（新教材人教A版2019）高中數(shù)學(xué)（必修+選修共5冊(cè)）分章節(jié)基礎(chǔ)知識(shí)

第1章集合與常用邏輯用語(yǔ)

§1.1集合的概念

1.集合定義：把研究的對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合.

集合三要素：確定性.互異性.無(wú)序性.

2.集合的相等：只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，就稱這兩個(gè)集合相等.

3.元素和集合的關(guān)系：屬于(aeA)和不屬于(a/A).

4.常見(jiàn)數(shù)集：自然教集：N,正整數(shù)集：N*或N+，整數(shù)集：Z,有理數(shù)集：Q,實(shí)數(shù)集R.

5.集合的表示方法：

(1)列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫列舉法.

(2)描述法：設(shè)A是一個(gè)集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素工所組成的集合表示為

{xeA|P(x)},這種表示集合的方法稱為描述法.

§1.2集合間的基本關(guān)系

1.子集：對(duì)于兩個(gè)集合A,B,如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合3中的元素，則稱集合A是集合3的

子集，記作A=8.

2.真子集：如果集合Aq3,但存在元素xe8,且xeA,則稱集合A是集合8的真子集.記作：集合8

(或3寸A).

3.空集：把不含任何元素的集合叫做空集.記作：。.并規(guī)定：空集合是任何集合的子集.

4.子集個(gè)數(shù)：如果集合A中含有。個(gè)元素，則集合A有2"個(gè)子集，2“_1個(gè)真子集.

§1.3集合的基本運(yùn)算

1.并集：由所有屬于集合A或集合3的元素組成的集合，稱為集合集合A是集合8與8的并集.記作：

AU8.即AU8={'xeA,或xe8}.

2.交集：由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合A是集合8與B的交集.記作：AD8.

即Af]8={x|xwA,且xe卻.

3.補(bǔ)集：對(duì)于集合4由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集。的補(bǔ)集，

記作：jA,即=且

§1.4充分條件與必要條件

1.命題：可以判斷真假的陳述句叫命題：

2.充分條件.必要條件與充要條件

如果“若“，則4"為真命題，是指由〃通過(guò)推理可以得出4,我們就說(shuō)由〃可以推出4,記作〃=4,

并且說(shuō)"是4的充分條件，q是p的必要條件；

如果“若P,則為假命題，那么由條件P不能提出結(jié)論4,記作〃力我們就說(shuō)P不是“的充分條

件，4不是〃的必要條件；

如果“若p,則q”和它的逆命題“若q,則p"均是真命題，即既有p=q,又有“二>〃，就記作夕=4

此時(shí)則〃是q的充分條件，也是q的必要條件，我們就說(shuō)，是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱為充要條件.

如果〃=〃，那么，與4互為充要條件.

§1.5全稱量詞與存在量詞

1.全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞與全稱量詞命題

短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“V”表示.

含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.記為VxeM,〃(x).

(2)存在量詞與存在量詞命題

短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“三”表示.

含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.記為mxeM,〃(x).

2,全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

(1)全稱量詞命題，：VxGM,p(x),它的否定一/?：玉eM，r?(x).

(2)存在量詞命題P：HxeM,p{x),它的否定~]P：VxeM,->p(x).

第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式

§2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

1.作差法比較大小

a>b<^>a-b>0：avboa-bvb；a=boa-b=0.

2.不等式的基本性質(zhì)

（1）（對(duì)稱性）a>b<^>b>a

（2）（傳遞性）a>b,b>c=>a>c

（3）（可加性）a>h<^a+c>b+c

（4）（可乘性）a>h,c>G=>ac>be?.a>b,c<0^>ac<bc

⑸（同向可加性）a>h,c>d=>a+c>b+d

（6）（正數(shù)同向可乘性）a>b>0,c>d>0=>ac>bd

（7）（正數(shù)乘方法則）a>h>O^>a">h"（nGN,SLn>l）

§2.2基本不等式

①重要不等式：c^+lr^labi^a,beR）,（當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?時(shí)取"="號(hào)）.

變形公式：2（a2+b2）>（a+b）2（a,b&R）

②基本不等式：巴?2而（a,beR*）,（當(dāng)且僅當(dāng)a=Zj時(shí)取到等號(hào)）.

變形公式：a+b>2\[ab：ah<J.

用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大），要滿足條件：“一正.二定.三相等”.

§2.3二次函數(shù)與一元二次方程.不等式

A>()A=0A<0

y=cvc+ZZX+C(Q>0)

的圖象立

X|\k>1X2X

1沒(méi)有實(shí)數(shù)根

ax+/zx+c=0(。>0)西,々（玉<x2）b

的根

2

ax+bx+c>0(。>0)1x|x<x19^x>x2}R

的解集W七}

ax2+bx+c<0（。>0）x|v%vw}00

的解集

第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)

§3.1函數(shù)的概念及其表示

1.設(shè)A.8是非空的實(shí)數(shù)集，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)X,如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)

關(guān)系/,在集合8中都有惟一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱fB為集合A到

集合3的一個(gè)函數(shù)，記作：y-./(%),x&A.

2.函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域.對(duì)應(yīng)關(guān)系.值域.

3.區(qū)間：閉區(qū)間、開(kāi)區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間

4.函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法.

5.分段函數(shù)

§3.2.函數(shù)的基本性質(zhì)

§3.2.1單調(diào)性與最大(小)值

1.函數(shù)單調(diào)性的定義：

設(shè)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?,區(qū)間。工/,如果V%]、々當(dāng)X]<々時(shí)，都有：

/(石)<f(x2)或/(X])-/(x2)<0,就稱/(X)在區(qū)間。上單調(diào)遞增；

特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，就稱它是增函數(shù)；

/(3)>/(々)或/(x1)-/(x2)>0,就稱〃x)在區(qū)間。上單調(diào)遞減.

特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，就稱它是減函數(shù)；

2.最大值、最小值：

設(shè)函數(shù)7(x)的定義域?yàn)?,

如果存在實(shí)數(shù)M滿足：(1)VXGZ,都有/(x)4M；(2)三/e/,使得/(Xo)=M,

我們就稱M是函數(shù)y=/(x)的最大值.

如果存在實(shí)數(shù)N滿足：(1)Vxe/,都有/(X)NN；(2)玉()e/,使得/(x0)=N,

我們就稱N是函數(shù)y=f(x)的最小值.

§3.2.2奇偶性

1.定義：設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?,如果X/xe/,都有一xe/,

jL/(-x)=/(x)(或/(—x)—/(x)=0),那么就稱函數(shù)/(x)為偶函數(shù).

偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

且若/(—x)=—/(x)(或/(一x)+/(x)=0),那么就稱函數(shù)/(x)為奇函數(shù).

奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

2.奇函數(shù)的性質(zhì)：

若奇函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?,如果Oe/,則有/(O)=O.

3.奇偶性與單調(diào)性：

奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反.

§3.3幕函數(shù)

1.幕函數(shù)的解析式：y=xa,X是自變量，a是常數(shù).

2.幾種露函數(shù)的圖象：

(1)定點(diǎn)：(1,1).

(2)單調(diào)性：

當(dāng)a>0時(shí)，y=x"在(0,+eo)上單調(diào)遞增;

當(dāng)a<()時(shí)，y=x"在(0,+oo)上單調(diào)遞減；

第4章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

§4.1指數(shù)

§4.1.1n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)霸

1.如果X"=Q,那么X叫做。的〃次方根.其中〃>￡N+.

2.當(dāng)幾為奇數(shù)時(shí)，V^-=tZ:

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，4/=同.

3.規(guī)定:

⑴a"=(a>0,m,He?/*,n>1)

-11

{2}a"=-^-=.——(a>0,m,n^N\n>l).

a71W。'"

(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)賽等于0.0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)森無(wú)意義.

4.運(yùn)算性質(zhì)：

(1)aras=ar+s(a>0,匕s￡0)；

⑵(優(yōu))=ars(a>0,r,5G2)；=>(")=("')=優(yōu)

⑶(ab)'=arbr(a>0,b>0/￡Q).

§4.1.2無(wú)理指數(shù)森及其運(yùn)算性質(zhì)

運(yùn)算性質(zhì)：

⑴aras=a,+s(a>0",s￡R)；=>J=ar~s

⑵(")=a"(a>0,r,seR)；=>(屋)=(")="'

⑶=dbr(<2>0,Z?>0,rG??).

§4.2指數(shù)函數(shù)

1.定義：函數(shù)y=QX(Q>0,Qwl)叫做指數(shù)函數(shù)，定義域?yàn)镽.

2.性質(zhì):

1.定義：如果a*=N(a>0,aw1);

那么數(shù)x叫做以。為底N的對(duì)數(shù)，記作：x=logrtN,。叫對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫真數(shù).

2.指數(shù)與對(duì)數(shù)間的關(guān)系：當(dāng)。>0,。w1時(shí)，ax=Nox=log”N

3,對(duì)數(shù)恒等式："%z=N,log"'=N.

4.兩個(gè)特殊對(duì)數(shù)：

(1)以10為底的對(duì)叫做常用對(duì)數(shù)，并把log1。N記為IgN;

(2)以無(wú)理數(shù)e=2.71828....為底數(shù)的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，并把log,,N記為InN；

5.基本性質(zhì)：⑴logal=0；(2)bg〃a=l；(3)負(fù)數(shù)和。沒(méi)有對(duì)數(shù).

6?積、商、幕的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則：當(dāng)a>0,awl,M>0,N>0時(shí)：

⑴loga("N)=log“M+logaN；

⑶log”Mn-"log.M.

5.4奐底公式：logab="8久b>0,〃wi,c>0,cw

logca

"21

6.推論：(1)log?b'"~—\ogab(2)log(,h=------{a>0,a^\,b>0,b^\).

anlog/

§4.4.對(duì)數(shù)函數(shù)

1.定義：函數(shù)y=log.M4>°，aw1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，定義域是(0,+℃).

2.性質(zhì)：

a>\0<a<l

y\x=l

圖

象

0/(1,0)X0K

(1)定義域：(0,+8)

性(2)值域：R

質(zhì)(3)過(guò)定點(diǎn)(1,0),即產(chǎn)1時(shí)，尸0

(4)在(0,+8)上是增函數(shù)(4)在(0,+oo)上是減函數(shù)

(5)x>l,logrtx>0：(5)x>l,logax<0；

0<x<l,logrtx<00<x<l,logdx>0

§4.5.函數(shù)的應(yīng)用

4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

1.方程/(x)=0有實(shí)數(shù)解。函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn)o函數(shù)y=/(x)

有零點(diǎn).

2.函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/'(a)?/(/?)<0,

那么函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。力)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在ce(a,/?),使得/(c)=0,這

個(gè)c也就是方程/(%)=0的解.

3.用二分法求方程的近似解

對(duì)于在區(qū)間［a,，［上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)y=/(x),通過(guò)不斷地把它零點(diǎn)

所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做

二分法.

第5章三角函數(shù)

§5.1.1.任意角

1.正角、負(fù)角、零角、象限角的^念.

正角：一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做正角；

負(fù)角：按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；

零角：一條射線沒(méi)有任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個(gè)零角。

2.旋轉(zhuǎn)與運(yùn)算：

(1)角的加法：角a的終邊旋轉(zhuǎn)角夕后所得的終邊對(duì)應(yīng)的角是a+/7.

(2)角的減法：a—/7=&+(—/7)。

3.與角a終邊相同的角的集合：{刈4=a+Z3601,ZeZ}.

§5.1.2.弧度制

1.1弧度角：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.

2.弧度公式：=’(r為圓的半徑，弧長(zhǎng)為/的弧所對(duì)的圓心角為a)。

r

3.弧長(zhǎng)公式：/=|回火.

冗/?OQ\°

4.角度與弧度換算：180°=^rad=>1°=-rad；\rad=----。

180\7V)

5.扇形面積公式：S="K-='/R=L|a|R2.(R為圓的半徑，扇形弧長(zhǎng)為/,圓心角

3602211

為a)

§5.2.1.三角函數(shù)的概念

1.三角函數(shù)定義1：設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),則：

把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做a的正弦函數(shù),記作sina.即y=sina；

把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做a的余弦函數(shù)，記作cosa.即x=cosa；

把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)無(wú)的比值上叫做a的正切函數(shù)，記作tana.即

x

—=tana(xwO)。

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常記為：

正弦函數(shù)：y=sinx,xeR

余弦函數(shù)：y=cosx,xGR

正切函數(shù)：

2.三角函數(shù)定義2：設(shè)點(diǎn)P（尤,y）（不與原點(diǎn)重合）為角。終邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)戶與原點(diǎn)

22

的距離為：r=Jx+y,則：sin?=—,cosa=—ftanor=—.

rrx

3.sina、cosa、tana在四個(gè)象限的符號(hào)：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

§5.2.2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

八+業(yè)…了sina

1.平方關(guān)系：sirra+cos2a=1.2.商數(shù)關(guān)系：tanez=----.

cosa

§5.3.誘導(dǎo)公式

1.誘導(dǎo)公式一：2.誘導(dǎo)公式二：

sin（6Z+2左"）=sina.=-sina,

左eZ

cos（6Z+2kfr）=coscr,（其中:=一cosa,

tan（cr+2k/r）=tana.=tana.

3.誘導(dǎo)公式三:4.誘導(dǎo)公式四：

-sina,sin（乃一a）=sina,

cosa,cos（萬(wàn)一a）=-cosa,

一tana.tan（乃一a）=—tana.

5.誘導(dǎo)公式五:6.誘導(dǎo)公式六：

§5.4.正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.正弦.余弦函數(shù)圖象：

2.會(huì)用五點(diǎn)法作圖.

rr34

y=sinx在x￡[0,2乃]上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為：（0,0）,（—4）,（萬(wàn),0）,（，-1）,（2%,0）.

jr37r、

y=cos犬在x￡[0,2/r]上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為：（0,1）,（—,0）,（小一1）,（--,0）,（2萬(wàn),1）.

3.周期函數(shù)定義：函數(shù)/（x）定義域?yàn)镈,如果存在一個(gè)非零常數(shù),，使得對(duì)每一個(gè)無(wú)￡。，

都有了+7￡。，且/（x+T）=/（x）,那么函數(shù)/'（X）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)了叫做這

個(gè)函數(shù)的周期.

最小正周期：如果周期函數(shù)/（X）的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那這個(gè)最小正數(shù)叫

/（元）的最小正周期.

4,正余弦函數(shù)的周期：

正弦函數(shù)是周期函數(shù)，2k兀（kwZ且ICHU）都是它的周期，最小正周期是2萬(wàn)；

余弦函數(shù)是周期函數(shù)，2k兀（AeZ且左。0）都是它的周期，最小正周期是2%；

5.正切函數(shù)的圖象：

5.正弦.余弦.正切函數(shù)的圖像及其性質(zhì)：

y=sinxy—cosxy=tanx

：y1

yI

y=sinx,xER￥

!

psinxjgR1

,R?i

由

zJn/-

圖象產(chǎn)JF;X

—匹—丁7千5一^-兀：0

T：【fr

v-i-1）1

LI

71

定義域RR{x\XW—+2肛4GZ}

值域[-1,1][-1,1]R

冗,

x=2%笈+一,左￡Z時(shí)，y1rax=1

G時(shí)，

最值x=Ikrr.kZy1mx=1

7T,

冗+兀，時(shí),

x=2k4----ykGZ時(shí)，口而二一1x=2kkwZyn.n=-1無(wú)

周期性7=2%T=2兀T=冗

奇偶性奇偶奇

在［2丘-工,2版+1上單調(diào)遞增

22在每一個(gè)區(qū)間

單調(diào)性在［2攵萬(wàn)一巴2卜冗1上單調(diào)遞增

在［2〃4+金2而+等上單調(diào)遞

keZ在［2^,2k兀+4］上單調(diào)遞減上單調(diào)遞增

減

.冗對(duì)稱軸方程：X=k7T無(wú)對(duì)稱軸

對(duì)稱性對(duì)稱軸方程：x=k/r+—

2

對(duì)稱中心（?￡,o）,kwZ

keZ對(duì)稱中心Obr+—,0）,%￡Z

對(duì)稱中心（左肛0）,keZ22

§5.5.1兩角和與差的正弦,余弦.正切公式

1.兩角和與差的正弦：

Sgo)：sin(a+〃)=sinacos/?+cosasin/?

SQ“)：sin(6z-/?)=sincos(3-cosasin/?

2.兩角和與差的余弦：

：cos(a+/?)=cosacos/?-sin6Zsinf3

C(a⑼：cos(a-/?)=cosacos/?+sinasin/?

3.兩角和與差的正切：

」ana+tan夕

T、?tan(?+/?)=

(a+0?l-tancrtan/?

tana-tan/

T、:tan(a-1)

(所⑶1+tancrtan/?

4.倍角公式

(1)sin2a=2sincoscr變形：sinacosa=^sin2a.

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-\-1-2sin2a.

cos2+sin2(7=1[2cos2a=1+cos2a

變形：降賽公式：<=><o

cos2sin2a=cos2a[2sin-a=l-cos2a

(3)tan2a=2tan?

1-tana

5.輔助角公式

y=asinx+Z?cosx=y]a2+b2sin(x+cp)

a

(其中COS(p=

yja2+b24/+力。

y=asinx+bcosx=yja2+Z?2cos(x-0)

(其中cos6=/b=sin0=1",tan^=—).

行才必行b

第6章平面向量及其應(yīng)用

§6.1.平面向量的概念

1.平面向量的概念：

向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量.

向量的模：向量詬的大小，也就是向量詬的長(zhǎng)度（或稱模），記作卜石.

零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作。.

單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量叫做單位向量.

平行（共線）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共線向量）.記作：al1b.

規(guī)定：零向量與任意向量平行.

相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

§6.2.平面向量的運(yùn)算

§6.2.1.向量的加法運(yùn)算

1.向量加法的法則：向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.

AB+BC^ACOA+OB=OC

2.卜+目.同+帆（當(dāng)且僅當(dāng)a與坂方向方向相同時(shí)等號(hào)成立）.

3.向量加法的運(yùn)算律：

交換律：a+B=B+a結(jié)合律:（a+B）+c=a+（B+c）

§6.2.2.向量的減法運(yùn)算

1.相反向量：

與a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量叫做”的相反向量.記作一”.

2.向量減法的定義：

a加上B的相反向量，叫做。與行的差.

3.向量減法的法則：三角形法則.

15

A

:/Ia-b

.—?.

OA—OB=BA

§6.2.3.向量的數(shù)乘運(yùn)算

1.數(shù)乘的定義：實(shí)數(shù)幾與向量&的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘.記作：加7,

它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：

(i)k"=岡.|：

(2)當(dāng)/1>0時(shí)，4a的方向與a的方向相同；當(dāng)4<0時(shí)，Xa的方向與“的方向相反.

2.運(yùn)算律：

=；(X+〃)a=Xa+〃a；A^a+b^=Aa+Ab

3.線性運(yùn)算：向量的加.減.數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.

4.平面向量共線定理：

向量a(a*6)與坂共線的充要條件是：存在唯個(gè)實(shí)數(shù)4,使5=4a.

§6.2.4.向量的數(shù)量積

1.向量的夾角：

已知兩個(gè)非零向量a,b(。是平面上的任意一點(diǎn)，作礪=￡,礪=坂，則

NA05=e(owew〃)叫做向量a與坂的夾角.

2.。與B垂直：

如果〃與B的夾角是三,則a與B垂直，記作〃

2

3.數(shù)量積：

已知兩個(gè)非零向量。,B,它們的夾角為。,我們把數(shù)量忖1卜0$6叫做向量。與加的數(shù)量

積(或內(nèi)積)，記作。石,即Q?B=|聞/^cos'.

4.投影向量：

向量[在B上的投影向量：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作麗7=￡,兩二瓦過(guò)點(diǎn)M作直線ON的

垂線，垂足為M],則可*就是向量Z在向量B上的投影向量.

設(shè)與B同方向的單位向量為e,。與B的夾角為。，則=Mcos8e.

16

5,數(shù)量積的性質(zhì)：

(1)a?e=e-Q=^cose

(2)Q_LB<=>Q?B=0

(3)a-a^或止后=同

(4)向林忖

6.數(shù)量積的運(yùn)算律：

(1)ab=b-a

(2)(〈〃).1=4(4%)=4.(4))

(3)(a+孫c=a?c+B?c

―?~*\2—?2—?—?—?2/—?一\/—?—?\—*2_*2

(a+h\-a+2a-b+b,\a+b\-\a-b\-a-b.

§6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

§6.3.1平面向量基本定理

平面向量基本定理：

如果a'是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)任一向量￡,有且只有一

對(duì)實(shí)數(shù)4，%，使a=4q+402.｛弓"?｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.

§6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

1.正交分解：

把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

2.向量。的坐標(biāo)表示：

在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸.y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為7,]，?。?]｝作為基

底.對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a,由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使得

a=xi+yj,這樣平面內(nèi)的任一向量。都可由x,y唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做

向量。的坐標(biāo)，記作a=(x,y),其中X叫做。在X軸上的坐標(biāo)，y叫做。在y軸上的坐標(biāo)，

a=(x,y)叫做向量。的坐標(biāo)表示.

§6.3.3平面向量加.減運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1.設(shè)。=(%,y)石=(々，%),則：

⑴a+7=(%+/，y+%)，

17

（2）a-b=（xy-工2，乂一%），

即：兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）

2.已知4%?|）,3（尢2，%），則AB=（%2—%，%一y）?

§6.3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1.設(shè)〃=（%,y）,則2?=（Ax,/ly）.

2.設(shè)〃=（王，芳）石=（七,％），則向量共線的充要條件是百必一工2凹=。?

§6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

1,設(shè)q=（x，x）石=（X2，%），則：

(1)a-h=x]x2+y]y2

⑵W=Jx：+“2

(3)a-\-b<=>a-b=0<^>x]x2-\-y}y2=0

」+也力

(4)X|X

8"儡F2+y,2??；+丫2?

⑸設(shè)4(為，%),8(々，M)，則：.|=)(%2-X1)2+(乂->1)2-

6.4平面向量的應(yīng)用

h2+c2-a2

cosA=---------,

/=-2bccosA,2bc

221

212a+c-b

1.余弦定理：］b=a+c-26fccosB,推論：\cosB=----------,

lac

c2=cr+b2-2ahcosC.

a2+b2-c2

cosC=----------.

lab

2.正弦定理：

，=上=二=2凡

sinAsinBsinC

(其中R為A48。外接圓的半徑)

<^>a-27?sinA,h=2/?sinB,c=27?sinC;

<=>sinA=,sinB,sinC=-^-;

2R2R2R

oa:)：c=sinA:sin3:sinC

18

第7章復(fù)數(shù)

§7.1復(fù)數(shù)的概念

1.復(fù)數(shù)：形式如z=a+/?i(a,Z)eH)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中，叫虛數(shù)單位，『=-1.

a叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫復(fù)數(shù)的虛部.

2.復(fù)數(shù)的分類

復(fù)數(shù)z=a+初(a,beR)

'實(shí)數(shù)S=0)

〈人”［純虛數(shù)(a=0,。/0)

［非純虛數(shù)3#0/#0)

3.復(fù)數(shù)的幾何意義

復(fù)平面：用來(lái)表示復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)系，其中無(wú)軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.

復(fù)數(shù)z=a+bi＜二二*場(chǎng)一復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(。力)

復(fù)數(shù)z=a+初＜二一理7平面向量近

4,復(fù)數(shù)的模

向量OZ的模叫復(fù)數(shù)z=a+初匕eR)的?；蚪^對(duì)值，^\z\=\a+bi\=yla2+b2.

5.共機(jī)復(fù)數(shù)

當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共稅復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)z的共機(jī)

復(fù)數(shù)用z表示，z=a—hi.

§7.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

1.復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義

(1)復(fù)數(shù)加減法：(a+bi)士(c+di)=(a±c)+(b±d)i；

(2)復(fù)數(shù)加法的幾何意義：

復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來(lái)進(jìn)行：

y

困，區(qū)分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)a+4,c+小，即西=(a,力)，區(qū)=(c,d),t2

則OZ］+OZ2=(a+c,/?+d)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)(a+c)+(0+d)i./

//^Jztia.b)

2.復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算:

(1)復(fù)數(shù)的乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i；!

a+bi(a+bi)(c-di)ac+bdbe—ad.

(2)復(fù)數(shù)的除法——=)—3A/—~~^r+―—萬(wàn)，.

c+di(c+d/)(c—山)c~+dc+d~

3.常見(jiàn)的運(yùn)算規(guī)律

19

Q)|N|=IW;(2)z-z=|z|2=|z|2=a24-fe2;

20

第8章立體幾何初步

§8.1基本立體圖形

空間幾何體的結(jié)構(gòu)：

⑴常見(jiàn)的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺(tái)；常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)體有：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球.

⑵棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相

平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.

直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.

斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.

正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱.

平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱叫平行六面體.

(3)棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的

多面體叫棱錐.

正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫正棱錐.

(4)棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面

體叫做棱臺(tái).

(5)圓柱：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體

叫圓柱.

軸：旋轉(zhuǎn)軸叫圓柱的軸：

底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫圓柱的底面.

側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫圓柱的側(cè)面.

母線：平行于軸的邊都叫圓柱側(cè)面的母線.

(6)圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所

圍成的旋轉(zhuǎn)體叫圓錐.

(7)圓臺(tái)：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫圓臺(tái)，

(8)球：半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫球面，球面所圍

成的旋轉(zhuǎn)體叫球體，簡(jiǎn)稱球.半圓的圓心叫球的球心.連結(jié)球心和球面上任意一

點(diǎn)的線段叫球的半徑.連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過(guò)球心的線段叫做球的直徑.

§8.2立體圖形的直觀圖

斜二測(cè)畫(huà)法：

(1)建立平面直角坐標(biāo)系：在已知平面圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)。.

(2)畫(huà)出斜坐標(biāo)系：在畫(huà)直觀圖的紙上(平面上)畫(huà)出對(duì)應(yīng)的x'軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)0,

且使NxOy=45"或135,，它們確定的平面表示水平面.

21

(3)畫(huà)對(duì)應(yīng)圖形：在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀圖中畫(huà)成平行于x軸，長(zhǎng)度保持不

變.在已知圖形平行于y軸的線段，在直觀圖中畫(huà)成平行于y軸，且長(zhǎng)度為原來(lái)一半.

§8.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積

(1)圓柱側(cè)面積；S側(cè)面=2》?廣/(/■是底面圓半徑，/是母線長(zhǎng))

(2)圓錐側(cè)面積：S1H面=萬(wàn)"?/O是底面圓半徑，/是母線長(zhǎng))

(3)體積公式：

丫柱體=s/：咻體吟體=?6+后+S)

(4)球的表面積和體積：

S球=4成2,V球=g江

§8.4空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

§8.4.1平面

1.三個(gè)事實(shí)：

基本事實(shí)1：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

(即不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面)

基本事實(shí)2：如果一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直

線.

2.三個(gè)推論：

推論1:經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.

推論3:經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.

§8.4.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

1.空間中直線和直線的位置關(guān)系

異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫異面直線.

-

相交直線

共面直線

空間中直線和直線的位置關(guān)系：，異面直線

、異面直線

2.空間中直線和平面的位置關(guān)系

ff直線與平面相交

直線在平面外《

空間中直線和平面的位置關(guān)系：＜［直線與平面平行

直線在平面內(nèi)

3.空間中平面和平面的位置關(guān)系

22

f兩個(gè)平面平行

空間中平面和平面的位置關(guān)系：，

［兩個(gè)平面相交

§8.5空間直線、平面的平行

§8.5.1直線與直線平行

1.基本事實(shí)4：平行與同一條直線的兩條直線平行.

2,定理：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

§8.5.2直線與平面平行

1.線面平行判定定理（線線平行二線面平行）：

如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.

2.線面平行性質(zhì)定理（線面平行二線線平行）：

一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.

§8.5.3平面與平面平行

1.面面平行判定定理1（線面平行=面面平行）：

如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行.

2.面面平行判定定理2（線線平行=面面平行）：

如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行，那么這兩個(gè)平面平行.

3.面面平行性質(zhì)定理（面面平行二線線平行）：

兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行.

4.面面平行的定義推論（面面平行二線面平行）：

如果兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個(gè)平面平行.

§8.6空間直線、平面的垂直

§8.6.1直線與直線垂直

1.異面直線所成的角定義：

已知兩異面直線經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)。分別作直線a//a,5/〃?，我們把直線a,5所成

的角叫做異面直線a"所成的角.空間兩條直線所成角的取值范圍是［0°,90°］.

2.兩條異面直線互相垂直的定義：

如果兩條異面直線所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直.

§8.6.2直線與平面垂直

1.直線與平面垂直的定義：

如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說(shuō)直線/與平面a互相垂直.

2.線面垂直定義的推論（線面垂直二＞線線垂直）：

如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么該直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線.

3.點(diǎn)到平面的距離的定義：

23

過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條，過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂

足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段.垂線段的長(zhǎng)度叫這個(gè)點(diǎn)到平面的距離.

4.線面垂直判定定理（線線垂直=線面垂直）：

如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.

5.線面垂直性質(zhì)定理：

（1）垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

（2）如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于該平面.

6.直線和平面所成的角的定義：

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.

直線和平面所成的角范圍是[0°,90°].

7.直線到平面的距離的定義：

一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到平面

的距離.

8.兩個(gè)平行平面間的距離的定義：

如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，把它叫做

兩個(gè)平行平面間的距離.

§8.6.3平面與平面垂直

1.二面角的定義：

從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個(gè)半平

面叫二面角的面.

記作：例如二面角cz—AB—萬(wàn)或二面角口一/一尸或二面角P-1-Q.

2.二面角的平面角：

在二面角。一/一，的棱上任取一點(diǎn)0,分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作射線AO_L/,6O_L/,則

NAOB為二面角a-l—（3的平面角.

二面角的范圍是[0°,180°].

3.兩個(gè)平面互相垂直的定義：

兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.

4.面面垂直判定定理（線面垂直二＞面面垂直）：

如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.

5.面面垂直性質(zhì)定理（面面垂直二線面垂直）：

兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一

個(gè)平面垂直.

24

第9章統(tǒng)計(jì)

§9.1隨機(jī)抽樣

1.抽樣調(diào)查

根據(jù)一定目的，從總體中抽取一部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，并以此為依據(jù)對(duì)總體的情況作出估計(jì)和

推斷的調(diào)查方法，稱為抽樣調(diào)查.

樣本：從總體中抽取的那部分個(gè)體稱為樣本.

樣本容量(樣本量)：樣本中包含的個(gè)體數(shù)稱為樣本容量.

2.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

設(shè)一個(gè)總體含有N(N為正整數(shù))個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)抽取“(/WwVV)個(gè)個(gè)體作為樣本，如果抽

取是放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法

叫做放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；如果抽取是不放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)未進(jìn)入樣本的各個(gè)個(gè)體

被抽到的概率都相等，我們這樣的抽樣方法叫做不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和

不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

3.分層隨機(jī)抽樣

按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)

子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這

樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣.

§9.2用樣本估計(jì)總體

1.總體取值規(guī)律的估計(jì)

頻率分布直方圖的畫(huà)法：

(1)求極差(2)決定組