高三數(shù)學寒假作業(yè)

高三數(shù)學寒假作業(yè)10

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的

1.（5分）已知集合4={刈衛(wèi)<2},B={-2,-1,0,1,2},貝!]AC8=（）

A.{-1,0}B.{0,1}

C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}

Z4-1

2.（5分）設(shè)復數(shù)z滿足一=i,則|z|=（）

z-1

A.1B.V2C.V3D.2

3.（5分）已知產(chǎn)為拋物線C：/=2*（p>0）上一點，點P到C的焦點的距離為9,到y(tǒng)

軸的距離為6,貝Up=（）

A.3B.6C.9D.12

4.（5分）設(shè)Z,b為單位向量，且丘-b|=l,則向+2b|=（）

A.3B.V3C.7D.V7

5.（5分）調(diào)查機構(gòu)對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進行調(diào)查統(tǒng)計，得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布

餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖，則下列所有正確結(jié)論的編號是（）

注：90后指1900年及以后出生，80后指1980-1989年之間出生，80前指1979年及以

前出生.

90后從事互聯(lián)網(wǎng)行也向位分布圖

技術(shù)I-1S9.6%

運營I.117%

市場II：32%

設(shè)計I823%

職能I】9.8%

產(chǎn)品6.5%

其他口：.6%

①互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中從事技術(shù)和運營崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的三成以上

②互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%

③互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)90后比80前多

④互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

6.（5分）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、

春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長度依次成等差數(shù)列，冬至、

立春、春分這三個節(jié)氣的日影長度之和為31.5尺，前九個節(jié)氣日影長度之和為85.5尺,

則谷雨這一天的日影長度（）

A.5.5尺B.4.5尺

/+1丫3

7.（5分）函數(shù)），=￡然的圖象大致為（

8.（5分）式子（x—9）（x+y）§的展開式中，的系數(shù)為（）

A.3B.5C.15D.20

9.（5分）若直線/與曲線），=一代和圓》2+尸=&都相切，則/的方程為（）

A.x-2或y+2=0B,x+2V2y+2=0C.x-2/）,-2=0D,x+2^2y-2=0

10.（5分）已知〃>0,b>0,且o+b=L則下列選項錯誤的是（）

A.a+b2>iB.2a~b>^

C.Iog2〃+k）g2b2-2D.Va4-Vh<V2

11.（5分）對于函數(shù)（x）與y=g（x）,若存在x（）,使/（出）=g（-x（））,則稱M（即，

/（沏）），N（-xo，g（-xo））是函數(shù)/（x）與g（x）圖象的一對"隱對稱點已知函

數(shù)/（x）=m（x+1）,g（x）=亨，函數(shù)/（x）與g（x）的圖象恰好存在兩對“隱對稱點”,

則實數(shù)〃，的取值范圍為（）

A.(-1,0)B.(-8,-1)

C.(0,1)U(1,+8)D.(-8,-1)U(-1,0)

xy

12.（5分）設(shè)點A,B分別為雙曲線C：--—=1Q>0,b>0）的左、右焦點，點

a2b2

N分別在雙曲線C的左、右支上，若癡=5八，MB2=MN'MB,S.\MB\<\NB\,則雙

曲線C的離心率為（）

V65V851317

A.---B.---C.—D.—

5557

二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）

x+y—2N0,

x-y-2<0,,則目標函數(shù)z=x+2y的最小值

（y>2,

為.

14.（5分）已知/（x）=（x2+2x+a）e,若f（x）存在極小值，則a的取值范圍是.

15.（5分）數(shù)列｛斯｝中，。|=2,而+”=。/斯，若以+2+詼+3+…+。*+“=2"-25,則k—.

16.（5分）已知A-88是球。的內(nèi)接三棱錐，AB=AC=BC=BD=CD=6,AO=9,則

球O的表面積為.

三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.（12分）在△A8C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知8=花，c=五,ZB

=45°.

（1）求邊BC的長;

4

（2）在邊8c上取一點。，使得cosNADB=g，求sin/D4c的值.

18.（12分）如圖，四面體ABC。中，Z\ABC是正三角形，△ACC是直角三角形，ZABD

=NCBD,AB=BD.

（1）證明：平面AC。J_平面ABC；

（2）若屆=2而，求二面角O-AE-C的余弦值.

D

XV-V2

19.(12分)已知橢圓C：—+—=1Ca>b>0)的離心率為一，且過點4(2,1).

a2b22

(1)求C的方程；

(2)點M,N在。上，且AM,AM證明：直線MN過定點.

高三數(shù)學寒假作業(yè)10(答案解析)

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的

1.(5分)已知集合A={x||x|<2},B={-2,-1,0,1,2},則AGB=()

A.{-1,0}B.{0,1}

C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}

【解答】解：VA={x|-2<x<2),B={-2,-1,0,1,2),

：.AC\B={-1,0,1).

故選：C.

2.(5分)設(shè)復數(shù)z滿足三匚=八則|z|=()

z-1

A.1B.V2C.V3D.2

【解答】解：?.?復數(shù)z滿足四■一,

z-1

?1+i(1+f)

??z=E=_QT)(i+i)=r

貝收|=1.

故選：A.

3.(5分)已知尸為拋物線C：『=2px(p>0)上一點，點尸到C的焦點的距離為9,到y(tǒng)

軸的距離為6,則。=()

A.3B.6C.9D.12

【解答】解：A為拋物線C：/=2px（p>0）上一點，點4到C的焦點的距離為9,到

y軸的距離為6,

因為拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離相等，

故有：6+號=9=2=6；

故選:B.

4.（5分）設(shè)房b為單位向量，且向一匕|=1,則向+2川=（）

A.3B,V3C.7D.夕

【解答】解：a,匕為單位向量，且向一力|=1,

TTTTT.1

所以a?-2a?b+墳=1,所以a-b=],

所以|a+2b\=Ja2+4a-b+4b2=y/l+2+4=y/7.

故選：D.

5.（5分）調(diào)查機構(gòu)對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進行調(diào)查統(tǒng)計，得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布

餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖，則下列所有正確結(jié)論的編號是（）

注：90后指1900年及以后出生，80后指1980-1989年之間出生，80前指1979年及以

前出生.

,一90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)面位分布圖

//技術(shù)I-1：9.6%

//\運營

（MU/L\市場I1132%

囂\盥設(shè)訊抽3%

\\/職能卜二]9.8%

X.\y產(chǎn)品6.5%

其他口：6%

①互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中從事技術(shù)和運營崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的三成以上

②互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%

③互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)90后比80前多

④互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【解答】解：由整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布

條形圖得到：

56%X（39.6%+17%）=31.696%>30%,

互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中從事技術(shù)和運營崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的三成以上，故①正確；

由整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖得到：

56%X39.6%=22.176%>20%,

互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%,故②正確；

由整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖得到：

17%X56%=9.52%>3%,

互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)90后比80前多，故③正確；

由整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖得到：

56%X39.6%=22.176%<41%,

互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后不一定比80后多，故④錯誤.

故正確結(jié)論的編號是①②③.

故選：A.

6.（5分）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、

春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長度依次成等差數(shù)列，冬至、

立春、春分這三個節(jié)氣的日影長度之和為31.5尺，前九個節(jié)氣日影長度之和為85.5尺,

則谷雨這一天的日影長度（）

A.5.5尺B.4.5尺C.3.5尺D.2.5尺

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)這個等差數(shù)列為｛斯｝,且該數(shù)列的公差為4

則有0+44+47=341+9d=31.5,且“1+42+。3+。4+。5+“6+。7+48+49=9。1+364=85.5;

解可得:d=-1,a\=13.5；

則谷雨這一天的日影長。9=13.5+81=5.5；

故選：A.

7.（5分）函數(shù)y=的圖象大致為（）

,4+1

Kk

A.B.

【解答】解：>=曰穿=/浮，函數(shù)的定義域為R，

設(shè)y=f(x),

則/(-x)=一異==—/(x),即函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱,

故排除C,

7

,//(1)=3>0,故排除。,

2+1

2x43

/⑷==Up>8,故排除A,

24+2-416+表

故選：B.

8.(5分)式子(X—§?)(x+y)5的展開式中，/)？的系數(shù)為()

A.3B.5C.15D.20

2

【解答】解：式子(X-?)(x+y)5的展開式中，力3的系數(shù)為c晟-廢=10-5=5,

故選：B.

9.(5分)若直線/與曲線)=一石和圓/+y2=5都相切，則/的方程為()

A.x-2歷+2=0B.x+2何+2=0C.》-2際-2=0D.x+2^2y-2=0

【解答】解：分別作出曲線產(chǎn)一代和圓/+/=小

由圖象可得切線的斜率小于0,縱截距小于0,

由排除法可得只有選項B的直線方程滿足要求；

另外可設(shè)切線的方程為y=kx+b,

圓，+『=看的圓心(0,0),半徑r=

由直線I與圓相切，可得,廠藝］=；，①

Vl+k23

由y=kx+b與y=一日聯(lián)立可得，fc2x2+(2kb-1)x+/?2=0,

^△=(2kh-1)2-4鏟必=0,

化為4妨=1,②

解得仁一?，〃=一孝,

則切線的方程為)=一*(x+2),即為x+2應y+2=0,

則下列選項錯誤的是()

A.a+b^>|B.20-fc>|

C.Iog2〃+log2b2-2D.>fa+V6<V2

【解答】解：對于A,因為〃>0,b>0,且。+6=1,

所以"工(竽)2=/當且僅當。=6=*時等號成立，

所以J+Z?2=(。+〃)2_2〃b=l-29?21-2x/=當且僅當a=b=4時等號成立，故

A正確；

對于8,由a>0,b>0,且“+6=1,得a=l-b>0,則0<b〈l,則

所以2〃"=2-2、(_2),故B正確；

2

11

對于C,log2〃+log2b=log2a"Wk>g2-=-2,當且僅當a=b=5時等號成立，故C錯誤；

對于￡),因為。+。=1當且僅當時等號成立，

所以〃+〃+2A/HF=(Va4-VF)2<2,所以乃+傷工魚，故。正確.

故選：C.

11.(5分)對于函數(shù)y=f(x)與y=g(x),若存在物使f(%o)=g(-3)，則稱M(如

/(xo)),N(-必,g(-3))是函數(shù)/(x)與g(x)圖象的一對“隱對稱點”.已知函

數(shù)/(x)="?(x+l),.(%)=竽,函數(shù)/(x)與g(x)的圖象恰好存在兩對“隱對稱點”,

則實數(shù)機的取值范圍為()

A.(-1,0)B.(-8,-1)

C.(0,1)u(1,+oo)D.(-8,-1)U(-1,0)

【解答】解：???/(x)=m(x+1)恒過定點(-1,0),/(x)關(guān)于)，軸對稱的圖象的函

數(shù)解析式為y--m(x-1)

題意可得，y=-(x-1)與g(x)=早有2個交點,

由g(x)=竽,得g'a)1—lnx

當OVxVe時，h'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，當冗>e時，g‘(x)<0,函數(shù)g

(x)單調(diào)遞減,

而y=-皿(x-1)恒過定點(1,0),

作出函數(shù)g(%)="的圖象如圖,

當直線>=-，"(X-1)與g(x)=竽切于(1,0)時，由導數(shù)的幾何意義可得,

1—lnl1

m=-T~=1'

l2

則要使y=-m(x-1)與g(x)=竽有2個交點，得-%>0且-mWl,

.*./n<0且mW-1,

二實數(shù)m的取值范圍為(-8,-1)U(-1,0).

x2y2

我一記=IQ>。，心。)的左、右焦點，點M,

—>

N分別在雙曲線C的左、右支上，若疝V=5薪，MB2=MN'MB,S.\MB\<\NB\,則雙

曲線C的離心率為()

V65V851317

A.——B.C.——D.—

5557

T

【解答】解：設(shè)I力M|=m,則|MN|=5m(w>0),

'：MB2=MN-MB=(.MB+=MB2+BN-MB,

：.BN-MB=0,即BNLMB,

貝i]|麻/+|嬴『=?嬴『，即(24+m)2+(6m-2a)2=(5,?)2,

解得m—a或m=|a.

①若機=觸時，\BM\=^a,\NB\=2a,不滿足|M8|<|NB|(舍去),

②若山="時，|B"|=3"，|后|=4a,滿足|薪|<|加|,則〃?=a.

??八八JD|BN|4a4

.COSZM/VB=WI=^=5,

在△ANB中，|AB『=|A/V|2+|BN2-2\AN\\BN\,cosZMNB,

HP4c2=36a2+16a2-2x6ax4axM

整理得4c2=^a2,即e2=弓，得6=虐;嚕.

二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）

%+y-2>0,

x-y-2<0,，則目標函數(shù)z=x+2y的最小值為

{y>2,

4

【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖,

A(0,2),化目標函數(shù)z=x+2y為y=—+*,

由圖可知，當直線)=-±x+*過A時，直線在)，軸上的截距最小,

z取最小值為4.

故答案為：4.

14.(5分)已知/(x)=(/+2x+a)若f(x)存在極小值，則a的取值范圍是(-

8,2).

【解答】解：(x)=(2x+2)ex+(x~+2x+a)e*=e'(/+4x+a+2),

因為函數(shù)/(x)的定義域為R，

所以若/(x)存在最小值，則/1(X)有極小值點，

所以/+4x+a+2=0有兩個不相等的實數(shù)根，

△=16-4(a+2)>0,解得a<2,

故答案為：(-00>2).

15.(5分)數(shù)列｛斯｝中，a\—2,am+n=am*an>若行+2+四+3+…+延+11=2"-2',則k=3.

【解答】解：由題設(shè)可得：當機=1時，有斯+|=切斯，

又a1=2,??cin+1=2an,

數(shù)列｛?！埃鞘醉?、公比均為2的等比數(shù)歹U,

_2(1-2)"+i_

Q”-1—2一乙N，

52(1-2及+11)2(l-2"+l)c%+12。攵+2

又、4+2+伙+3+?"+或+11=2"-2=Sk+\\-Sk+\==2-2

1-21-2

"=3,

故答案為：3.

16.(5分)己知A-BCD是球。的內(nèi)接三棱鏈，AB=AC=BC=BD=CD=6,AO=9,則

球。的表面積為847T

【解答】解:如圖所示：C

取8c的中點E,連接AE,DE,取AO的中點F,連接EF,

因為4B=AC=BC=8￡>=C￡>=6,

所以AELBC,DE1BC,且三角形4BC和三角形BCD都是正三角形，

所以AE=OE=3V5,即三角形AOE為等腰三角形，所以EFLAO,且EF平分NAEZ）,

不妨設(shè)三角形BCD的外接圓圓心為0',且0'在OE上，

所以E。'=^ED=V3,

設(shè)外接球的球心為0，半徑為R，則。4=。。=凡

利用面面垂直可證得平面平面BCD,

又平面AEDC平面BCD=ED,則球心0必在三角形AED中，

又0A=0D=R,所以。在乙4￡?的角平分線EF上，連接00',

則。。'_1_平面BCD,BP00'.LED,

在三角形AE力中，由余弦定理可得:

AE2+ED2-AD21

cos乙4E0

2AE-ED2,

所以NAE￡)=120°,所以4FED==60。,

在RT/XEOO'中，tanZFED=蓬=條=瓜

所以。。'=3,

在RT/XOO,。中，0D=R,O'D=2顯,

2

所以R2=。。，+Q'D2=21,

所以球0的表面積為S=4TTR2=84TT,

故答案為：84n.

三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.（12分）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知匕=遍，c=近,NB

=45°.

（1）求邊BC的長;

(2)在邊BC上取一點O,使得cos/A￡)8=點求sin/D4c的值.

【解答】解：(1)在△ABC中，因為8=擊，c=V2,48=45。,

由余弦定理知，/=/+/-2“ccosB,

所以5=2+a?_2x&xax孝，即J-24-3=0,

解得4=3或〃=-1(舍)，

所以8c=3.

bc

(2)在△ABC中，由正弦定理知，--=--,

sinBsinC

所以」V577；=V三2，解得sinC=亦吟，

sm45°sinC5

4

因為cos/AOB=g,

所以cos乙40C=T，即NADC為鈍角，且sinNADC弋,

又N4DC+NC+NC4O=180°,

所以NC為銳角，

所以cosC=V1—sin2C=

所以sinNDAC=sin(180°-ZADC-ZC)=sin(ZADC+ZC)

=sinZADCcosZC+cosZADCsinZC

_32/54/5_2/5

=1X飛一一5x號=存.

18.(12分)如圖，四面體A8CD中，AABC是正三角形，△AC。是直角三角形，ZABD

=NCB。,AB=BD.

(1)證明：平面AC。J_平面ABC;

(2)若EB=2DE,求二面角O-4E-C的余弦值.

【解答】(1)證明：如圖所示，取AC的中點。連接BO,0D.

?.,△ABC是等邊三角形，...OBLAC,

△A8O與△CBO中，AB=BD=BC,NABD=NCBD,

:.△ABDWACBD,：.AD^CD,

?..△AC。是直角三角形，...4C是斜邊，...NAOC=90°,

'：DO=^AC,：.DO2+BO1^AB1=BD1,：.ZBOD=90°,AOBLOD,

又。onac=o,平面ACD.

又O3u平面ABC,：.平面ACD1.平面ABC.

(2)解：由題知，點E是8。的三等分點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

不妨取AB=2,則。(0,0,0),A(1,0,0),C(-1,0,0),D(0,0,0),B(0,

l、V32

V3,0),E(0,—，一).

33

TT