《直線與直線垂直》教學(xué)設(shè)計(jì)、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《8.6.1直線與直線垂直》教學(xué)設(shè)計(jì)

【教材分析】

本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修第二冊(cè)》（人教A版）第八章《立體幾

何初步》，本節(jié)課是第2課時(shí)，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)直線與直線垂直。

課本從空間兩條直線的位置關(guān)系入手，引如異面直線所成的角的定義，進(jìn)而在正方體中

找互相垂直的異面直線及求異面直線的夾角，本節(jié)是證明兩條異面直線垂直的一種方法。求

異面直線的夾角為90度可以證明兩異面直線垂直。直線與直線垂直是立體幾何中證明直線

與平面垂直、平面與平面垂直的基礎(chǔ)，是后續(xù)所學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.了解空間中兩條直線的三種位置關(guān)系，理解異L數(shù)學(xué)抽象：異面直線所成的角的定義；

面直線的定義，會(huì)用平面襯托來(lái)畫異面直線.2.邏輯推理：作異面直線所成的角；

B.會(huì)用異面直線所成的角的定義找出或作出異面3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求異面直線所成的角；

直線所成的角，會(huì)在直角三角形中求簡(jiǎn)單異面直

線所成的角.

【教學(xué)重點(diǎn)】：異面直線所成角的定義；

【教學(xué)難點(diǎn)】：用異面直線所成的角的定義找出或作出異面直線所成的角。

【教學(xué)過(guò)程】

教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

一、復(fù)習(xí)回顧，溫故知新通過(guò)復(fù)習(xí)前面所學(xué)兩

1.空間兩直線的位置關(guān)系：條直線位置關(guān)系，引入

【答案】相交、平行、異面本節(jié)新課。建立知識(shí)間

2.在平面內(nèi)，兩直線所成的角是什么？的聯(lián)系，提高學(xué)生概

【答案】在平面內(nèi)，兩條直線相交成四個(gè)角，其中不大于90度的角稱為它括、類比推理的能力。

們的夾角，用以刻畫兩直線的錯(cuò)開程度

二、探索新知

觀察：如圖，在正方體A3CD—ABC。'中，直線AC與直線AB,直

線AD與直線AB都是異面直線，直線A'C'與AD'相對(duì)于直線AB的位

置相同嗎？如果不同，如何表示這種差異呢？

【答案】不同C通過(guò)觀察與思考，引入

丁

思考：異面直線有沒有夾角呢？若有，那如何找異面直線所成角的定

出這個(gè)夾角？止R

義，提高學(xué)生的解決問(wèn)

1.異面直線所成角的定義：題、分析問(wèn)題的能力。

如圖，已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)0作直線a'//a,b'//b,

則把a(bǔ)'與b'所成的銳角(或直角)叫做異面直線所成的角(或夾角).

思考：這個(gè)角的大小與0點(diǎn)的位置有關(guān)嗎？即。點(diǎn)位置不同時(shí)，這一角

的大小是否改變？

【答案】無(wú)關(guān)，不改變。

通過(guò)思考，進(jìn)一步理解

異面直線所成的角，提

高學(xué)生分析問(wèn)題、概括

能力。

2.異面直線所成角的范圍：(0°,901

例1如圖,已知正方體ABCD-A'B'C'D'.

(1)哪些棱所在的直線與直線AA'垂直？

(2)求直線BA'與CC'所成的角大小。

(3)求直線BA'與AC所成的角大小。

通過(guò)例題講解，讓學(xué)生

理解怎樣求兩異面直

線所成的角，提高學(xué)生

解決問(wèn)題的能力。

解，（I）極八M,?C,CD,DA.ArB'.B'C1,CD',D'A'

林?位分別與直線乂'垂It.

'⑵因?yàn)锳H'D-A'B'C'D'是正方體，所以閃此

TBB'為代線〃A'與CC'所成的用.又因?yàn)镹A'88'=45\所以

嬴助'與CC'所成的角等于451

'（3）如圖8.6-4.連接A'C'.因?yàn)锳BCD-A'B'C'D'是正方

他所以，S'旦CC'.從而四邊形AA'C'C是平行㈣邊形，所以

AC//A'C.于是NBA'C'為異面直線8A'與AC所成的加

連接BC'.易知△*改'是等邊三角形,所以NBA'C'=60'.

從而異面點(diǎn)線BA'與AC所成的角等于60,.

例2如圖，在正方體A8CD—4耳G。中，01為底面的中心。

求證：AO,±BD。

通過(guò)例題講解，讓學(xué)生

理解怎樣證兩異面直

線垂直，提高學(xué)生解決

fti&6-5問(wèn)題的能力。

證明：如圖8.6-5(2).連接BR.

ABCD-A.BtCiD,是正方體，

：?BO.JLDDU

：?四邊形B氏5n型平行四邊形?

A（）liD

???二線工:B,Dt所成的m即為攸'與所成的他

連接AB1，AD].步證八%=八。“

又5為底面八入的中心?

?*?5為B3的中點(diǎn)，

?'-AOilli,D,.

AOtlliD.

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線間的位置關(guān)系是（）

A.異面B.平行

C.相交D.以上都有可能通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所

【答案】D學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決

【解析】當(dāng)兩個(gè)平面平行時(shí)，這兩條直線的位置關(guān)系為平行或異面，當(dāng)兩問(wèn)題的能力，感悟其中

個(gè)平面相交時(shí)，這兩條直線的位置關(guān)系有可能相交或異面.蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)

2.如圖，在正方體/式》4笈G〃中，E、F、G、〃分別為44、AB、BR、學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。

84的中點(diǎn)，則異面直線3與掰所成的角等于（）

O,C,

AFB

A.45°B.60°

C.90°D.120°

【答案】B

【解析】取4名中點(diǎn)I,連接IG、IH,則4嗾IG.易知IG,IH,法相等,

則△以"為等邊三角形，則力與6■〃所成的角為60°,即跖與677所成的

角為60°.

3.如圖，正方體4KD4旦G"中，4c與園所成角的大小是

【答案】60。

【解析】連接皿，則以〃陽(yáng).（或其補(bǔ)角）就是熊與因所成的

角，連接以，在正方體力靦-46G"中，AC=AK=CD\,

.*.zm=6o°,

即47與6G所成的角為60°.

4.如圖，在四棱錐Al靦中，PAVAB,底面/版是平行四邊形，則為

與口所成的角是.

【答案】90。

【解析】???四邊形］靦是平行四邊形，

：.AB//CD,

:./PAB是PA與切所成的角.

又〈PALAB,二/處8=90°.

5.如圖所示，48是圓。的直徑，點(diǎn)。是弧的中點(diǎn)，D、￡分別是仍、

力的中點(diǎn)，求異面直線應(yīng)與所成的角.

【解析】因?yàn)橐浴攴謩e是VB、%的中點(diǎn)，所以比1〃陽(yáng)因此N45C是

異面直線應(yīng),與四所成的角，又因?yàn)樗氖菆A。的直徑，點(diǎn)C是弧四的中

點(diǎn)，所以△/比1是以/1%為直角的等腰直角三角形，于是N4?C=45°,

故異面直線瓦1與4?所成的角為45°.

四、小結(jié)通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一

1.異面直線所成角定義；步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，

2.異面直線所成角的求法：提高概括能力,提高學(xué)

一作（找）、二證、三求生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和

五、作業(yè)邏輯推理能力。

習(xí)題8.64題

【教學(xué)反思】

求異面直線所成的角，應(yīng)讓學(xué)生明白怎樣做異面直線所成的角，進(jìn)而在三角形中進(jìn)行求

解。

<8.6.1直線與直線垂直》導(dǎo)學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解空間中兩條直線的三種位置關(guān)系，理解異面直線的定義，會(huì)用平面襯托來(lái)畫異面

直線.

2.會(huì)用異面直線所成的角的定義找出或作出異面直線所成的角，會(huì)在直角三角形中求簡(jiǎn)

單異面直線所成的角.

【教學(xué)重點(diǎn)】：異面直線所成角的定義；

【教學(xué)難點(diǎn)】：用異面直線所成的角的定義找出或作出異面直線所成的角。

【知識(shí)梳理】

1.異面直線所成角的定義：。

2.求異面直線所成角的步驟：o

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

一、探索新知

觀察：如圖，在正方體43CD-A8C'。'中，直線AC'與直線AB,直線AD與直線

AB都是異面直線，直線4C與AD相對(duì)于直線AB的位置相同嗎？如果不同，如何表示這

種差異呢？

思考：異面直線有沒有夾角呢？若有，那如何找出這個(gè)夾角？

1.異面直線所成角的定義：

如圖，已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)0作直線a'〃a,b'〃b，則把a(bǔ)'與b'

所成的銳角(或直角)叫做異面直線所成的角(或夾角).

思考：這個(gè)角的大小與0點(diǎn)的位置有關(guān)嗎？即0點(diǎn)位置不同時(shí)，這一角的大小是否改

2.異面直線所成角的范圍：(0°,90口

例1如圖，已知正方體ABCD—A'B'C'D'.

(1)哪些棱所在的直線與直線AA'垂直？

(2)求直線BA'與CC'所成的角大小。

(3)求直線BA'與AC所成的角大小。

例2如圖，在正方體ABC?！狝14GA中，01為底面的中心。求證:

AOt1BD。

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線間的位置關(guān)系是（）

A.異面B.平行

C.相交D.以上都有可能

2.如圖，在正方體464〃中，E、F、G、〃分別為44、AB、BB、、81G的中點(diǎn),

則異面直線跖與◎/所成的角等于（）

A.45°

C.90°D.120°

3.如圖，正方體歸C"中，4。與陽(yáng)所成角的大小是

4.如圖，在四棱錐足/也中，為U8底面48切是平行四邊形，則用與切所成的

角是________

5.如圖所示，4?是圓。的直徑，點(diǎn)。是弧4?的中點(diǎn)，D、￡■分別是VB.%的中點(diǎn)，求

異面直線座與46所成的角.

參考答案：

觀察：不同

思考：無(wú)關(guān)，不改變。

2.(0°,90°]

例1.

珈⑴府人”,風(fēng).C7J.D,八,8，、,..,,.

林談分別與直線八A'垂直.A7rc"

⑵閃為ymw/E，咫正方體.所以5〃8,,閃此

/T8B為打線〃八與其所成的加.又因?yàn)?%8'.45?,所以

在及8A'與8’所成的角等于45:

(3)如圖,8.6-：.連接A'C'.因?yàn)榘嘶锕?M，8，C，D，是正方

體.所以AA±CC'.從而四邊形/VVc'C是平行四邊形.所以

AC//A'C.于是N/M'C'為異面直線8人，與八c所成的角

連接BC',明知是等邊三角形，所以NB4'C'=60.

從而異面立線8A'與AC所成的角等于60,.

例2.

%

(2)

IW&.6-5

證明：如圖&6-5(2),連接SDi.

ABCD-AiliiCiDy是正方體，

四邊形是平行四邊舷

:源望叫所成的刖像皿與即所成的

連接AB】，A",易證八出=八

又5為磨面AWIC&I的中心?

???5為81d的中點(diǎn).

：?人?！?孫.

:，AOt±HD.

達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.【答案】D

【解析】當(dāng)兩個(gè)平面平行時(shí)，這兩條直線的位置關(guān)系為平行或異面，當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí),

這兩條直線的位置關(guān)系有可能相交或異面.

2.【答案】B

【解析】取45中點(diǎn)/,連接/、III,則^^/G易知/G,III,傷相等，則△/傷/為

等邊三角形，則"與G〃所成的角為60°,即廳'與G〃所成的角為60°.

【解析】連接加，則被〃8G..(或其補(bǔ)角)就是為C與6G所成的角，連接辦,

在正方體四徵一45G。中，AC=A"=CD,

即/C與陽(yáng)所成的角為60°.

4.【答案】90°

【解析】???四邊形/靦是平行四邊形,

：.AB//CD,

必6是必與”所成的角.

又,：PALAB,:./PAB=9Q：

5.【解析】因?yàn)榫谩攴謩e是VB、力的中點(diǎn)，所以BC〃DE,因此。是異面直線

應(yīng)與所成的角，又因?yàn)槭菆A。的直徑，點(diǎn)。是弧46的中點(diǎn)，所以△/8C是以

為直角的等腰直角三角形，于是/46C=45°,故異面直線〃￡與46所成的角為45°.

《8.6.1直線與直線垂直》同步練習(xí)

一、選擇題

1.分別和兩條異面直線相交的兩條不同直線的位置關(guān)系是（）

A.相交B.異面C.異面或相交D.平行

2.在正方體ABC?！伺cG2中，E為棱CG的中點(diǎn)，則異面直線AE與8所成角

的正切值為

A.史B.3C.史D.也

2222

3.已知直三棱柱ABC-A|B|G中，NABC=120，AB=2，BC=CC,=1,則異

面直線AB,與BC1所成角的余弦值為（）

2553

4.在正方體ABC?！校珽為棱8的中點(diǎn)，則（）.

A.\ELDC,B.A.ELBDC.\EVBC{D.\EVAC

5.（多選題）如圖所示，在正方體—481GA中，M,N分別為棱CQ，GC的

中點(diǎn)，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是（)

A.直線40與cq是相交直線B.直線40與BN是平行直線

C.直線3N與M片是異面直線D,直線與。，是異面直線

6.（多選題）如圖所示是正四面體的平面展開圖，G,H,M,N分別為的

中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，下列命題正確的是（）

A.GH與跖平行B.8。與MN為異面直線

C.GH與MN成,60°角D.DE與MN垂直

二、填空題

7.如圖，在正方體ABCD-ABCD中，E,F,G,H分別為AA“AB,BB1（BC的中點(diǎn),

則異面直線EF與GH所成的角等于.

dFB

8.己知正方體ABCO—AgGA中，E為G4的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角

的余弦值為

9.在直三棱柱ABC-4四&中，NAC8=90。，M=2-AC=BC=1,則異面直

線48與AG所成角的余弦值是.

10.在正方體瘟圖—通部曲中，E、F、G、H分別為AAi、AB、BBi、B6的中點(diǎn)，

則所在直線與直線EF是異面直線的是,異面直線EF與G1I所成的角等于

三、解答題

11.空間四邊形ABCO中，AD^BC=2,民產(chǎn)分別是AB,C。的中點(diǎn)，EF=8

求異面直線A￡>,8C所成的角.

12.如圖，在四棱柱ABC。一A4G。中，側(cè)面都是矩形，底面四邊形A88是菱形

且A6=5C=2G，ZABC=120°,若異面直線和所成的角為90。，試求

的長(zhǎng).

《8.6.1直線與直線垂直》同步練習(xí)答案解析

一、選擇題

1.分別和兩條異面直線相交的兩條不同直線的位置關(guān)系是（）

A.相交B.異面C.異面或相交D.平行

【答案】C

【解析】

a

B

b

①若兩條直線與兩條異面直線的交點(diǎn)有4個(gè)，如圖，直線AB與異面直線a,8分別相

交于點(diǎn)AB,直線與異面直線a,h分別相交于點(diǎn)C,D,那么AB,C,。四點(diǎn)

不可能共面，否則與a,力異面矛盾，故直線A3與CO異面；②若兩條直線與兩條異面直

線的交點(diǎn)有3個(gè)，如圖，則兩條直線相交.

故選：C

2.在正方體ABC?！狝瓦GA中，E為棱CG的中點(diǎn)，則異面直線AE與CO所成角

的正切值為

A.旦B.也C.D.立

2222

【答案】C

【解析】在正方體A8CO-481aq中，CD//AB,所以異面直線AE與CO所成角

為NEAB,

設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2。，則由E為棱CC的中點(diǎn)，可得CE=a,所以BE=J^a，

則tan/E48=g^=^3=^.故選C.

AB2a2

已知直三棱柱中,

3.ABC-A|B|GZABC=120°，AB=2,BC=CCI=1,則異

面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（）

A石RV15rVioNA/3

2553

【答案】C

【解析】如圖所示，補(bǔ)成直四棱柱A8CO-4與&0,

則所求角為

ABQD,-：BC\=RBD=x/22+l-2x2xlxcos60°=g,Cp=AB1=后,

易得C.D-=BD2+BC；,因此cosNBCQ=，故選c.

~QD~l/5~~5~

4.在正方體ABC?！狝耳GA中，E為棱CO的中點(diǎn)，則（）.

A.\E±DCtB.A^E±BDC.AE-LBC|D.\ELAC

【答案】C

【解析】畫出正方體ABC。—44GA,如圖所示.

對(duì)于選項(xiàng)A,連若4ELDG，又。所以。G_L平面4EQ,所以

可得。顯然不成立，所以A不正確.

對(duì)于選項(xiàng)B,連4E，若4ELB。，又BO_LAA，所以。平面AAE,故得

BDA-AE^顯然不成立，所以B不正確.

對(duì)于選項(xiàng)C,連A。，則AD1||BG.連AQ,則得AQ1A,D,AD]，，所以_L

平面AOE,從而得叫所以AE~LBG.所以C正確.

對(duì)于選項(xiàng)D,連4E，若AELAC,又4C1A4],所以AC_L平面AA￡,故得

AC±AE,顯然不成立，所以D不正確.

故選C.

5.（多選題）如圖所示，在正方體-中，”不分別為棱6。,。。的

中點(diǎn)，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是（）

A.直線AM與CG是相交直線B.直線AM與BN是平行直線

C.直線BN與是異面直線D.直線AM與。2是異面直線

【答案】CD

【解析】直線AM與CG是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故A、B錯(cuò)誤

直線8N與Mg是異面直線，直線AM與0A是異面直線，故C、D正確.

故選CD.

6.（多選題）如圖所示是正四面體的平面展開圖，G,4,M,N分別為的

中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，下列命題正確的是（）

A.GH與E尸平行B.與MN為異面直線

C.GH與MN成60°角D.DE與MN垂直

【答案】BCD

【解析】如圖,把平面展開圖還原成正四面體，知GH與所為異面直線,A不正確;

3。與為異面直線，B正確；

GH//AD,MN//AF,而ZDAE=60°，,NGHM=6（X,

???GH與MN成60°角，C正確；

連接AG,FG,AGVDE,FGA.DE

.?.r>￡_L平面4RG,

：.DE±AF,

又MN//AF

DE與MN垂直，

D正確.

故選：BCD

30

二、填空題

7.如圖，在正方體ABCD-ABCD中,E,F,G,H分別為AA“AB,BB”BC的中點(diǎn),

則異面直線EF與GH所成的角等于.

AFB

【答案】［

3

【解析】七口\\\B,GH||6C1,所以異面直線EF與GH所成的角等于4注BQ所成角,

一71

?.?△A5G為正三角形，所以所成角為不

8.已知正方體ABCO—AgGA中，E為G2的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角

的余弦值為.

2

【答案】一

3

【解析】

連接DE,設(shè)AD=2,易知AD〃BC,，NDAE就是異面直線AE與BC所成角，

在△RtADE中，由于DE=JG，AD=2,可得AE=3,.?.cosZDAE=-^=-^.

AE3

9.在直三棱柱ABC—A4a中，ZACB=90，=2,AC=BC=\,則異面直

線48與AC,所成角的余弦值是—

連接A片交AB于點(diǎn)。，取用G中點(diǎn)E，連接OE，則OE||AG，連接

"DE為異面直線AXB與ACt所成角

在卡心4。|片中，4G=1,GE=1C￡=L

,.A,E——>

?2

同理可得4。=逅，DE=—

22

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