《分層隨機(jī)抽樣》教學(xué)設(shè)計(jì)、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)_第1頁(yè)
《分層隨機(jī)抽樣》教學(xué)設(shè)計(jì)、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)_第2頁(yè)
《分層隨機(jī)抽樣》教學(xué)設(shè)計(jì)、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)_第3頁(yè)
《分層隨機(jī)抽樣》教學(xué)設(shè)計(jì)、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)_第4頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

《9.1.2分層隨機(jī)抽樣》教學(xué)設(shè)計(jì)

【教材分析】

本節(jié)《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修二(人教A版)第九章《9.1.2分層抽樣》,

本節(jié)的主要內(nèi)容在本章的結(jié)構(gòu)上,通過大背景的“串聯(lián)”,從大背景中不斷提出新問題,從

而通過問題鏈進(jìn)行探究學(xué)習(xí),合理選擇抽樣方法的必要性并掌握分層抽樣方法。從而發(fā)展

學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.理解分層抽樣的基本思想和適用情.1.數(shù)學(xué)建模:結(jié)合實(shí)際問題情景,理解分層抽樣的必要性

形.和重要性;

B.掌握分層抽樣的實(shí)施步驟.2.邏輯推理:學(xué)會(huì)用分層抽樣的方法從總體中抽取樣本;

C.了解二種抽樣方法的區(qū)別和聯(lián)系.3.直觀想象:對(duì)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣方法進(jìn)行比較,

揭示其相互關(guān)系.

4.數(shù)學(xué)運(yùn)算:總體平均數(shù)的估計(jì)方法

【教學(xué)重點(diǎn)】:理解分層抽樣的基本思想和適用情形..

【教學(xué)難點(diǎn)】:掌握分層抽樣的實(shí)施步驟,會(huì)計(jì)算總體平均數(shù).

【教學(xué)過程】

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

一、溫故知新

1、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念:

設(shè)一個(gè)總體含有有限個(gè)個(gè)體,并記其個(gè)體數(shù)為正如果通過逐個(gè)抽取的由生活中的問題出發(fā),

方法從中抽取一個(gè)樣本,且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等,就提出問題,讓學(xué)生感受

稱這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.到采用分層抽樣的必要

2、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn):性。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、

①總體個(gè)數(shù)有限;②逐個(gè)進(jìn)行抽??;③機(jī)會(huì)均等抽樣.直觀想象和邏輯推理的

3、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的常用方法:核心素養(yǎng)。

①抽簽法;②隨機(jī)數(shù)表法.

抽樣調(diào)查最核心的問題是樣本的代表性,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是使總體中每一

個(gè)個(gè)體都有相等的機(jī)會(huì)被抽中,但因?yàn)槌闃拥碾S機(jī)性,有可能會(huì)出現(xiàn)比

較“極端”的樣本,

二、問題探究

例如,在對(duì)樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中,可能出現(xiàn)樣本中50個(gè)

個(gè)體大部分來自高個(gè)子或矮個(gè)子的情形,這種“極端”樣本的平均數(shù)會(huì)

大幅度地偏離總體平均數(shù),從而使得估計(jì)出現(xiàn)較大的誤差.

能否利用總體中的一些額外信息對(duì)抽樣方法進(jìn)行改進(jìn)呢?

在對(duì)樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中,采取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方式抽

取了50名學(xué)生。

1.抽樣調(diào)查最核心的問題是什么?

2.會(huì)不會(huì)出現(xiàn)樣本中50個(gè)個(gè)體大部分來自高個(gè)子或矮個(gè)子的情形?

3.為什么會(huì)出現(xiàn)這種“極端樣本”?

4.如何避免這種“極端樣本”?

樣本代表性;會(huì);抽樣結(jié)果的隨機(jī)性個(gè)體差異較大;分組抽樣,減少組內(nèi)差

在樹人中學(xué)高一年級(jí)的712名學(xué)生中,男生有326名、女生有386

名。

警分配]比例分配?

、■-)

樣本量在男生、女生中應(yīng)如何分配?

男生樣本量=器熱??倶颖玖?/p>

女生樣本量:總樣本量

〃男=翁5?!?3〃女=需5°“27

假設(shè)某地區(qū)有高中生2400人,初中生10900人,小學(xué)生11000人,此地

教育部門為了了解本地區(qū)中小學(xué)的近視情況及其形成原因,要從本地區(qū)

的小學(xué)生中抽取1%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)怎樣抽取樣本?

通過具體問題,讓學(xué)生

感受分層抽樣的概念及

方法,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽

象、邏輯推理的核心素

養(yǎng)。

你認(rèn)為哪些因素影響學(xué)生視力?抽樣要考慮哪些因素?

分層抽樣

該層個(gè)體數(shù)

每一層抽取的樣本數(shù)=總體個(gè)體數(shù)

二抽樣比例X該層個(gè)體數(shù)

一般地,按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體,每個(gè)個(gè)體屬于

且僅屬于一個(gè)子總體,在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,再把

所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本,這樣的抽樣方法稱為分

層隨機(jī)抽樣(stratifiedrandomsampling),每一個(gè)子總體稱為層.

在分層隨機(jī)抽樣中,如果每層樣本量都與層的大小成比例,那么稱這種

樣本量的分配方式為比例分配.X總樣本量

做一做

1.下列問題中,最適合用分層抽樣抽取樣本的是()

A.從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會(huì)

B.某社區(qū)有500個(gè)家庭,其中高收入的家庭125個(gè),中等收入的家庭

280個(gè),低收入的家庭95個(gè),為了了解生活購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo),要從中

抽取一個(gè)容量為100的樣本

C.從1000名工人中,抽取100名調(diào)查上班途中所用時(shí)間

D.從生產(chǎn)流水線上,抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量

【解析】A中總體個(gè)體無明顯差異且個(gè)數(shù)較少,適合用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣;C

和D中總體個(gè)體無明顯差異且個(gè)數(shù)較多,適合用系統(tǒng)抽樣;B中總體個(gè)

體差異明顯,適合用分層抽樣.

【答案】B

2.某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車,產(chǎn)量分別是1200輛,6000輛和2000

輛,為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量,現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn),

這三種型號(hào)的轎車依次應(yīng)抽取輛、輛、輛.

46

【解析】三種型號(hào)的轎車共9200輛,抽取樣本為46輛,則按/而=

會(huì)的比例抽樣,所以依次應(yīng)抽取1200X焉=6(輛),6000XT^7=

乙UU乙UU乙UU

30(輛),2000X康=10(輛).

【答案】63010

1.分層抽樣的步驟

通過實(shí)例分析,讓學(xué)生

掌握分層抽樣的基本步

驟,并熟悉的應(yīng)用能力,

提升推理論證能力,提

2.分層抽樣的特點(diǎn)有哪些?

高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)

【提示】(1)分層抽樣適用于已知總體是由差異明顯的幾部分組成的;

學(xué)建模及邏輯推理的核

(2)分成的各層互不交叉;(3)各層抽取的比例都等于樣本容量在總體中

心素養(yǎng)。

的比例,即彳,其中〃為樣本容量,N為總體容量.

3.計(jì)算各層所抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)時(shí),若八力凈勺值不是整數(shù)怎么辦?

【提示】為獲取各層的入樣數(shù)目,需先正確計(jì)算出抽樣比W若A;?一的

NA1

值不是整數(shù),可四舍五入取整,也可先將該層等可能地剔除多余的個(gè)體.

探究3分層抽樣公平嗎?

【提示】分層抽樣中,每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是相同的,與層數(shù)、

分層無關(guān).

如果總體的個(gè)數(shù)為從樣本容量為〃,兒為第/層的個(gè)體數(shù),則第7層抽

取的個(gè)體數(shù)n.=n?2,每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是牛="?n?2=三

4.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣的各自特點(diǎn)及適用范圍有什么異同?

【提示】簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是最基本的抽樣方法,應(yīng)用于系統(tǒng)抽樣和分層

抽樣中.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣所得樣本的代表性與個(gè)體編號(hào)無關(guān).

分層抽樣應(yīng)用最廣泛,它充分利用總體信息,得到的樣本比前兩種抽樣

方法都具有代表性.

分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)

兩種抽樣方法的特點(diǎn)及其適用范圍如下表:

類別簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣分層抽樣

各自從總體中逐個(gè)抽將總體分成幾層,分層

特點(diǎn)取進(jìn)行抽取

在各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)

相互

單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽

聯(lián)系

適用X總體中的個(gè)體數(shù)總體由存在明顯差異

范圍較少的幾部分組成

1.在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中如何估計(jì)總體平均數(shù)?

2.那么在分層隨機(jī)抽樣中如何估計(jì)總體平均數(shù)呢?

是否也可以直接用樣本平均數(shù)進(jìn)行估計(jì)?

(1)在分層隨機(jī)抽樣中,如果層數(shù)分為2層,第1層和第2層包含的個(gè)

體數(shù)分別為出和A;抽取的樣本量分別為必和?我們用工,“,…,尢

表示第1層各個(gè)個(gè)體的變量值,用小,物…,名表示第1層樣本的各

個(gè)個(gè)體的變量值;用K,%…,匕表示第2層各個(gè)個(gè)體的變量值,用

外,%,…,%表示第2層樣本的各個(gè)個(gè)體的變量值,則:

分層隨機(jī)抽樣中的總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)

Y_i_VViw

第1層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)為:堀=?2十…八,,,=X,

M

~_X1+々+,,?%"?=J_寧X

mm(=1'

第2層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)為:

y_Y+Y+...Y_17

Y-tN2u-N”

還,+%+”,“」儲(chǔ)

nn,=i

總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)為:

MN

YX.+YY.--

訶二2二iL'=MX+NY=q又+上7

M+NM+NM+NM+N

〃in

V%.+Vy.__

白白—欣+方_mn

UJ———A1y

m+nm+nm+nm+n

由于用第一層的樣本平均數(shù)元可以估計(jì)第1層的總體平均數(shù)又,

第二層的樣本平均數(shù)y可以估計(jì)第2層的總體平均數(shù)「,因此我們可

以用

Mx+NyM-N-

--------=------xH-------y

M+NM+NM+N-

估計(jì)總體平均數(shù)琳

對(duì)各層樣本平均數(shù)加權(quán)(層權(quán))求和

MN

E-^+Ex-

而=夕一W=—+」■:

m+nm+nm+孔

m_n_m+n

MN~M+N

MmNnM-N—

--------=-------;---------=-------=---------xH-------y

M+Nm+nM+Nm+nM+NM+N"

匚》分層隨機(jī)抽樣如何估計(jì)總體平均數(shù)

M-N-

------------XH--------------V

M+NM+N-

在比例分配的分層隨機(jī)中抽樣中

MN

M-N—m-n——+Z%

--------x+---------y=-------x+-------y=a>=J:I___a_

M+NM+N'm+nm+n'm+n

例1.在樹人中學(xué)高一年級(jí)的712名學(xué)生,男生有326名、女生有386

名,分別抽取的男生23名男生、27名女生樣本數(shù)據(jù)如下

1731741661721701651651681641'’3

.0.0.0.0.0.0.0.0.0.(

1721731751681701721761751681'’3

.0.0.0.0.0.0.0.0.0.(I

167170175

.0.0.0

16161615161616151616

3.4.1.7.2.5.8.5.4.2.

0000000005

15151614151617171514

4.4.4.9.9.1.0.1.5.8.

0000000000

17161515151617

2.2.8.5.7.3.2.

0505000

樣本女生平均身高=160.6,樣本男生平均身高=170.6

MN

--------XH--------------V—X17O.6+—xl60.6?165.18

M+NM+N-712712

高一年級(jí)有男生490人,女生510人,張華按照男生女生進(jìn)行分層,得

到男生女生平均身高分別為170.2cm和160.8cm。

(1)如果張華在各層中按比例分配樣本,總樣本量為100.那么男生、

女生中分別抽取了多少名?在這種情況下,請(qǐng)估計(jì)高一年級(jí)全體學(xué)生的

平均身高。

4951

—x170.2+—xl60.8?165.4

100100

(2)如果張華從男生、女生中抽取的樣本量分別為30和70,那么在這

種情況下,如何估計(jì)高一全體學(xué)生的平均身高。

小明用比例分配的分層抽樣方法,從高一年級(jí)的學(xué)生中抽取了十個(gè)樣本

量為50的樣本,計(jì)算出樣本平均數(shù)。與相同樣本量的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的結(jié)

果比較。

序號(hào)12345678910

簡(jiǎn)單16161616161616161616

隨機(jī)5.2.4.4.5.4.5.4.5.5.

抽樣2844683370

分層16161616161616161616

隨機(jī)5.5.4.4.6.4.5.4.6.5.

抽樣8133462911

167

?簡(jiǎn)單Hi機(jī)抽樣

164?分層隨機(jī)抽樣

163.5一實(shí)際值

163.

162.5

1234567891c)

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.下列實(shí)驗(yàn)中最適合用分層抽樣法抽樣的是()通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)

A.從一箱3000個(gè)零件中抽取5個(gè)入樣知識(shí),通過學(xué)生解決問

B.從一箱3000個(gè)零件中抽取600個(gè)入樣題,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽

C.從一箱30個(gè)零件中抽取5個(gè)入樣象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)

D.從甲廠生產(chǎn)的100個(gè)零件和乙廠生產(chǎn)的200個(gè)零件中抽取6個(gè)入樣算、數(shù)學(xué)建模的核心素

【答案】D養(yǎng)。

【解析】D中總體有明顯差異,故用分層抽樣.

2.一批燈泡400只,其中20X40IV、60W的數(shù)目之比是4:3:1,

現(xiàn)用分層抽樣的方法產(chǎn)生一個(gè)容量為40的樣本,三種燈泡依次抽取的個(gè)

數(shù)為()

A.20,15,5B.4,3,1C.16,12,4D.8,6,2

4R

【答案】A【解析】三種燈泡依次抽取的個(gè)數(shù)為40Xs=20,40XE=

OO

1

15,40X-=5.

o

3.某單位有職工100人,不到35歲的有45人,35歲到49歲的有25

人,剩下的為50歲以上(包括50歲)的人,用分層抽樣的方法從中抽20

人,各年齡段分別抽取的人數(shù)為()

A.7,5,8B.9,5,6C.7,5,91).8,5,7

【答案】B

201

【解析】由于樣本容量與總體個(gè)體數(shù)之比為訴=?故各年齡段抽取

1005

的人數(shù)依次為45X<=9(人),

25X±=5(人),20—9-5=6(人).

b

4.某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)4B,。三種產(chǎn)品共3000件,根據(jù)分層抽樣的

結(jié)果,企業(yè)統(tǒng)計(jì)員制作了如下的統(tǒng)計(jì)表格:

產(chǎn)百5類型ABC

產(chǎn)百;數(shù)量(件)1300

樣2溶量130

由于不小心,表格中4。兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚了,統(tǒng)

計(jì)員只記得4產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10,根據(jù)以上信息,

可得C產(chǎn)品的數(shù)量是________件.

【解析】抽樣比為130:1300=1:10,即每10個(gè)產(chǎn)品中抽取1個(gè)個(gè)

體,又力產(chǎn)品的樣本容量比。產(chǎn)品的樣本容量多10,故C產(chǎn)品的數(shù)量是

[(3000-1300)-100]xg=800(件).

【答案】800

5.某市化工廠三個(gè)車間共有工人1000名,各車間男、女工人數(shù)如下表:

第一車間第二車間第三車間

女工173100y

男工177XZ

已知在全廠工人中隨機(jī)抽取1名,抽到第二車間男工的可能性是0.15.

(1)求X的值;

(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全廠抽取50名工人,問應(yīng)在第三車間抽取多

少名?

X

【解】⑴由1000—0.15,得150.

(2):第一車間的工人數(shù)是173+177=350,第二車間的工人數(shù)是100+

150=250,

第三車間的工人數(shù)是1000—350—250=400.

設(shè)應(yīng)從第三車間抽取小名工人,則由志=7^而,得加=20.

.?.應(yīng)在第三車間抽取20名工人.

四、小結(jié)

1、分層抽樣是當(dāng)總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)采用的抽樣方法,進(jìn)行通過總結(jié),讓學(xué)生進(jìn)一

分層抽樣時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn):步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容,

(1)分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定,總的原則是,提高概括能力。

層內(nèi)樣本的差異要小,面層之間的樣本差異要大,且互不重疊。

(2)為了保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣,所有層應(yīng)采用同一抽樣比等可能抽

樣。

(3)在每層抽樣時(shí);應(yīng)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行抽樣。

2、分層抽樣的優(yōu)點(diǎn)是:使樣本具有較強(qiáng)的代表性,并且抽樣過程中可綜

合選用各種抽樣方法,因此分層抽樣是一種實(shí)用、操作性強(qiáng)、應(yīng)用比較

廣泛的抽樣方法。

3、分層隨機(jī)抽樣中如何用樣本估計(jì)總體平均值。

M—N—y%+Yy.

---------X+----------y白二

M+NM+N;,n+n

五、課時(shí)練

【教學(xué)反思】

本節(jié)的主要內(nèi)容在本章的結(jié)構(gòu)上,通過大背景的“串聯(lián)”,從大背景中不斷提出新問題,

從而通過問題.鏈進(jìn)行探究學(xué)習(xí),合理選擇抽樣方法的必要性并掌握分層抽樣方法。從而發(fā)

展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。教學(xué)中要注重學(xué)生的主體地位,調(diào)動(dòng)

學(xué)生積極性,使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。

《9.1.2分層隨機(jī)抽樣》導(dǎo)學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

A.理解分層抽樣的基本思想和適用情形.

B.掌握分層抽樣的實(shí)施步驟,會(huì)計(jì)算總體平均數(shù).

C.了解二種抽樣方法的區(qū)別和聯(lián)系.

【教學(xué)重點(diǎn)】:理解分層抽樣的基本思想和適用情形.

【教學(xué)難點(diǎn)】:掌握分層抽樣的實(shí)施步驟,會(huì)計(jì)算總體平均數(shù).

【知識(shí)梳理】

1、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念:

設(shè)一個(gè)總體含有有限個(gè)個(gè)體,并記其個(gè)體數(shù)為、如果通過逐個(gè)抽取的方法從中抽取一

個(gè)樣本,且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等,就稱這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

2、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn):

①總體個(gè)數(shù)有限;②逐個(gè)進(jìn)行抽??;③機(jī)會(huì)均等抽樣.

3、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的常用方法:

①抽簽法;②隨機(jī)數(shù)表法.

抽樣調(diào)查最核心的問題是樣本的代表性,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是使總體中每一個(gè)個(gè)體都有相等

的機(jī)會(huì)被抽中,但因?yàn)槌闃拥碾S機(jī)性,有可能會(huì)出現(xiàn)比較“極端”的樣本,

【學(xué)習(xí)過程】

一、情境與問題

問題1,在對(duì)樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中,可能出現(xiàn)樣本中50個(gè)個(gè)體大部分來

自高個(gè)子或矮個(gè)子的情形,這種“極端”樣本的平均數(shù)會(huì)大幅度地偏離總體平均數(shù),從而使

得估計(jì)出現(xiàn)較大的誤差.

能否利用總體中的一些額外信息對(duì)抽樣方法進(jìn)行改進(jìn)呢?

在對(duì)樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中,采取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方式抽取了50名學(xué)生。

1.抽樣調(diào)查最核心的問題是什么?

2.會(huì)不會(huì)出現(xiàn)樣本中50個(gè)個(gè)體大部分來自高個(gè)子或矮個(gè)子的情形?

3.為什么會(huì)出現(xiàn)這種“極端樣本”?

4.如何避免這種“極端樣本”?

樣本代表性;會(huì);抽樣結(jié)果的隨機(jī)性個(gè)體差異較大;分組抽樣,減少組內(nèi)差距

在樹人中學(xué)高一年級(jí)的712名學(xué)生中,男生有326名、女生有386名。

[不警分配]|¥啰分配一)

樣本量在男生、女生中應(yīng)如何分配?

男生樣本量=湍珍益X總樣本量

女生樣本量:總樣本量

〃男=翁小23%喏27

假設(shè)某地區(qū)有高中生2400人,初中生10900人,小學(xué)生11000人,此地教育部門

為了了解本地區(qū)中小學(xué)的近視情況及其形成原因,要從本地區(qū)的小學(xué)生中抽取現(xiàn)的學(xué)生進(jìn)

行調(diào)查,你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)怎樣抽取樣本?

你認(rèn)為哪些因素影響學(xué)生視力?抽樣要考慮哪些因素?

分層抽樣

該層個(gè)體數(shù)、

每一層抽取的樣本數(shù)=總體個(gè)體數(shù)一抽樣比例義該層個(gè)體數(shù)

一般地,按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體,每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬

于一個(gè)子總體,在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,再把所有子總體中抽取的樣本合

在一起作為總樣本,這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣(stratifiedrandomsampling),

每一個(gè)子總體稱為層.在分層隨機(jī)抽樣中,如果每層樣本量都與層的大小成比例,那么稱這

種樣本量的分配方式為比例分配.X總樣本量

做一做

1.下列問題中,最適合用分層抽樣抽取樣本的是()

A.從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會(huì)

B.某社區(qū)有500個(gè)家庭,其中高收入的家庭125個(gè),中等收入的家庭280個(gè),低收入

的家庭95個(gè),為了了解生活購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo),要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本

C.從1000名工人中,抽取100名調(diào)查上班途中所用時(shí)間

D.從生產(chǎn)流水線上,抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量

2.某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車,產(chǎn)量分別是1200輛,6000輛和2000輛,為檢驗(yàn)

該公司的產(chǎn)品質(zhì)量,現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn),這三種型號(hào)的轎車依次應(yīng)抽

取一輛、輛、輛.

1.分層抽樣的步驟

2.分層抽樣的特點(diǎn)有哪些?

3.計(jì)算各層所抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)時(shí),若山?彳的值不是整數(shù)怎么辦?

探究3分層抽樣公平嗎?

4.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的各自特點(diǎn)及適用范圍有什么異同?

兩種抽樣方法的特點(diǎn)及其適用范圍如下表:

兩種抽樣方法的特點(diǎn)及其適用范圍如下表:

類別簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣分層抽樣

各自從總體中逐個(gè)

將總體分成幾層,分層進(jìn)行抽取

特點(diǎn)抽取

相互

在各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣

聯(lián)系X

適用總體中的個(gè)體

總體由存在明顯差異的幾部分組成

范圍數(shù)較少

總體信息,得到的樣本比前兩種抽樣方法都具有代表性.

分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)

問題探究

1.在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中如何估計(jì)總體平均數(shù)?

2.那么在分層隨機(jī)抽樣中如何估計(jì)總體平均數(shù)呢?

是否也可以直接用樣本平均數(shù)進(jìn)行估計(jì)?

(1)在分層隨機(jī)抽樣中,如果層數(shù)分為2層,第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為M

和用抽取的樣本量分別為〃和〃.我們用",小,…,兒表示第1層各個(gè)個(gè)體的變量值,

用無,及,…,x.表示第1層樣本的各個(gè)個(gè)體的變量值;用九%…,K表示第2層各個(gè)

個(gè)體的變量值,用力,四,…,為表示第2層樣本的各個(gè)個(gè)體的變量值,則:

分層隨機(jī)抽樣中的總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)

_V?V?V1w

第I層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)為:x='-m=—Yx,

M

-=%+/+…%",=—yx.

mm£'

第2層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)為:

1」+七+.%一1弋丫

NNJ,

n?Zi

總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)為:

MN

記:y臺(tái)x,.+白yr'M—X+NY—M力Nq

M+NM+NM+NM+N

in”

_E^+Exnix+riym_n_

----------=--------x+--------y

m+nm+nm+nm+n

由于用第一層的樣本平均數(shù)亍可以估計(jì)第1層的總體平均數(shù)又,第二層的樣本平

均數(shù)歹可以估計(jì)第2層的總體平均數(shù)歹,因此我們可以用

Mx+NyM-N-

----------L----------xH------------y

M+NM+NM+N

估計(jì)總體平均數(shù)環(huán)

對(duì)各層樣本平均數(shù)加權(quán)(層權(quán))求和

MN

E^+Ex-m-n—

w=-^———--------y

m+nm+nm+n

m_n_m+n

MmNnM-N-

----=---;----=---=----xd----y

M+Nm+nM+Nm+nM+NM+N

o分層隨機(jī)抽樣如何估計(jì)總體平均數(shù)

M-N—

------------1+-------------V

M+NM+N

在比例分配的分層隨機(jī)中抽樣中

MN

七+

MN-m-n-ZXv

x+--------y------x+------y=co

M+NM+N,m+nm+nm+n

例L在樹人中學(xué)高一年級(jí)的712名學(xué)生,男生有326名、女生有386名,分別抽

取的男生23名男生、27名女生樣本數(shù)據(jù)如下

173.0174.0166.0172.0170.0165.0165.0168.0164.0173.0

172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0175.0168.0173.0

167.0170.0175.0

163.0164.0161.0157.0162.0165.0168.0155.0164.0162.5

154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0155.0148.0

172.0162.5158.0155.5157.0163.0172.0

樣本女生平均身高=160.6,樣本男生平均身高=170.6

M—N—326386.,

----------XH----------y=-----x170.6+-----x160.6?165.18o

M+NM+N-712712

高一年級(jí)有男生490人,女生510人,張華按照男生女生進(jìn)行分層,得到男生女生平均

身高分別為170.2cm和160.8cm。

(1)如果張華在各層中按比例分配樣本,總樣本量為100.那么男生、女生中分別抽取

了多少名?在這種情況下,請(qǐng)估計(jì)高一年級(jí)全體學(xué)生的平均身高。

(2)如果張華從男生、女生中抽取的樣本量分別為30和70,那么在這種情況下,如

何估計(jì)高一全體學(xué)生的平均身高。

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.下列實(shí)驗(yàn)中最適合用分層抽樣法抽樣的是()

A.從一箱3000個(gè)零件中抽取5個(gè)入樣

B.從一箱3000個(gè)零件中抽取600個(gè)入樣

C.從一箱30個(gè)零件中抽取5個(gè)入樣

D.從甲廠生產(chǎn)的100個(gè)零件和乙廠生產(chǎn)的200個(gè)零件中抽取6個(gè)入樣

2.一批燈泡400只,其中20W、40W,601V的數(shù)目之比是4:3:1,現(xiàn)用分層抽樣的

方法產(chǎn)生一個(gè)容量為40的樣本,三種燈泡依次抽取的個(gè)數(shù)為()

A.20,15,5B.4,3,1C.16,12,4D.8,6,2

3.某單位有職工100人,不到35歲的有45人,35歲到49歲的有25人,剩下的為50

歲以上(包括50歲)的人,用分層抽樣的方法從中抽20人,各年齡段分別抽取的人數(shù)為()

A.7,5,8B.9,5,6C.7,5,9D.8,5,7

4.某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)4B,。三種產(chǎn)品共3000件,根據(jù)分層抽樣的結(jié)果,企業(yè)統(tǒng)

計(jì)員制作了如下的統(tǒng)計(jì)表格:

產(chǎn)品類型ABC

產(chǎn)品數(shù)量(件)1300

樣本容量130

由于不小心,表格中4。兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚了,統(tǒng)計(jì)員只記得/

產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10,根據(jù)以上信息,可得。產(chǎn)品的數(shù)量是—

件.

5.某市化工廠三個(gè)車間共有工人1000名,各車間男、女工人數(shù)如下表:

第一車間第二車間第三車間

女工173100y

男工177XZ

已知在全廠工人中隨機(jī)抽取1名,抽到第二車間男工的可能性是0.15.

⑴求X的值;

(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全廠抽取50名工人,問應(yīng)在第三車間抽取多少名?

【課堂小結(jié)】

1、分層抽樣是當(dāng)總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)采用的抽樣方法,進(jìn)行分層抽樣時(shí)應(yīng)

注意以下幾點(diǎn):

(1)分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定,總的原則是,層內(nèi)樣本的差

異要小,面層之間的樣本差異要大,且互不重疊。

(2)為了保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣,所有層應(yīng)采用同一抽樣比等可能抽樣。

(3)在每層抽樣時(shí),應(yīng)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行抽樣。

2、分層抽樣的優(yōu)點(diǎn)是:使樣本具有較強(qiáng)的代表性,并且抽樣過程中可綜合選用各種抽

樣方法,因此分層抽樣是一種實(shí)用、操作性強(qiáng)、應(yīng)用比較廣泛的抽樣方法。

3、分層隨機(jī)抽樣中如何用樣本估計(jì)總體平均值。

MN

-X~\.-),=i

M+NM+N;m+n

參考答案:

知識(shí)梳理

學(xué)習(xí)過程

1.【解析】A中總體個(gè)體無明顯差異且個(gè)數(shù)較少,適合用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣;C和D中總體

個(gè)體無明顯差異且個(gè)數(shù)較多,適合用系統(tǒng)抽樣;B中總體個(gè)體差異明顯,適合用分層抽樣.

【答案】B

461

2.【解析】三種型號(hào)的轎車共9200輛,抽取樣本為46輛,則按不芯;=訴的比

yzuuzuu

例抽樣,所以依次應(yīng)抽取1200X去=6(輛),6000X焉=30(輛),2000X==10(輛).

乙UU乙UU乙UU

【答案】63010

2.【提示】(1)分層抽樣適用于已知總體是由差異明顯的幾部分組成的;

(2)分成的各層互不交叉;

(3)各層抽取的比例都等于樣本容量在總體中的比例,即§其中〃為樣本容量,N為總

體容量.

3.【提示】為獲取各層的入樣數(shù)目,需先正確計(jì)算出抽樣比£若N,?彳的值不是整數(shù),

.AA

可四舍五入取整,也可先將該層等可能地剔除多余的個(gè)體.

探究3【提示】分層抽樣中,每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是相同的,與層數(shù)、分層

無關(guān).

如果總體的個(gè)數(shù)為乂樣本容量為小M為第/層的個(gè)體數(shù),則第了層抽取的個(gè)體數(shù)

=n?2,每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是牛=4?n?

1\i\iIVN

4.【提示】簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是最基本的抽樣方法,應(yīng)用于系統(tǒng)抽樣和分層抽樣中.簡(jiǎn)單

隨機(jī)抽樣所得樣本的代表性與個(gè)體編號(hào)無關(guān).

系統(tǒng)抽樣容易實(shí)施,可節(jié)約抽樣成本.系統(tǒng)抽樣所得樣本的代表性與個(gè)體編號(hào)有關(guān),如

果個(gè)體隨編號(hào)呈現(xiàn)某種特征,所得樣本代表性很差.分層抽樣應(yīng)用最廣泛,它充分利用

問題探究

1.在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中如何估計(jì)總體平均數(shù)?

2.那么在分層隨機(jī)抽樣中如何估計(jì)總體平均數(shù)呢?

是否也可以直接用樣本平均數(shù)進(jìn)行估計(jì)?

例1.樣本女生平均身高=160.6,樣本男生平均身高=170.6

M—N_326.__.386,

----------XH----------y=-----x170.6+-----x160.6?165.18o

M+NM+N-712712

高一年級(jí)有男生490人,女生510人,張華按照男生女生進(jìn)行分層,得到男生女

生平均身高分別為170.2cm和160.8cm。

(1)如果張華在各層中按比例分配樣本,總樣本量為100.那么男生、女生中分別抽取

了多少名?在這種情況下,請(qǐng)估計(jì)高一年級(jí)全體學(xué)生的平均身高。

4951

—x170.2+—x160.8?165.4

100100

(2)如果張華從男生、女生中抽取的樣本量分別為30和70,那么在這種情況下,如

何估計(jì)高一全體學(xué)生的平均身高。

小明用比例分配的分層抽樣方法,從高一年級(jí)的學(xué)生中抽取了十個(gè)樣本量為50的樣

本,計(jì)算出樣本平均數(shù)。與相同樣本量的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的結(jié)果比較。

序號(hào)12345678910

簡(jiǎn)單隨機(jī)

165.2162.8164.4164.4165.6164.8165.3164.3165.7165.0

抽樣

分層隨機(jī)

165.8165.1164.3164.3166.4164.6165.2164.9166.1165.1

抽樣

?簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

.分層隨機(jī)抽樣

一實(shí)際值

達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.【答案】D

【解析】D中總體有明顯差異,故用分層抽樣.

A31

2.【答案】A【解析】三種燈泡依次抽取的個(gè)數(shù)為40X[=20,40><£=15,40Xd=

OOO

5.

3.【答案】B

201

【解析】由于樣本容量與總體個(gè)體數(shù)之比為赤=三,故各年齡段抽取的人數(shù)依次為

1005

1/,、

45X-=9(A),

5

25X8=5(人),20-9-5=6(人).

5

4.【解析】抽樣比為130:1300=1:10,即每10個(gè)產(chǎn)品中抽取1個(gè)個(gè)體,又A

產(chǎn)品的樣本容量比。產(chǎn)品的樣本容量多10,故。產(chǎn)品的數(shù)量是[(3000-1300)-100]x1=

800(件).

【答案】800

x

5.【解】(1)由丁麗=0.15,得x=150.

(2)?.?第一車間的工人數(shù)是173+177=350,第二車間的工人數(shù)是100+150=250,

,第三車間的工人數(shù)是1000—350—250=400.

設(shè)應(yīng)從第三車間抽取勿名工人,則由就=樣而,得卬=20.

...應(yīng)在第三車間抽取20名工人.

《9.1.2分層隨機(jī)抽樣》同步練習(xí)

一、選擇題

1.分層隨機(jī)抽樣又稱類型抽樣,即將相似的個(gè)體歸入一類(層),然后每類抽取若干個(gè)

個(gè)體構(gòu)成樣本,所以分層隨機(jī)抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能抽樣,必須進(jìn)行()

A.每層等可能抽樣B.每層可以不等可能抽樣

C.所有層按同一抽樣比等可能抽樣D.所有層抽取的個(gè)體數(shù)量相同

2.某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為100、200、300,400

件,為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量,現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn),則

應(yīng)從丁種型號(hào)的產(chǎn)品中抽?。ǎ┘?

A.24B.18C.12D.6

3.某單位有職工100人,不到35歲的有45人,35歲到49歲的有25人,乘『下的為50

歲以上(包括50歲)的人,用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取20人,各年齡段分別抽取的人

數(shù)為()

A.7,5,8B.9,5,6C.6,5,9D.8,5,7

4.已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和如圖2所示,為了了解該地區(qū)中

小學(xué)生的近視形成原因,用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,則樣本容量和抽取的

高中生近視人數(shù)分別為()

A.100,20B.200,20C.100,10D.200,10

5.(多選題)我校有高一學(xué)生850人,高二學(xué)生900人,高三學(xué)生1200人,學(xué)校團(tuán)委

欲用分層抽樣的方法抽取30名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,則下列判斷錯(cuò)誤的是()

A.高一學(xué)生被抽到的概率最大B.高二學(xué)生被抽到的概率最大

C.高三學(xué)生被抽到的概率最大D.每名學(xué)生被抽到的概率相等

6.(多選題)某單位有老年人28人、中年人54人、青年人81人,為了調(diào)查他們的身體狀

況,從中抽取一個(gè)容量為36的樣本,則不適合抽取樣本的方法是()

A.隨機(jī)數(shù)表法B.抽簽法

C.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣D.先從老年人中剔除1人,再用分層抽樣

二、填空題

7.某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷售點(diǎn).

公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況,需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本,記這項(xiàng)

調(diào)查為①;在丙地區(qū)有10個(gè)特大型銷售點(diǎn),要從中抽取7個(gè)銷售點(diǎn)調(diào)查其銷售收入和售后

服務(wù)等情況,記這

溫馨提示

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