專題09 點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 解析版

Page16Page1專題09點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系知識總結(jié)：1平面的概念幾何中所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、平靜的水面等這樣的一些物體中抽象出來的．類似于直線向兩端無限延伸，平面是向四周無線延展的．2平面的表示平面通常用希臘字母α，β，γ等表示，如平面α、平面β、平面γ等，也可以用代表平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，或者相對的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母作為這個(gè)平面的名稱．如平面ABCD、平面AC或者平面BD，還可以用平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)的字母表示，如平面ABC.3公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點(diǎn)在面內(nèi)的方法4公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．注意：（1）此公理是確定一個(gè)平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點(diǎn)共面的依據(jù)推論①：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)推論②：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；推論③：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面；5公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．注意：（1）此公理是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)（2）此公理是判定若干點(diǎn)在兩個(gè)相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)）（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)6公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．7直線與直線的位置關(guān)系位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面圖形符號a∥b公共點(diǎn)個(gè)數(shù)100特征兩條相交直線確定一個(gè)平面兩條平行直線確定一個(gè)平面兩條異面直線不同在如何一個(gè)平面內(nèi)8直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）圖形符號∥公共點(diǎn)個(gè)數(shù)無數(shù)個(gè)109平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直圖形符號∥，公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在唯一的一條直線上無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在唯一的一條直線上10等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．題型歸納【題型01平面及其性質(zhì)】【題型02數(shù)學(xué)符號的表示】【題型033個(gè)公理】【題型04點(diǎn)線面的位置關(guān)系】【題型01平面及其性質(zhì)】【典例1】（2023春·安徽·高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在下列條件下，能確定一個(gè)平面的是（

）A．空間的任意三點(diǎn) B．空間的任意一條直線和任意一點(diǎn)C．空間的任意兩條直線 D．梯形的兩條腰所在的直線【答案】D【分析】三個(gè)不共線的點(diǎn)或者兩條共面直線可確定一個(gè)平面，由此判斷即可.【解析】三點(diǎn)共線則不能確定一個(gè)平面，A錯(cuò)誤；點(diǎn)在直線則不能確定一個(gè)平面，B錯(cuò)誤；若兩線直線為異面直線，則不能確定一個(gè)平面，C錯(cuò)誤；梯形的兩條腰所在的直線在梯形所在的面上，可以確定一個(gè)平面，D正確.故選：D【題型02數(shù)學(xué)符號的表示】【典例1】2．用符號表示“點(diǎn)A不在直線上，直線在平面內(nèi)”，正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)、線以及線、面的符號表示，即得答案.【詳解】由題意用符號表示“點(diǎn)A不在直線上，直線在平面內(nèi)”，即，，故選：A【題型033個(gè)公理】【典例1】2．在下列命題中，不是公理的是A．如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi).B．經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.C．垂直于同一條直線的兩個(gè)平面相互平行.D．如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其它公共點(diǎn),這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線.【答案】C【分析】由題易知A、B、D答案是公理，可得結(jié)果.【詳解】對于答案A、B、D分別是公理1、3、2；答案C不是公理，故選C【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)、線、面的公理，熟悉公理是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.【題型04點(diǎn)線面的位置關(guān)系】【典例1】1．（2023春·黑龍江·高一黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┰诳臻g中，下列命題不正確的是（

）A．若兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則它們有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)．且在一條直線上B．若已知四個(gè)點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線C．梯形可確定一個(gè)平面D．任意三點(diǎn)能確定一個(gè)平面【答案】D【分析】利用平面的相關(guān)公理和推論逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求解.【解析】對于選項(xiàng)A，若兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則它們有經(jīng)過該公共點(diǎn)的一條直線，即兩平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，若已知四個(gè)點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線，否則，若存在三點(diǎn)共線，則問題轉(zhuǎn)化為一條直線與直線外一點(diǎn)，則四點(diǎn)共面，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，因?yàn)閮蓷l平行直線確定一個(gè)平面，所以梯形可確定一個(gè)平面，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，共線的三點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：D.同步練習(xí)選擇題1．三個(gè)平面將空間分成7個(gè)部分的示意圖是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)空間中平面位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A，三個(gè)平面將空間分成4個(gè)部分，不合題意；對于B，三個(gè)平面將空間分成6個(gè)部分，不合題意；對于C，三個(gè)平面將空間分成7個(gè)部分，符合題意；對于D，三個(gè)平面將空間分成8個(gè)部分，不合題意.故選：C2．若點(diǎn)A在平面內(nèi)，直線l在平面內(nèi)，點(diǎn)A不在直線l上，下列用集合表示這些語句的描述中，正確的是（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)線面的關(guān)系結(jié)合元素和集合、集合與集合的關(guān)系直接寫出即可.【詳解】因?yàn)橹本€和平面都是由點(diǎn)形成的，所以根據(jù)元素與集合的關(guān)系知，點(diǎn)A在平面內(nèi)表示為，點(diǎn)A不在直線l上表示為，根據(jù)集合與集合的關(guān)系知，直線l在平面內(nèi)可表示為.故選：B3．如圖所示，用符號語言可表達(dá)為（

）

A．，， B．，，C．，，， D．，，，【答案】A【分析】結(jié)合圖形及點(diǎn)、線、面關(guān)系的表示方法判斷即可．【詳解】如圖所示，兩個(gè)平面與相交于直線，直線在平面內(nèi)，直線和直線相交于點(diǎn)，故用符號語言可表達(dá)為，，，故選：A．4．空間不重合的三個(gè)平面可以把空間分成（

）A．4或6或7個(gè)部分 B．4或6或7或8個(gè)部分C．4或7或8個(gè)部分 D．6或7或8個(gè)部分【答案】B【分析】將空間不重合的三個(gè)平面位置關(guān)系分為：三個(gè)平面互相平行；三個(gè)平面有兩個(gè)平面平行；三個(gè)平面交于一線；三個(gè)平面兩兩相交且三條交線平行；三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)，分情況分析求解即可.【詳解】空間不重合的三個(gè)平面，若三個(gè)平面互相平行，則可將空間分為4部分；若三個(gè)平面有兩個(gè)平面平行，則第三個(gè)平面與其它兩個(gè)平面相交，可將空間分為6部分；若三個(gè)平面交于一線，則可將空間分為6部分；若三個(gè)平面兩兩相交且三條交線平行（聯(lián)想三棱柱三個(gè)側(cè)面的關(guān)系），則可將空間分為7部分；若三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)（聯(lián)想墻角三個(gè)墻面的關(guān)系），則可將空間分為8部分.所以空間不重合的三個(gè)平面可以把空間分成4或6或7或8個(gè)部分.

故選：B.5．如果A點(diǎn)在直線上，而直線在平面內(nèi)，點(diǎn)在內(nèi)，可以用集合語言和符號表示為（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】直接按照平面內(nèi)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，寫出結(jié)果即可．【詳解】A點(diǎn)在直線上，而直線在平面內(nèi)，點(diǎn)B在內(nèi)，表示為：，，．故選：B.6．下列各圖符合立體幾何作圖規(guī)范要求的是（）A．直線在平面內(nèi) B．平面與平面相交 C．直線與平面相交 D．兩直線異面【答案】D【分析】直接根據(jù)立體幾何作圖規(guī)范要求依次判斷即可.【詳解】若直線在平面內(nèi)，應(yīng)將直線畫在平面內(nèi)，A錯(cuò)誤；平面與平面相交時(shí)，兩個(gè)平面相交于直線，而不是點(diǎn)，B錯(cuò)誤；直線與平面相交，看不到的部分應(yīng)當(dāng)畫虛線，C錯(cuò)誤；兩直線異面滿足作圖規(guī)范.故選：D7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，長方體ABCD-A'B'C'D'中，給出以下判斷，其中正確的是（

）A．直線AC與A'B相交B．直線AD'與BC'是異面直線C．直線B'D'與DC'有公共點(diǎn)D．A'B//D'C【答案】D【分析】利用異面直線的定義可以判斷出A、C，利用平行四邊形的性質(zhì)可判斷出B、D.【解析】對于A，AC?面ABCD，A'B∩面ABCD=B，且B不在AC上，根據(jù)異面直線的定義得，直線AC與A'B是異面直線，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B，∵AB//C'D'，AB=C'D'，∴四邊形ABC'D'為平行四邊形，∴AD'//BC'，即直線AD'與BC'平行直線，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C，B'D'?面A'B'C'D'，DC'∩面A'B'C'D'=C'，C'?B'D'，根據(jù)異面直線的定義得，直線B'D'與DC'是異面直線，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D，∵BC//A'D'，BC=A'D'，∴四邊形BCD'A'為平行四邊形，∴A'B//D'C，故D選項(xiàng)正確；故選：D.8．如圖所示，平面α∩平面β=l，點(diǎn)A,B∈α，點(diǎn)C∈β，直線AB∩l=R.設(shè)過A,B,C三點(diǎn)的平面為γ，則β∩γ=（

）A．直線AC B．直線BCC．直線CR D．以上均不正確【答案】C【解析】由C,R是平面β和γ的兩個(gè)公共點(diǎn)，由兩個(gè)平面若有交點(diǎn)，所有的交點(diǎn)都在同一條直線上，即可進(jìn)行判斷.【詳解】∵AB∩l=R，平面α∩平面β=l，∴R∈l,l?β,R∈AB，∴R∈β.又∵A,B,C三點(diǎn)確定的平面為γ，∴C∈γ,AB?γ,∴R∈γ.又∵C∈β,∴C,R是平面β和γ的公共點(diǎn)，∴β∩γ=CR.故選：C【點(diǎn)睛】如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線，因此兩個(gè)不重合的平面的兩個(gè)公共點(diǎn)的連線必為這兩個(gè)不重合的平面的交線.9．若一直線上有一點(diǎn)在已知平面外，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．直線與平面平行 B．直線與平面相交C．直線上至少有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi) D．直線上有無數(shù)多個(gè)點(diǎn)都在平面外【答案】D【分析】根據(jù)直線與平面、點(diǎn)與平面位置關(guān)系依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，若直線與平面相交，此時(shí)除交點(diǎn)外，其余點(diǎn)都在平面外，A錯(cuò)誤；對于BC，若直線與平面平行，則所有點(diǎn)都在平面外，BC錯(cuò)誤；對于D，直線無論與平面相交還是平行，則都有無數(shù)個(gè)點(diǎn)在平面外，D正確.故選：D.10．經(jīng)過平面外兩點(diǎn)與這個(gè)平面平行的平面A．只有一個(gè) B．至少有一個(gè) C．可能沒有 D．有無數(shù)個(gè)【答案】C【詳解】試題分析：經(jīng)過平面外兩點(diǎn)與這個(gè)平面平行的平面可能沒有，如圖A,B在平面外，但過A,B的直線與平面垂直時(shí)（相交時(shí)）．故選C．考點(diǎn)：本題主要考查平面的基本性質(zhì)．點(diǎn)評：考慮多種位置關(guān)系，通過舉反例，達(dá)到解題目的．11．與兩個(gè)相交平面的交線平行的直線和這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是()A．平行 B．都相交C．在這兩個(gè)平面內(nèi) D．至少和其中一個(gè)平行【答案】D【分析】對該直線是否在其中一個(gè)平面內(nèi)進(jìn)行討論即可求解【詳解】①當(dāng)該直線不在任何一個(gè)平面時(shí)，則該直線與兩平面平行；②當(dāng)該直線在其中一個(gè)平面時(shí)，則其必和另一個(gè)平面平行．綜上這條直線至少和兩平面中的一個(gè)平行．故選：D．12．如果一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行，那么這條直線與另一個(gè)平面的位置關(guān)系為（

）A．平行 B．直線在平面內(nèi)C．相交或直線在平面內(nèi) D．平行或直線在平面內(nèi)【答案】D【分析】分別討論直線是否在其中的一個(gè)平面內(nèi)，結(jié)合平行的傳遞性和面面平行的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)這兩個(gè)平面為α，β，直線l∥α，且α∥β，如果l?β，由l∥α，α∥β，可得l∥β，即直線平行于另一個(gè)平面；如果l?β，由α∥β可知，l∥α，滿足題意，則直線可以在另一個(gè)平面內(nèi).故選：D.二、填空1．“直線和平面相交于點(diǎn)”的符號表達(dá)為．【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)線面的位置關(guān)系用符合表達(dá)即可.【詳解】“直線和平面相交于點(diǎn)”的符號表達(dá)為．故答案為：．2．下圖中的兩個(gè)相交平面，其中畫法正確的是．【答案】④【分析】根據(jù)相交平面的畫法逐一判斷即可.【詳解】解：對于①，因被擋住的部分應(yīng)畫虛線，需要畫出兩相交平面的交線，故①錯(cuò)誤；對于②，因被擋住的部分應(yīng)畫虛線，故②錯(cuò)誤；對于③，因被擋住的部分應(yīng)畫虛線，不被擋住的畫出實(shí)線，且兩平面的交線需從平面的上邊界畫到平面的下邊界，故③錯(cuò)誤；對于④，因被擋住的部分應(yīng)畫虛線，不被擋住的畫出實(shí)線，且兩平面的交線需從平面的上邊界畫到平面的下邊界，故④正確.故答案為：④.3．若直線l與平面α相交于點(diǎn)O，A，B∈l，C，D∈α，且AC//BD，則O，C，D三點(diǎn)的位置關(guān)系是________．【答案】共線【分析】證明點(diǎn)O，C，D同在另一平面β內(nèi)，結(jié)合平面基本事實(shí)推理作答.【詳解】因AC//BD，則AC與BD確定一個(gè)平面β，而C，D∈α，從而得α∩β=CD，又l∩α=O，即O∈α，而l?β，則有O∈β，于是得O∈CD，所以O(shè)，C，D三點(diǎn)共線.故答案為：共線4．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面A1CC1與平面BDC1的交線是________．【答案】C1M【分析】找到同時(shí)在兩平面上的點(diǎn)，從而可求出交線.【詳解】因?yàn)镃1∈平面A1CC1，且C1∈平面BDC1，同時(shí)M∈平面A1CC1，且M∈平面BDC1，所以平面A1CC1與平面BDC1的交線是C1M.故答案為:C1M.三、解答題1．用符號語言改寫下列語句．(1)點(diǎn)A在平面內(nèi)，點(diǎn)B不在直線l上；(2)直線l在平面內(nèi)，直線m與平面有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M；(3)直線a和b相交于一點(diǎn)M；(4)平面與平面相交于過點(diǎn)A的直線l．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)立體幾何的相關(guān)符號語言一一表述即可.【詳解】（1）由題意轉(zhuǎn)化為符號語言為：；（2）由題意轉(zhuǎn)化為符號語言為：；（3）由題意轉(zhuǎn)化為符號語言為：；（4）由題意轉(zhuǎn)化為符號語言為：；2．根據(jù)下列符號表示的語句，說明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形．(1)，；(2)，，；(3)，，，．【答案】(1)詳情見解析(2)詳情見解析(3)詳情見解析【分析】（1）（2）（3）根據(jù)空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系畫出圖形.【詳解】（1）解：點(diǎn)在平面上，點(diǎn)不在平面上，如下圖所示：（2）解：直線在平面上，直線與平面相交于點(diǎn)，且點(diǎn)不在直線上，如下圖所示：．（3）解：直線經(jīng)過平面外一點(diǎn)和平面上一點(diǎn)，如下圖所示：3．根據(jù)圖形用符號表示下列點(diǎn)、直線、平面直角的關(guān)系．(1)點(diǎn)與直線；(2)點(diǎn)與直線；(3)點(diǎn)與平面；(4)點(diǎn)與平面；(5)直線與直線；(6)直線與平面．【答案】(1)；(2)；(3)平面；(4)平面；(5)；(6)平面.【分析】根據(jù)立體圖形，結(jié)合點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系及表示方法寫出答案.【詳解】（1）；（2）；（3）平面；（4）平面；（5）；（6）平面.4．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB、AA1的中點(diǎn)，求證：(1)證明：E、C、D1、F四點(diǎn)共面；(2)設(shè)D1F∩CE=O，證明：A，O，D三點(diǎn)共線．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用三角形的中位線及平行四邊形的性質(zhì)證明EF/