高中數(shù) 3.3-1幾何概型幾何概型(1)試題 蘇教版必修3

3.3幾何概型第1課時幾何概型(1)eq\a\vs4\al\co1(雙基達標限時15分鐘)1．在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點P，則△PBC的面積大于eq\f(S,4)的概率是________．解析如圖，P為△ABC的邊AB上一點，S△PBC＝eq\f(1,2)BC·PB·sinB，S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AB·sinB＝S，欲使S△PBC＝eq\f(1,2)BC·PB·sinB＞eq\f(S,4)，，則PB＞eq\f(1,4)AB.故△PBC的面積大于eq\f(S,4)的概率為eq\f(AB－\f(1,4)AB,AB)＝eq\f(3,4).答案eq\f(3,4)2．已知半徑為2eq\r(3)的球內(nèi)有一內(nèi)接正方體，若球內(nèi)任取一點，則該點在正方體內(nèi)的概率為________．解析由題意可知，設(shè)正方體的棱長為a，則eq\r(3)a＝2×2eq\r(3)，∴a＝4，故V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π(2eq\r(3))3＝32eq\r(3)π，V正方體＝a3＝64.由幾何概型計算公式可知，所求事件的概率P＝eq\f(64,32\r(3)π)＝eq\f(2\r(3),3π).答案eq\f(2\r(3),3π)3．已知⊙O是等邊三角形ABC的內(nèi)切圓，在△ABC內(nèi)隨機取一點，則該點落在⊙O內(nèi)的概率為________．解析設(shè)等邊三角形ABC的邊長為a，內(nèi)切圓半徑為r，則S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，tan30°＝eq\f(r,\f(a,2))＝eq\f(2r,a)＝eq\f(\r(3),3)，∴r＝eq\f(\r(3),6)a，∴S⊙O＝πr2＝π·eq\f(3,36)a2＝eq\f(π,12)a2，∴所求概率為P＝eq\f(\f(π,12)a2,\f(\r(3),4)a2)＝eq\f(\r(3),9)π.答案eq\f(\r(3),9)π4.如圖所示，有一瓶2升的水，其中含有1個細菌．用一小杯從這瓶水中取出0.1升水，求小杯水中含有這個細菌的概率為________．解析記“小杯水中含有這個細菌”為事件A，則事件A的概率只與取出的水的體積有關(guān)，符合幾何概型的條件．∵小瓶中有0.1升水，原瓶中有2升水．∴由幾何概型求概率的公式得P(A)＝eq\f(0.1,2)＝0.05.答案0.055.如圖，某人向圓內(nèi)投鏢，如果他每次都投在圓內(nèi)，那么他投中正方形區(qū)域的概率為________(結(jié)果用分數(shù)表示)．解析設(shè)圓的半徑為r，則圓的內(nèi)接正方形的邊長為eq\r(2)r，由幾何概型的概率公式知，投中正方形區(qū)域的概率為P＝eq\f(2r2,πr2)＝eq\f(2,π).答案eq\f(2,π)6．判斷下列試驗是否為幾何概型？并說明理由．(1)在某月某日，某個市區(qū)降雨的概率．(2)在1000mL的水中有一個草履蟲，現(xiàn)從中隨機取出300mL水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率．解(1)不是幾何概型，因為其不具有無限性、等可能性；(2)是幾何概型，因為其具有①無限性，②等可能性，符合幾何概型的特征．eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時30分鐘)7．如圖，靶子由三個半徑分別為R,2R,3R的同心圓組成，如果你向靶子隨機地擲一個飛鏢，命中M1區(qū)域，M2區(qū)域，M3區(qū)域的概率分別為P1，P2，P3，則P1∶P2∶P3＝________.解析可分別求得P1＝eq\f(1,9)，P2＝eq\f(1,3)，P3＝eq\f(5,9)，故P1∶P2∶P3＝1∶3∶5.答案1∶3∶58．在一杯10L的清水中，有一條小魚，現(xiàn)任意取出1L清水，則小魚被取到的概率為________．解析以體積為測度，故P＝eq\f(1,10).答案eq\f(1,10)9．某人欲從某車站乘車出差，已知該站發(fā)往各站的客車均每小時一班，求此人等車時間不多于10min的概率為________．解析以分鐘為單位，∴P＝eq\f(10,60)＝eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)10．函數(shù)f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任意x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率為________．解析由f(x0)≤0，解得－1≤x0≤2，∴P＝eq\f(2－－1,5－－5)＝eq\f(3,10)＝0.3.答案0.311．已知集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|2＜x＜3}，在集合A中任取一個元素x，求事件“x∈A∩B”的概率．解A∩B＝{x|2＜x＜3}，因為集合A的測度為5－(－1)＝6，集合A∩B的測度為3－2＝1.故事件“x∈A∩B”的概率為P＝eq\f(1,6).12．某袋黃豆種子共100kg，現(xiàn)加入20kg黑豆種子并拌勻，從中隨機取一粒，則這粒種子是黃豆、黑豆的概率分別是多少？解符合幾何概型，測度為質(zhì)量(相當(dāng)于體積)．設(shè)這粒種子是黃豆、黑豆的概率分別為P1，P2.則P1＝eq\f(100,100＋20)＝eq\f(5,6)，P2＝eq\f(20,100＋20)＝eq\f(1,6).所以，這粒種子是黃豆、黑豆的概率分別為eq\f(5