5．【解析】試題分析：∵y=60x﹣1.5x2=﹣1.5（x﹣20）2+600，∴x=20時，y取得最大值，此時y=600考點：二次函數的應用．6．【解析】試題解析：由題意可得函數式y(tǒng)=（6-x）x，即y=-x2+6x，當x=-=3時，y有最大值，即當x=3元時，一天出售該種文具盒的總利潤y最大．考點：二次函數的應用．三、解答題7．【解析】試題分析：（1）根據題意售價每漲元每月要少賣件，售價每下降元每月要多賣件，根據等量關系列出方程即可；（2）根據每件商品的利潤與商品銷量的乘積即為總利潤，列出與的函數關系式，再利用二次函數的性質可得到最大利潤.試題解析：（1）y=（2）當0≤x≤30時w＝(20＋x)((300－10x)＝－10x2＋100x＋6000＝－10(x－5)2＋6250x＝5時，w有最大值為6250當－20≤x＜0時w＝(20＋x)((300－20x)＝－20x2－100x＋6000＝－20(x＋)2＋6125x＝－時，w有最大值為6125.由題意知x應取整數，故當x＝－2或x＝－3時，w＜6125＜6250所以，當銷售價格為65元時，利潤最大，最大利潤為6250元.考點：二次函數的應用．8．【解析】試題分析：（1）首先設每件降價x元，則每件實際盈利為（100-60-x）元，銷售量為（20+2x）件，用每件盈利×銷售量=每天盈利，列方程求解．為了擴大銷售量，x應取較大值．（2）設每天銷售這種童裝利潤為y，利用（1）中的關系列出函數關系式，利用配方法解決問題．試題解析：（1）設每件童裝應降價x元，由題意得：（100-60-x）（20+2x）=1200，解得：x1=10，x2=20，因要減少庫存，故取

x=20，答：每件童裝應定價80元．（2）1200不是最高利潤，y=（100-60-x）（20+2x）=-2x

2+60x+800=-2（x-15）2+1250故當降價15元，即以85元銷售時，最高利潤值達1250元．考點：二次函數的應用．9．【解析】試題分析：（1）根據“利潤=（售價-成本）×銷售量”列出方程；

（2）把y=4000代入函數解析式，求得相應的x值；然后由“每天的總成本不超過7000元”列出關于x的不等式50（-5x+550）≤7000，通過解不等式來求x的取值范圍．試題解析：（1）y=（x-50）[50+5（100-x）]

=（x-50）（-5x+550）

=-5x2+800x-27500

∴y=-5x2+800x-27500（50≤x≤100）；（2）當y=4000時，-5（x-80）2+4500=4000，

解得x1=70，x2=90．

∴當70≤x≤90時，每天的銷售利潤不低于4000元．

由每天的總成本