蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第4章數(shù)列4-4數(shù)學(xué)歸納法課件

一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題,可按如下兩個(gè)步驟進(jìn)行:(1)證明當(dāng)n=n0(n0∈N*)時(shí)命題成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥n0,k∈N*)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.根據(jù)(1)(2)就可以斷定命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫作數(shù)學(xué)歸納法.

知識點(diǎn)

數(shù)學(xué)歸納法4.4

數(shù)學(xué)歸納法?知識辨析1.用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí),第一步一定是驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立嗎?2.證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題時(shí),只需當(dāng)n取前幾個(gè)值時(shí)命題正確就可以嗎?3.在利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí),如果推理過程正確,就可以不用歸納假設(shè)嗎?4.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí),由n=k到n=k+1(k∈N*),等式左邊一定只增加了一項(xiàng)嗎?一語破的1.不一定.如證明凸n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°,第一步要驗(yàn)證當(dāng)n=3時(shí)結(jié)論成立.2.不可以.由n取前幾個(gè)值時(shí)命題正確,推不出與正整數(shù)n有關(guān)的命題正確,是不完全歸納法.3.不可以.如果不用歸納假設(shè),那么后續(xù)的證明就沒有了基礎(chǔ),數(shù)學(xué)歸納法的步驟缺一不可.4.不一定.如用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+…+a2n+1=

(a≠1)時(shí),由n=k到n=k+1,等式的左邊增加了兩項(xiàng).定點(diǎn)1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式關(guān)鍵能力定點(diǎn)破用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k時(shí)成立,得n=k+1時(shí)成立,主要方法有比較法、

放縮法等.用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式:一是直接給出不等式,按要求

進(jìn)行證明;二是給出兩個(gè)式子,按要求比較它們的大小.對第二類往往要先對n取前k個(gè)值的情

況分別驗(yàn)證比較,以免出現(xiàn)判斷失誤的情況,最后猜出從某個(gè)k值開始都成立的結(jié)論,常用數(shù)學(xué)

歸納法證明.典例用數(shù)學(xué)歸納法證明:

+

+…+

>1-

+

-

+…+

-

(n∈N*).證明

(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1-

=

,左邊>右邊,所以不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N*)時(shí),不等式成立,即

+

+…+

>1-

+

-

+…+

-

,則當(dāng)n=k+1時(shí),

+

+…+

+

>1-

+

-

+…+

-

+

>1-

+

-

+…+

-

+

=1-

+

-

+…+

-

+

-

,即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.由(1)(2)知,不等式對任何n∈N*都成立.“歸納—猜想—證明”的解題步驟

定點(diǎn)2用“歸納—猜想—證明”解決與遞推公式有關(guān)的數(shù)列問題典例已知數(shù)列{an}中,

=-

,其中n≥2,且n∈N*.從條件①:a1=

與條件②:a1a2=-

,且a1>0中任意選擇一個(gè),完成下面的問題.(1)求a2,a3,a4,并猜想{an}的通項(xiàng)公式;(2)證明(1)中的猜想.解析

(1)選條件①.由題意可得a2=a1·

=-

,同理可得a3=

,a4=-

,猜想an=

(n∈N*).選條件②.由題意可得

=-

=-

,∵a1>0,a1a2=-

,∴a1=

,a2=-

,∴a3=a2·

=

,同理可得a4=-

,猜想an=

(n∈N*).(2)證明:顯然當(dāng)n=1時(shí),猜想成立,假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),猜想成立,即ak=

(k∈N*),當(dāng)n=k+1時(shí),由

=-

,可得