2023屆吉林省長(zhǎng)春市名校聯(lián)考八年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年八上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣3，7）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．某射擊小組有20人，教練根據(jù)他們某次射擊命中環(huán)數(shù)的數(shù)據(jù)繪制成如圖的統(tǒng)計(jì)圖，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和極差分別是（）A．10、6 B．10、5 C．7、6 D．7、53．下列每組數(shù)分別表示三根木棒的長(zhǎng)度,將它們首尾連接后,能擺成三角形的一組是()A．3，3，6 B．1，5，5 C．1，2，3 D．8，3，44．如圖、相交于點(diǎn)，，若用“”證還需（）A． B． C． D．5．三角形的三邊為a、b、c，則下列條件不能判斷它是直角三角形的是（）A．a(chǎn):b:c=8:16:17 B． C． D．∠A=∠B+∠C6．已知一次函數(shù)y=kx+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，且函數(shù)值y隨x的增大而增大，則點(diǎn)A的坐標(biāo)不可能是（）A．(2，4) B．(－1，2) C．(5，1) D．(－1，－4)7．如果正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是140°，則這個(gè)多邊形是（）A．正十邊形 B．正九邊形 C．正八邊形 D．正七邊形8．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D為BC上一點(diǎn)，且DE⊥AB于E，若DE=CD，AB=8cm，則△DEB的周長(zhǎng)為（）A．4cm B．8cm C．10cm D．14cm9．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，∠BAD=35°，則∠C的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．55° D．60°10．如圖，過邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)PA＝CQ時(shí)，連PQ交AC邊于D，則DE的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．不能確定11．在下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是（）A． B． C． D．12．如圖，直線y＝x+m與y＝nx﹣5n（n≠0）的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則關(guān)于x的不等式x+m＞nx﹣5n＞0的整數(shù)解為（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，在△ABC中，AC=4cm，線段AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，△BCN的周長(zhǎng)是7cm，則BC的長(zhǎng)為______cm．14．如圖，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家得出的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，若小正方形與大正方形的面積之比為1：13，則直角三角形較短的直角邊a與較長(zhǎng)的直角邊b的比值為．15．如圖，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，頂點(diǎn)B為（﹣4，0），頂點(diǎn)C為（1，0），將△ABC關(guān)于y軸軸對(duì)稱變換得到△A1B1C1，再將△A1B1C1關(guān)于直線x＝2（即過（2，0）垂直于x軸的直線）軸對(duì)稱變換得到△A2B2C2，再將△A2B2C2關(guān)于直線x＝4軸對(duì)稱變換得到△A3B3C3，再將△A3B3C3關(guān)于直線x＝6軸對(duì)稱變換得到△A4B4C4…，按此規(guī)律繼續(xù)變換下去，則點(diǎn)A10的坐標(biāo)為_____．16．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)P在線段AB上,PC⊥x軸于點(diǎn)C,則△PCO周長(zhǎng)的最小值為_____17．計(jì)算：=____________．18．某種感冒病毒的直徑為0.0000000031米，用科學(xué)記數(shù)法表示為______．三、解答題（共78分）19．（8分）化簡(jiǎn)：（1）；（2）．20．（8分）化簡(jiǎn)：yxyxy1x11y1．21．（8分）△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，其中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度．（1）△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱圖形為△A1B1C1，畫出△A1B1C1的圖形．（2）求△ABC的面積．（3）若P點(diǎn)在x軸上，當(dāng)BP+CP最小時(shí)，直接寫出BP+CP最小值為．22．（10分）“六一”期間，小張購(gòu)進(jìn)100只兩種型號(hào)的文具進(jìn)行銷售，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)之間的關(guān)系如下表：（1）小張如何進(jìn)貨，使進(jìn)貨款恰好為1300元？（2）要使銷售文具所獲利潤(rùn)最大，且所獲利潤(rùn)不超過進(jìn)貨價(jià)格的40%，請(qǐng)你幫小張?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)進(jìn)貨方案，并求出其所獲利潤(rùn)的最大值．23．（10分）老師在黑板上書寫了一個(gè)式子的正確計(jì)算結(jié)果隨后用手遮住了原式的一部分，如圖．（1）求被手遮住部分的式子(最簡(jiǎn)形式)；（2）原式的計(jì)算結(jié)果能等于一1嗎?請(qǐng)說明理由．24．（10分）如圖，等邊的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、分別從頂點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為．（1）如圖1，連接，求經(jīng)過多少秒后，是直角三角形；（2）如圖2，連接、交于點(diǎn)，在點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)的過程中，的大小是否變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求出它的度數(shù)．（3）如圖3，若點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線、上運(yùn)動(dòng)，直線、交于點(diǎn)，則的大小是否變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求出它的度數(shù)．25．（12分）“軍運(yùn)會(huì)”期間，某紀(jì)念品店老板用5000元購(gòu)進(jìn)一批紀(jì)念品，由于深受顧客喜愛，很快售完，老板又用6000元購(gòu)進(jìn)同樣數(shù)目的這種紀(jì)念品，但第二次每個(gè)進(jìn)價(jià)比第一次每個(gè)進(jìn)價(jià)多了2元．（1）求該紀(jì)念品第一次每個(gè)進(jìn)價(jià)是多少元？（2）老板以每個(gè)15元的價(jià)格銷售該紀(jì)念品，當(dāng)?shù)诙渭o(jì)念品售出時(shí)，出現(xiàn)了滯銷，于是決定降價(jià)促銷，若要使第二次的銷售利潤(rùn)不低于900元，剩余的紀(jì)念品每個(gè)售價(jià)至少要多少元？26．先化簡(jiǎn)，后計(jì)算：，其中

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【解析】根據(jù)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)解答即可．【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)P（﹣3，7）的橫坐標(biāo)是負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)是正數(shù)，所以點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系的第二象限．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，解答本題的關(guān)鍵是掌握好四個(gè)象限的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：第一象限正正，第二象限負(fù)正，第三象限負(fù)負(fù)，第四象限正負(fù)．2、D【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義找出出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，再根據(jù)極差的定義用最大值減去最小值即可得出答案．【詳解】解：由條形統(tǒng)計(jì)圖可知7出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)是7（環(huán)）；這組數(shù)據(jù)的最大值是10，最小值是5，則極差是10﹣5＝5；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查眾數(shù)和極差，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)；極差是最大值減去最小值．3、B【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊．【詳解】解：A、3+3=6，不能組成三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、1+5＞5，能組成三角形，故此選項(xiàng)正確；

C、1+2=3，不能組成三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、3+4<8，不能組成三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形的三邊關(guān)系．4、C【分析】利用對(duì)頂角相等，則要根據(jù)“ASA”證△ABO≌△DCO需添加對(duì)應(yīng)角∠A與∠D相等．【詳解】∵OA=OD，

而∠AOB=∠DOC，

∴當(dāng)∠A=∠D時(shí)，可利用“ASA”判斷△ABO≌△DCO．

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊．5、A【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理和三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行分析，從而得到答案．【詳解】解：A、∵82+162≠172，故△ABC不是直角三角形；B、∵，∴，故△ABC為直角三角形；C、∵a2=（b+c）（b-c），∴b2-c2=a2，故△ABC為直角三角形；D、∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，故△ABC為直角三角形；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用，以及三角形內(nèi)角和定理，判斷三角形是否為直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定義判斷．6、C【詳解】解：∵一次函數(shù)y=kx+2（k≠1）的函數(shù)值y隨x的增大而增大，∴k＞1．A、∵當(dāng)x=2，y=4時(shí)，2k+3=4，解得k=1.5＞1，∴此點(diǎn)符合題意，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵當(dāng)x=﹣1，y=2時(shí)，﹣k+3=2，解得k=1＞1，∴此點(diǎn)符合題意，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵當(dāng)x=5，y=1時(shí)，5k+3=1，解得k=﹣1.4＜1，∴此點(diǎn)不符合題意，故C選項(xiàng)正確；D、∵當(dāng)x=﹣1，y=﹣4時(shí)，﹣k+3=﹣4，解得k=7＞1，∴此點(diǎn)符合題意，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，先根據(jù)一次函數(shù)的增減性判斷出k的符號(hào)，再對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可是解題的關(guān)鍵．7、B【解析】360°÷（180°-140°）

=360°÷40°

=1．

故選B．8、B【分析】因?yàn)镈E和CD相等，DE⊥AB，∠C=90°，所以AD平分CAB，可證得△ACD≌△AED，得到AC=AE，再根據(jù)△BDE為等腰直角三角形得出DE=BE，從而可得△DEB的周長(zhǎng).【詳解】解：∵∠C=90°，DE⊥AB，DE=CD，

∴∠C=∠AED=90°，∠CAD=∠EAD，在Rt△ACD和Rt△AED中，，

∴△ACD≌△AED（HL），

∴AC=AE，

又∵∠AED=90°，∠B=45°，

可得△EDB為等腰直角三角形，DE=EB=CD，

∴△DEB的周長(zhǎng)=DE+BE+DB=CD+DB+BE=CB+BE=AC+BE=AE+BE=AB=8，

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并求出△BED的周長(zhǎng)=AB是解題的關(guān)鍵．9、C【解析】試題分析：根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可直接得到AD平分∠BAC，AD⊥BC，因此∠DAC=∠BAD=35°，∠ADC=90°，從而可求得∠C=55°.故選C考點(diǎn)：等腰三角形三線合一10、B【分析】過P作PF∥BC交AC于F，得出等邊三角形APF，推出AP=PF=QC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出EF=AE，證△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．【詳解】過P作PF∥BC交AC于F.如圖所示：∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等邊三角形，∴AP=PF=AF，∵PE⊥AC，∴AE=EF，∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ.∵在△PFD和△QCD中,∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴FD=CD，∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE=AC，∵AC=1，∴DE=.故選B.11、B【解析】∵π是無限不循環(huán)小數(shù)，∴π是無理數(shù)，其它的數(shù)都是有理數(shù)．故選B．12、B【分析】令y＝0可求出直線y＝nx﹣5n與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩函數(shù)圖象與x軸的上下位置關(guān)系結(jié)合交點(diǎn)橫坐標(biāo)即可得出不等式x+m＞nx﹣5n＞0的解，找出其內(nèi)的整數(shù)即可．【詳解】解：當(dāng)y＝0時(shí)，nx﹣5n＝0，解得：x＝5，∴直線y＝nx﹣5n與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）．觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)3＜x＜5時(shí)，直線y＝x+m在直線y＝nx﹣5n的上方，且兩直線均在x軸上方，∴不等式x+m＞nx﹣5n＞0的解為3＜x＜5，∴不等式x+m＞nx﹣5n＞0的整數(shù)解為1．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查函數(shù)與不等式的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知函數(shù)圖像交點(diǎn)的幾何含義．二、填空題（每題4分，共24分）13、1【解析】試題分析：根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到NB=NA，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．解：∵線段AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，∴NB=NA，△BCN的周長(zhǎng)=BC+CN+BN=7cm，∴BC+AC=7cm，又AC=4cm，∴BC=1cm，故答案為1．考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)．14、2：2【詳解】解：∵小正方形與大正方形的面積之比為1：12，∴設(shè)大正方形的面積是12，∴c2=12，∴a2+b2=c2=12，∵直角三角形的面積是=2，又∵直角三角形的面積是ab=2，∴ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=12+2×6=12+12=21，∴a+b=1．則a、b是方程x2﹣1x+6=0的兩個(gè)根，故b=2，a=2，∴．故答案是：2：2．考點(diǎn)：勾股定理證明的應(yīng)用15、（15.5，2.5）【分析】根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)可得點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，由此即可求解．【詳解】解：△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，頂點(diǎn)B為(﹣4，0)，頂點(diǎn)C為(1，0)，∴BC＝5∴A(﹣1.5，2.5)將△ABC關(guān)于y軸軸對(duì)稱變換得到△A1B1C1，∴A1(1.5，2.5)再將△A1B1C1關(guān)于直線x＝2軸對(duì)稱變換得到△A2B2C2，∴A2(2.5，2.5)再將△A2B2C2關(guān)于直線x＝4軸對(duì)稱變換得到△A3B3C3，∴A3(5.5，2.5)再將△A3B3C3關(guān)于直線x＝6軸對(duì)稱變換得到△A4B4C4，∴A4(6.5，2.5)…按此規(guī)律繼續(xù)變換下去，A5(8.5，2.5)，A6(9.5，2.5)，A7(11.5，2.5)則點(diǎn)A10的坐標(biāo)為(15.5，2.5)，故答案為：(15.5，2.5)．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握對(duì)稱性．注意在尋找規(guī)律的過程中需要多寫出幾個(gè)點(diǎn)A的坐標(biāo)．16、【解析】先根據(jù)一次函數(shù)列出周長(zhǎng)的式子，再根據(jù)垂線公理找到使周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)P的位置，然后結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】由題意，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為周長(zhǎng)為則求周長(zhǎng)的最小值即為求OP的最小值如圖，過點(diǎn)O作由垂線公理得，OP的最小值為OD，即此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合由直線的解析式得，，則是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，解得則周長(zhǎng)的最小值為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的幾何應(yīng)用、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、垂線公理等知識(shí)點(diǎn)，依據(jù)題意列出周長(zhǎng)的式子，從而找到使其最小的點(diǎn)P位置是解題關(guān)鍵．17、【分析】按照分式的乘方運(yùn)算法則即可得到答案．【詳解】解：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的乘方，熟知分式的乘方是關(guān)鍵，結(jié)果的符號(hào)要注意好．18、【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【詳解】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法可得：0.0000000031=3.1×10-1．故答案為3.1×10-1米．【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．三、解答題（共78分）19、（1）；（2）【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式展開，合并同類項(xiàng)即可；（2）利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式進(jìn)行運(yùn)算，同時(shí)利用完全平方公式展開，合并同類項(xiàng)即可．【詳解】（1）；（2）．【點(diǎn)睛】本題是整式的混合運(yùn)算，考查了完全平方公式，平方差公式，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，熟練掌握整式混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．20、【分析】利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式及完全平方公式展開，然后再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．21、（1）見解析；（2）2；（3）【分析】（1）△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱圖形為△A1B1C1，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)畫出三個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)再連接即可作出△A1B1C1；（2）用割補(bǔ)法求△ABC的面積即可；（3）P點(diǎn)在x軸上，當(dāng)BP+CP最小時(shí)，即可求出BP+CP最小值．【詳解】解：如圖所示，（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）△ABC的面積為：；（3）作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接CB′交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)BP+CP最小，BP+CP的最小值即為CB′＝．故答案為．【點(diǎn)睛】本題結(jié)合網(wǎng)格圖和平面直角坐標(biāo)系考查了作已知圖形的對(duì)稱圖形，割補(bǔ)法求三角形面積，簡(jiǎn)單的動(dòng)點(diǎn)與最值問題，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解答關(guān)鍵.22、（4）A文具為4只，B文具60只；（4）各進(jìn)50只，最大利潤(rùn)為500元．【解析】試題分析：（4）設(shè)A文具為x只，則B文具為（400﹣x）只，根據(jù)題意列出方程解答即可；（4）設(shè)A文具為x只，則B文具為（400﹣x）只，根據(jù)題意列出函數(shù)解答即可．試題解析：（4）設(shè)A文具為x只，則B文具為（400﹣x）只，可得：40x+45（400﹣x）=4400，解得：x=4．答：A文具為4只，則B文具為400﹣4=60只；（4）設(shè)A文具為x只，則B文具為（400﹣x）只，可得：（44﹣40）x+（44﹣45）（400﹣x）≤4%[40x+45（400﹣x）]，解得：x≥50，設(shè)利潤(rùn)為y，則可得：y=（44﹣40）x+（44﹣45）（400﹣x）=4x+800﹣8x=﹣6x+800，因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以當(dāng)x=50時(shí)，利潤(rùn)最大，即最大利潤(rùn)=﹣50×6+800=500元．考點(diǎn)：4．一次函數(shù)的應(yīng)用；4．一元一次方程的應(yīng)用；4．一元一次不等式的應(yīng)用．23、（1）；（2）不能，理由見解析【分析】（1）設(shè)被手遮住部分的式子為A，代入求值即可；（2）不能，根據(jù)分式有意義的條件證明即可．【詳解】（1）設(shè)被手遮住部分的式子為A，由題意得（2）不能等于-1．由題意可得：若解得：當(dāng)時(shí)，原式的除式為0，無意義.故原式的計(jì)算結(jié)果不能等于．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，掌握分式混合運(yùn)算的法則、分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．24、（1）經(jīng)過秒或秒后，△PCQ是直角三角形；（2）的大小不變，是定值60°；（3）的大小不變，是定值120°．【分析】（1）分∠PQC＝90°和∠QPC＝90°兩種情形求解即可解決問題；

（2）證得△ABP≌△BCQ（SAS），推出∠BAP＝∠CBQ，得（定值）即可；（3）證得△ACP≌△BAQ（SAS），推出，得即可．【詳解】解：（1）設(shè)經(jīng)過t秒后，△PCQ是直角三角形．

由題意：，，∵是等邊三角形，∴，當(dāng)∠PQC＝90°時(shí)，∠QPC＝30°，

∴PC＝2C