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(時(shí)間60分鐘,滿分80分)一、選擇題(共6個(gè)小題,每小題5分,滿分30分)1.(2011·山東濰坊)如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖,這個(gè)幾何體的體積是()A.2π B.3πC.6π D.9π解析:由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)由底面半徑為2高為3的圓柱中間挖去一個(gè)底面半徑為1的等高圓柱后余下的部分,所以,其體積為π×(22-12)×3=9π.答案:D2.一個(gè)幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示,側(cè)(左)視圖為等腰三角形,俯視圖為正方形,則這個(gè)幾何體的體積等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(\r(15),6) D.eq\f(\r(62),24)解析:由題中的三視圖可知,該幾何體是一個(gè)四棱錐,所以其體積為V=eq\f(1,3)Sh=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2=eq\f(1,3).答案:A3.(2011·深圳模擬)如圖,一個(gè)簡單組合體的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖都是由一個(gè)正方形與一個(gè)正三角形構(gòu)成的相同的圖形,俯視圖是一個(gè)半徑為eq\r(3)的圓(包括圓心).則該組合體的表面積等于()A.15π B.18πC.21π D.24π解析:由題意可知,該組合體的下面為圓柱體,上面為圓錐體,由相應(yīng)幾何體的面積計(jì)算公式得,該組合體的表面積為:S=πr2+2πrh+πrl=π(eq\r(3))2+2π×(eq\r(3))×2eq\r(3)+π×(eq\r(3))×2eq\r(3)=21π.答案:C4.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的體積等于()A.4 B.6C.8 D.12解析:由三視圖得幾何體為四棱錐,如圖記作S—ABCD,其中SA⊥面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且ABCD為直角梯形.∠DAB=90°,∴V=eq\f(1,3)SA×eq\f(1,2)(AB+CD)×AD=eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)(2+4)×2=4.答案:A5.(2010·遼寧錦州期末)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體的體積是()A.27 B.30C.33 D.36解析:由三視圖知該幾何體為組合體,由一個(gè)正四棱錐與一個(gè)正方體疊加構(gòu)成,其中正方體的棱長為3,正四棱錐高為1,底面正方形邊長為3,∴V=V柱+V錐=33+eq\f(1,3)×9×1=30.答案:B6.一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.eq\f(6,5)πcm3 B.3πcm3C.eq\f(2,3)πcm3 D.eq\f(7,3)πcm3解析:由三視圖可知,此幾何體為底面半徑為1cm、高為3cm的圓柱上部去掉一個(gè)半徑為1cm的半球,所以其體積為V=πr2h-eq\f(2,3)πr3=3π-eq\f(2,3)π=eq\f(7,3)π(cm3).答案:D二、填空題(共3個(gè)小題,每小題5分,滿分15分)7.四棱錐P-ABCD的頂點(diǎn)P在底面ABCD中的投影恰好是A,其三視圖如圖,則四棱錐P-ABCD的表面積為________.解析:由三視圖可得,三角形ABP的面積等于三角形ADP的面積且為eq\f(1,2)a2,三角形BPC的面積等于三角形CDP的面積且為eq\f(\r(2),2)a2,正方形ABCD的面積為a2,所以可得四棱錐P-ABCD的表面積為(2+eq\r(2))a2.答案:(2+eq\r(2))a28.(2010·湖北高考)圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水,若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后,水恰好淹沒最上面的球(如圖所示),則球的半徑是________cm.解析:設(shè)球的半徑為rcm,則底面圓的半徑為rcm,從而有8πr2+3×eq\f(4,3)πr3=6r·πr2,由此解得r=4.答案:49.(2010·南京模擬)如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2cm,高為5cm,則一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā),沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1解析:根據(jù)題意,利用分割法將原三棱柱分割為兩個(gè)相同的三棱柱,然后將其展開為如圖所示的實(shí)線部分,則可知所求最短路線的長為eq\r(52+122)=13cm.答案:13三、解答題(共3個(gè)小題,滿分35分)10.已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形,正(主)視圖是一個(gè)底邊長為8,高為4的等腰三角形,側(cè)(左)視圖是一個(gè)底邊長為6,高為4的等腰三角形.(1)求該幾何體的體積V;(2)求該幾何體的側(cè)面積S.解:由已知可得該幾何體是一個(gè)底面為矩形,高為4,頂點(diǎn)在底面的射影是矩形中心的四棱錐.(1)V=eq\f(1,3)×(8×6)×4=64.(2)該四棱錐有兩個(gè)側(cè)面PAD、PBC是全等的等腰三角形,且BC邊上的高為h1=eq\r(42+\f(8,2)2)=4eq\r(2),另兩個(gè)側(cè)面PAB、PCD也是全等的等腰三角形,AB邊上的高為h2=eq\r(42+\f(6,2)2)=5,因此S=2(eq\f(1,2)×6×4eq\r(2)+eq\f(1,2)×8×5)=40+24eq\r(2).11.正三棱錐的高為1,底面邊長為2eq\r(6),內(nèi)有一個(gè)球與四個(gè)面都相切,求棱錐的表面積和球的半徑.解:過PA與球心O作截面PAE與平面PCB交于PE,與平面ABC交于AE,因△ABC是正三角形,易知AE即是△ABC中BC邊上的高,又是BC邊上的中線,作為正三棱錐的高PD通過球心,且D是三角形△ABC的重心,據(jù)此根據(jù)底面邊長為2eq\r(6),即可算出DE=eq\f(1,3)AE=eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×2eq\r(6)=eq\r(2),PE=eq\r(1+\r(2)2)=eq\r(3),由△POF∽△PED,知eq\f(r,DE)=eq\f(1-r,PE),∴eq\f(r,\r(2))=eq\f(1-r,\r(3)),r=eq\r(6)-2.∴S表=S側(cè)+S底=3×eq\f(1,2)×2eq\r(6)×eq\r(3)+eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(6))2=9eq\r(2)+6eq\r(3).12.(2010·廣州模擬)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),點(diǎn)N是AA1的中點(diǎn).(1)求證:MN∥平面A1CD;(2)過N,C,D三點(diǎn)的平面把長方體ABCD-A1B1C1D1解:(1)證明:設(shè)點(diǎn)P為AD的中點(diǎn),連結(jié)MP、NP,∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),∴MP∥CD.∵CD?平面A1CD,MP?平面A1CD,∴MP∥平面A1CD.∵點(diǎn)N是AA1的中點(diǎn),∴NP∥A1D.∵A1D?平面A1CD,NP?平面A1CD,∴NP∥平面A1CD.∵M(jìn)P∩NP=P,MP?平面MNP,NP?平面MNP,∴平面MNP∥平面A1CD.∵M(jìn)N?平面MNP,∴MN∥平面A1CD.(2)取BB1的中點(diǎn)Q,連結(jié)NQ、CQ、ND,∵點(diǎn)N是AA1的中點(diǎn),∴NQ∥AB.∵AB∥CD,∴NQ∥CD,∴過N、C、D三點(diǎn)的平面NQCD把長方體ABCD-A1B1C1D1截成兩部分幾何體,其中一部分幾何體為直棱柱QBC-NAD,另一部分幾何體為直四棱柱B1QCC1-A1NDD1∴S△QBC=eq\f(1,2)·QB·BC=eq\f(1,2)×1×1=eq\f(1,2),∴直三棱柱QBC-NAD的體積V1=S△QBC·AB=eq\f(1,2).∵長方體ABCD-A1B1C1D1的體積V=1×1×∴直四棱柱B1QCC1-A1NDD1
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