3.2.2雙曲線的幾何性質(zhì)（解析版）

3.2.2雙曲線的幾何性質(zhì)同步練習(xí)基礎(chǔ)鞏固基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．若雙曲線的漸近線方程是，虛軸長為4，且焦點(diǎn)在x軸上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．或 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解.【詳解】由題可得解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:C.2．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程即可計(jì)算.【詳解】由題設(shè)知，，解得.故選:A.3．已知雙曲線的離心率是2，則（

）A．12 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線離心率公式即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得，解得，故選：B.4．設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)漸近線方程求出a與b的關(guān)系即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，又；故選：A.5．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)離心率求出，再根據(jù)雙曲線的漸近線方程即可得解.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)椋?，則，所以漸近線方程為.故選：C.6．實(shí)軸長和虛軸長相等的雙曲線稱為等軸雙曲線，則等軸雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】依題意可得，即可得到，從而求出離心率.【詳解】依題意可得等軸雙曲線中，則，所以離心率.故選：A7．雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的方程以及離心率的概念計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線，所以，，所以，的離心率，故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.8．若雙曲線：的虛軸長為8，漸近線方程為，則雙曲線C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)虛軸、漸近線的定義求解.【詳解】由題可得解得，所以雙曲線方程為，故選:C.9．若雙曲線的漸近線方程為，實(shí)軸長為，且焦點(diǎn)在x軸上，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．或 B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解.【詳解】由題可得，解得，因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:C.10．已知雙曲線的焦距為，則的漸近線方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)得到，，即可解得，從而求得答案.【詳解】由題意得：，解得：，即雙曲線的方程為，所以的漸近線方程是.故選：A.二、填空題11．已知雙曲線的離心率為，則．【答案】3【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合離心率計(jì)算公式求解作答.【詳解】∵雙曲線的離心率為，則有，解得．故答案為：3.12．已知雙曲線的離心率，且其右焦點(diǎn)為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【分析】根據(jù)已知條件求得，從而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】依題意，，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：13．已知雙曲線的焦距為6，它的離心率為3，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】或【分析】根據(jù)雙曲線的焦距和離心率求出，再分兩種情況寫出標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】依題意，，由，得，所以，當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：或.14．已知雙曲線C：的離心率是2，實(shí)軸長為2，則雙曲線C的焦距是.【答案】【分析】根據(jù)題意求出即可得解.【詳解】因?yàn)殡p曲線C：的離心率是2，實(shí)軸長為2，所以，所以，所以雙曲線C的焦距是.故答案為：.15．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程求解.【詳解】由題得，因?yàn)?，所以解?故答案為：3.三、解答題16．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，其漸近線方程為，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】【分析】本題首先可以設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程并寫出其的漸近線方程，然后通過題目所給出的漸近線方程為即可得出與的關(guān)系，再然后通過焦點(diǎn)坐標(biāo)以及雙曲線的相關(guān)性質(zhì)即可得出，最后通過計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】由已知可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則其漸近線方程為，因?yàn)闈u近線方程為，所以，又因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，所以，聯(lián)立，通過計(jì)算可得，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查計(jì)算能力，是簡單題．17．（1）求焦點(diǎn)在軸上，長軸長為6，焦距為4的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求一個(gè)焦點(diǎn)為，漸近線方程為的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）；（2）【分析】（1）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，由長軸長知；由焦距得到，解出后，代入橢圓方程即可得到結(jié)果；（2）設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，由漸近線斜率可得，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得，從而求得，代入雙曲線方程可得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：由長軸長知：

由焦距知：

，解得：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）雙曲線焦點(diǎn)在軸上

可設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為雙曲線漸近線方程為：

又焦點(diǎn)為

，解得：

雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程、雙曲線方程的求解，橢圓和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18．已知雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，且它的一條漸近線方程為.(1)求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由橢圓方程及其參數(shù)關(guān)系求出參數(shù)c，即可得焦點(diǎn)坐標(biāo).（2）由漸近線及焦點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)雙曲線方程為，再由雙曲線參數(shù)關(guān)系求出參數(shù)，即可得雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1）由題設(shè)，，又，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）由題設(shè)，令雙曲線為，由（1）知：，可得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.19．（1）求長軸長為12，離心率為，焦點(diǎn)在軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知雙曲線的漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，求此雙曲線的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，雙曲線的幾何性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為：且a>b>0，，，，，故橢圓方程為：；（2）的焦點(diǎn)為：，根據(jù)題意得到：，則，解得：，故，故雙曲線的方程為：.能力進(jìn)階能力進(jìn)階20．求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在軸上，離心率為，兩頂點(diǎn)間的距離為6；(2)以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，求得雙曲線的，從而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的方程為.由，，得，，，所以雙曲線的方程為.（2）由題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上.設(shè)雙曲線的方程為，則，，，所以雙曲線的方程為.21．已