【解析】黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)高三第四次模擬數(shù)學(xué)（理）試題

2020年高三學(xué)年第四次高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷（理工類）一、選擇題，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合A,B，再根據(jù)并集定義求結(jié)果.【詳解】,故選：B【點(diǎn)睛】本題考查集合并集，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.的共軛復(fù)數(shù)為，且滿足，則復(fù)數(shù)的模是（）A.1 B.2 C. D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)、共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)模的概念，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，則，又，所以，又，所以復(fù)數(shù)的模為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)、共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)模的概念，屬于基礎(chǔ)題.，，若，則（）A.－6 B. C. D.6【答案】A【解析】【分析】由題得，解方程即得解.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量垂直的坐標(biāo)表示，考查數(shù)量積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：.它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，信道內(nèi)信號(hào)的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì).按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，而將信噪比從1000提升至4000，則大約增加了（）附：A.10% B.20% C.50% D.100%【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，計(jì)算出即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)樗詫⑿旁氡葟?000提升至4000，則大約增加了20%故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是對(duì)數(shù)的運(yùn)算，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.滿足約束條件，則的最大值為（）A.2 B.4 C.11 D.14【答案】C【解析】【分析】先作出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，再通過數(shù)形結(jié)合分析得到的最大值.【詳解】不等式組對(duì)應(yīng)的可行域是如圖所示的區(qū)域，由得，它表示斜率為，縱截距為的直線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，縱截距最小，此時(shí)最大.聯(lián)立得,所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.的圖象大致為（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)排除選項(xiàng)，再根據(jù)確定答案.【詳解】由題得，所以排除選項(xiàng).由題得，所以選A.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)函數(shù)的解析式找圖象，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.7.一個(gè)物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻的速度為（的單位：，的單位：），那么它在這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程（單位：）的值為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由速度在給定的時(shí)間范圍內(nèi)的定積分可得到答案.【詳解】這輛汽車在這段時(shí)間內(nèi)汽車行駛的路程，

所以這輛汽車在這段時(shí)間內(nèi)汽車行駛的路程s為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了定積分在物理中的應(yīng)用，速度在時(shí)間范圍內(nèi)的積分是路程，屬于基礎(chǔ)題.的圖象，只需把函數(shù)的圖象（）A.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式及誘導(dǎo)公式，將化簡(jiǎn)為，即可判斷.【詳解】由題意可得，，所以只需把函數(shù)的圖象向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)圖象的平移變換，屬于基礎(chǔ)題.和圓的公共弦所在的直線恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】利用兩圓的方程作差求得公共弦的方程，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到，再求得原點(diǎn)到直線的距離為，即可求得的最小值.【詳解】由圓和圓，可得圓和的公共弦所在的直線方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，即，又由原點(diǎn)到直線的距離為，即的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線過定點(diǎn)問題，以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，著重考查推理與運(yùn)算能力.的外接球的體積為，將正方體割去部分后，剩余幾何體的三視圖如圖所示，則剩余幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求球的半徑，即得正方體棱長(zhǎng)，根據(jù)三視圖還原幾何體，再根據(jù)正方體以及錐體體積公式求結(jié)果.【詳解】設(shè)外接球的半徑為正方體棱長(zhǎng)為，因?yàn)檎襟w的外接球的體積為，所以由三視圖知幾何體為正方體截去兩個(gè)角（如圖），其體積為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖、正方體以及錐體體積、球體積，考查空間想象能力以及基本求解能力，屬中檔題.滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知且，再利用基本不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，因?yàn)椋运?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過參變分離可得，構(gòu)造函數(shù)，只需求出即可，利用求導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)區(qū)間，得出，進(jìn)而求出的取值范圍.【詳解】恒成立，則，只需設(shè)當(dāng)，；當(dāng)，；所以，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了含參不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問題，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)最值等基本知識(shí)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思維，屬于中檔題.二、填空題，則______.【答案】【解析】【分析】，二項(xiàng)分布的性質(zhì)可知，，即可得出結(jié)果.【詳解】由二項(xiàng)分布的性質(zhì)可知，，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)分布的性質(zhì)和應(yīng)用，考查理解辨析能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題目.滿足，則______.【答案】【解析】【分析】利用兩角和余弦公式化簡(jiǎn)，兩邊平方可得的值，利用齊次式化弦為切，求的值，進(jìn)而求出的值，利用兩角和的正弦公式，可得結(jié)果.【詳解】銳角滿足，，兩邊平方可得：，，即，解得或，因?yàn)闉殇J角，，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變型，兩角和的正、余弦公式與二倍角公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題目.15.我國(guó)在北宋年間（公元1084年）第一次印刷出版了《算經(jīng)十書》，即賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》，劉益的《議古根源》，秦九韶的《數(shù)書九章》，李冶的《測(cè)圓海鏡》和《益古演段》，楊輝的《詳解九章算法》、《日用算法》和《楊輝算法》，朱世杰的《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》.這些書中涉及的很多方面都達(dá)到古代數(shù)學(xué)的高峰，其中一些“算法”如開立方和開四次方也是當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)的高峰.哈三中圖書館中正好有這十本書，現(xiàn)在小張同學(xué)從這十本書中任借三本閱讀，那么他借到的三本書中書名中恰有一個(gè)“算”字的概率為______.【答案】【解析】【分析】先確定含有“算”字的書，結(jié)合組合數(shù)分別求出基本事件總數(shù)、恰含有一個(gè)“算”字的基本事件數(shù)，利用古典概型概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知，這十本書中共有五本有一個(gè)“算”字，所以小張同學(xué)從這十本書中任借三本閱讀共有種情況，他借到的三本書中書名中恰有一個(gè)“算”字共有種情況，故概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型及組合數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)稱為，且，直線與橢圓交于點(diǎn)，且滿足，則直線和的斜率之積為______，橢圓的離心率為______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】設(shè)的坐標(biāo)，由題意可得的坐標(biāo)，再由向量的關(guān)系求出的坐標(biāo)，求出，，的斜率表達(dá)式；又在橢圓上，將的坐標(biāo)代入橢圓的方程，化簡(jiǎn)可得，又在直線上，可得，進(jìn)而求出的斜率，再由可求出直線和的斜率之積，進(jìn)而求出離心率．【詳解】設(shè)，，則，因?yàn)?，所以所以斜率為，斜率為，斜率為又，在橢圓上，所以；所以,所以，又，所以,所以，所以，所以，所以橢圓的離心率為.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的離心率、橢圓的性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題.三、解答題，其前項(xiàng)和為，滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）利用把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求的通項(xiàng)；（2）利用等比數(shù)列的求和公式與裂項(xiàng)求和法可求的前項(xiàng)和.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，∴是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，∴.（2）由（1）的，則，∴.【點(diǎn)睛】數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系式，我們常利用這個(gè)關(guān)系式實(shí)現(xiàn)與之間的相互轉(zhuǎn)化.而數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，如果通項(xiàng)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)，則用公式直接求和；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯(cuò)位相減法；如果通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；如果通項(xiàng)的符號(hào)有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法;中檔題.18.如圖，四棱錐的底面是矩形，平面平面，，且，點(diǎn)為中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）直線和平面所成的角為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）可證平面，從而得到平面平面.（2）設(shè)為中點(diǎn)，連結(jié)，，可以證明、、，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系后可求給定的二面角的余弦值.【詳解】解：（1）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，∵平面，∴又∴，∴，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）設(shè)為中點(diǎn)，連結(jié)，，又，故且，.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.∵平面，∴，又為矩形的對(duì)邊的中點(diǎn)，故.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)，其中，則.又平面的法向量為，所以，故，所以，所以，.故，，，設(shè)平面的法向量為故即，令，∴.設(shè)平面的法向量為故即，令，∴，∴，因?yàn)槎娼菫殇J角，故其余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明以及線面角、二面角的計(jì)算，后者常借助空間向量（即直線的方向向量和平面的法向量）的夾角來幫助計(jì)算.19.已知某種新型病毒的傳染能力很強(qiáng)，給人們生產(chǎn)和生活帶來很大的影響，所以創(chuàng)新研發(fā)疫苗成了當(dāng)務(wù)之急.為此，某藥企加大了研發(fā)投入，市場(chǎng)上這種新型冠狀病毒的疫苗的研發(fā)費(fèi)用（百萬元）和銷量（萬盒）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：研發(fā)費(fèi)用（百萬元）236101314銷量（萬盒）112254（1）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的線性回歸方程（用分?jǐn)?shù)表示）；（2）根據(jù)所求的回歸方程，估計(jì)當(dāng)研發(fā)費(fèi)用為1600萬元時(shí)，銷售量為多少？參考公式：，.【答案】（1）；（2）銷售量為47769盒.【解析】【分析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和題中所給參考公式可計(jì)算出，利用最小二乘法求的值，代入，可得，進(jìn)而求出回歸方程.（2）將，代入回歸方程即可.【詳解】（1），，，，，，（2）當(dāng)時(shí)，代入回歸方程（萬盒）（盒）當(dāng)研發(fā)費(fèi)用為16000000時(shí)，銷售量為47769盒.【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程，最小二乘法等基本知識(shí)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、數(shù)據(jù)分析能力和邏輯推理能力，屬于一般題目.經(jīng)過點(diǎn)與直線相切，圓心的軌跡為曲線，過點(diǎn)做直線與曲線交于不同兩點(diǎn)，三角形的垂心為點(diǎn).（1）求曲線的方程；（2）求證：點(diǎn)在一條定直線上，并求出這條直線的方程.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義，得到圓心表示以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，即可求得圓心的軌跡方程；（2）設(shè)，由三點(diǎn)共線，求得的值，再求得過點(diǎn)與直線垂直和點(diǎn)與直線垂直的直線方程，聯(lián)立方程組，求得，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）圓經(jīng)過點(diǎn)與直線相切，則圓心滿足到點(diǎn)與到直線的距離相等，根據(jù)拋物線的定義，可得圓心表示以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，其中，所以圓心的軌跡方程為.（2）設(shè)，，由三點(diǎn)共線，則，整理得，過點(diǎn)與直線垂直的直線為，同理過點(diǎn)與直線垂直的直線為，兩條垂線聯(lián)立方程組，解得，所以垂心在直線.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.的圖象與直線相切.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若存在實(shí)數(shù)滿足且，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義化簡(jiǎn)得出，解出，即可確定的值；（2）令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出，證明，即可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）設(shè)切點(diǎn)為，則，消得，令，得當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，且又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，得.（2）由已知，因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，且所以，，即令，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）即.令，因?yàn)樵跒閱握{(diào)遞增函數(shù)，，.所以存在，使得，且，，，即，即函數(shù)在為單調(diào)遞減函數(shù)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)所以又因?yàn)?，所以所以原不等式成?【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于中檔題.22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，若直線與曲線交于兩點(diǎn).（1）若，求；（2）若點(diǎn)是曲線上不同于的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】（1）5；（2）.【解析】【分析】（1）將圓的極坐標(biāo)方程化為直角方程，再利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可求的值.（2）先求出直線的普通方程，再分別求出的長(zhǎng)及圓心到直線的距離，從而可求面積的最大值.【詳解】解：（1）設(shè)，因?yàn)?，所以，將（為參?shù)）代入得到，,故是該方程的兩個(gè)正根，又.（2）直線的直角方程為即.又，故圓心坐標(biāo)為，圓心到直線的距離為，故到的距離的最大值為.故，故的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查圓的極坐標(biāo)方程與直角方程的互化、直線的參數(shù)方程與直角方程的互化，注意非直角方程下的最值問題，一般需轉(zhuǎn)化到直角方程下去討論求解.，的解集為.（1）若存