備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學(xué)沖刺專項(xiàng)訓(xùn)練（全國(guó)）專題02 反比例函數(shù)大題（二大題型）（原卷版）

專題02反比例函數(shù)大題（二大題型）通用的解題思路：題型一．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．（2）判斷正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝在同一直角坐標(biāo)系中的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可總結(jié)為：①當(dāng)k1與k2同號(hào)時(shí)，正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝在同一直角坐標(biāo)系中有2個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)k1與k2異號(hào)時(shí)，正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝在同一直角坐標(biāo)系中有0個(gè)交點(diǎn)．題型二．反比例函數(shù)綜合題（1）應(yīng)用類綜合題能夠從實(shí)際的問題中抽象出反比例函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型，是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵一步，培養(yǎng)了學(xué)生的建模能力和從實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的能力．在解決這些問題的時(shí)候我們還用到了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法和其他學(xué)科中的知識(shí)．（2）數(shù)形結(jié)合類綜合題利用圖象解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關(guān)鍵所在．已知點(diǎn)在圖象上，那么點(diǎn)一定滿足這個(gè)函數(shù)解析式，反過來如果這點(diǎn)滿足函數(shù)的解析式，那么這個(gè)點(diǎn)也一定在函數(shù)圖象上．還能利用圖象直接比較函數(shù)值或是自變量的大?。畬?shù)形結(jié)合在一起，是分析解決問題的一種好方法．題型一．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題（共25小題）1．（2024?新北區(qū)校級(jí)模擬）如圖，雙曲線與直線交于，兩點(diǎn)．點(diǎn)和點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)為軸正半軸上的一點(diǎn)．（1）求雙曲線的表達(dá)式和，的值；（2）請(qǐng)直接寫出使得的的取值范圍；（3）若的面積為12，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．2．（2023?蘇州）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．將點(diǎn)沿軸正方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，為軸正半軸上的點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于點(diǎn)的橫坐標(biāo)，連接，的中點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上．（1）求，的值；（2）當(dāng)為何值時(shí)，的值最大？最大值是多少？3．（2024?常州模擬）如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，．（1）求函數(shù)和的表達(dá)式；（2）若在軸上有一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．4．（2024?常州模擬）如圖，一次函數(shù)與函數(shù)為的圖象交于兩點(diǎn)．（1）求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足時(shí)的取值范圍；（3）點(diǎn)在線段上，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，若的面積為3，求點(diǎn)的坐標(biāo)．5．（2024?沭陽縣模擬）如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，連接，．若，求的取值范圍．6．（2024?宿遷二模）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)（1）若，求的值和點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出實(shí)數(shù)的取值范圍．7．（2024?泉山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)和的圖象相交于點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）設(shè)一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為，連接，求的面積．8．（2023?常州）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)、．是軸上的一點(diǎn)，連接、．（1）求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）若的面積是6，求點(diǎn)的坐標(biāo)．9．（2024?姜堰區(qū)一模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象在第一象限相交于點(diǎn)，．（1）求、的值；（2）當(dāng)時(shí)，直接寫出的取值范圍．10．（2024?昆山市模擬）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足的取值范圍；（3）求的面積．11．（2024?興化市一模）已知函數(shù)是常數(shù)，，函數(shù)．（1）若函數(shù)和函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，點(diǎn)．①求，的值．②當(dāng)時(shí)，直接寫出的取值范圍．（2）若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)先向下平移1個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位，得點(diǎn)，點(diǎn)恰好落在函數(shù)的圖象上，求的值．12．（2024?南通模擬）如圖，直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且恰為線段的中點(diǎn)，連接．若．求的值．13．（2024?亭湖區(qū)模擬）如圖，等腰三角形中，，點(diǎn)坐標(biāo)為頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，且的面積為12．（1）．（2）過點(diǎn)直線對(duì)應(yīng)的解析式為與雙曲線在第一，三象限交點(diǎn)分別為點(diǎn)，．①求點(diǎn)，的坐標(biāo)．②直接寫出不等式的解集．14．（2024?常熟市模擬）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)圖象相交于點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，過點(diǎn)作軸平行線，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，連接．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求當(dāng)為何值時(shí)，的面積最大，這個(gè)最大值是多少？15．（2024?東海縣一模）一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于，兩點(diǎn)，其中．（1）求反比例函數(shù)表達(dá)式；（2）結(jié)合圖象，直接寫出時(shí)，的取值范圍；（3）若把一次函數(shù)的圖象向下平移個(gè)單位，使之與反比例函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的值．16．（2024?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）直接寫出不等式的解集；（3）若點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，且滿足的面積是10，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．17．（2024?姑蘇區(qū)校級(jí)模擬）如圖，以軸上長(zhǎng)為1的線段為寬作矩形，矩形長(zhǎng)、交直線于點(diǎn)、，反比例函數(shù)的圖象正好經(jīng)過點(diǎn)、．（1）線段長(zhǎng)為；（2）求值．18．（2024?昆山市一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)，為常數(shù)，且與反比例函數(shù)為常數(shù)，且的圖象交于點(diǎn)，．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)時(shí)，直接寫出自變量的取值范圍；（3）已知一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，若的面積為9；求點(diǎn)的坐標(biāo)．19．（2024?鹽城模擬）如圖，已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)，分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，且、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是和．，連接、．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式；（2）求的面積．20．（2024?天寧區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，且．點(diǎn)是軸正半軸上一點(diǎn)，連接，．（1）求和的值；（2）求的面積．21．（2024?姑蘇區(qū)校級(jí)一模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式；（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，求四邊形的面積；（3）根據(jù)圖象直接寫出使成立的的取值范圍．22．（2024?新北區(qū)一模）如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，分別交反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)、．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）連接，若，求的面積．23．（2024?武進(jìn)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)是直線與反比例函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)，求的面積．24．（2024?東海縣一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象在第一象限上的點(diǎn)，且，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）反比例函數(shù)具有對(duì)稱性，適當(dāng)平移就可發(fā)現(xiàn)許多神奇的現(xiàn)象．將該雙曲線在第一象限的一支沿射線方向平移，使其經(jīng)過點(diǎn)，再將雙曲線在第三象限的一支沿射線方向平移，使其經(jīng)過點(diǎn)，平移后的兩條曲線相交于，兩點(diǎn)，如圖2，此時(shí)平移后的兩條曲線圍成了一只美麗的“眸”，為這只“眸”的“眸徑”，請(qǐng)求出“眸徑”的長(zhǎng)．25．（2024?泗陽縣校級(jí)二模）如圖，已知，是一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）求直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)及的面積；（3）直接寫出一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)值的的取值范圍．題型二．反比例函數(shù)綜合題（共8小題）26．（2024?泰興市一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，順次連接這四個(gè)點(diǎn)得到四邊形．（1）若對(duì)角線、交于點(diǎn)，直線的表達(dá)式為，直線的表達(dá)式為．①求證：四邊形為平行四邊形；②求的面積；（2）如圖2，四邊形為平行四邊形，平行于軸，求、的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）如圖3，四邊形為平行四邊形，求證：、相交于點(diǎn)．27．（2024?東臺(tái)市一模）如圖，已知，是一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求的面積；（3）在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)，使是等腰三角形？直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．28．（2023?泰州）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、，的位置和函數(shù)、的圖象如圖所示．以為邊在軸上方作正方形，邊與函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，邊與函數(shù)、的圖象分別相交于點(diǎn)、，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)、，與軸相交于點(diǎn)，連接．（1）若，，求函數(shù)的表達(dá)式及的面積；（2）當(dāng)、在滿足的條件下任意變化時(shí)，的面積是否變化？請(qǐng)說明理由；（3）試判斷直線與邊的交點(diǎn)是否在函數(shù)的圖象上？并說明理由．29．（2024?鹽城模擬）【發(fā)現(xiàn)問題】小明在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)：周長(zhǎng)為定值的矩形中面積最大的是正方形．那么，面積為定值的矩形中，其周長(zhǎng)的取值范圍如何呢？【解決問題】小明嘗試從函數(shù)圖象的角度進(jìn)行探究：（1）建立函數(shù)模型設(shè)一矩形的面積為4，周長(zhǎng)為，相鄰的兩邊長(zhǎng)為、，則，，即，，那么滿足要求的應(yīng)該是函數(shù)與的圖象在第象限內(nèi)的公共點(diǎn)坐標(biāo)．（2）畫出函數(shù)圖象①畫函數(shù)的圖象；②在同一直角坐標(biāo)系中直接畫出的圖象，則的圖象可以看成是由的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到．（3）研究函數(shù)圖象平移直線，觀察兩函數(shù)的圖象；①當(dāng)直線平移到與函數(shù)的圖象有唯一公共點(diǎn)的位置時(shí)，公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，周長(zhǎng)的值為；②在直線平移的過程中，兩函數(shù)圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)還有什么情況？請(qǐng)直接寫出公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的取值范圍．【結(jié)論運(yùn)用】（4）面積為10的矩形的周長(zhǎng)的取值范圍為．30．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，．（1），，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）點(diǎn)在軸上，若以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．31．（2023?連云港）【問題情境建構(gòu)函數(shù)】（1）如圖1，在矩形中，，是的中點(diǎn)，，垂足為．設(shè)，，試用含的代數(shù)式表示．【由數(shù)想形新知初探】（2）在上述表達(dá)式中，與成函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖2所示．若取任意實(shí)數(shù)，此時(shí)的函數(shù)圖象是否具有對(duì)稱性？若有，請(qǐng)說明理由，并在圖2上補(bǔ)全函數(shù)圖象．【數(shù)形結(jié)合深度探究】（3）在“取任意實(shí)數(shù)”的條件下，對(duì)上述函數(shù)繼續(xù)探究，得出以下結(jié)論：①函數(shù)值隨的增大而增大；②函數(shù)值的取值范圍是；③存在一條直線與該函數(shù)圖象有四個(gè)交點(diǎn)；④在圖象上存在四點(diǎn)、、、，使得四邊形是平行四邊形．其中正確的是．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【抽象回歸拓展總結(jié)】（4）若將（1）中的“”改成“”，此時(shí)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式是；一般地，當(dāng)，取任意實(shí)數(shù)時(shí)，類比一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的研究過程，探究