高二數(shù)學(xué)三角函數(shù)綜合復(fù)習(xí)題

第四章三角函數(shù)綜合能力測(cè)試本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。滿(mǎn)分150分。考試時(shí)間120分鐘。第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。)1．(2009·北京市海淀區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期末練習(xí))若角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(1，－2)，則tanα的值為 ()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．－2 D．2答案：C解析：依題意得，tanα＝eq\f(－2,1)＝－2，選C.2．已知sineq\f(α,2)＝eq\f(3,5)，coseq\f(α,2)＝－eq\f(4,5)，那么角α的終邊在 ()A．第一象限 B．第三或第四象限C．第三象限 D．第四象限答案：D解析：因?yàn)閟ineq\f(α,2)＝eq\f(3,5)，coseq\f(α,2)＝－eq\f(4,5)，所以sinα＝2sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝－eq\f(24,25)＜0.cosα＝2cos2eq\f(α,2)－1＝eq\f(7,25)＞0.∴α的終邊在第四象限．3．(2009·山西大同)已知cosA＋sinA＝－eq\f(7,13)，A為第二象限角，則tanA＝ ()A.eq\f(12,5)B.eq\f(5,12)C．－eq\f(12,5)D．－eq\f(5,12)答案：D解析：由題意可得：(sinA＋cosA)2＝1＋2sinAcosA＝(－eq\f(7,13))2，∴sinAcosA＝－eq\f(60,169).又∵sinA＋cosA＝－eq\f(7,13)，A為第二象限角，可解得：sinA＝eq\f(5,13)，cosA＝－eq\f(12,13)，∴tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝－eq\f(5,12).4．(2009·遼寧，8)已知tanθ＝2，則sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝ ()A．－eq\f(4,3) B.eq\f(5,4) C．－eq\f(3,4) D.eq\f(4,5)答案：D解析：sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ－2,tan2θ＋1)＝eq\f(4＋2－2,4＋1)＝eq\f(4,5).故選D.5．(2009·廣東，9)函數(shù)y＝2cos2(x－eq\f(π,4))－1是 ()A．最小正周期為π的奇函數(shù)B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為eq\f(π,2)的奇函數(shù)D．最小正周期為eq\f(π,2)的偶函數(shù)答案：A解析：由y＝2cos2(x－eq\f(π,4))－1＝cos(2x－eq\f(π,2))＝sin2x，∴T＝π，且為奇函數(shù)，故選A.6．下列各式中，值為eq\f(1,2)的是 ()A．sin15°cos15°B．cos2eq\f(π,12)－sin2eq\f(π,12)C.eq\r(\f(1＋cos\f(π,6),2))D.eq\f(tan22.5°,1－tan222.5°)答案：D解析：由tan45°＝eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)，知選D.7．(2009·重慶，6)下列關(guān)系中正確的是 ()A．sin11°＜cos10°＜sin168°B．sin168°＜sin11°＜cos10°C．sin11°＜sin168°＜cos10°D．sin168°＜cos10°＜sin11°答案：C解析：∵sin11°＝cos79°，sin168°＝cos78°，又∵y＝cosx在[0，eq\f(π,2)]上單調(diào)遞減，79°＞78°＞10°，∴cos10°＞sin168°＞sin11°，故選C.8．(2009·天津，7)已知函數(shù)f(x)＝sin(wx＋eq\f(π,4))(x∈R，w＞0)的最小正周期為π，為了得到函數(shù)g(x)＝coswx的圖象，只要將y＝f(x)的圖象 ()A．向左平移eq\f(π,8)個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移eq\f(π,8)個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平移eq\f(π,4)個(gè)單位長(zhǎng)度答案：A解析：∵f(x)＝sin(wx＋eq\f(π,4))(x∈R，w＞0)的最小正周期為π，∴eq\f(2π,w)＝π，故w＝2.又f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,4))eq\o(→,\s\up7(向左平移\f(π),\s\do5(8)個(gè)單位長(zhǎng)度))g(x)＝sin[2(x＋eq\f(π,8))＋eq\f(π,4)]＝sin(2x＋eq\f(π,2))＝cos2x，故選A.9．(2009·浙江臺(tái)州)已知函數(shù)f(x)＝2sin(wx＋φ)(w＞0,0＜φ＜π)，且函數(shù)的圖象如圖所示，則點(diǎn)(w，φ)的坐標(biāo)是 ()A．(2，eq\f(π,3)) B．(4，eq\f(π,3))C．(2，eq\f(2π,3)) D．(4，eq\f(2π,3))答案：D解析：由圖象可知：函數(shù)的半個(gè)周期為eq\f(5π,24)＋eq\f(π,24)＝eq\f(π,4)，所以w＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π/2)＝4.又因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(guò)點(diǎn)(－eq\f(π,24)，2)，所以2＝2sin[4×(－eq\f(π,24))＋φ]．∵0＜φ＜π，解得：φ＝eq\f(2π,3)，所以(w，φ)＝(4，eq\f(2π,3))．10．(2009·安徽，8)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinwx＋coswx(w＞0)，y＝f(x)的圖象與直線(xiàn)y＝2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于π，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ()A．[kπ－eq\f(π,12)，kπ＋eq\f(5π,12)]，k∈ZB．[kπ＋eq\f(5π,12)，kπ＋eq\f(11π,12)]，，k∈ZC．[kπ－eq\f(π,3)，kπ＋eq\f(π,6)]，k∈ZD．[kπ＋eq\f(π,6)，kπ＋eq\f(2π,3)]，k∈Z答案：C解析：f(x)＝eq\r(3)sinwx＋coswx＝2sin(wx＋eq\f(π,6))，(w＞0)．∵f(x)的圖象與直線(xiàn)y＝2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于π，恰好是f(x)的一個(gè)周期，∴eq\f(2π,w)＝π，w＝2.f(x)＝2sin(2x＋eq\f(π,6))．故其單調(diào)增區(qū)間應(yīng)滿(mǎn)足2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.kπ－eq\f(π,3)≤x≤kπ＋eq\f(π,6)，故選C.11．已知f(x)＝sin(2x＋φ)＋eq\r(3)cos(2x＋φ)為奇函數(shù)，且在[0，eq\f(π,4)]上為減函數(shù)，則φ的一個(gè)值為 ()A.eq\f(π,3) B.eq\f(4,3)π C.eq\f(5,3)π D.eq\f(2π,3)答案：D解析：f(x)＝2sin(2x＋φ＋eq\f(π,3))，要使f(x)是奇函數(shù)，必須φ＋eq\f(π,3)＝kπ(k∈Z)，因此應(yīng)排除A、B.當(dāng)φ＝eq\f(5π,3)時(shí)f(x)＝2sin2x在[0，eq\f(π,4)]上為增函數(shù)，故C不對(duì)．當(dāng)φ＝eq\f(2π,3)時(shí)，f(x)＝－2sin2x在[0，eq\f(π,4)]上為減函數(shù)．故選D.12．(2010·福建師大附中期中考試)函數(shù)y＝sinx和y＝tanx的圖象在[－2π，2π]上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ()A．3 B．5 C．7 D．9答案：B解析：方法一：圖象法，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)y＝sinx與y＝tanx在[0,2π]上的圖象．，由圖知共有5個(gè)交點(diǎn)，故選B.方法二：解方程sinx＝tanx，即tanx(cosx－1)＝0，∴tanx＝0或cosx＝1，∵x∈[－2π，2π]，∴x＝0，±π，±2π，故有5個(gè)解，因此選B.第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)將答案填在題中的橫線(xiàn)上。)13．(2009·廣東深圳)已知點(diǎn)P(sineq\f(3,4)π，coseq\f(3,4)π)落在角θ的終邊上，且0≤θ≤2π，則θ＝________.答案：eq\f(7π,4)解析：∵θ∈[0,2π)，根據(jù)三角函數(shù)定義可知：sinθ＝coseq\f(3π,4)＝sin(2π＋eq\f(π,2)－eq\f(3π,4))＝sineq\f(7π,4)，∴θ＝eq\f(7π,4).14．(2009·南昌市高三年級(jí)第一次調(diào)研測(cè)試)已知sin(α＋eq\f(π,12))＝eq\f(1,3)，則cos(α＋eq\f(7π,12))的值等于________．答案：－eq\f(1,3)解析：由已知得cos(α＋eq\f(7π,12))＝cos[(α＋eq\f(π,12))＋eq\f(π,2)]＝－sin(α＋eq\f(π,12))＝－eq\f(1,3).15．下圖是函數(shù)y＝sin(wx＋φ)(w＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的圖象的一部分，則φ＝________，w＝________.答案：eq\f(π,6)2解析：由圖知T＝eq\f(11,12)π－(－eq\f(π,12))＝π，∴w＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2，∴y＝sin(2x＋φ)．又點(diǎn)(－eq\f(π,12)，0)在圖象上，∴sin(－eq\f(π,6)＋φ)＝0，∴－eq\f(π,6)＋φ＝0，φ＝eq\f(π,6).16．給出下列六個(gè)命題，其中正確的命題是__________．①存在α滿(mǎn)足sinα＋cosα＝eq\f(3,2)；②y＝sin(eq\f(5,2)π－2x)是偶函數(shù)；③x＝eq\f(π,8)是y＝sin(2x＋eq\f(5π,4))的一條對(duì)稱(chēng)軸；④y＝esin2x是以π為周期的(0，eq\f(π,2))上的增函數(shù)；⑤若α、β是第一象限角，且α＞β，則tanα＞tanβ；⑥函數(shù)y＝3sin(2x＋eq\f(π,3))的圖象可由y＝3sin2x的圖象向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位得到．答案：②③解析：①sinα＋cosα＝eq\r(2)sin(α＋eq\f(π,4))∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]，∴sinα＋cosα≠eq\f(3,2).②y＝sin(eq\f(5π,2)－2x)＝sin(eq\f(π,2)－2x)＝cos2x，是偶函數(shù)．③對(duì)y＝sin(2x＋eq\f(5π,4))，由2x＋eq\f(5π,4)＝eq\f(π,2)＋kπ，得x＝－eq\f(3π,8)＋eq\f(kπ,2)，(k∈Z)是對(duì)稱(chēng)軸方程．取k＝1得x＝eq\f(π,8).④y＝sin2x在(0，eq\f(π,2))上不是增函數(shù)，∴y＝esin2x在(0，eq\f(π,2))上也不是增函數(shù)．⑤y＝tanx在第一象限不是增函數(shù)．∴α＞β，不一定有tanα＞tanβ.⑥y＝3sin(2x＋eq\f(π,3))＝3sin2(x＋eq\f(π,6))，可由y＝3sin2x的圖象向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位得到．三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。)17．(本小題滿(mǎn)分10分)已知α∈(0，eq\f(π,2))，β∈(eq\f(π,2)，π)且sin(α＋β)＝eq\f(33,65)，cosβ＝－eq\f(5,13).求sinα.解析：∵β∈(eq\f(π,2)，π)，cosβ＝－eq\f(5,13)，∴sinβ＝eq\f(12,13).又∵0＜α＜eq\f(π,2)，eq\f(π,2)＜β＜π，∴eq\f(π,2)＜α＋β＜eq\f(3π,2)，又sin(α＋β)＝eq\f(33,65)，∴eq\f(π,2)＜α＋β＜π，cos(α＋β)＝－eq\r(1－sin2(α＋β))＝－eq\r(1－(\f(33,65))2)＝－eq\f(56,65)，∴sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝eq\f(33,65)·(－eq\f(5,13))－(－eq\f(56,65))·eq\f(12,13)＝eq\f(3,5).18．(2009·浙江金華)(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)f(x)＝Asin(wx＋φ)，(A＞0，w＞0，|φ|＜eq\f(π,2)，x∈R)的圖象的一部分如圖所示．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)當(dāng)x∈[－6，eq\f(2,3)]時(shí)，求函數(shù)y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值與最小值及相應(yīng)的x的值．解析：(1)由圖象知A＝2，T＝8，∵T＝eq\f(2π,w)＝8，∴w＝eq\f(π,4).又∵圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1,0)，∴2sin(－eq\f(π,4)＋φ)＝0.∵|φ|＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,4)，∴f(x)＝2sin(eq\f(π,4)x＋eq\f(π,4))．(2)y＝f(x)＋f(x＋2)＝2sin(eq\f(π,4)x＋eq\f(π,4))＋2sin(eq\f(π,4)x＋eq\f(π,2)＋eq\f(π,4))＝2eq\r(2)sin(eq\f(π,4)x＋eq\f(π,2))＝2eq\r(2)coseq\f(π,4)x，∵x∈[－6，eq\f(2,3)]，∴－eq\f(3π,2)≤x≤eq\f(π,6).∴當(dāng)eq\f(π,4)x＝0，即x＝0時(shí)，y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值為2eq\r(2)，當(dāng)eq\f(π,4)x＝－π，即x＝－4時(shí)，最小值為－2eq\r(2).19．(2009·福州質(zhì)檢)(本小題滿(mǎn)分12分)已知f(x)＝sin2wx＋eq\f(\r(3),2)sin2wx－eq\f(1,2)(x∈R，w＞0)，若f(x)的最小正周期為2π.(1)求f(x)的表達(dá)式和f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間[－eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]上的最大值和最小值．解析：(1)由已知f(x)＝sin2wx＋eq\f(\r(3),2)sin2wx－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(1－cos2wx)＋eq\f(\r(3),2)sin2wx－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2wx－eq\f(1,2)cos2wx＝sin(2wx－eq\f(π,6))．又由f(x)的周期為2π，則2π＝eq\f(2π,2w)?2w＝1?w＝eq\f(1,2)，?f(x)＝sin(x－eq\f(π,6))，2kπ－eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)?2kπ－eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)，即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ－eq\f(π,3)，2kπ＋eq\f(2π,3)](k∈Z)．(2)由x∈[－eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]?－eq\f(π,6)≤x≤eq\f(5π,6)?－eq\f(π,6)－eq\f(π,6)≤x－eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)－eq\f(π,6)?－eq\f(π,3)≤x－eq\f(π,6)≤eq\f(2π,3)?sin(－eq\f(π,3))≤sin(x－eq\f(π,6))≤sineq\f(π,2).∴－eq\f(\r(3),2)≤sin(x－eq\f(π,6))≤1.故f(x)在區(qū)間[－eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]的最大值和最小值分別為1和－eq\f(\r(3),2).20．(2009·大同模擬)(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)f(x)＝2cosx·sin(x＋eq\f(π,3))－eq\f(\r(3),2).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期T；(2)在給定的坐標(biāo)系中，用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期上的函數(shù)．解析：(1)f(x)＝2cosx·sin(x＋eq\f(π,3))－eq\f(\r(3),2)＝2cosx(sinxcoseq\f(π,3)＋cosxsineq\f(π,3))－eq\f(\r(3),2)＝2cosx(eq\f(1,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cosx)－eq\f(\r(3),2)＝sinxcosx＋eq\r(3)·cos2x－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\r(3)·eq\f(1＋cos2x,2)－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)cos2x＝sin(2x＋eq\f(π,3))．∴T＝eq\f(2π,|w|)＝eq\f(2π,2)＝π.即函數(shù)f(x)的最小正周期為π.(2)列表：x－eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)2x＋eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)π2πsin(2x＋eq\f(π,3))010－10描點(diǎn)畫(huà)圖：21．(本小題滿(mǎn)分12分)已知tanα、tanβ是方程x2－4x－2＝0的兩個(gè)實(shí)根，求：cos2(α＋β)＋2sin(α＋β)cos(α＋β)－3sin2(α＋β)的值．解析：由已知有tanα＋tanβ＝4，tanα·tanβ＝－2，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(4,3)，cos2(α＋β)＋2sin(α＋β)cos(α＋β)－3sin2(α＋β)＝eq\f(cos2(α＋β)＋2sin(α＋β)cos(α＋β)－