高中數(shù)學(xué)：8-6空間直線、平面的平行（學(xué)案）

第06講空間直線、平面的平行

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.理解與掌握基本事實(shí)4與等角定理，并

能為學(xué)習(xí)與判定線面平行與面面平行奠定

基礎(chǔ).

2.直線與平面平行的判定、平面與平面平通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握空間線線、線面、面面平

行的判定；行的判定方法及能應(yīng)用線線、線面、面面平行的關(guān)系的

3.掌握直線與平面平行的性質(zhì)定理，明確相互轉(zhuǎn)化來解決空間平行的綜合問題.

由線面平行可推出線線平行；

4.掌握平面與平面平行的性質(zhì)定理，并會(huì)

應(yīng)用性質(zhì)定理解決問題.

知識(shí)點(diǎn)

一、基本事實(shí)4與等角定理

1.基本事實(shí)4

(1)自然語言：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

(2)符號(hào)語言：a,b,c是三條不同的直線，a//h,h//c=>a//C.

(3)作用：判斷或證明空間中兩條直線平行.

公理4表述的性質(zhì)也通常叫做空間平行線的傳遞性.

用基本事實(shí)4證明空間兩條直線a,c平行的步驟

(1)找到直線/7;

(2)證明?！╖?,b//c；

(3)得到。〃c.

2.等角定理

(1)自然語言：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

(2)符號(hào)語言：

如圖(1)(2)所示，在ZAOB與夕中，04〃OS，，OB//O'B',則ZAOB=ZA'O'B'

或N408+NA'O'B'=180°.

圖(1)圖(2)

二、直線與平面平行的判定定理

語言文字平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.

a

圖形語言

符號(hào)語言aQa,bua,且?！╞=a〃a

作用證明直線與平面平行

三、平面與平面平行的判定定理

語言文字一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行

/一/

圖形語言

符號(hào)語言aup,bu[J,aQb=P,a//a,b//a=>a//P

作用證明兩個(gè)平面平行

【微點(diǎn)撥】

1.要證明兩平面平行，需要在其中一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，注意"相交”二字不能

丟.

2.可以通過證明線線平行來證明面面平行.

線面平行面面平行

線線平行線面平行面面平行

的判定定理的判定定理

四、直線與平面平行的性質(zhì)定理

(1)自然語言：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.

(2)圖形語言：如圖.

(3)符號(hào)語言：a"a,au/3=b=>a//b.

(4)直線與平面平行的性質(zhì)定理的作用

①作為證明線線平行的依據(jù).當(dāng)證明線線平行時(shí)，可以證明其中一條直線平行于一個(gè)平面，另一條直線

是過第一條直線的平面與已知平面的交線，從而得到兩條直線平行.

②作為畫一條直線與已知直線平行的依據(jù).如果一條直線平行于一個(gè)平面，要在平面內(nèi)畫一條直線與已

知直線平行，可以通過已知直線作一個(gè)平面與已知平面相交，交線就是所要畫的直線.

五、平面與平面平行的性質(zhì)定理

(1)自然語言：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.

(2)圖形語言：如圖.

(3)符號(hào)語言：y=a,/3\y=b=a〃b.

【微點(diǎn)撥】

1.已知兩個(gè)平面平行，雖然一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個(gè)平面，但是這兩個(gè)平面內(nèi)的所有直

線并不一定互相平行，它們可能是平行直線，也可能是異面直線，但不可能是相交直線.

2.應(yīng)用該定理證明線線平行.

六、兩個(gè)平面平行的其他性質(zhì)

(1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個(gè)平面.

（2）夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等.

（3）經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.

（4）兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

（5）如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行.

【即學(xué)即練1】.若=且。4〃。兇，04與方向相同，則下列結(jié)論正確的有（）

A.。8〃。百且方向相同B.OB〃。風(fēng)方向可能不同

C.。8與。聲不平行D.與。內(nèi)不一定平行

【答案】D

【解析】

【分析】

畫出圖形，當(dāng)滿足題目中的條件時(shí)，出現(xiàn)的情況有哪些，即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：如圖,

當(dāng)乙405=/40向時(shí)，且04〃。/4,04與0A的方向相同，

03與0/8/是不一定平行.

故選：D.

【即學(xué)即練2】如圖，下列四個(gè)正方體圖形中，A、8為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、P分別為其所在棱的中

點(diǎn)，能得出A8〃平面MNP的圖形序號(hào)是（）

AM

A.①③B.①④

C.②③D.②④

【答案】B

【解析】①連接AC,AC〃MN,可得出面ACB須MPN；④AB〃PN,

PMN；②③中，AB與面PMN不平行.

【即學(xué)即練3】下列命題正確的是（）

A.若直線a在平面a外，則直線a〃a

B.若直線a與平面a有公共點(diǎn)，則a與a相交

C.若平面a內(nèi)存在直線與平面用無交點(diǎn)，則a//￡

D.若平面a內(nèi)的任意直線與平面夕均無交點(diǎn)，則a/川

【答案】D

【解析】

【分析】

利用直線a在平面a外的定義，可判斷A；直線a與平面a有公共點(diǎn)，沒說明公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可判斷B；平

面a內(nèi)也可能存在直線與平面￡有交點(diǎn)，可判斷C；利用面面平行的判斷定理，可判斷D

【詳解】

直線a在平面a外，則直線a//a或。與a相交，故A錯(cuò)；

直線a與平面a有公共點(diǎn)，則a與a相交或aua,故B錯(cuò)：

C中a與夕可能平行，也可能相交，故C錯(cuò)；

若平面a內(nèi)的任意直線與平面夕均無交點(diǎn)，則平面a內(nèi)的任意直線與平面￡平行，一定存在兩條相交直線與

平面夕平行，則出//，故D正確；

故選：D

【即學(xué)即練4】如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形為截面，長(zhǎng)方形A8C。為底面,

則四邊形EFG”的形狀為（）

A.梯形B.平行四邊形

C.可能是梯形也可能是平行四邊形D.不確定

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)，結(jié)合面面平行的性質(zhì)有"G〃所,E7///FG,即知E尸G"的形狀.

【詳解】

由長(zhǎng)方體的性質(zhì)：各對(duì)面平行，易知HGUEF,EHUFG,

EFGH為平行四邊形.

故選：B

【即學(xué)即練5】如圖，在四棱錐P-ABCD中，A/、N分別為AC、PC上的點(diǎn)，且MNH平面PAD，則（)

A.MN//PDB.MN〃平面卓5C.MN//ADD.MN//PA

【答案】BD

【解析】

【分析】

利用線面平行的性質(zhì)結(jié)合線面平行的判定可得出結(jié)論.

【詳解】

因?yàn)椤ㄆ矫鍾4。，MNu平面PAC,平面PAC一平面R4Z>=R4,，MV〃E4,

K4u平面上鉆，例NO平面上鉆，因此，MN〃平面

故選：BD.

【即學(xué)即練6】如圖，空間四邊形ABCD中，E,F,G分別是A8,BC,C。的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是

A.AD//EGB.AC//平面EFG

C.〃平面EFGD.AD,FG是一對(duì)相交直線

【答案】BC

【解析】

應(yīng)用異面直線的定義和線面平行的判定定理逐一判斷選項(xiàng)可得結(jié)果.

【詳解】

A：點(diǎn)Ge平面AOC,點(diǎn)G任直線AO,點(diǎn)E任平面AOC,由異面直線的定義可知AO,EG是異面直線，A

錯(cuò);

B：AC〃M,由直線與平面平行的判定定理可得AC//平面EFG,答案5對(duì);

C：BD//FG,由直線與平面平行的判定定理可得8D〃平面EFG,答案C對(duì);

D：點(diǎn)Ge平面AOC,點(diǎn)G走直線AO,點(diǎn)尸任平面AOC,由異面宜線的定義可知AO,FG是異面直線，D

錯(cuò);

故選：BC.

【即學(xué)即練7】判斷下列命題是否正確，并說明理由:

(1)若平面口內(nèi)的兩條直線分別與平面4平行，則a與4平行;

(2)若平面a內(nèi)有無數(shù)條直線與平面用平行，則a與夕平行;

(3)平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行;

(4)過已知平面外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與已知平面平行;

(5)過已知平面外一條直線，必能作出與已知平面平行的平面.

【答案】(1)不正確，理由見詳解.

(2)不正確，理由見詳解.

(3)不正確，理由見詳解.

(4)正確，理由見詳解.

(5)不正確，理由見詳解.

【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系的性質(zhì)，判定定理判斷，或舉反例說明.

【解析】

(1)不正確，不妨設(shè)a=mlIniH,且”uc,〃ue,

則機(jī)〃小”/〃，顯然結(jié)論不成立.

(2)不正確，若平面a內(nèi)有無數(shù)條直線與平面夕平行，

則不能保證兩個(gè)平面平行，兩個(gè)平面有可能相交.

(3)不正確，平行于同一條直線的兩個(gè)平面可能相交.

(4)正確，假設(shè)過A存在兩個(gè)平面a,4都與平面/平行，

則a〃尸，顯然這與A是a,夕公共點(diǎn)矛盾.

(5)不正確，若平面外直線與此平面相交，則不存在過該直線的平面與此平面平行.

【即學(xué)即練8】如圖，梯形中，BCHAD,E是PD的中點(diǎn)，過8c和點(diǎn)石的平面與Q4交于點(diǎn)F.求證:

BC//EF

【答案】證明見解析

【解析】

由證明BC〃平面PAD,再由直線與平面平行的性質(zhì)可得BC//EF

【詳解】

BC//AD,8C平面PAD.4)u平面PAD,

BC〃平面尸A。，

BCu平面BCEF,平面BCEF|平面PAD=EF,

/.BC//EF

考法01

基本事實(shí)4的應(yīng)用

證明兩條直線平行的方法：

(1)平行線的定義；

(2)利用平面幾何的知識(shí)，如三角形與梯形的中位線、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理

等；

(3)利用基本事實(shí)4.

【典例1】如圖，△ABC的各邊對(duì)應(yīng)平行于△44G的各邊，點(diǎn)E,尸分別在邊AB,AC上，且

AE=^AB,AF=^AC,試判斷EF與qG的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】E尸與qC；平行.理由詳見解析.

【解析】平行.理由如下:

?:AE=；AB,AF=；AC,：.EF〃BC.又B\C\〃BC,：.B,C"EF.

【典例2】如圖所示，在長(zhǎng)方體AG中，AG與用烏相交于點(diǎn)QE,尸分別是80,G。的中點(diǎn)，則長(zhǎng)方體

的各棱中與EF平行的有()

C.5條D.6條

【答案】B

【解析】

根據(jù)三角形中中位線的性質(zhì)，以及長(zhǎng)方體的各棱長(zhǎng)位置關(guān)系進(jìn)行判斷.

【詳解】

由于E,F分別是30,C0的中點(diǎn)，

故EF〃B\G，

因?yàn)楹屠釨C平行的棱有A￡>,BC,AQ,

所以符合題意的棱共有4條.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查線線平行的判定，涉及平行關(guān)系的傳遞性，屬基礎(chǔ)題.

考法02

等角定理：利用等角定理解題的關(guān)鍵是不要漏掉兩個(gè)角互補(bǔ)的這種情況.

【典例3】空間兩個(gè)角a,夕的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，且a=60。，則夕為（）

A.60°B.120°C.30°D,60°或120°

【答案】D

【解析】：空間兩個(gè)角a,一的兩邊對(duì)應(yīng)平行，.?.這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，；a=60。，.”=60?；?20。.故選D.

【名師點(diǎn)睛】根據(jù)公理4知道當(dāng)空間兩個(gè)角a與夕的兩邊對(duì)應(yīng)平行時(shí)?，得到這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，根據(jù)所

給的角的度數(shù)，即可得到￡的度數(shù).

【典例4】如圖，在四面體ABCD^,分別是AB,BC,CD,AD,AC的中點(diǎn)，則下列說法中不正確的是

A.例,N,P,Q四點(diǎn)共面B.NQME=NDBC

C..BCD^..MEQD.四邊形MNPQ為梯形

【答案】D

【解析】

根據(jù)題意及中位線定理和等角定理可以一-判斷.

【詳解】

由中位線定理易知MQ//BD,MEHBC.QE//CD,NP//BD.

于人由基本事實(shí)易得"Q//NPP,所以M,N,P,0四點(diǎn)共面，故A中的說法正確；

對(duì)于8,根據(jù)等角定理，得NQME=NOBC,故B中的說法正確；

對(duì)于C,由等角定理，知/。同萬=/。8（7,/M后。=/88,所以BCD^MEQ,故C中的說法正確；

由三角形的中位線定理知MQ〃BO,M。=g8。.NP//%>,NP=g8。,所以M處P，所以四邊形MNPQ為

平行四邊形，故D中的說法不正確.

故選D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是關(guān)于平行四邊形的判定及四點(diǎn)共面的判定，中位線定理及等角定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的

分析推理能力，是基礎(chǔ)題.

考法03

直線與平面平行的判定

應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟:

上面的第一步"找''是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：利用三角形、梯形中位線的性質(zhì)；利用平行四邊形的

性質(zhì)；利用平行線分線段成比例定理.

【典例5】在空間四邊形A2C。中，E,F分別為AB,AZ）上的點(diǎn)，且他:￡B=AF:FD=1:4,H,G分別

為BC,C。的中點(diǎn)，則（）

A.平面EFG,且四邊形EFGH是平行四邊形

B.E尸〃平面BC。，且四邊形EFGH是梯形

C.HG〃平面且四邊形EFGH是平行四邊形

D.E“〃平面AOC,且四邊形EFG4是梯形

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)線面平行的判定定理分析判斷即可

【詳解】

因?yàn)镋,尸分別為43,AD上的點(diǎn)，且他:所二人尸：㈤目”，

所以EF〃皿，EF=^BD,

因?yàn)椋琀,G分別為BC,8的中點(diǎn)，

所以G”〃B。，GH'BD，

所以EF〃GH,EF豐GH,

所以四邊形EFG”為梯形，

因?yàn)镋尸〃8。，￡/（2平面BCD,BDu平面BCD，

所以￡尸〃平面5C￡）,

若叩〃平面AOC,則由線面平行的性質(zhì)可得可〃FG，而E4與FG不平行，所以E4與平面ACC不平

行，

故選：B

【典例6】如圖，已知四棱錐尸-A8C。，底面48co為正方形，E,尸分別為48,PO的中點(diǎn).求證：EFH平

面尸BC.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

取PC的中點(diǎn)G,連接FG,BG.由平面幾何知識(shí)證得四邊形BEFG為平行四邊形，再由線面平行判斷定理

可得證.

【詳解】

證明：取PC的中點(diǎn)G,連接FG,BG.

因?yàn)槭?，G分別為P。，PC的中點(diǎn)，所以尸G〃CO,且尸G=：DC.

因?yàn)樗倪呅蜛8CQ為正方形，所以A8〃C￡>,AB=CD.

又因?yàn)镋為48的中點(diǎn)，所以BE"DC,BE桔DC,所以BE〃尸G,且8E=fG,

所以四邊形8EFG為平行四邊形，所以EF〃8G.

因?yàn)镋FH平面PBC,BGu平面PBC,

所以EF〃平面PBC.

【典例7］在如圖所示的空間圖形中，ZVIBC是任意三角形，AE〃C￡>,且AE=2mCD=a,F為BE的

中點(diǎn).求證：DF〃平面A8C.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

取AB的中點(diǎn)G,連接尸G,CG,先證明四邊形CDFG為平行四邊形，則可得。尸〃CG,進(jìn)而可證明結(jié)論.

【詳解】

證明：取AB的中點(diǎn)G,連接FG,CG.

因?yàn)镕，G分別是BE,A8的中點(diǎn)，所以PG〃AE且FG=3A￡

因?yàn)锳E=2”，CD=a,所以d>=萬4￡

因?yàn)锳E〃CO,所以CD〃尸G且C/)=FG,

從而四邊形C0FG為平行四邊形，所以DF//CG.

又CGu平面ABC,。川平面ABC,

所以。尸〃平面ABC.

B

考法04

平面與平面平行的判定

平面與平面平行的判定方法有如下三種：

(1)根據(jù)定義：證明兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，但有時(shí)直接證明非常困難.

(2)根據(jù)判定定理：要證明兩個(gè)平面平行，只需在其中一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線，分別證明它們平

行于另一個(gè)平面，于是這兩個(gè)平面平行，或在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交的直線分別與另一個(gè)平面內(nèi)兩條

相交的直線平行.

(3)根據(jù)平面平行的傳遞性：若兩個(gè)平面都平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面互相平行.

【典例8】.在正方體中，下列四對(duì)截面彼此平行的是()

A.平面片尸。與平面EGMB.平面與平面耳”。

C.平面片;/也與平面尸，4D.平面與平面

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)正方體的平行關(guān)系，可證平面與平面EGW平行，可得出結(jié)論.

【詳解】

如圖，正方體EFGH-4畢加,EEJ1GG、,EE}=GG,,

所以四邊形E4GG是平行四邊形，4G//EG,4Ga平面,

EGu面EG"」所以gGJ/平面￡Gg,同理〃平面￡GHi

因?yàn)镋QcGF=d，g6，G/u平面E、FG、,

所以平面gFGJ/平面EGg.

故選：A

【典例9】如圖，在斜三棱柱ABCA/B/G中，點(diǎn)。，》分別在AC,A/G上，那么當(dāng)點(diǎn)。在什么位置時(shí),

平面3CQ〃平面AB/O/

【答案】。為AC的中點(diǎn)

【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即可求解.

【解析】連接A山交48/于點(diǎn)。，連接。功，由平面8C/Q〃平面4B/。,

且平面A/8C/PI平面BDCI—BCI,平面A/BC/PI平面AB/Di—DiO,

因此8G〃￡)/0.同理

所以器=黑’5F=7H?又因?yàn)楹?1，所以嗡=1，即。為AC的中點(diǎn).

MciOBMciADOBAD

考法05

線面平行、面面平行的綜合應(yīng)用

在立體幾何中，常見的平行關(guān)系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種平行關(guān)系不是孤立的，而

是相互聯(lián)系，并且可以相互轉(zhuǎn)化的.在解決問題的過程中，要靈活運(yùn)用平行關(guān)系的判定定理.一般地，證

明線面平行可以轉(zhuǎn)化為證明線線平行；證明面面平行可以轉(zhuǎn)化為證明線面平行；證明線線平行可以利用線

面平行或面面平行的性質(zhì)定理來實(shí)現(xiàn).

【典例10】如果AB、BC、CQ是不在同一平面內(nèi)的三條線段，則經(jīng)過它們中點(diǎn)的平面和直線AC的位置關(guān)

系是（）

A.平行B.相交

C.AC在此平面內(nèi)D.平行或相交

【答案】A

【解析】把這三條線段放在正方體內(nèi)如圖，

顯然AC//EF,ACQ平面EFG.EFu平面EFG,故AC〃平面EFG.故選A.

【典例11］如圖所示，在四棱錐C—ABE。中，四邊形ABE。是正方形，點(diǎn)G,口分別是線段EC,5。的

中點(diǎn).

（1）求證：G77〃平面ABC；

（2）線段上是否存在一點(diǎn)“，使得平面GF"〃平面ACO,若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)”并證明；若不

存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】（1）由四邊形ABED為正方形可知，連接AE必與6。相交于中點(diǎn)尸，故G尸〃AC.

仁平面ABC，...GF〃平面ABC.

（2）線段BCt:存在一點(diǎn)”滿足題意，且點(diǎn)〃是BC的中點(diǎn).

理由如下：由點(diǎn)G,”分別為CE,CB中點(diǎn)可得：GH//EB//AD

?.?6〃2平面470，，6"〃平面4。￡）,由（1）可知，G/〃平面AC。，且G/GH=G,.

故平面GF”〃平面ACO.

【名師點(diǎn)睛】本題考查線面位置關(guān)系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特

征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：證明線面、面面平行，需

轉(zhuǎn)化為證明線線平行，著重考查了推理與論證能力.

考法06

直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用

應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理時(shí)，關(guān)鍵是過已知直線作輔助平面與已知平面相交，所得交線與已知直線平

行.還可以利用交線判斷已知平面內(nèi)任意一條直線與已知直線的位置關(guān)系，即在已知平面內(nèi)所有與交線平

行的直線都與已知直線平行，所有與交線相交的直線都與已知直線異面.

【典例12］若直線。平行于平面a,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.直線a上的點(diǎn)到平面a的距離相等

B.直線。平行于平面a內(nèi)的所有直線

C.平面a內(nèi)有無數(shù)條直線與直線”平行

D.平面a內(nèi)存在無數(shù)條直線與直線。成90。角

【答案】B

【分析】直線a與平面a內(nèi)的所有直線平行或異面.

【解答】解：由直線。平行于平面a,知：在A中，直線。上的點(diǎn)到平面a的距離相等，故A正確；

在B中，直線a與平面a內(nèi)的所有直線平行或異面，故B錯(cuò)誤；

在C中，平面a內(nèi)有無數(shù)條直線與直線”平行，故C正確；

在D中，平面a內(nèi)存在無數(shù)條直線與直線4成90。角，故D正確.故選：B.

【典例13］如圖，在四棱錐P-A8CO中，M,N分別為AC,PC上的點(diǎn)，且MN〃平面力D,貝IJ（）

A.MN//PDB.MN//PAC.MN//ADD.以上均有可能

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用線面平行的性質(zhì)分析解答.

【詳解】

?：MN//nPAD,MNu平面以C,平面布OD平面用C=B4,

：.MN//PA.

故選：B

【典例14］如圖所示，平面a過正方體ABCD-A/B/C/D的三個(gè)頂點(diǎn)B,D,4,且a與底面A/B/GS的交

線為/,則/與8Q/的位置關(guān)系是.

【答案】平行

【解析】

【分析】首先證得8。//平面A/B/CQ/.,然后根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可得到結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)镈D〃/BB?,DD產(chǎn)BBi,

所以四邊形80。//是平行四邊形.

所以BD//BQ］.

又8Q/U平面AIBICIDI,8ZXt平面AIBICIDI,

所以B￡>//平面A/B/C/。/.

又BDua,aD平面A/BQD尸/,所以〃/BD

所以UlBiDi.

【典例15］如圖所示，在四棱錐P-A8CD中，8s平面外￡>,BC=^AD,E是P。的中點(diǎn).

（2）求證：C。/平面PAB.

【答案】（D證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用線面平行即可證明BC//AD-

（2）取布的中點(diǎn)立連接EF,BF,證明EC/AEB,CE//平面以8即得證.

【詳解】

證明：（1）在四棱錐P—ABC。中，

8C//平面用力，BCu平面A8CQ,

平面ABCD平面外￡>=A￡>,

BC//AD,

⑵取以的中點(diǎn)F,連接EF,BF,

：.EF//AD,EF=-AD,

2

又由（1）可得8C〃AD,且8C=；A￡>,

BC//EF,BC=EF,

，四邊形BCE廠是平行四邊形，

：.ECHFB,

iECn平面以8,FBu平面加8,

.?.EC〃平面PAB.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：證明空間直線平面的位置關(guān)系一般利用轉(zhuǎn)化的思想：線線平行（垂直）。線面平行（垂直）O

面面平行（垂直）.

考法07

平面與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用

利用面面平行的性質(zhì)定理判斷兩直線平行的步驟:

（1）先找兩個(gè)平面，使這兩個(gè)平面分別經(jīng)過這兩條直線中的一條；

（2）判定這兩個(gè)平面平行；

（3）再找一個(gè)平面，使這兩條直線都在這個(gè)平面上；

（4）由定理得出結(jié)論.

【典例16】在三棱臺(tái)中，點(diǎn)。在上，且M//8O,點(diǎn)M是三角形內(nèi)（含邊界）的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且有平面8OW〃平面AACG，則動(dòng)點(diǎn)〃的軌跡是（）

A.三角形A4G邊界的一部分B.一個(gè)點(diǎn)

C.線段的一部分D.圓的一部分

【答案】c

【解析】

【分析】

過。作OE//AC交BC于E,連接8E,證明平面E7E〃平面AACC,得MGOE,即得結(jié)論.

【詳解】

如圖，過。作力E//4?交片GTE,連接BE,

BD//AAt,8￡）二平面A41GC,u平面AA^C,所以8￡）〃平面,

同理DE//平面AACC，又BDcDE=D,平面由小，

所以平面BDE〃平面AAGC,所以Me￡）E,不與￡＞重合，否則沒有平面3DW）,

故選：C.

R

【典例17］設(shè),a〃B，A、Cea,B、DGp,直線A8與CD交于S,若AS=8,BS=9,CD=34,則CS的

長(zhǎng)是.

【答案】272或16

【解析】有兩種情況，當(dāng)點(diǎn)S在明夕面同側(cè)時(shí)，如圖3）所示,

AS_CS

'：a//f},SBDHa=AC,平面SBOCl夕=BC,：.AC//BD,京=示,

IjijLxO且鼐=歷

.「JASCQ_8X34

-cs=AB=9-8=272.

0q.CS_8

同理，當(dāng)點(diǎn)S在%A兩平面之間，如圖（。）所示，可證得AC〃D5及施=慶,?*CD-CS=9,

SCD8x34

A9CS=8CD-8CS,：.CS=TT=17=16,

【典例18］已知三個(gè)平面%人/滿足a〃6〃力直線〃與這三個(gè)平面依次交于點(diǎn)A、B、C,直線人與這

ABEF

三個(gè)平面依次交于點(diǎn)E、F、G,求證：---=----.

BCFG

【答案】證明詳見解析.

【解析】如圖，連接AG交夕于“，連接8"、FH、AE、CG.

,/P//Y,平面ACGfV=8〃，平面ACG.y=CG,.?.8〃〃CG.

:.四=必=交，即任二竺

同理AE〃”居

BCHGFGBCFG

【名師點(diǎn)睛】①當(dāng)“與匕共面時(shí)，有AE〃8/〃CG.上述證明過程也是正確的，只是此時(shí)8、H、尸三

點(diǎn)共線.

②連接CE，可同理證明.

③當(dāng)“與6異面時(shí)，可過A（或&C）作人的平行線或過E（或雙G）作。的平行線，再利用面面平

行的性質(zhì)定理可證得結(jié)論.

以上思路都遵循同一個(gè)原則，即“化異為共

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.已知A8//PQ,BC//QR,ZABC=30°,貝iJNPQR=（）

A.30°B.30°或150°

C.150°D.30°或120°

【答案】B

【解析】

根據(jù)等角定理，即可得到結(jié)論.

【詳解】

ZABC的兩邊與2PQR的兩邊分別平行，

根據(jù)等角定理易知NPQR=30°或150。.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查等角定理，屬基礎(chǔ)題.

2.在空間四邊形A8C。中，AC^BD,E,F,G,〃分別是邊A8,BC,CD,D4的中點(diǎn)，順次連接各邊中點(diǎn)

E,F,G,H,所得四邊形的形狀是（）

A.梯形B.矩形

C.正方形D.菱形

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)空間四邊形中各點(diǎn)的位置，結(jié)合中位線的性質(zhì)可得EFG”是平行四邊形，再由AC=3Z）即可判斷四邊形

EFGH的形狀.

【詳解】

如圖所示，空間四邊形A8CO中，連接AC,8?？傻靡粋€(gè)三棱錐，

將四個(gè)中點(diǎn)連接，得到四邊形EFGH,

由中位線的性質(zhì)及基本性質(zhì)4知，EH//FG,EF//HG；

：.四邊形EFG”是平行四邊形，又AC^BD,

：.HG=^AC=^8D=EH,

.??四邊形EFG”是菱形.

A

3.如圖，在直四棱柱ABCQ-ABCIR中，下列結(jié)論正確的是（）

A.AC與是兩條相交直線B.AA〃平面B8Q,

C.B'C"BD,D.A,C,B1,R四點(diǎn)共面

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)異面直線的判定定理，直線與平面平行的判定定理，四點(diǎn)共面的判定，結(jié)合四棱柱的性質(zhì)逐一判定即

可.

【詳解】

8。匚面48。，ACc面ABR=A,AgBD,,所以AC與5R是異面直線，A錯(cuò)；

因?yàn)?4,〃￡電，的C面即〃，BBLBBQi，所以A4"面8BQ,B正確；

B"u面B8Q,8（）面陰。=旦，4任8Q,所以BC與8R是異面直線，C錯(cuò)；

如圖所示，A,C,R三點(diǎn)在面ACA上，BQ,與面ACA相交，所以A,C,用，2四點(diǎn)不共面，D錯(cuò).

故選：B.

4.若直線“〃平面a,A建a,且直線”與點(diǎn)A位于a的兩側(cè)，B,C^a,AB,AC分別交平面a于點(diǎn)E,F,

若3c=4,CF=5,AF=3,則EP的值為（）

B

22

A.3B.c4D.

23

【答案】B

【解析】

【分析】

由線面平行的性質(zhì)得出線段間的比例，可得選項(xiàng).

【詳解】

解：9：BC//a,且平面

.AF_EF3EF

/.EF//BC,即,

*AC-BC5+3

3

：.EF=-

2

故選：B.

5.如圖，在下列四個(gè)正方體中，A,8為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M,/V,。為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正

方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】

利用線面平行判定定理逐項(xiàng)判斷可得答案.

【詳解】

對(duì)于選項(xiàng)A,OQ//AH,。。與平面MN。是相交的位置關(guān)系，故A8和平面MN。不平行:

對(duì)于選項(xiàng)B,由于〃例。，結(jié)合線面平行判定定理可知45〃平面MNQ：

對(duì)于選項(xiàng)C,由于AB〃C￡）〃MQ,結(jié)合線面平行判定定理可知AB〃平面MN。：

對(duì)于選項(xiàng)D,由于AB//CD//NQ,結(jié)合線面平行判定定理可知A8〃平面MNQ：

故選：A.

6.如圖，在長(zhǎng)方體ABC。-A/B/GG中，點(diǎn)E,F分別是棱A4/和88/的中點(diǎn)，過EF的平面EFGH分別交

BC和AO于點(diǎn)G,H,則G4與AB的位置關(guān)系是（）

B.相交

C.異面D.平行或異面

【答案】A

【解析】

【分析】

先證明EF//平面ABCQ,再證明EF//GH,即得證.

【詳解】

由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知，EF//AB,EF(Z平面A8CDABa平面ABCD,

所以瓦7/平面ABCD,

：EFu平面EFGH,平面EFGHC平面ABCD=GH,

J.EFHGH.

又EF//AB,

：.GH/IAB.

故選：A

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是在解題過程中熟練運(yùn)用線面平行的判斷和性質(zhì)定理.

7..一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖如圖所示，在正方體中，設(shè)BC的中點(diǎn)為M,GH的中點(diǎn)

為N,下列結(jié)論正確的是()

A.MN//平面ABEB.MN”平面ADE

C.MN〃平面BDHD.MV//平面CUE

【答案】C

【解析】

根據(jù)題意，得到正方體的直觀圖及其各點(diǎn)的標(biāo)記字母，取尸”的中點(diǎn)連接ON,80,可以證明MNII80,

利用8。與平面A8E的關(guān)系可以判定與平面A8E的關(guān)系，進(jìn)而對(duì)選擇支A作出判定；根據(jù)MN與平面

BCF的關(guān)系，利用面面平行的性質(zhì)可以判定MN與平面4OE的關(guān)系，進(jìn)而對(duì)選擇支B作出判定；利用線面

平行的判定定理可以證明MN與平面8OE的平行關(guān)系，進(jìn)而判定C；利用在平面CDEF的兩側(cè)，可以

判定MN與平面CDE的關(guān)系，進(jìn)而對(duì)D作出判定.

【詳解】

根據(jù)題意，得到正方體的直觀圖及其各點(diǎn)的標(biāo)記字母如圖所示，取F”的中點(diǎn)。,連接OMB。，

易知ON與平行且相等，，四邊形。M0B為平行四邊形，，MNII50,

?.?80與平面ABE（即平血A8FE）相交，故MN與平面A8E相交，故A錯(cuò)誤：

平面ADEII平面8cAMNC平面BCF=M,：.MN與平面ADE相交，故B錯(cuò)誤；

：80u平面BDHF,^BOII平面BDH,MNIIBO,MNQ平面BDHF,：.MNII平面BDH效C正確；

顯然M,N在平面CDEF的兩側(cè)，所以MN與平面CDEF相交，故O錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查從面面平行的判定與性質(zhì)，涉及正方體的性質(zhì)，面面平行，線面平行的性質(zhì)，屬于小綜合題，關(guān)

鍵是正確將正方體的表面展開圖還原，得到正方體的直觀圖及其各頂點(diǎn)的標(biāo)記字母，并利用平行四邊形的

判定與性質(zhì)找到MN的平行線BO.

B.EB.D.

8.如圖所示，正方體ABCQ-ABC。，E在BR上,尸在A局上，且染=肝，過E作EH〃耳B交8。

于H,則平面EF”與平面B8CC的位置關(guān)系是（)

A.平行B.相交C.垂直D.以上都有可能

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)面面平行的判定定理：由線線平行推出面面平行.

【詳解】

B.EB.D.

在平面A5GD中，因?yàn)槭|=曾，所以

Dxr修Aj

由正方體AB8-ABCQ,B&〃AR，所以E尸〃BG，

又因?yàn)镋H〃瓦8,E77u平面EFH,EFu平面E777,

u平面BBCC,4Gu平面BB￡C,EH\EF=E,BBJB￡=Bj

所以平面EFH〃平面BB￡C

故選:A.

9.過兩條異面直線（）

A.可能不存在兩個(gè)互相平行的平面B.有且只有兩個(gè)平面互相平行

C.可能存在兩對(duì)互相平行的平面D.可能存在無數(shù)對(duì)互相平行的平面

【答案】B

【解析】

【分析】

用反證法證明過b與。平行的平面有且只有一個(gè)，然后可得正確選項(xiàng).

【詳解】

如圖，a,b是異面直線，過B上一點(diǎn)P作〃?//a,則m與匕相交于點(diǎn)p,

記6,機(jī)確定的平面為夕，顯然。二尸，而mu/?,則。//"，因此過分存在平面與“平行,

假設(shè)過6還有一個(gè)平面/與。平行，

mlla,設(shè)4帆確定的平面為S,則5「夕=相，因此尸是平面,與平面5的公共點(diǎn)，設(shè)73=c，顯然

cim=P,

由a///得。〃c,所以c〃/n,與cf〃z=P矛盾，

所以過人只有一個(gè)平面與“平行，

同理過a也只有一個(gè)平面與b平行，從而可得這兩個(gè)平面平行，

因此過這兩條異面直線有且只有兩個(gè)平面（一對(duì)平面）互相平行.

故選:B.

10.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A/&C/C中,若E,F,G,H分別是棱A/B/,BBi,CCi,CD的中點(diǎn),則必有

A.BDJ/GHB.BD//EF

C.平面EFGH〃平面A8CDD.平面EFGH〃平面A/BCD

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分別判斷選項(xiàng)中的命題是否正確即可.

【詳解】

易知G"〃。/C,因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，所以8。，GH不可能互相平行,

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

易知E尸〃A/B,與選項(xiàng)A同理，可判斷選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

因?yàn)镋F//A/B,而直線AiB與平面ABCD相交，故直線EF與平面ABCD也相交，所以平面EFGH與平面

ABC。相交，選項(xiàng)C錯(cuò)誤：

對(duì)于D,平面￡7P”〃平面48（7馬，理由是：

由E,F,G,H分別是棱A科，BB、,CG，GA的中點(diǎn),

得出E尸//48,EH"AR,

所以所〃平面ABCD、,EHH平面ABCR,

又EFEH=E,所以平面瓦G“〃平面ABC。,.

故選：D.

11.如圖所示，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A/B/G。/中，E是棱。D的中點(diǎn)，尸是側(cè)面CQDG上的動(dòng)點(diǎn),

且8/尸〃平面A/BE,則F在側(cè)面C￡>Q。上的軌跡的長(zhǎng)度是（）

A.aB.-C.y/2aD.烏

22

【答案】D

【解析】

【分析】

過用做與平面ABE平行的平面，該平面與側(cè)面CDRG的交線，即為滿足條件的軌跡，求解即可.

【詳解】

設(shè)G,”，/分別為co,cci,as邊上的中點(diǎn),

連接8〃，B/H,IH,CD,,EG,BG,則AB〃CR〃GE,

所以Aj,B,E,G四點(diǎn)共面,

由B]H//4上,AEz平面BiHl,B\Hu平面BiHl,

所以A/E〃平面3/”/,同理A/B〃平面3/〃/,

A3AiE=A1,所以平面A/3GE*〃平面3/〃/,

又因?yàn)?/〃平面A/3E,所以廠落在線段印上，

因?yàn)檎襟wABCD-ABCQ）的棱長(zhǎng)為。，

所以印」CR=—a,

即尸在側(cè)血CO》。上的軌跡的長(zhǎng)度是走a.

2

故選：D.

12.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A/CQ中，AD=DDt=\,AB=y/3,E,F,G分別為A8,BC,C|R的中點(diǎn)，點(diǎn)

P在平面A8CZ）內(nèi)，若直線平面EFG,則Q與滿足題意的P構(gòu)成的平面截正方體的截面面積為

A.迥B.顯C.@D.五

3222

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)線面平行的判定定理、面面平行的判定定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】

如圖，連接RA,AC,qC，

因?yàn)镋,F,G分別為A8,BC，GR的中點(diǎn)，

所以AC//EF,EFcz平面ACDt,則EF//平面ACDt,

因?yàn)镋G//4R,所以同理得EG//平面ACR,

又EF(EG=E,得平面ACR〃平面EEG,

所以點(diǎn)P在直線AC上，則。與滿足題意的P構(gòu)成的平面截正方體的截面為△4C。,

在△ACA中，有">1=A/^AC=2,CD1=2,所以SA“c=gx&x

故選：D

題組B能力提升練

1.（多選題）下列命題中，錯(cuò)誤的結(jié)論有（）

A.如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等

B.如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等

C.如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

D.如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行

【答案】AC

【解析】

【分析】

由等角定理可判斷A、B的真假；舉反例可判斷C的真假；由平行公理可判斷D的真假.

【詳解】

對(duì)于選項(xiàng)A：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：山等角定理可知B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，這兩個(gè)角的關(guān)系不確定，既可能相等也可能互

補(bǔ)，也可能既不相等，也不互補(bǔ).反例如圖，在立方體中，與乙418cl滿足A。J.AB,QRLGB,

TTTT

但是幺AG=],NA.BG=1,二者不相等也不互補(bǔ).故選項(xiàng)c錯(cuò)誤;

對(duì)