高中數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下）

一.教學(xué)內(nèi)容：

高中數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下）

§4.6兩角和與差的正弦、余弦、正切（2）

目標(biāo)：掌握兩角和與差的正切公式，能正確運(yùn)用它們進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值與

恒等式證明，提高學(xué)生的運(yùn)算能力及綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，體會(huì)換元

及整體的思想方法。

—.重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：兩角和與差的正切公式以及兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的綜合運(yùn)用。

難點(diǎn)：幾組公式的靈活運(yùn)用。

【學(xué)法指導(dǎo)】

注意兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的靈活變形及公式的逆用以及公式成立的條件。

特別是tan（a±/J）=?,y。土=。的變形公式tana士tan-=tan（a±0?（1干tana?

1+tana-tan0

tan#）的靈活運(yùn)用。當(dāng)a、尸中有一角為90。的整數(shù)倍時(shí)，用誘導(dǎo)公式為宜。

解題過(guò)程中應(yīng)注意技巧：

（1）常數(shù)的運(yùn)用。如1,瓜―,―,亞等，均可視為特殊角的三角函數(shù)

3222

值，從而將常數(shù)換為特殊角的三角函數(shù)值使用。

（2）角的變化。如：a+Q=（2a+0-a；

a=（a+0—/；2a+/?=（a+/）+a；

?a-p<z+/?a-fi

2222

2a=（a+夕）+（a—夕）；2夕=（a+夕）一（a—尸）等。

【例題分析】

例1.求值：tanl50+tan30°+tan150-tan30°

分析：觀察所給出的兩個(gè)角，它們的和是45。，而三角函數(shù)的名稱為正切,

所以不妨展開(kāi)tan45°=tan(15°+30°)。

解:

tan300+tan150,

vtan45°=tan(30°+15°)=----------------=1

1-tan30°-tanl5°

/.tan300+tan15°=1-tan30°tan15°

/.tan300+tan150+tan30°tan15°=1

說(shuō)明：本題主要考查兩角和的正切公式及其靈活的應(yīng)用。解題時(shí)應(yīng)注意觀察角與三角

數(shù)的特點(diǎn)，從而找到它們的內(nèi)在聯(lián)系，正確運(yùn)用公式。本題也可先由tanlSOntanaSO-

SO。)，利用兩角差的正切公式求出tan15。的值(tan15。=2-百)，再代入所求式求得結(jié)果。

例2.設(shè)tana,tan夕是方程mx?+(2m-3)x+(m-2)=0的兩根，求tan(a+夕)的最小值

分析：

既然tana,tan夕是方程的兩根，則方程的根必存在,

即ANO,兩根與方程的關(guān)系應(yīng)用韋達(dá)定理。

解:

由已知tana,tan夕是方程的兩根

9

A=(2m-3)9~-4m(m-2)>0m<—

4

c3-2m

tana4-tanp=------

且01

cm-2

tana-tan/>=-----

m

3-2m

c、tana+tanZ?3-2m

ztan(a+/)=-----------m=——國(guó)=------

1-tancr-tanBym-22

m

,93-2m、3刖/小、3

*.*rn—/.———,UPtan(a+￡)—

3

故.(a+￡)的最小值為一“

說(shuō)明：本題考查的知識(shí)有一元二次方程根的判別式、韋達(dá)定理、兩角和的正切公式,

及不等式的解法，函數(shù)最小值的求法，考查靈活綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

本題注意到韋達(dá)定理，可求出tan(a+0,但確定其最小值的關(guān)鍵是隱含條件ANO,

所以解題時(shí)審題一定要仔細(xì)。

例3.已知a、煨勻?yàn)殇J角，月.sina=1,sinp=,求a+冽的值。

分析：可先求出a+血向某三角函數(shù)值，再根據(jù)a+例勺范圍，確定a+例向值。

解：(方法一)

,「a、戶都是銳角，且sina=4,sin，=\^

cosp=J\-sin2/7=Jl——=3^^

7V1010

sina10sin/31

/.tana=-------=—,tanp=-------=—

cosa2cos夕3

11

—i—

/小tana+tan/?3,

tan(a+/)=-----------------=」11=1

1-tana-tanB.1I

i1—x—

23

冗TC

?：0<a<—,0</3<—,:.0<a+/3<;r

?.?在(0,萬(wàn))內(nèi)正切值為1的角只有工

4

c71

:.a+。~

（方法二）

求得cosa=2、5,cos/?=l/fU后可得:

510

cos（a+/?）=cosa?cos/?一sina?sin0

2V53VT0VsVio_V2

一ioF

?.?0＜a+/＜》，且在（0,乃）內(nèi)余弦值為'一的角只有生。

24

C冗

:.a+。~

說(shuō)明：本題主要考查由三角函數(shù)值求角的方法，和角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

式。除上述兩種方法外，還可以通過(guò)計(jì)算sin（a+0去求值。但如果計(jì)算出sin（a+￡）=

與后,直接得出a+￡=?是錯(cuò)誤的，得到a+￡=?或是錯(cuò)誤的。

需根據(jù)ae（0,

/）及sina=q＜*,得出0＜a＜（,同法可得。＜/＜；,從而a+例勺范圍可由（0,萬(wàn)）

縮小到（0,9。

可見(jiàn)，本例中求tan（a+￡）和cos（a+￡）均比求sin（a+夕）好，這是因?yàn)閍+

〃€（0,萬(wàn)），在此區(qū)間上余弦函數(shù)、正切函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，一個(gè)余弦值或正切值只與一個(gè)角

對(duì)應(yīng)；而正弦函數(shù)在（0,乃）上不是單調(diào)函數(shù)，要確定a+瓦I勺值還需進(jìn)一步討論，顯然麻

煩。由此可見(jiàn)三角函數(shù)的選取非常重要。

例4.已知tana=1,sin(2a+13)=3sinP，求tan(a+/?)。

分析：

注意到從tana=1,可得到a=三+k"kez)。從而可把問(wèn)題化歸成關(guān)于?的三角函數(shù)

4

。也可以根據(jù)所求角的特征，由2a+〃=(a+￡)+a,￡=(a+初-a,再變換第二個(gè)已知

條件，進(jìn)行求解。

解：(方法一)

.7T.

tana=1,.*.?=—+fk%,kGZ

■rr

故sin(2a+優(yōu)=sin(y+夕+2k%)=cosp

又sin(2a+夕)=3sin/?

/.cos夕=3sinfi,tany?=

11

/小tana+tanp+3

tan(a+1)=-----------------=——

1-tana-tanB11

1—

3

(方法二)

由sin(2a+/?)=3sin[J,得

sin[(a+尸)+a]=3?sin[(a+/?)-?]

B|Jsin(a+(J)?cosa+cos(a+夕)?sina=3[sin(a+fJ)-cosa-cos(a+p)-sina]

即sin(a+p)-cosa=2cos(a+p)-sina

tan(a+/?)=2tana=2x1=2

說(shuō)明：三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，角是主要變量。解題時(shí)，應(yīng)認(rèn)真去觀察有關(guān)

的角，確定能否求出角(如解法一)？是否需拆角？拆成什么樣的角(如解法2)?從而

把角看活，這樣才能抓住問(wèn)題的本質(zhì)，把思路放開(kāi)。

對(duì)本題一般可見(jiàn)如下一種誤解：

由tana=1,不妨令a=?,代入sin(2a+/7)=3sinp,得$巾(1+夕)=3$也夕，即可求

ZH八1/小tana+tan￡

得tan夕=一,tan(a+Z?)=-------------------=2

31-tana-tanp

上述解法犯了以特殊代替一般的毛病，盡管答案無(wú)誤，但不能算是完整無(wú)誤的解法。

例5.若sin(a+￡)jsin("￡)$,求舞的值。

分析:

要求里的值，即求竺a竺弓,從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為由條件求出sina?cos/?,cosa

tanpcosasinp

sin(a+p)

sin佛|1可得解。也可令*=x,再由-(。+仞=cos：co?=tana+tan"

tanpsin(a-/?)sin(a-/3)tana-tan/?

cosacosQ

tana

+1

tan尸—,從而得方程出■=§,解此方程，即可得解。

tana-1X-1

tan0

解：（方法一）

sin(a+夕)=；

由已知＜

sin(a=

sina?cos/?+cosa?sin/?=g

即4

sina?cos°-cosa?sin夕='

/31

解得sina-cos夕=6，cosa-sinyff=-

則有%14=型絲惚=3x5=3

tan/3cosasin/7102

（方法二）

、兒tana

攻----=x

tanP

...sin(a+嘰5=5

sin(a-p)

To

7sin(a+￡)_sina?cosp+cosasinJ3

sin(tz-p)sina?cosp-cosasinp

(sinacos/3+cosasinp)x----5------

_cosacosp

(sinacos13-cosasin(3)x------!------

cosacosp

tana+tan/?

tana-tan/?

tana,

-+1

tan(3x+1

tana〔x-1

tanyff

^-=5,解之得x=3,即㈣s=a

x-12tanp2

說(shuō)明：解法-是采用“化切為弦”進(jìn)行求解，解法二是采用“化弦為切”進(jìn)行求解。

解此類問(wèn)題，解法一較為常用。

例6.已知sina=4sin(a+/?),求證：tan(a+夕)=-------

cos/7-4

分析：

考慮到條件等式中含角a+俄口。，待證等式中含角a+仰口氏故可將a,da+夕-：

個(gè)角聯(lián)系到一起，化a為(。+尸)一夕0

證明：

,/sina=4sin(a+p)

4sin(a+0=sina=sin[(a+/?)-/7]

=sin(a+p)-cos°-cos(a+p)-sinfJ

(4-cosp)-sin(a+/?)=-cos(a+/?)-sinp

sin(a+/?)-sin尸

cos(a+p)4-cos/

即tan（a+￡）=。等式得證。

4-cos/}

說(shuō)明：本題除考查兩角和（差）的三角函數(shù)外，還考查r條件恒等式的證明的方法和

技巧，以及等價(jià)轉(zhuǎn)換的技能和靈活性。

本例若從結(jié)論等式出發(fā)，可得以下證法。

要證tan（a+尸）=-，也'

cos/7-4

即證sin(a+夕)_sin'

cos(a+p)cos夕一4

即證sin(a+p)?(cos/-4)=cos(a+/?)?sinp

即證sin(a+p)-cos/7-4sin(a+/?)=cos(a+fJ)-sinp

即證sin(a+p)cosp—cos(a+夕)sin夕=4sin(a+/?)

即證sin[(a+/)—/?]=4sin(a+p)

即證sina=4sin(a+(3)

此即為題設(shè)條件，顯然成立。

故所要證等式成立。

以上證明方法為分析法，似比直接證法簡(jiǎn)便順當(dāng)。采用分析法證明時(shí):要注意書(shū)寫(xiě)格

式。

【模擬試題】

一.選擇題。

1.已知tan（a+夕）=3,tan（a-4）=5,貝han2a的值是（）

4

AB.-1C.2

-\7

2.tan10。tan20。+打（lan10。+tan20。）等于（）

A.2

B.1C.V3D.

2

35

3.在三角形ABC中，若sinB=—,cosA=—,則cosC等于（）

513

A.3D56「16寸56「16

D.------C.—或一D.---

6565656565

4.已知三角形ABC中,有關(guān)系式tanA=c°sB-cosC成立,則4ABC一定為（）

sinC-sinB

A.等腰三角形

B.A=60。的一:角形

C.等腰三角形或A=60。的三角形

D.不能確定

Y

5.若a,0為銳角,且tana=x,cosp=.——,則a+夕的值為（）

71+x2

A.150°B.120°C.90°D.60°

6.如果tan（a+0=2,tan（^那么舊工吧的值等于（）

5441-tana

13n3c13c3

AA.—B.—C.—D.—

16222216

7.sinC-V5cos二的值是（）

1212

A.OB.-y[2C.72D.2

8.sin（6?+75o）+cosS+45。）-石cos（6>+15。）的值等于（）

A.+1B.1C.-1D.O

二.填空題。

9.tan67°30'-tan22°30'的值是。

10.已知a,￡,埼“是銳角，旦tana=L,tan,tan/=-,則a+/?+/=

258

11.已知a、夕為銳角，cosa=B，cos（a+夕）=￡,則夕=

12.已知13sin6+5cos/?=9,13cosa+5sin/=15,則sin（a+p）=

三.解答題。

icsin7°+cos150-sin80

13.求值：---------------

cos70-sin15°-sin8°

41

14.已知a,0為銳角,cosa=—,tan(a-y9)=--,求cos用勺值。

15.已知a,[}e(一餐方,且tana,tan夕是方程x?+3j5x+4=0的兩個(gè)根，試求a+￡

的值。

【試題答案】

一.選擇題。

1.D

(提示：2a=(a+0+(。一￡))

2.B

(提示：利用tana+tan夕=tan(a+/?)?(1-tanor-tanP))

3.A

1234

(提不：sinA=—>—=sinB,可知B一定為銳角,從而cosB=~,cosC=cos[4-(A

+B)]=-cos(A+B)o)

4.C

(提示：“切化弦”后可得cos(A—C)=cos(B—C),/.A-C=A-B^cA-C=-(A

-B),即B=C或2A=B+C,即8=€：或人=60。。)

5.C

(提示：cos/}=tanQf—=tancr-cosa=sina,由于a,廣為銳角，a+J3=—>)

71+tan2a2

6.B

71

.tan—+tana

._1+tana4,冗、yTI小，cn、、

(+H：-------=--------------=tan(aH—)，又a4—=(a+%—(夕---)。)

1-tana1,乃，444

1-tan—-tana

4

7.B

(提示：sin---cos—)o)

212212

8.D

(提示：令。+15。=原則。+75。=1+60。，6+45。=0+30。.代入原式化簡(jiǎn))

二.填空題。

9.2o

（提示：利用兩角差的正切公式的變形公式tana-tan￡=tan（a-/7）?[l+tancr-

tan外同時(shí)注意67。30'+22。30'=90。,即67。30,與22。30'互余）

（提示：先求出tan（a+0,再求tan（a+夕+y）的值）

ii.6（r

（提示：cos/?=cos［（cr+夕）-a］）

12.—

65

（提示：將已知兩等式兩邊平方并分別相加）

三.解答題。

13.解:

vsin70=sin(l5°-8°)=sinl50-cos8。一cos150-sin8°

cos70=cos(l5°-8°)=cosl50-cos8°+sin15°-sin8°

..原式=則5°伸8。=?甘=tan(45°-30°)

cosl50-cos8°

tan45°-tan30°_c

1+tan45°-tan30°

14.解：(方法1)

、4

,「a為銳角，cosa=—

.r.23