山東省濰坊市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

試卷類型：A高一數(shù)學(xué)2023.7本試卷共4頁.滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必在試題卷?答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號?姓名.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（)A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，由此求得的虛部.【詳解】，故虛部為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)虛部的概念，屬于基礎(chǔ)題.2.已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.7 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，又，所以，解得，故選：C.3.在平面直角坐標(biāo)系中，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，利用三角函數(shù)的定義求出，再利用誘導(dǎo)公式即可求出結(jié)果.【詳解】角終邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，又，所以，故選：B.4.已知水平放置的平面圖形的直觀圖如圖所示，其中，則平面圖形的面積為（）A.6 B.3 C.8 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直觀圖畫法的規(guī)則，確定原平面圖形四邊形的形狀，求出上下底邊邊長，以及高，然后求出面積【詳解】根據(jù)直觀圖畫法的規(guī)則，直觀圖中平行于軸，，在軸上，，則原平面圖形中平行于軸，在軸上，從而有，且，，，如圖所示，所以直角梯形的面積為.故選：D．5.若，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正切二倍角公式即同角三角函數(shù)關(guān)系化簡得到.【詳解】因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所以，，所以，因?yàn)?，所以，解?故選：D6.如圖，圓臺的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為，其中，則該圓臺的高為（）A.1 B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】利用扇形的弧長公式結(jié)合已知條件求出圓臺上、下底面圓的半徑，在建立與圓臺高的關(guān)系式求解即可.【詳解】因?yàn)閳A臺的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為，所以在圓錐中有：，所以，又在圓錐中有：，所以，所以該圓臺的高為：，故選：C.7.托勒密是古希臘天文學(xué)家?地理學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理指出：圓的內(nèi)接凸四邊形兩組對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.則圖四邊形為圓的內(nèi)接凸四邊形，，且為等邊三角形，則圓的直徑為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，先利用余弦定理求出，再根據(jù)題意建立方程求出，再利用正弦定理即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)闉榈冗吶切?，所?在中，由余弦定理得到，，所以，由題有，所以，解得，所以由正弦定理知，，解得，故選：D.8.在中，已知，則內(nèi)角的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由定義法用邊和角表示已知條件中的向量數(shù)量積，利用余弦定理化簡，再利用不等式的性質(zhì)求的最小值，可得角的最大值.【詳解】中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，由，得，由余弦定理得，即則，當(dāng)時，取到最小值，所以角的最大值為.故選：C二?多項(xiàng)選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.若，則B.若是純虛數(shù)，則C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念判斷A、B，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)的模判斷D.【詳解】因?yàn)?，對于A：若，則，解得，故A正確；對于B：若是純虛數(shù)，則，解得，故B正確；對于C：若，則，所以，故C錯誤；對于D：若，則，所以，故D正確；故選：ABD10.某球形巧克力設(shè)計了一種圓柱形包裝盒，每盒可裝7個球形巧克力，每盒只裝一層，相鄰的球形巧克力相切，與包裝盒接觸的6個球形巧克力與圓柱形包裝盒側(cè)面及上下底面都相切，如圖是平行于底面且過圓柱母線中點(diǎn)的截面，設(shè)包裝盒的底面半徑為R，球形巧克力的半徑為，每個球形巧克力的體積為，包裝盒的體積為，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】從截面圖可得R與的關(guān)系，由球和圓柱的體積公式計算和，判斷選項(xiàng).【詳解】由截面圖可以看出，圓柱的底面直徑是球形巧克力直徑的3倍，即可得，圓柱的高等于球形巧克力的直徑，即，，，則有.故選：AD11.已知函數(shù)的最小正周期是，則（）A.BC.的對稱中心為D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)條件求出，從而得到，再對各個選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是，所以，又，得到，所以，選項(xiàng)A，因?yàn)椋蔬x項(xiàng)A錯誤；選項(xiàng)B，因?yàn)椋?，由的性質(zhì)知，，所以，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，由，得到，所以的對稱中心為，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，當(dāng)時，，由的性質(zhì)知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.12.東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”，根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.我們通過類比得到圖2，它由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形DEF拼成的一個大等邊三角形ABC，則（）A.這三個全等的鈍角三角形可能是等腰三角形B.若，則C.若，則D.若，則三角形的面積是三角形面積的19倍【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)三個全等的鈍角三角形及一個小等邊三角形DEF，應(yīng)用正弦定理及余弦定理分別判斷各個選項(xiàng)即可.【詳解】選項(xiàng)A，若三個全等的鈍角三角形是等腰三角形，則，從而三點(diǎn)重合，不合題意，故A錯誤；在中,不妨設(shè)，由余弦定理，解得，,故B正確；在中，，而，所以，，由正弦定理得，解得，又因?yàn)椋?，故C正確；若,設(shè)在中,，，所以,故D正確.故選:BCD.三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13.請寫出一個周期為的偶函數(shù)__________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】只要寫出一個滿足題意的函數(shù)即可.【詳解】由的周期為：，且，故為一個周期為的偶函數(shù)，故答案為：（答案不唯一）.14.已知點(diǎn)，向量繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到向量，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，由，，結(jié)合點(diǎn)所在象限，可求坐標(biāo).【詳解】設(shè)，由題意有，，即，由旋轉(zhuǎn)方向可知點(diǎn)第四象限，即，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．

故答案為：．15.已知，，則__________.【答案】【解析】【分析】利用兩角和的余弦公式得到，即可求出，再根據(jù)利用兩角差的正弦公式計算可得.【詳解】因?yàn)?，即，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為：16.將半徑均為2的四個球堆成如圖所示的“三角垛”，則由球心A，B，C，D構(gòu)成的四面體的外接球的表面積為__________，若該三角垛能放入一個正四面體容器內(nèi)，則該容器棱長的最小值為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】正四面體補(bǔ)形成一個正方體，利用正方體對角線，求外接球的半徑和表面積如；利用正四面體中心到底面的距離與棱長的關(guān)系，列方程求容器棱長的最小值.【詳解】由球心A，B，C，D構(gòu)成的四面體是正四面體，其棱長為4，將正四面體補(bǔ)形成一個正方體，正方體的棱長為，正四面體的棱是正方體各面的對角線，如圖所示，則正四面體的外接球的直徑為正方體的體對角線長，即外接球的半徑，外接球的表面積為.對于正四面體中，若邊長為a，為正四面體外接球球心，H是正四面體底面三角形的中心，如圖所示，由于M為CD的中點(diǎn)，所以，則，，設(shè)外接球的半徑為R，則，中，，解得，所以，即正四面體的中心到正四面體底面的距離為，半徑均為2的四個球堆成的“三角垛”，由球心A，B，C，D構(gòu)成的四面體，棱長為4，該三角垛能放入一個正四面體容器內(nèi)，則該容器棱長的最小值時，此時每個小球均與正四面體的面相切，任意兩個小球外切，設(shè)這個正四面體容器棱長為，則有，解得，則該容器棱長的最小值為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：正四面體的外接球問題，經(jīng)常把正四面體補(bǔ)形成正方體，利用正方體的對角線為外接球的直徑，可減少運(yùn)算量；與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接，解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，找到等量關(guān)系列出算式.四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù).（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于右半平面（不包括虛軸），求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）利用復(fù)數(shù)相等的條件即可求出結(jié)果；（2）利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到對應(yīng)的點(diǎn)，從而求出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，解?【小問2詳解】因?yàn)?，所以，其在?fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)為，所以，得到.18.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)，且四邊形平行四邊形.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)及；（2）若點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，求的最小值.【答案】（1），（2）25【解析】【分析】（1）是平行四邊形，利用求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得的坐標(biāo)及；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出，結(jié)合函數(shù)思想求最小值.【小問1詳解】如圖所示，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，，則有，所以，可得，【小問2詳解】由題意直線的方程為，設(shè)，則，，所以，故當(dāng)，點(diǎn)P坐標(biāo)為時，取得最小值25.19.已知的內(nèi)角所對的邊分別為.（1）求；（2）若，求邊.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）根據(jù)兩角和差的正切公式結(jié)合角的范圍即可求解；（2）利用兩角和的正弦公式，結(jié)合正弦定理可求得c.【小問1詳解】,,,【小問2詳解】,

由正弦定理可得可得，20.函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）將的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，若，方程存在三個不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)的圖象可得，再由圖象過點(diǎn)可得解析式；（2）根據(jù)圖象平移規(guī)律得到函數(shù)的圖象，若，存在三個不相等的實(shí)數(shù)根，可轉(zhuǎn)化為與在有兩個不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得答案.【小問1詳解】由圖象可得，由圖象過點(diǎn)，所以，可得，所以，又，所以，所以；【小問2詳解】將的圖象向左平移個單位可得到函數(shù)的圖象，方程，可得，可得時，，所以；所以在有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，即與的圖象在有兩個不同的交點(diǎn)，畫出它們的大致圖象，由圖象可得，，所以.21.如圖，在正六棱錐中，球是其內(nèi)切球，，點(diǎn)是底面內(nèi)一動點(diǎn)（含邊界），且.（1）求正六棱錐的體積；（2）當(dāng)點(diǎn)在底面內(nèi)運(yùn)動時，求線段所形成的曲面與底面所圍成的幾何體的表面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正六棱錐的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，求出底面積和高，可求體積；（2）由，可得所示幾何體的圓錐，求出底面半徑和母線長，可計算表面積.【小問1詳解】設(shè)是底面的中心，連接，，底面為正六邊形，可知為等邊三角形，，在中，,在正六邊形中，，所以.【小問2詳解】取的中點(diǎn)N，連接，，，設(shè)正六棱錐的內(nèi)切球與側(cè)面相切于點(diǎn)H，可知H在上，連接，等邊三角形中，，在中，，則，所以，設(shè)內(nèi)切球O的半徑為r，則，由，得，所以，所以，在中，，所以，所以點(diǎn)M在六邊形中，且以為圓心為半徑的圓上，所以點(diǎn)M在底面內(nèi)運(yùn)動時，線段所形成的曲面與底面所圍成的幾何體為圓錐，圓錐底面半徑為，母線長為2，此幾何體的表面積為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接，解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，找到等量關(guān)系列出算式.22.已知的內(nèi)角所對邊分別為.若內(nèi)部有一個圓心為，半徑為米的圓，它沿著的邊內(nèi)側(cè)滾動一周，且始終保持與三角形的至少一條邊相切.（1）若為邊長是16米的等邊三角形，求圓心經(jīng)過的路程；（2）若用28米的材料剛好圍成這個三角形，請你設(shè)計一種的圍成方案，使得圓心經(jīng)過的路程最大并求出該最大值（若為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.【答案】（1）米（2）圍成三角形為邊長是米的等邊三角形時，圓心