湖南省婁底市婁星區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題

PAGEPAGE18湖南省婁底市婁星區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題時量：120分鐘滿分：150分第I卷（選擇題共60分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.命題“，”的否定是A.， B.，C.， D.，2.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限3.某中學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)班共有14人，分為兩個小組，在一次階段測試中兩個小組成果的莖葉圖如圖所示，其中甲組學(xué)生成果的平均數(shù)是88，乙組學(xué)生成果的中位數(shù)是89，則的值是A.5B.6C.7D.84已知，且，則A.B.C.D.5.若向量，滿意，則與的夾角為A.B.C.D.6.標(biāo)準(zhǔn)的圍棋棋盤共行列，個格點，每個格點上可能出現(xiàn)“黑”“白”“空”三種狀況，因此有種不同的狀況；而我國北宋學(xué)者沈括在他的著作《夢溪筆談》中，也探討過這個問題，他分析得出一局圍棋不同的改變大約有“連書萬字五十二”種，即，下列數(shù)據(jù)最接近的是（）A.B.C.D.7.函數(shù)，直線與函數(shù)的圖象相交于四個不同的點，從小到大，交點橫坐標(biāo)依次記為、、、，則的取值范圍是A. B. C. D.8.已知直線：與直線：相交于點P，線段是圓C：的一條動弦，且，點D是線段的中點.則的最大值為 B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下圖統(tǒng)計了截止到2024年年底中國電動汽車充電樁細(xì)分產(chǎn)品占比及保有量狀況，關(guān)于這5次統(tǒng)計，下列說法錯誤的是A.私人類電動汽車充電樁保有量增長率最高的年份是2024年B.公共類電動汽車充電樁保有量的中位數(shù)是25.7萬臺C.公共類電動汽車充電樁保有量的平均數(shù)為23.12萬臺D.從2024年起先，我國私人類電動汽車充電樁占比均超過50%10.設(shè)橢圓的左右焦點為，，是上的動點，則下列結(jié)論正確的是A.B.離心率C.面積的最大值為D.以線段為直徑的圓與直線相切11.記函數(shù)的圖象為曲線F，則下列結(jié)論正確的是A.函數(shù)最小正周期為B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.曲線F關(guān)于直線對稱D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到曲線F12.已知，，下列不等式成立的是（）A B. C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知是的共軛復(fù)數(shù)，且滿意(其中是虛數(shù)單位)，則________.14.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點，則三棱錐A-NMD1的體積為____________15.已知等比數(shù)列的前項和為，若＝，＝，則＝________．16.已知函數(shù)，若正數(shù)，滿意，則的最小值為______.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.請考生在①的面積為，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題橫線處。問題：是否存在，它的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由。18.2024年初，新冠肺炎疫情攻擊全國，對人民生命平安和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)峻影響在黨和政府強(qiáng)有力的抗疫領(lǐng)導(dǎo)下，我們限制住了疫情接著我們一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn)，減輕經(jīng)濟(jì)下降對企業(yè)和民眾帶來的損失為降低疫情影響，某廠家擬在2024年實行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量即該廠的年產(chǎn)量萬件與年促銷費(fèi)用m萬元滿意（k為常數(shù)），假如不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是2萬件已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品須要再投入16萬元，廠家將產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品元（1）將2024年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；（2）該廠家2024年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？19.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，為線段的中點，為線段上的一點.（1）證明：平面平面.（2）若，二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.20.已知數(shù)列的前n項和為，，，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列前n項和為，已知，若不等式對于恒成立，求實數(shù)m的最大值.21.已知橢圓C中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，直線與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點是M，點M在x軸上的射影恰好是橢圓C的右焦點，橢圓C的另一個焦點是，且.（1）求橢圓C的方程；（2）已知圓：，動圓P的圓心P在橢圓C上并且與圓外切，直線l是圓P和圓的外公切線，直線l與橢圓C交于A，B兩點，當(dāng)圓P的半徑最長時，求三角形F1AB的面積.22.已知函數(shù).（1）若曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線l過點（0，1-e），求實數(shù)a的值；（2）當(dāng)a＞0時，若函數(shù)f（x）有且僅有3個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

2024年上學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)答案時量：120分鐘滿分：150分第I卷（選擇題共60分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】利用特稱命題的否定是特稱命題即可求解.【詳解】由含有量詞命題的否定可知：命題“，”的否定是“，”.故選：C【點睛】本題主要考查了含有一個量詞的命題的否定，2.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【詳解】∵，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第一象限．選A．3.某中學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)班共有14人，分為兩個小組，在一次階段測試中兩個小組成果的莖葉圖如圖所示，其中甲組學(xué)生成果的平均數(shù)是88，乙組學(xué)生成果的中位數(shù)是89，則的值是．A.5B.6C.7 D.8【答案】B【解析】【詳解】試題分析：甲組學(xué)生成果平均數(shù)是，乙組學(xué)生成果的中位數(shù)是89，所以，選B.考點：平均數(shù)，中位數(shù)4已知，且，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】用二倍角的余弦公式，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，求解得出，再用同角間的三角函數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】，得，即，解得或（舍去），又.

故選：A.【點睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.5.若向量，滿意，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出，即可依據(jù)數(shù)量積的定義求出夾角.【詳解】解：∵，∴，又，兩向量的夾角的取值范圍是，，∴.∴與的夾角為.故選：C.6.標(biāo)準(zhǔn)的圍棋棋盤共行列，個格點，每個格點上可能出現(xiàn)“黑”“白”“空”三種狀況，因此有種不同的狀況；而我國北宋學(xué)者沈括在他的著作《夢溪筆談》中，也探討過這個問題，他分析得出一局圍棋不同的改變大約有“連書萬字五十二”種，即，下列數(shù)據(jù)最接近的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，對取對數(shù)可得，即可得，分析選項即可得答案．【詳解】據(jù)題意，對取對數(shù)可得，即可得分析選項：B中與其最接近，故選B.【點睛】本題考查對數(shù)的計算，關(guān)鍵是駕馭對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．7.函數(shù)，直線與函數(shù)的圖象相交于四個不同的點，從小到大，交點橫坐標(biāo)依次記為、、、，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】作出函數(shù)的圖象，由圖象得出，推導(dǎo)出，，進(jìn)而可求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)的圖象如下圖所示，直線與函數(shù)的圖象相交于四個不同的點，當(dāng)時，，由圖象可知，實數(shù)的范圍是，由已知、為方程的兩根，即方程的兩根，所以，、為方程的兩根，且，則，所以，，，而，所以有，故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)零點代數(shù)式取值范圍的計算，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.8.已知直線：與直線：相交于點P，線段是圓C：的一條動弦，且，點D是線段的中點.則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依據(jù)條件可先推斷出并結(jié)合直線過定點確定出的軌跡方程，再依據(jù)條件計算出的長度，結(jié)合圖示說明何時有最大值并計算出最大值.【詳解】由題意得圓C的圓心為，半徑，易知直線：恒過點，直線：恒過，且，的軌跡是以為直徑的圓，點P的軌跡方程為，圓心為，半徑為，若點D為弦的中點，位置關(guān)系如圖：連接，由，易知.，此時三點共線且在線段上，故選：D.【點睛】本題考查和圓有關(guān)的軌跡問題，解答此類問題時作出圖示能有效幫助分析問題，這類問題對學(xué)生的分析與作圖實力要求較高，難度較難.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.下圖統(tǒng)計了截止到2024年年底中國電動汽車充電樁細(xì)分產(chǎn)品占比及保有量狀況，關(guān)于這5次統(tǒng)計，下列說法錯誤的是（）A.私人類電動汽車充電樁保有量增長率最高的年份是2024年B.公共類電動汽車充電樁保有量的中位數(shù)是25.7萬臺C.公共類電動汽車充電樁保有量的平均數(shù)為23.12萬臺D.從2024年起先，我國私人類電動汽車充電樁占比均超過50%【答案】ABC【解析】分析】依據(jù)統(tǒng)計圖表分別對選項A、B、C、D驗證即可.【詳解】私人類電動汽車充電樁保有量增長率最高的年份是2024年，A錯誤；這5次統(tǒng)計的公共類電動汽車充電樁保有量的中位數(shù)是21.4萬臺，B錯誤；因為，故C項錯誤，D項明顯正確．故選：ABC.【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表與用樣本估計總體，涉及到中位數(shù)、平均數(shù)等學(xué)問，是一道基礎(chǔ)題.10.設(shè)橢圓的左右焦點為，，是上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.離心率C.面積的最大值為 D.以線段為直徑的圓與直線相切【答案】AD【解析】【分析】依據(jù)橢圓的定義推斷A選項正確性，依據(jù)橢圓離心率推斷B選項正確性，求得面積的最大值來推斷C選項的正確性，求得圓心到直線的距離，與半徑比較，由此推斷D選項的正確性.【詳解】對于A選項，由橢圓的定義可知，所以A選項正確.對于B選項，依題意，所以，所以B選項不正確.對于C選項，，當(dāng)為橢圓短軸頂點時，的面積取得最大值為，所以C選項錯誤.對于D選項，線段為直徑的圓圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，也即圓心到直線的距離等于半徑，所以以線段為直徑的圓與直線相切，所以D選項正確.綜上所述，正確的為AD.故選：AD【點睛】本小題主要考查橢圓的定義和離心率，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線和圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.11.記函數(shù)的圖象為曲線F，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)最小正周期為B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.曲線F關(guān)于直線對稱D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到曲線F【答案】ABC【解析】【分析】求出周期即可推斷A；由求出單調(diào)性可推斷B；求出即可推斷C；求出平移后的解析式即可推斷D.【詳解】函數(shù)的最小正周期為，故A選項正確；由，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B選項正確；由于，所以直線是曲線F的一條對稱軸，故C選項正確：向右平移個單位長度得到，故D選項錯誤.故選：ABC.12.已知，，下列不等式成立的是（）A B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可推斷A選項；利用作差法可推斷B、D選項；利用換底公式以及不等式的性質(zhì)可推斷C選項.【詳解】由，則函數(shù)為上的增函數(shù)，，可得，故A正確；由，，，則，B錯誤；由，，，，則，，可得，故C正確；由，，，則，故D正確.故選：ACD.【點睛】本題考查代數(shù)式的大小比較，考查了作差法、函數(shù)單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知是的共軛復(fù)數(shù)，且滿意(其中是虛數(shù)單位)，則________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算得，進(jìn)而得，再求模即可.【詳解】，故，所以.故答案為：.14.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點，則三棱錐A-NMD1的體積為____________【答案】【解析】【分析】利用計算即可.【詳解】因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點所以故答案為：【點睛】在求解三棱錐的體積時，要留意視察圖形的特點，看把哪個當(dāng)成頂點好計算一些.15.已知等比數(shù)列的前項和為，若＝，＝，則＝________．【答案】255【解析】【分析】干脆由條件求解首項和公比即可得解.【詳解】等比數(shù)列的前項和為，＝，＝，∴，解得＝，＝，∴．故答案為：255.16.已知函數(shù)，若正數(shù)，滿意，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】先推斷是定義在上的奇函數(shù)且單調(diào)遞增，再化簡得到，最終求的最小值并推斷等號成馬上可.【詳解】解：因為，所以的定義域為，關(guān)于原點對稱，所以，則的定義在上的奇函數(shù)，因為，所以是定義在上的增函數(shù)因為，即，則，即因為、均為正數(shù)，所以當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以最小值為：1.故答案為：1.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性推斷與應(yīng)用、函數(shù)單調(diào)性的推斷與應(yīng)用、利用基本不等式“1”的妙用求最值，是中檔題.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在①，的面積為，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在，它的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，______？【答案】答案見解析.【解析】【分析】先利用正弦定理化簡得到.選擇條件①：求出，，即得解；選擇條件②：利用正弦定理求解；選擇條件③：由得，即得解.【詳解】由及正弦定理可得，由余弦定理可得，又因為，所以.選擇條件①：因為，所以.又因為，，所以是等邊三角形，所以，所以.選擇條件②：由正弦定理，及得.選擇條件③：由得，所以.【點睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面積公式的應(yīng)用，考查和角的正弦，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實力.18.2024年初，新冠肺炎疫情攻擊全國，對人民生命平安和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)峻影響在黨和政府強(qiáng)有力的抗疫領(lǐng)導(dǎo)下，我們限制住了疫情接著我們一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn)，減輕經(jīng)濟(jì)下降對企業(yè)和民眾帶來的損失為降低疫情影響，某廠家擬在2024年實行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量即該廠的年產(chǎn)量萬件與年促銷費(fèi)用m萬元滿意（k為常數(shù)），假如不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是2萬件已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品須要再投入16萬元，廠家將產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品元（1）將2024年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；（2）該廠家2024年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？【答案】（1）；（2）3萬元.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，時，，求出，由利潤銷售收入固定成本投入成本促銷費(fèi)用，即可求解.（2）由（1）的表達(dá)式，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】解：由題意知，當(dāng)時，萬件，則，解得，．因為每件產(chǎn)品的銷售價格為元，所以2024年的利潤．由（1）可知，令，所以，由在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，所以在取得最小值，即，所以，所以，故該廠家2024年的促銷費(fèi)用投入3萬元時，廠家的利潤最大為29萬元．19.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，為線段的中點，為線段上的一點.（1）證明：平面平面.（2）若，二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）由得平面PAE，進(jìn)而可得證；（2）先證得平面，設(shè)，以為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別計算平面的法向量為和，設(shè)與平面所成角為，則，代入計算即可得解.【詳解】（1）證明：連接，因為，為線段的中點，所以.又，，所以為等邊三角形，.因為，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：設(shè)，則，因為，所以，同理可證，所以平面.如圖，設(shè)，以為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.易知為二面角的平面角，所以，從而.由，得.又由，，知，.設(shè)平面的法向量為，由，，得，不妨設(shè)，得.又，，所以.設(shè)與平面所成角為，則.所以與平面所成角的正弦值為.【點睛】用向量法求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；其次，破“求坐標(biāo)關(guān)”，精確求解相關(guān)點的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.20.已知數(shù)列的前n項和為，，，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列前n項和為，已知，若不等式對于恒成立，求實數(shù)m的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用可得數(shù)列的遞推關(guān)系，，然后可證明是等比數(shù)列；（2）由（1）求出，即得，利用錯位相減法求得，不等式對于恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，求出的最小值即可得結(jié)論．【詳解】（1）由，得（），兩式相減得，所以（），因為，所以，，.所以是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.（2）由，又由（1）可知，得，∴，則，兩式相減得，所以.由恒成立，即恒成立，又，故當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，；當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，；則的最小值為，所以實數(shù)m的最大值是.【點睛】本題考查由求，考查等比數(shù)列的證明，等比數(shù)列的通項公式，考查錯位相減法求和以及數(shù)列不等式恒成立問題．考查了學(xué)生的運(yùn)算求解實力，邏輯推理實力，屬于中檔題．21已知橢圓C中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，直線與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點是M，點M在x軸上的射影恰好是橢圓C的右焦點，橢圓C的另一個焦點是，且.（1）求橢圓C的方程；（2）已知圓：，動圓P的圓心P在橢圓C上并且與圓外切，直線l是圓P和圓的外公切線，直線l與橢圓C交于A，B兩點，當(dāng)圓P的半徑最長時，求三角形F1AB的面積.【答案】（1）；（2）【解析】