高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)2. 2.3 一元二次不等式的解法

2.2.3一元二次不等式的解法

從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次不等式.①經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不

最新譚等式的過(guò)程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義.能借助一元二次函數(shù)求

程標(biāo)準(zhǔn)解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.②借助一

元二次函數(shù)的圖像，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.

新知初探?自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性

知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系

J>0/=0/vo

上支

y=ax2+bx+c(a>0)

的圖像

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

ax2+bx+c=0(a>0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

b沒(méi)有實(shí)數(shù)根

的根根X|，X2(X\<X2)制=不=一石

ax2+bx+c>0(a>0)

[X\X<X\或X>X2){小~,}R

的解集

加+bx+c<0(a>0)

{X|X1<X<X2)00

的解集

狀元隨筆一元二次不等式的解法:

(1)圖像法：一般地，當(dāng)a>0時(shí)，解形如ax^+bx+cXX2。)或ax2+bx+c<0(W0)的一

元二次不等式，一般可分為三步：

①確定對(duì)應(yīng)方程ax2+bx+c=0的解；②畫(huà)出對(duì)應(yīng)函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像簡(jiǎn)圖；③

由圖像得出不等式的解集.

對(duì)于a<0的一元二次不等式，可以直接采取類(lèi)似a>0時(shí)的解題步驟求解；也可以先把

它化成二次項(xiàng)系數(shù)為正的一元二次不等式，再求解.

(2)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解，當(dāng)p<q時(shí)，若(x—

p)(x—q)>0,則x>q或x<p；若(x—p)(x—q)<0,則p<x<q.有口訣如下“大于取兩邊,

小于取中間”.

基礎(chǔ)自測(cè)

1.下列不等式中是一元二次不等式的是()

A.a2jr+2^0B.馬<3

X2

C.—f+x—mWOD.x3-2x+1>0

2.不等式尤a+i)wo的解集為()

A.[-1,+8)B.[-1,0)

C.(一8,-1]D.[-1,0]

3.函數(shù)^=標(biāo)裊的定義域?yàn)?)

A.[-7,1]B.(-7,1)

C.(—8,—7]U[1,+co)D.(—00,—7)U(1,+co)

4.不等式l+2x+1W0的解集為.

課堂探究?素養(yǎng)提升——強(qiáng)化創(chuàng)新性

題型1解不含參數(shù)的一元二次不等式[教材P65例1P66例3、例4]

例1(1)求不等式『一'一2>0的解集.

(2)求不等式/一6X一1W0的解集.

(3)求不等式一1V0的解集.

【解析】(1)因?yàn)?-x-2=(x+l)(x-2),

所以原不等式等價(jià)于(x+l)(x—2)>0,因此所求解集為(-8,-l)u(2,+8).

(2)因?yàn)?-Gx-lnr—Gx+g—9-1=。-3)2—10,

所以原不等式可化為。-3產(chǎn)一10W0,即(X—3>W10,

兩邊開(kāi)平方得|X-3|WA/H,從而可知一A/TUWX—3WJIU,

因此所以不等式的解集為

[3-V10,3+V10].

(3)原不等式可化為f-2x+l>0,

又因?yàn)楫a(chǎn)-2%+1=(獷-1)2,所以上述不等式可化為

(x-l)2>0.

注意到只要xWl,上述不等式就成立，所以不等式的解集為(-8,l)u(l,+8).

敷材反思

我們以求解可化成分2+6x+c>0(a>0)形式的不等式為例，用框圖表示其求解過(guò)程.

跟蹤訓(xùn)練1解下列不等式：

(l)jr—7JC+12>0；(2)—x2—2x+320；

(3)?-2r+]<0;(4)-2X2+3X-2<0.

狀也隨邕

題型2三個(gè)“二次”之間的關(guān)系［經(jīng)典例題］

例2已知關(guān)于x的不等式加+fec+c>0的解集為{x［2<xV3},求關(guān)于x的不等式ex2

+/>x+a<0的解集.

由給定不等式一確定a<0及~用a表

狀元隨筆的解集形式-關(guān)于a,b,c的方程組「示b,c

方法招佃

一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系，在解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題

時(shí)，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換.

(1)若一元二次不等式的解集為區(qū)間的形式，則區(qū)間的端點(diǎn)值恰是對(duì)應(yīng)一元二次方程的

根，要注意解集的形式與二次項(xiàng)系數(shù)的聯(lián)系.

(2)若一元二次不等式的解集為R或。，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，此時(shí)可以根據(jù)二次

函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)情況確定判別式的符號(hào)，進(jìn)而求出參數(shù)的范圍.

跟蹤訓(xùn)練2已知一元二次不等式W+px+qVO的解集為｛x|-4vx<3,求不等式qf

+px+l>0的解集.

猊察給定木等久由根與系數(shù)的關(guān)系

狀元隨鎏

的商軍集由久得夕，q的方程組

一確定九夕的值一求彳、等式"十用/〉o的解集

題型3含參數(shù)的一元二次不等式的解法［經(jīng)典例題］

例3解關(guān)于x的不等式*+ax+2>0.

狀元隨筆二次項(xiàng)系數(shù)為2,A=a2-16不是一個(gè)完全平方式，故不能確定根的個(gè)數(shù),

因此需對(duì)判別式A的符號(hào)進(jìn)行討論，確定根的個(gè)數(shù).

方Hi-la他

含參數(shù)一元二次不等式求解步驟

(1)討論二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，即相應(yīng)二次函數(shù)圖像的開(kāi)口方向；

(2)討論判別式的符號(hào)，即相應(yīng)二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(3)當(dāng)/>0時(shí)，討論相應(yīng)一元二次方程兩根的大小；

(4)最后按照系數(shù)中的參數(shù)取值范圍，寫(xiě)出一元二次不等式的解集.

跟蹤訓(xùn)練3解關(guān)于x的不等式/一(〃+/)田+/>0.

題型4一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用|經(jīng)典例題］

例4某工廠的固定成本為3萬(wàn)元，該工廠每生產(chǎn)100臺(tái)某產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元,

設(shè)生產(chǎn)該產(chǎn)品M百臺(tái))，其總成本為g(x)萬(wàn)元(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本)，并且銷(xiāo)售收入

田口f-0.5x2+7x-10.5,0<x<7,

r(x)滿(mǎn)足心)=(

I13.5,x>7.

假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷(xiāo)平衡，根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律求：

(1)要使工廠有盈利，產(chǎn)品數(shù)量x應(yīng)控制在什么范圍？

(2)工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)盈利最大？

(1)求利潤(rùn)函數(shù)f(x)n解不等式f(x)>0=回答實(shí)際問(wèn)題.

(2)根據(jù)第(1)題所求范圍，分類(lèi)討論求函數(shù)最值=回答實(shí)際問(wèn)題.

方法<)3依)

解不等式應(yīng)用題的四步驟

(1)審：認(rèn)真審題，把握問(wèn)題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系.

(2)設(shè)：引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，用不等式表示不等關(guān)系.

(3)求：解不等式.

(4)答：回答實(shí)際問(wèn)題.

特別提醒：確定答案時(shí)應(yīng)注意變量具有的“實(shí)際含義”.

跟蹤訓(xùn)練4某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元收購(gòu)某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元(又稱(chēng)征

稅率為10個(gè)百分點(diǎn))，計(jì)劃可收購(gòu)a萬(wàn)擔(dān)，政府為了鼓勵(lì)收購(gòu)公司多收購(gòu)這種農(nóng)產(chǎn)品，決定

將征稅率降低x(xWO)個(gè)百分點(diǎn)，預(yù)測(cè)收購(gòu)量可增加2%個(gè)百分點(diǎn).

(1)寫(xiě)出稅收y(萬(wàn)元)與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)節(jié)后，不少于原計(jì)劃稅收的83.2%,試確定x的取值范圍.

狀元隨筆根據(jù)題意，列出各方量之間的關(guān)手表，如下：

原計(jì)劃降稅后

價(jià)格(元/擔(dān))200200

稅率10%(10-x)%(0<x<10)

收購(gòu)量(萬(wàn)擔(dān))aa(l+2x%)

收購(gòu)總金額(萬(wàn)元)200a200a(l+2x%)

稅收y(萬(wàn)元)200a-10%200-a(l+2x%)(10-x)%

2.2.3一元二次不等式的解法

新知初探咱主學(xué)習(xí)

［基礎(chǔ)自測(cè)］

1.解析：選項(xiàng)A中，“2=0時(shí)不符合；選項(xiàng)B是分式不等式；選項(xiàng)D中，最高次數(shù)為

三次；只有選項(xiàng)C符合.

答案：c

2.解析：解不等式得一IWXWO,故選D.

答案：D

3.解析：由7—6x—f>0,得f+6%—7<0,即(x+7)(x—1)<0,所以一7<x<l,故選B.

答案：B

4.解析：不等式l+Zr+fWO化為(戈+1)2忘0,解得x=-1.

答案：｛T｝

課堂探究?素養(yǎng)提升

跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)因?yàn)?=1>0,所以方程『一7》+12=0有兩個(gè)不等實(shí)根乃=3,

及=4.再根據(jù)函數(shù)y=d—7x+12的圖像開(kāi)口向上，可得不等式X2—7x+12>0的解集是｛8》

<3或Q4｝.

(2)不等式兩邊同乘一1,原不等式可化為3W0.因?yàn)?=16>0,所以方程/+

2%—3=0有兩個(gè)不等實(shí)根制=-3,忿=1.再根據(jù)函數(shù)y=f+2x-3的圖像開(kāi)口向上，可得

不等式一f—2?+320的解集是3-3WxWl｝.

2

(3)因?yàn)?=0,所以方程X—2x+l=0有兩個(gè)相等的實(shí)根M=X2=1.再根據(jù)函數(shù)y=/

-2x+l的圖像開(kāi)口向上，可得不等式工2—2%+1<0的解集為。.

(4)原不等式可化為2?—3x+2>0,因此/=9-4X2X2=-7<0,所以方程2f-3x

+2=0無(wú)實(shí)根，又二次函數(shù)y=2?—3x+2的圖像開(kāi)口向上，所以原不等式的解集為R.

例2【解析】方法一由不等式o^+bx+oO的解集為｛x［2<r<3｝可知，a<0,且2

和3是方程tzx2+Z>x+c=O的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知'=-5,-=6.由a<0知c<0,-=

aac

一,故不等式cf+bx+aV),即f+'x+W,。，即x2—1r+；>0,解得或所以不等式

6CC6632

cd+fer+ovO的解集為(—8,0uQ,+8).

方法二由不等式aK+hx+c>。的解集為｛川24<3｝可知，〃<0,且2和3是方程

11

bx+c=O的兩根，所以ax+bx+c=a(x—2)(x—3)=ax—5ax+6a=>b=—5afc=6a,故不

等式cf+fer+ovO,即6加一5or+4<0=64(x—；)(x—g)<0，故原不等式的解集為(一8,

|)ug,+00),

跟蹤訓(xùn)練2解析：因?yàn)閤2+px+q<0的解集為｛x|—：<xV)所以xi=—1與X2=

方程x2+px+q=O的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

由根與系數(shù)的關(guān)系得

(11

--=—Dp=3

J/八，解得

Wqq=V

所以不等式qf+px+1>0即為一g+2x+l〉。，

66

整理得x2—x—6<0,解得一2<x<3.

即不等式qx2+px+1>0的解集為{x|-2<d<3}.

例3【解析】對(duì)于方程2?+公+2=0,其判別式/=〃2—16=3+4)3—4).

①當(dāng)〃>4或a<—4時(shí)，J>0,方程2f+or+2=0的兩根為x\=~(—a—Va2—16),X2

--(—〃+Va2—16).

4

J原不等式的解集為

{x|x<，(—a—孤2-16))或x>(―a+Va2—16)}.

②當(dāng)〃=4時(shí)，4=0,方程有兩個(gè)相等實(shí)根，X\=X2=—\,

?,?原不等式的解集為WxW—l｝.

③當(dāng)〃=-4時(shí)，/=0,方程有兩個(gè)相等實(shí)根，汨=12=1,

二原不等式的解集為｛x|x#l｝.

④當(dāng)一4<〃<4時(shí)，J<0,方程無(wú)實(shí)根，，原不等式的解集為R.

跟蹤訓(xùn)練3解析：原不等式可變形為(工一4>。一。2)>0,則方程(比一。)。一/)=0的兩個(gè)

根為Xl=a,X2="2,

①當(dāng)〃<0時(shí)，有4</,或》>/,此時(shí)原不等式的解集為｛.很<〃或X>〃2｝；

②當(dāng)0<〃<1時(shí)，有〃>/,即xV?或此時(shí)原不等式的解集為｛沖《/或x>。｝；

③當(dāng)4>1時(shí)，有於>〃，即或X>〃2,此時(shí)原不等式的解集為｛工以<4或x>〃2｝；

④當(dāng)4=0時(shí)，有xHO；?,?原不等式的解集為｛4r￡R且xr0｝；

⑤當(dāng)。=1時(shí)，有xWl,此時(shí)原不等式的解集為｛x|x￡R且尤#1｝;

綜上可知：

當(dāng)a<0或々>1時(shí)，原不等式的解集為｛x|x<4或x>a2｝；

當(dāng)0<a<l時(shí),原不等式的解集為｛x|x</或x>a｝；

當(dāng)〃=0時(shí)，原不等式的解集為且xWO｝；

當(dāng)a=\時(shí)，原不等式的解集為｛x|x￡R且xNl｝.

例4【解析】⑴依題意得g)=尤+3,設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為危)，則

-0.5x2+6x—1