2015-2016學(xué)年重慶八中高二數(shù)學(xué)下冊期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（含答案和解析）

2015.2016學(xué)年重慶八中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）命題Vx>0,不等式x-1..仇x成立”的否定為（）

A.3x0>0,不等式飛-1..A/成立

B.3x0>0,不等式/-1v/叫成立

C.Vx,,0,不等式成立

D.Vx>0,不等式x—1〈配v成立

2.（5分）下列函數(shù)中，定義在R上的增函數(shù)是（）

A.y=x~—B.y=lg\x\C.y=y/xD.y=

9

3.（5分）若Q=2°S,b=log萬3,c=log2sin—,貝U（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a

4.（5分）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3,l）,且P（原獄4）=0.6826,貝!!?（x>4）=（

）

A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585

5.（5分）給出下列三個命題

①若“P或9”為假命題，則r均為真命題；

②命題“若X..2且y..3,則x+y..5”的逆否命題為假命題；

③在AABC中，“A>45。”是“sinA>交”的充要條件，

2

其中正確的命題個數(shù)是（）

A.3B.2C.1D.0

6.（5分）數(shù)列｛4｝滿足q=1,a”=2（4_i+a〃_2+3+4）（〃>1），則4=（）

A.54B.81C.162D.243

7.（5分）在利用隨機(jī)模擬方法估計(jì)函數(shù)y=f的圖象、直線尤=_1,無=1以及x軸所圍成

的圖形面積時(shí)，做了1000次試驗(yàn)，數(shù)出落在該區(qū)域中的樣本點(diǎn)數(shù)為302個，則該區(qū)域面

積的近似值為（）

A.0.604B.0.698C.0.151D.0.302

8.（5分）設(shè)二次函數(shù)-尤+a（a>0）,若/（㈤<0,貝！I的值為（）

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)

C.非負(fù)數(shù)D.正數(shù)、負(fù)數(shù)和零都有可能

9.（5分）從重量分別為1,2,3,4,…，10,11克的磋碼（每種祛碼各一個）中選出若

干個，使其總重量恰為9克的方法總數(shù)為機(jī)，下列各式的展開式中%9的系數(shù)為機(jī)的選項(xiàng)

是（）

A.（1+%）（1+^2）（1+%3）...（1+%"）

B.（1+x）（l+2x）（1+3x）...（1+1l.r）

C.（1+x）（l+2X2）（1+3x3）...（1+llx11）

D.（1+無）（1+龍+尤）2（1+X+X2+x，）...（1+x+無2+...+龍”）

10.（5分）函數(shù)/（無）是定義在火上的偶函數(shù)，且“1-尤）=-Ax）,當(dāng)xe[2,3）時(shí),f（.x）=x,

則當(dāng)xe（-l,0]時(shí)，/（x）的解析式為（）

A.x+4B.x—2C.x+3D.—%+2

11.（5分）設(shè)[A]表示不超過x的最大整數(shù),如[1]=1,[0.5]=0,已知函數(shù)/（%）=區(qū)-依尤>0）,

若方程/（%）=0有且僅有3個實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

12.（5分）已知關(guān)于x的方程2ax=0有唯一解，則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.1B.-C.-D.-

234

二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）

13.（5分）集合A=[xwR|^^,,o1,B={尤—2無2+7X+4>0},則AB=

14.（5分）某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五個人玩搶紅包游戲，現(xiàn)有4個紅包，每人

最多搶一個，且紅包全部搶完，4個紅包中有兩個2元，1個3元，1個4元（紅包中金

額相同視為相同紅包），則甲、乙都搶到紅包的情況有種.（用數(shù)字作答）

15.（5分）設(shè)曲線y=*在點(diǎn)（0,1）處的切線與直線x+2y+l=0垂直，貝Ua=.

16.（5分）已知/（尤），g（無）都是定義在7?上的函數(shù)，并滿足：

(1)f(x)=2axg(x),(a>0,aw1)；

(2)g(%)wO；

（3）/（彳次，（%）＜1（盼8（幻且碑+仁|=5,貝____.

g⑴g（-D

三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.（12分）如圖，點(diǎn)尸在AABC內(nèi)，AB=CP=2,BC=3,ZP+ZB=TT,記NB=tz.

（1）試用。表示AP的長；

（2）求四邊形ABCP的面積的最大值，并寫出此時(shí)夕的值.

18.（12分）某課題組對春晚參加“咻一咻”搶紅包活動的同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，按照使用手機(jī)系

統(tǒng)不同（安卓系統(tǒng)和/OS系統(tǒng)）分別隨機(jī)抽取5名同學(xué)進(jìn)行問卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們咻得紅

包總金額數(shù)如表所示：

手機(jī)系統(tǒng)一二三四五

安卓系統(tǒng)（元）253209

IOS系統(tǒng)（元）431897

（1）如果認(rèn)為“咻”得紅包總金額超過6元為“咻得多”，否則為“咻得少”，請判斷手機(jī)

系統(tǒng)與咻得紅包總金額的多少是否有關(guān)？

（2）要從5名使用安卓系統(tǒng)的同學(xué)中隨機(jī)選出2名參加一項(xiàng)活動，以X表示選中的同學(xué)中

咻得紅包總金額超過6元的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.

下面的臨界值表供參考:

P(K2..k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量K2=-----------------------其中〃=o+6+c+d.

（a+b）（c+d）（Q+c）（b+d）

19.（12分）如圖所示，平面ABC_L平面BCDE,BC//DE,BC,DE=2,BE=CD=2,

2

ABYBC,M,N分別為DE,AD中點(diǎn).

（1）證明：平面MNC_L平面BCDE；

（2）若EC1CD，點(diǎn)尸為棱的三等分點(diǎn)（近A）,平面PMC與平面ABC所成銳二面角

20.（12分）已知定點(diǎn)M（-點(diǎn),0）,N是圓C:（x-0y+y2=i6（C為圓心）上的動點(diǎn)，MN

的垂直平分線與NC交于點(diǎn)E.

（1）求動點(diǎn)E的軌跡方程G；

（2）直線/與軌跡G交于P，。兩點(diǎn)，與拋物線C2：f=4y交于A,5兩點(diǎn)，且拋物線C?

在點(diǎn)A,3處的切線垂直相交于S,設(shè)點(diǎn)S到直線/的距離為d,試問：是否存在直線/,

使得d=J|A2||PQI?若存在，求直線/的方程；若不存在，請說明理由.

21.（12分）已知/（無）=/（依-1）,g（x）=a（尤-1）,acR.

（I）討論/（x）的單調(diào)性；

（II）若有且僅有兩個整數(shù)x,（i=l,2）,使得了（占）＜g（占）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

［選修4-1：幾何證明選講］

22.（10分）如圖，四邊形ABCD中，AB^AC=AD,AHLCD于H,BD交AH于P,

且尸C_L3C

（I）求證：A,B,C,尸四點(diǎn)共圓；

（II）若/C4D=生，AB=1,求四邊形ABC?的面積.

3

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

\X=2+ZCOS6Z

23.在直角坐標(biāo)系xOv中，直線/的參數(shù)方程為：廠”為參數(shù)，其中。＜&＜工7r)，

[y=V3+tsina2

橢圓M的參數(shù)方程為尸=2c。：為為參數(shù))，圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為(i)2+丁=1.

[y=sinp

(1)寫出橢圓加的普通方程；

(2)若直線/為圓C的切線，且交橢圓M于A,3兩點(diǎn)，求弦回的長.

[選修4-5：不等式選講]

24.已知函數(shù)/(x)=|x-2|+|x-a|.

(1)當(dāng)(7=2時(shí)，求不等式了⑺..4的解集；

(2)不等式/(x)＜4的解集中的整數(shù)有且僅有1,2,3,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2015-2016學(xué)年重慶八中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）命題“Vx>0,不等式x-1..伍x成立”的否定為（）

A.>0,不等式%-1../%,成立

B.3x0>0,不等式%-1<歷與成立

C.V%,0,不等式成立

D.Vx>0,不等式成立

【解答】解：命題為全稱命題，

則命題的否定是t：0>0,不等式毛-1〈仇X。成立，

故選：B.

2.（5分）下列函數(shù)中，定義在R上的增函數(shù)是（）

A.y=x--B.y=lg\x\C.y=取D.y=

x

【解答】解：對于A,函數(shù)y=的定義域是{x|xw0},不滿足題意；

X

對于8,函數(shù)y=/g|x|的定義域是{X|XMO},不滿足題意；

對于C,函數(shù)y=也是定義域R上的增函數(shù)，滿足題意；

對于。，函數(shù)y=77=1x1在定義域R上不是單調(diào)函數(shù)，不滿足題意.

故選：C.

9

3.（5分）若〃=2°$,b=log^3,c=log2sin—,貝!J（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a

【解答】解：，=2。5>2。=1,

0=log〃i<b=log?3<log〃7i=l,

2

c=log2sin—1<log21=0,

:.c<b<a.

故選：D.

4.（5分）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3,l）,且尸（德*4）=0.6823貝1］尸（>>4）=（

）

A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585

【解答】解：P（W4）=；P（2融：4）=0.3413,

觀察上圖得，

P（X>4）=0.5一P（W4）=0.5-0.3413=0.1587.

①若"p或4”為假命題，則力，r均為真命題；

②命題“若X..2且y..3,則x+y..5”的逆否命題為假命題；

③在AABC中，“A>45?！笔恰皊inA>遮”的充要條件，

2

其中正確的命題個數(shù)是（）

A.3B.2C.1D.0

【解答】解：①若"p或q”為假命題，則°,q都是假命題，則刃，人均為真命題；

故①正確，

②命題“若乂.2且y..3,則x+y..5”為真命題，根據(jù)逆否命題的真假性相同得命題的逆否

命題為真命題，故②錯誤；

③在AABC中，若4=150。滿足A>45。，但如4=l，則sin4>也不成立，即充分性不成

22

立，故③錯誤，

故選：C.

6.（5分）數(shù)列｛〃〃｝滿足4=1,%=2（a〃_i+a〃_2+…+%）（〃>1），則％=（）

A.54B.81C.162D.243

【解答】解：設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為s“，

4=1，=2（%+an-2+…+%）=25._］（〃>1）,

%=25,，可得an+x-an=2an,即an+l=3an,

〃=2時(shí)，a2=2%=2.

，數(shù)列｛%｝從第二項(xiàng)起為等比數(shù)列，公比為3.

牝=x34=2x3,=162.

故選：C.

7.（5分）在利用隨機(jī)模擬方法估計(jì)函數(shù)>=爐的圖象、直線彳=一1,x=l以及x軸所圍成

的圖形面積時(shí)，做了1000次試驗(yàn)，數(shù)出落在該區(qū)域中的樣本點(diǎn)數(shù)為302個，則該區(qū)域面

積的近似值為（）

A.0.604B.0.698C.0.151D.0.302

【解答】解:設(shè)區(qū)域面積為X,

由概率的幾何概型知，則膽=',

10002

解得彳=0.604.

則該區(qū)域面積的近似值為0.604,

故選：A.

8.（5分）設(shè)二次函數(shù)/（%）=%2一%+〃（］>（））,若機(jī)）<0,則/1On-l）的值為（）

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)

C.非負(fù)數(shù)D.正數(shù)、負(fù)數(shù)和零都有可能

【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)/0）=尤2-尤+。3>0）的對稱軸為犬=工，

2

又因?yàn)閍>0,故/對應(yīng)的大致圖象如圖：

由f（m）<0=>0<m<l=>m—1<0=>于（m—1）>0.

故選：A.

2

9.（5分）從重量分別為1,2,3,4,10,11克的祛碼（每種祛碼各一個）中選出若

干個，使其總重量恰為9克的方法總數(shù)為7",下列各式的展開式中V的系數(shù)為機(jī)的選項(xiàng)

是（）

A.（1+尤）（1+f）（1+彳3）.（1+產(chǎn)）

B.（1+x）（l+2x）（1+3x）...（1+1lx）

C.（1+尤）（1+2尤2）（1+3無3）…（1+11產(chǎn)）

D.（1+無）（1+龍+尤2）（1+x+X?+X，）...（1+龍+尤2+...+無”）

【解答】解：V是由X、/、/、/、/、/、/、臚、肝中的指數(shù)和等于9

的那些項(xiàng)的乘積構(gòu)成，有多少種這樣的乘積，就有多少個V.

各個這樣的乘積，分別對應(yīng)從重量1,2,3,...10,11克的祛碼（每種祛碼各一個）中，

選出若干個表示9克的方法.

故”從重量1,2,3,…10,11克的祛碼（每種祛碼各一個）中選出若干個.

使其總重量恰為9克的方法總數(shù)”，

就是“（1+無）（1+馬（1+三）…（1+/）（1+/）”的展開式中爐的系數(shù)，，，

故選：A.

10.（5分）函數(shù)/（尤）是定義在尺上的偶函數(shù)，且/（l-x）=-/（x）,當(dāng)xe[2,3）時(shí)，/（尤）=x,

則當(dāng)xe（—l,0]時(shí)，八＞）的解析式為（）

A.x+4B.x—2C.x+3D.—%+2

【解答】解：/（尤）是定義在A上的偶函數(shù)，且/'（1-尤）=-/0）,

.-.f（l-x）=-/（x）=/（x-l）,

則f（x-2）=-/（x-1）=-（-/（x））=/（%）,

則函數(shù)/(x)是周期為2的周期函數(shù)，

則若xe(-l,0],則-xe[0,1),-x+2e[2,3),

即/(%)=/(-%)=/(-%+2),

當(dāng)xe[2,3)時(shí)，/(%)=x,

.?.當(dāng)xe(-l,0]時(shí)，f(x)=f(-x+2)=-x+2,

故選：D.

11.(5分)設(shè)印表示不超過x的最大整數(shù)，如國=1,[0.5]=0,已知函數(shù)/(x)=四一>0),

若方程/(尤)=0有且僅有3個實(shí)根，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是()

【解答】解：由/(x)=蟲一4=0得蟲=左，

若x>0,設(shè)g(x)=—,

貝!J當(dāng)0<%vl,[x]=0,止匕時(shí)g(x)=0,

當(dāng)L,xv2,[x]=1,此時(shí)g(x)=L,此時(shí)L<g(x),,1,

,x2

22

當(dāng)2,x<3,[x]=2,此時(shí)g(%)=—,此時(shí)一vg(x),,1,

x3

當(dāng)3,,x<4,[幻=3,此時(shí)g(%)='，此時(shí)

x4

44

當(dāng)4,,x<5,[x]=4,此時(shí)g(%)=—,此時(shí)一vg(球,1,

x5

作出函數(shù)g(x)的圖象，

要使/(X)=支—4有且僅有三個零點(diǎn)，

即函數(shù)g(x)=k有且僅有三個零點(diǎn),

24

則由圖象可叫女丁

故選：C.

12.(5分)已知關(guān)于x的方程￡一2a/nx-2以=0有唯一解，則實(shí)數(shù)a的值為()

A.1B.-C.-D.-

234

【解答】解：由選項(xiàng)知。>0,

設(shè)g(x)=/一2alnx-2ax,(%>0),

若方程爐-2a/nx-2ax=0有唯一解，

即g(%)=。有唯一解，

貝Ug\x)=2x---2a=2(?-內(nèi)-a),

XX

令g'(x)=0,可得x2—依―a=0,

?ca+yja1+4a?+目4■土、

a>0,x>0,x.=-----------(另一■根舍去)，

2

當(dāng)xw(0,%)時(shí)，g'(x)<0,g(x)在。再)上是單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)xe(X[,+00)時(shí)，g'(x)>0,g(x)在(占，+CO)上是單調(diào)遞增函數(shù)，

.,.當(dāng)x=x，時(shí)，g'(xl)=0,g(x),癡=g(藥)，

g(x)=0有唯一解，

，8(西)=0，

g（占）=。

g'G）=o

Xy-2alnx{-2ax1=0

2，

xx-ax{-a=Q

2alnx{+ax1—a=0

a>0,

21nxi+%—1=0,

設(shè)函數(shù)/z(X)=2/nx+%-l,

%>0時(shí)，//(%)是增函數(shù)，

/z(%)=0至多有一解，

h(1)=0,

方程2阮V]+芯一1=0的角軍為玉=1,

.?.當(dāng)a>0,方程/(%)=2依有唯一解時(shí)a的值為g.

故選：B.

二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)

13.(5分)集合A=[xeR[^1,,0，，B={xeR|—2/+7x+4>0},貝UAB=_(-l,4)_.

【解答】解：由A中不等式變形得：(x-2)(x+l),,0,且x+lwO,

解得：-l<x,,2,即4=(-1,2],

由5中不等式變形得：2/一7x一4<0,即(2x+l)(x-4)<0,

解得：一!<彳<4,BPB,4),

22

貝|A8=(-1,4),

故答案為：(-1,4).

14.(5分)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五個人玩搶紅包游戲，現(xiàn)有4個紅包，每人

最多搶一個，且紅包全部搶完，4個紅包中有兩個2元，1個3元，1個4元(紅包中金

額相同視為相同紅包)，則甲、乙都搶到紅包的情況有36種.(用數(shù)字作答)

【解答】解：若甲乙搶的是一個2元和一個3元的，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2

個人搶走，有ME=12種，

若甲乙搶的是一個2和一個4元的，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有

&&=12種，

若甲乙搶的是一個3和一個4元的，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有&C；=6

種，

若甲乙搶的是兩個2元，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有耳=6種，

根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得，共有36種，

故答案為：36.

15.(5分)設(shè)曲線y=e口在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線x+2y+l=0垂直，則。=2.

【解答】解：＞=6口

曲線y=e"在點(diǎn)(0,1)處的切線方程是y-l=“(x-0),即6-y+l=0

直線ar-y+l=0與直線x+2y+l=0垂直

—a——1,即a=2.

2

故答案為：2

16.(5分)已知/(X),g(尤)都是定義在R上的函數(shù)，并滿足：

(1)f(x)=2axg(x),(a>0,a1)；

(2)g(x)w0；

/wa)<ra)g(x)且瑞+得

(3)=5,則a=2

【解答】解：由(1)、(2)得，皿=2",

g(x)

因?yàn)?+^^=5,所以2。+2。7=5,解得?；騛=2,

g⑴g(T)2

由/(尤)g，(x)〈r(x)g(x),得［筆，＞0,

g(x)

所以幺砂單調(diào)遞增，故

g(尤)

所以o=2,

故答案為：2.

三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.（12分）如圖，點(diǎn)尸在AABC內(nèi)，AB=CP=2,BC=3,NP+NB=TT,記NB=（Z.

（1）試用夕表示AP的長；

（2）求四邊形ABCP的面積的最大值，并寫出此時(shí)"的值.

【解答】解：(1)AA2C與WC中，AB=CP=2,BC=3,ZB=a,ZP=7r-a,

由余弦定理得，AC2=22+32-2X2X3COS6Z,①

AC2=AP2+22-2xAPx2cos(^--a),②

由①②得：AP2+4APcos?+12costz-9=0,ae(0,,

解得：AP=3—4cos<z；

(2)AP=3-4cosa>ae(0,Tt),

=-x2x3sin(z--x2xAPsin(7r—cr)

22

=3sina—(3—4cosa)sina

=4sinacosa=2sin2a,aG（0,71）,

則當(dāng)a=生時(shí)，Smai=2.

VTICIA

18.（12分）某課題組對春晚參加“咻一咻”搶紅包活動的同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，按照使用手機(jī)系

統(tǒng)不同（安卓系統(tǒng)和/os系統(tǒng)）分別隨機(jī)抽取5名同學(xué)進(jìn)行問卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們咻得紅

包總金額數(shù)如表所示：

手機(jī)系統(tǒng)一二三四五

安卓系統(tǒng)（元）253209

/OS系統(tǒng)（元）431897

（1）如果認(rèn)為“咻”得紅包總金額超過6元為“咻得多”，否則為“咻得少”，請判斷手機(jī)

系統(tǒng)與咻得紅包總金額的多少是否有關(guān)？

（2）要從5名使用安卓系統(tǒng)的同學(xué)中隨機(jī)選出2名參加一項(xiàng)活動，以X表示選中的同學(xué)中

咻得紅包總金額超過6元的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.

下面的臨界值表供參考:

P(K2..k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量K2=---------一姐2-----------,其中〃=a+6+c+d.

(Q+b)(c+d)(Q+c)(Z?+d)

【解答】解：（1）根據(jù)題意列出2x2列聯(lián)表如下:

咻得多少咻得少咻得多合計(jì)

手機(jī)系統(tǒng)

安卓325

IOS235

合計(jì)5510

片』"一2X2)Z4<2706,

5x5x5x5

所以沒有足夠的理由認(rèn)為手機(jī)系統(tǒng)與咻得紅包總金額的多少有關(guān).（6分）

（2）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,

2

P(X=O)TC=33

C；10

CKi3

Cj5

C21

p(X=D=T=—(9分)

故X的分布列為:

X012

P331

W510

331

...數(shù)學(xué)期望E(X),E(X)=0x—+lx-+2x—=0.8.(12

10510

分)

19.(12分)如圖所示，平面ABC_L平面3CDE,BC//DE,BC=-DE=2,BE=CD=2,

2

AB±BC,M,N分別為DE,AD中點(diǎn).

(1)證明：平面MNC_L平面3CDE；

(2)若￡C_LCD，點(diǎn)P為棱曲的三等分點(diǎn)(近A),平面與平面ABC所成銳二面角

【解答】證明：(1)連結(jié)ON,

由題意四邊形是菱形，是80中點(diǎn)，

N是中點(diǎn)，:.ON//AB,

ABLBC,平面ABC_L平面3CDE,.?.AB_L平面3CDE,

.1ON_L平面3CDE,

ONu平面ACVC,平面ACVC_L平面BCDE.

解：(2)以C為原點(diǎn)，CE為x軸，CD為y軸，過C作平面3cDE的垂線為z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系，

設(shè)A(岔，-1,f),。＞0)由題意。(0,2,0),尸(苧，。，1)，EQ幣,0,0),

0(0,2,0),M(后1,0),B(區(qū)-1,0),C(0,0,0),

CP=(竿，0,爭，CM=(后1,0),CB=(6-1,0),CA=(y/3,-l,t),

設(shè)平面尸MC的法向量機(jī)=(%,y,z),

.mCP=^^-x+—z=0廠/廠3

則＜33，取x=百，得加=(m,—3,——)，

mCM=y/3x+y=0

設(shè)平面ABC的法向量〃=(a,b,c),

則4，取Q=y/3,得幾=(v3,3,0),

nCA=y[3a-b+tc=O

平面PMC與平面ABC所成銳二面角的余弦值為叵，

13

..\mn\I-6|739

cos<m,n>=------解得t-3.

\m\\n\13

.?.棱AB的長度為3.

20.（12分）已知定點(diǎn)M（-正,0）,N是圓C:（x-0>+y2=i6（C為圓心）上的動點(diǎn)，MN

的垂直平分線與NC交于點(diǎn)E.

（1）求動點(diǎn)E的軌跡方程C1；

（2）直線/與軌跡G交于尸，。兩點(diǎn)，與拋物線C2：f=4y交于A,3兩點(diǎn)，且拋物線C?

在點(diǎn)A,3處的切線垂直相交于S,設(shè)點(diǎn)S到直線/的距離為d,試問：是否存在直線上

使得d=J|AB||PQ|?若存在,求直線/的方程；若不存在，請說明理由.

【解答】解：（1）依題意有：|EM|+|EC|=|EN|+|EC|=|NC|=4,故動點(diǎn)E的軌跡為以

C為焦點(diǎn)，長軸為4的橢圓.

22

于是：a=2,c=^/2,從而b=故動點(diǎn)石的軌跡方程G為：—+—=1-

42

（2）設(shè)直線/:y=Ax+m,,%）,B（X2,%），尸（七，為）。（/，%），由12yl，

2

得：x—4Ax-4m=0,^xl+x2=4kfjqx2=-Am.

由f=4y得：y=%2,即切線斜率左=y，=^.

于是：kpA=],kpB=5，

由PA_LPB得；kpAkpB=—x—=——fYi=—1,

PAPB22"42

解得：m=l,

Mx.2

y='x——-

這說明直線/過拋物線C?的焦點(diǎn)尸，由.24,

X,X：

》=^±^=2左,'=±2%_二=2_4=^±^芯_日=必=_1即5（2匕_1）.

224142744

于是：點(diǎn)S（2匕-1）到直線/:依-y+1=0的距離d=冬==2717。，

^y/1+k2

由（[="：1得：（1+2廿）/+4代一2=0,

[x+2y=4

從而附uk叵三尸巨一行國巨，

2

1+2左2l+2k

同理：|A8|=4（l+r）,

22

由d=^\AB\\PQ\得2j（l+2〃2）=4（1+k）（1+k）加+丫）,

Y1+2k

化簡整理，得：28/+36后2+7=0,此方程無解，

所以不存在直線人使得d=J|A8||/。|.

21.（12分）已知/（尤）=6工（依-1）,g（x）=a（尤-1）,awR.

（I）討論/（x）的單調(diào)性；

（II）若有且僅有兩個整數(shù)無,（i=1,2）,使得了（占）＜g（占）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解答】解：（I）因r（x）=e'3+a-l）.…（1分）

所以，當(dāng)a=0時(shí)，/0）＜0在R上恒成立，

即/（x）在（TO,y）上單調(diào)遞減；…（2分）

當(dāng)a＞0時(shí)，/（彳）＞0的解為

即/（x）在（2-1,+00）上單調(diào)遞增，在（-00」-1）上單調(diào)遞減；…（4分）

aa

當(dāng)a＜0時(shí)，/（*）＞0的角軍為[無|彳＜!一1],

即〃x)在(-00--1)上單調(diào)遞增，在d-l,+oo)上單調(diào)遞減.…(6分)

aa

(II)法一：當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=-ex,g(x)=0,

此時(shí)f(x)<g(x)的解集為R,所以此情況舍去；…(7分)

當(dāng)avO時(shí)，/(0)=—lvg(O)=—a,f(1)=e(a-I)<g(1)=0,f(2)=e2(2a-l)<g

(2)=a.

可見了a)vga)的解集不僅僅兩個整數(shù)解，此情況舍去；…(8分)

當(dāng)a>。時(shí)，

由(I)可知/(X)的極值點(diǎn)為L-1,

a

1i

又f(0)=—1,g(1)=0,/(——l)=ea(-a),而且，f(x)僅有一個零點(diǎn)—.

aa

若0<1,,1,即a..1時(shí)，

a

由(I)知/(%)的單調(diào)性，以及/4-1)=€工(一々)<0,

a

有了(X)與g(x)的草圖如下：

a

所以在(-8,-1］上/(%)單調(diào)遞減，g(%)單調(diào)遞增，

所以=/(-I)=--?g(x)2=g(-l)=-2t?,

e

所以在(-00,-1］上/(x)>g(x)恒成立.

X/(0)=-1>g(0)=-a,在?！昕?，+8)上，又所以，ex>1,ax-1..0,

所以/(x)=ex(ax-1)>ax-1=a(x-1)+〃一1..a(x-1)=g(x)

所以在時(shí)，在R上沒有使得了(%)<g(x)的整數(shù)解存在；…(10分)

而由上知在(-oo,-l)上/(x)>g(N)恒成立，

/一

下證明在xc[2,+8)上，一-——,,〃<1時(shí)，/(x)..g(x)恒成立，

2e-1

令函數(shù)/z(%)=/(%)-g(x),xe[2,+8),則//(%)=e"(QX—l+〃)一〃，

、e21

因?yàn)椋?[2,+oo),--——?a<1,所以依-1+a..；-——+〃>0,

2e2-l2e2-l

月f以cx{cix—1+ci)—a..f(----Fci)—a>—----Fci—ci——--->0，

2e—12e—12e—1

即/(x)>0在％w[2,+oo)上恒成立,

所以函數(shù)■%)在[2,+00)上單調(diào)遞增，所以/?(%)../?(2)=(2e2-l)a-e2..O

2

所以在％w[2,+00)上，一-——,,Q<1時(shí)，/(%)..g(%)恒成立.

2e-1

2

綜上：—：—?a<l....(12分)

2e2-l

法二：若有且僅有兩個整數(shù)%(i=1,2),使得/5)<g@)成立,

則a{xex-x+l)</有兩個整數(shù)解.

因?yàn)閥=x(e'-l)+l,當(dāng)x>0時(shí)，ex-l>0,x(e'-l)+l>0；

當(dāng)x<0時(shí)，ex-l<0,x(ex-l)+l>0,

所以，a<—-——有兩個整數(shù)解…（8分）

xe-x+\

ex(2-x-ex)

設(shè)g（x）=K7T則g'(x)=

x

(xe—x+1)2

h(x)=2-x—ex,則〃(%)=-l-e”<0,

又/z(0)=l>0,h((1)=1—evO,

所以現(xiàn)￡(0,1),使得已/o)=。，

在（-8,%0）為增函數(shù),在（飛，+8）為減函數(shù),

—有兩個整數(shù)解的充要條件是：

xe-x+1

a<g（0）=1

a<g（l）=1

,g0)=&

［選修4-1：幾何證明選講］

22.（10分）如圖，四邊形ABCD中，AB^AC=AD,AH_LCD于H,BD交AH于P,

且尸C_L3C

（I）求證：A,B,C,P四點(diǎn)共圓；

（II）若NC4D=生，AB=1,求四邊形ABCP的面積.

3

【解答】證明：(I)AC=AD,AHLCD,:.ZCAD=ZDAP,

從而AACP三AADP,得NACP=NADP.

又AB=AD,故/4DP=NABP,

從而NABPnNACP,可知A,B,C,P四點(diǎn)共圓；

(II)由AC=AT),ZCAD=~,從而AACD是邊長為1的等邊三角形,

3