遼寧省沈陽市肇工某中學2022-2023學年高三數(shù)學理期末試題含解析

遼寧省沈陽市肇工第三高級中學2022-2023學年高三數(shù)

學理期末試題含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

/(x)-彳2

1.設函數(shù)，、/，若則實數(shù)a的取值范圍是()

-x-+x

A.(>3)B,0()C.(一3,1)D(-?.-3)U0；+?)

參考答案：

c

略

22

x+y=l,貝世+工

2.已知x、y是正實數(shù)，滿足丫xy的最小值為()

A.375B.C.屈D.272

參考答案:

D

身圓的參數(shù)方程；三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值.3794729

點：

專不等式的解法及應用；直線與圓.

題：

分14_2

令z=xy>0,利用基本不等式求得z2>4+xy,當且僅當x=y時，等號成立.而由

析：

1

x2+y2=l可得xy>2,當且僅當X=y時，等號成立.故z2^8,

工」

由此可得xy的最小值.

解阜

解：；、是正實數(shù)，令

答：x2+y2=l,xyz=xy>0,

112,22,,222

1__^2x+yx+y2y__x_22

22—22—22——

則z2=x+y+xy=x+y+xy=2+x+y+xy>4+xy,當且僅當x=y

時，等號成立.

1

而由x?+y2=l可得l>2xy,即xy>2,當且僅當x=y時，等號成立.

故z2\4+4=8,當且僅當x=y時，等號成立.

Id

故xy的最小值為2版,

故選D.

點本題主要考查基本不等式的應用，注意檢驗等號成立的條件，屬于中檔題.

評：

3.已知非零向量G,b,七滿足-瓦l昨4,0-3-G-c）=O,若對每個確定的譏

|c|的最大值和最小值分別為m,n,則"》一"的值（）

A.隨增大而增大B.隨15增大而減小

C.是2D.是4

參考答案：

D

4.下表是某學校學生公寓樓1?4月份用水量（單位：噸）的一組數(shù)據(jù):

月份工

1234

用水量，

4.5432.5

由散點圖可知，用水量）與月份工之間有較好的線性相關關系，其線性回歸直線方程是

A

7=-07x+a,則a的值為

A51B.

5.15c.5.2I).525

參考答案:

集合川=｛，6司*2-*),則“八卸.(

5.已知集合

W—44x<-

C.R

參考答案:

3+i

6.復數(shù)z=口的共拆復數(shù)￡=

(A)1+Z(B)l-2i(C)2+i(D)2T

參考答案：

x+2y-5Mo

-4￡0

x>0

7.若實數(shù)x,y滿足條件4*1,目標函數(shù)2=犬+》,則

5

A.Zmax=0B.Zmax=2

參考答案：

D

x+2y-52=0

（

做出可行域，由圖象可知當目標函數(shù)經過直線12x+>-4=°的交點時，目標函數(shù)最大，

此時交點為Q2）,最大值為3.當經過（°，】）時?，目標函數(shù)最小，最小為1,所以答案選D.

8.數(shù)歹/"J中，4=3,是等差數(shù)列且Z（%€獷），若多=-2,

瓦0=12,則勺=

（⑷0⑶3?8（D）11

參考答案：

B

9.已知函數(shù)f（0的圖象關于X=-l對稱，且/（D在（-I*?）上單調，若數(shù)列（嗎是公差

不為0的等差數(shù)列，且則｛4｝的前100項的和為（）

A.200B.-100c.-50D.0

參考答案：

B

試題分析：因為函數(shù)丁=/（工-2）的圖象關于工=1對稱，則函數(shù)/（目的圖象關于工=一1

對稱，又函數(shù)/（X）在GL2）上單調，數(shù)列｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，且

g=g,所以,?■=2所以3吧空近50（3?-100

故選B.

考點：1、函數(shù)的圖象；2、等差數(shù)列的性質及前。項和公式.

10.若復數(shù)為，馬在復平面內對應的點關于），軸對稱，且。=2-乙則復數(shù)句

（）

3J34.

——T-|———I

A.-1B.1C.55D.55

參考答案：

C

2-i(2-JX-2+0

55.故選C.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

好+3,3

11.若a的展開式中含/項，則最小自然數(shù)”是____,

參考答案：

12.已知向量a,b滿足|a|=l,|a-b|=2,gb的夾角為60°,

Ib|=.

參考答案：

2

2

13.三視圖如下的幾何體的體積為—o

參考答案:

14.若集合力=卜降3},代卜卜"“滿足/U氏R,4n斤0,則實數(shù)爐▲

參考答案：

答案：3

3n4

15.已知a,B為銳角，sina=5,tan6=2,則sin(2+a)=5,tan(a+B)

參考答案：

~2

考點：兩角和與差的正切函數(shù).

專題：三角函數(shù)的求值.

分析：由已知，利用三角函數(shù)的誘導公式以及兩角和的正切公式求值.

3_K

解答：解：因為a,B為銳角，sina=5,tan(3=2,則sin(2+a)

I---------4sina=3

=cosa=也-sina=5,所以tana=cosa4；

3+2

tana+tanB_4:11

1-tanCltanP?__32

tan(a+B)=4；

4_n

故答案為：5；~2..

點評：本題考查了三角函數(shù)的誘導公式以及兩角和的正切公式的運用；關鍵是熟練掌握公

式.

16.執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的x,y,N的值分別為1,2,3,則輸出的S=

()

81C.99D.577

參考答案:

略

17.定義平面向量的一種運算:=H書.伸〉是向量J和9的夾角)，則

下列命題：

?a?i=i?a；②"a。%)=(而癡；

③若"=拉且4>0,則(a+A)?c=G?c)?而?c)；其中真命題的序號是

參考答案:

(1)⑶

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.如圖，已知四棱錐E-/BCD的底面為菱形，且48c=6b,AB^EC=2,

AE=BE=-j2.

(I)求證：平面艮西，平面jbCO；

(11)(11)求二面角力-EC-D的余弦值.

c

參考答案：

(I)證明，取.小的中點。，連轉二。c。QHE-旨=0心="

VAEB為等短直角三角形.EO-ABR=】

又Q.dB=BC._d8C=60：.VjCTi>iftHft'-

8=4.又EC"EC：=E0；-C-.E。一。

EO_平面ABCD?又E。::平AElB?平面EF_平面.iBCD.

(Il)以，3中點。為坐標原點，以。3所在直線為尸軸，。^所在直線為z軸，建立空

間直角坐標系如圖所示，則4O,-LO)C(@O.O).D("-2.O),￡(O,O,1)

..AC=(^.L0).EC=(73.0-D.DC=(0.2,0)

E

一

設平面DC&的法向量用=（工）M)='：

竺/=。M“I=o產于-J3

DCn=0即12y=0

1，解得“=0,3.設平面創(chuàng)C的法向

量掰=3.瓦1）

f4

ACm-0J@+6=0，4="5"R

’.：￡工(蟲「1,1)

.EC-m=0,即y/3a—1=0解得9=-1,3

Lm加2百2小

COS（W.?）==h=—7—

\/⑻網(wǎng),所以二面角4-EC-Z)的余弦值為〒

略

19.（本小題滿分12分）

已知正方形488的邊長為2,ACClBD=O.將正方形48CD沿對角線SD折起,

AC=a,得到三棱錐R-BCD,如圖所示.

（2）當二面角上一如一。的大小為120?時，求二面角4-8C-Z）的正切值.

參考答案：

解：（1）證明：根據(jù)題意，在&40c中，AC=a=2,AO=CO=42,

所以RC'n/O'+C。3,所以40_LCO.因為ACSO是正方形/ECD的對角線,

所以4?_LBZ）.因為30nC0=。，所以401?平面BCD.

（2）解法1：由（1）知，C0L0D,如圖,

為原點，℃,°。所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖的空間直角坐標系0-Dz,

則有。（。,呵。（。,&,。），。陽。,。），5（。,母。）設心，?。ɡ洌?。）,則

5=（4,04）歷=e,&,0）

?04=0,1Vi+Vi=^

又設面皿）的法向量為"（%％zj,則［券8=0.即Hi=Q所以

八?0,令為二馬，則為=一%.所以"=（4,0,一%）.因為平面68的一個法向量為

化，)|=卜。"?卜;

加=（0.0,1）,且二面角4_%）_（7的大小為12CT,所以上s20

J，伶

a戊戈

4=3/2因為1^l=&,所以業(yè)?+馬2=&.解得%----，ZQ.------

2°2.所以

檔,。當

1“內?設平面題的法向量為'=(三，為zj,因為

防=國,應陷尿=（乙應,0）/^4=0,

<

122/，則IBC=0.,即

,-gX，+尤力+4z、=Q

,0馬+/為=。?令工2=1,則匕=-1.22=丘

所以，=(L-L5).

―—岳

8$0=「0$，叫=

3+1+(4尸5

設二面角力-BC-Z）的平面角為6,所以

tan”在正

所以s=亍.所以二面角4-3C-D的正切值為亍.

解法2：折疊后在△ABD中，BD1A0,在△BCD中,

t\

屋

■,BD1C0,

所以乙40c是二面角/-6D-C的平面角，即44℃=120\

在△*OC中，AO=CO=42,所以/C=J3.如圖，

過點工作03的垂線交CQ延長線于點丹，因為80_LCO,BD1A0,

且COn/O=O,所以8。_1平面48\因為平面所以8Z)_L4/.又

COA.AH,且C0C|8D=0,所以4月1?平面38.過點作力作展J_5C,垂足為

K,連接HK,因為3C_LAH,AK[}AH=A,所以3CJ■平面4//K.因為HKu

平面4HK,所以3CJ_HK.所以N4KH為二面角j-BC-Z）的平面角.在

痛&

中，/LAOH=60*,AO=42,則“"T,~~2~

,所以

CH-CQ+QH-72+---

22在Rt△中，乙HCK=AS,所以

在

AH_4(>

如理一西F與

422在Rt△4NK中，tan4”0=2.所以二面角

更

幺-3C-D的正切值為3.

略

20.(本小題滿分12分)

某品牌經銷商在一廣場隨機采訪男性和女性用戶各50名，其中每天玩微信超過6小時的

用戶列為“微信控”，否則稱其為“非微信控”，調查結果如下:

微信控非微信控合計

男性262450

女性302050

合計5644100

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有95%的把握認為“微信控”與“性別”有關？

(2)現(xiàn)從調查的女性用戶中按分層抽樣的方法選出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非

微信控”的人數(shù)；

(3)從(2)中抽取的5位女性中，再隨機抽取3人贈送禮品，試求抽取3人中恰有2人為“微

信控”的概率.

參考數(shù)據(jù)：

0.100.0500.0250.0100.001

k2.7063.8415.0246.63510.828

參考公式：切，

其中n=a+h+c+d.

參考答案：

解(1)由列聯(lián)表可得：

,n(al-bc?100x(26x20-30x24?50

=...........-------------------=------1-----------------L.=_?0649<3_84】

50x50x56x4477

分

所以沒有95%的把握認為“微信控，，與“性別，，有關......4分

(2)根據(jù)題意所抽取的s位女性中，“微信控”有3人，“非微信控”有2人?…6分.

(3)抽取的5位女性中，“微信控”3人分別記為4,B,C；“非微信控”2人分別記為

D,K.

則再從中隨機抽取3人構成的所有基本事件為：ABC,ARD,ARK,ACD,ACE,

ADR,86,BCE,BDK,CDE,共有10種；9分

抽取3人中恰有2人為“微信控”所含基本事件為：ABD,ARE,ACD,ACE,

B6,BCE,共