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文檔簡介
內(nèi)蒙古阿拉善盟2025屆高三壓軸卷數(shù)學試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,在正方體中,已知、、分別是線段上的點,且.則下列直線與平面平行的是()A. B. C. D.2.如圖所示的程序框圖,當其運行結(jié)果為31時,則圖中判斷框①處應填入的是()A. B. C. D.3.若復數(shù)滿足,復數(shù)的共軛復數(shù)是,則()A.1 B.0 C. D.4.已知點,是函數(shù)的函數(shù)圖像上的任意兩點,且在點處的切線與直線AB平行,則()A.,b為任意非零實數(shù) B.,a為任意非零實數(shù)C.a(chǎn)、b均為任意實數(shù) D.不存在滿足條件的實數(shù)a,b5.在中,是的中點,,點在上且滿足,則等于()A. B. C. D.6.的展開式中的系數(shù)為()A.5 B.10 C.20 D.307.四人并排坐在連號的四個座位上,其中與不相鄰的所有不同的坐法種數(shù)是()A.12 B.16 C.20 D.88.根據(jù)最小二乘法由一組樣本點(其中),求得的回歸方程是,則下列說法正確的是()A.至少有一個樣本點落在回歸直線上B.若所有樣本點都在回歸直線上,則變量同的相關(guān)系數(shù)為1C.對所有的解釋變量(),的值一定與有誤差D.若回歸直線的斜率,則變量x與y正相關(guān)9.已知雙曲線:(,)的右焦點與圓:的圓心重合,且圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為,則雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.310.已知,,,若,則()A. B. C. D.11.復數(shù)為純虛數(shù),則()A.i B.﹣2i C.2i D.﹣i12.已知集合,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.正方體中,是棱的中點,是側(cè)面上的動點,且平面,記與的軌跡構(gòu)成的平面為.①,使得;②直線與直線所成角的正切值的取值范圍是;③與平面所成銳二面角的正切值為;④正方體的各個側(cè)面中,與所成的銳二面角相等的側(cè)面共四個.其中正確命題的序號是________.(寫出所有正確命題的序號)14.已知等差數(shù)列的各項均為正數(shù),,且,若,則________.15.若函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù))在和兩處取得極值,且,則實數(shù)的取值范圍是______.16.已知一個四面體的每個頂點都在表面積為的球的表面上,且,,則__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是菱形,∠,是邊長為2的正三角形,,為線段的中點.(1)求證:平面平面;(2)若為線段上一點,當二面角的余弦值為時,求三棱錐的體積.18.(12分)已知,(其中).(1)求;(2)求證:當時,.19.(12分)已知是等差數(shù)列,滿足,,數(shù)列滿足,,且是等比數(shù)列.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.20.(12分)已知數(shù)列滿足,,數(shù)列滿足.(Ⅰ)求證數(shù)列是等比數(shù)列;(Ⅱ)求數(shù)列的前項和.21.(12分)已知函數(shù).(1)若,求不等式的解集;(2)已知,若對于任意恒成立,求的取值范圍.22.(10分)某貧困地區(qū)幾個丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路,以及鐵路線上的一條應開鑿的直線穿山隧道,為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路,以所在的直線分別為軸,軸,建立平面直角坐標系,如圖所示,山區(qū)邊界曲線為,設公路與曲線相切于點,的橫坐標為.(1)當為何值時,公路的長度最短?求出最短長度;(2)當公路的長度最短時,設公路交軸,軸分別為,兩點,并測得四邊形中,,,千米,千米,求應開鑿的隧道的長度.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
連接,使交于點,連接、,可證四邊形為平行四邊形,可得,利用線面平行的判定定理即可得解.【詳解】如圖,連接,使交于點,連接、,則為的中點,在正方體中,且,則四邊形為平行四邊形,且,、分別為、的中點,且,所以,四邊形為平行四邊形,則,平面,平面,因此,平面.故選:B.【點睛】本題主要考查了線面平行的判定,考查了推理論證能力和空間想象能力,屬于中檔題.2、C【解析】
根據(jù)程序框圖的運行,循環(huán)算出當時,結(jié)束運行,總結(jié)分析即可得出答案.【詳解】由題可知,程序框圖的運行結(jié)果為31,當時,;當時,;當時,;當時,;當時,.此時輸出.故選:C.【點睛】本題考查根據(jù)程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu),已知輸出結(jié)果求條件框,屬于基礎題.3、C【解析】
根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的運算法則求出,再根據(jù)共軛復數(shù)的概念求解即可.【詳解】解:∵,∴,則,∴,故選:C.【點睛】本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的運算法則,考查共軛復數(shù)的概念,屬于基礎題.4、A【解析】
求得的導函數(shù),結(jié)合兩點斜率公式和兩直線平行的條件:斜率相等,化簡可得,為任意非零實數(shù).【詳解】依題意,在點處的切線與直線AB平行,即有,所以,由于對任意上式都成立,可得,為非零實數(shù).故選:A【點睛】本題考查導數(shù)的運用,求切線的斜率,考查兩點的斜率公式,以及化簡運算能力,屬于中檔題.5、B【解析】
由M是BC的中點,知AM是BC邊上的中線,又由點P在AM上且滿足可得:P是三角形ABC的重心,根據(jù)重心的性質(zhì),即可求解.【詳解】解:∵M是BC的中點,知AM是BC邊上的中線,又由點P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM=1∴∴故選B.【點睛】判斷P點是否是三角形的重心有如下幾種辦法:①定義:三條中線的交點.②性質(zhì):或取得最小值③坐標法:P點坐標是三個頂點坐標的平均數(shù).6、C【解析】
由知,展開式中項有兩項,一項是中的項,另一項是與中含x的項乘積構(gòu)成.【詳解】由已知,,因為展開式的通項為,所以展開式中的系數(shù)為.故選:C.【點睛】本題考查求二項式定理展開式中的特定項,解決這類問題要注意通項公式應寫準確,本題是一道基礎題.7、A【解析】
先將除A,B以外的兩人先排,再將A,B在3個空位置里進行插空,再相乘得答案.【詳解】先將除A,B以外的兩人先排,有種;再將A,B在3個空位置里進行插空,有種,所以共有種.故選:A【點睛】本題考查排列中不相鄰問題,常用插空法,屬于基礎題.8、D【解析】
對每一個選項逐一分析判斷得解.【詳解】回歸直線必過樣本數(shù)據(jù)中心點,但樣本點可能全部不在回歸直線上﹐故A錯誤;所有樣本點都在回歸直線上,則變量間的相關(guān)系數(shù)為,故B錯誤;若所有的樣本點都在回歸直線上,則的值與相等,故C錯誤;相關(guān)系數(shù)r與符號相同,若回歸直線的斜率,則,樣本點分布應從左到右是上升的,則變量x與y正相關(guān),故D正確.故選D.【點睛】本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì),意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.9、A【解析】
由已知,圓心M到漸近線的距離為,可得,又,解方程即可.【詳解】由已知,,漸近線方程為,因為圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為,所以圓心M到漸近線的距離為,故,所以離心率為.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線離心率的問題,涉及到直線與圓的位置關(guān)系,考查學生的運算能力,是一道容易題.10、B【解析】
由平行求出參數(shù),再由數(shù)量積的坐標運算計算.【詳解】由,得,則,,,所以.故選:B.【點睛】本題考查向量平行的坐標表示,考查數(shù)量積的坐標運算,掌握向量數(shù)量積的坐標運算是解題關(guān)鍵.11、B【解析】
復數(shù)為純虛數(shù),則實部為0,虛部不為0,求出,即得.【詳解】∵為純虛數(shù),∴,解得..故選:.【點睛】本題考查復數(shù)的分類,屬于基礎題.12、A【解析】
考慮既屬于又屬于的集合,即得.【詳解】.故選:【點睛】本題考查集合的交運算,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①②③④【解析】
取中點,中點,中點,先利用中位線的性質(zhì)判斷點的運動軌跡為線段,平面即為平面,畫出圖形,再依次判斷:①利用等腰三角形的性質(zhì)即可判斷;②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設正方體的棱長為2,進而求解;③由,取為中點,則,則即為與平面所成的銳二面角,進而求解;④由平行的性質(zhì)及圖形判斷即可.【詳解】取中點,連接,則,所以,所以平面即為平面,取中點,中點,連接,則易證得,所以平面平面,所以點的運動軌跡為線段,平面即為平面.①取為中點,因為是等腰三角形,所以,又因為,所以,故①正確;②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設正方體的棱長為2,當點為中點時,直線與直線所成角最小,此時,;當點與點或點重合時,直線與直線所成角最大,此時,所以直線與直線所成角的正切值的取值范圍是,②正確;③與平面的交線為,且,取為中點,則即為與平面所成的銳二面角,,所以③正確;④正方體的各個側(cè)面中,平面,平面,平面,平面與平面所成的角相等,所以④正確.故答案為:①②③④【點睛】本題考查直線與平面的空間位置關(guān)系,考查異面直線成角,二面角,考查空間想象能力與轉(zhuǎn)化思想.14、【解析】
設等差數(shù)列的公差為,根據(jù),且,可得,解得,進而得出結(jié)論.【詳解】設公差為,因為,所以,所以,所以故答案為:【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式、需熟記公式,屬于基礎題.15、【解析】
先將函數(shù)在和兩處取得極值,轉(zhuǎn)化為方程有兩不等實根,且,再令,將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩交點,且橫坐標滿足,用導數(shù)方法研究單調(diào)性,作出簡圖,求出時,的值,進而可得出結(jié)果.【詳解】因為,所以,又函數(shù)在和兩處取得極值,所以是方程的兩不等實根,且,即有兩不等實根,且,令,則直線與曲線有兩交點,且交點橫坐標滿足,又,由得,所以,當時,,即函數(shù)在上單調(diào)遞增;當,時,,即函數(shù)在和上單調(diào)遞減;當時,由得,此時,因此,由得.故答案為【點睛】本題主要考查導數(shù)的應用,已知函數(shù)極值點間的關(guān)系求參數(shù)的問題,通常需要將函數(shù)極值點,轉(zhuǎn)化為導函數(shù)對應方程的根,再轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點的問題來處理,屬于??碱}型.16、【解析】由題意可得,該四面體的四個頂點位于一個長方體的四個頂點上,設長方體的長寬高為,由題意可得:,據(jù)此可得:,則球的表面積:,結(jié)合解得:.點睛:與球有關(guān)的組合體問題,一種是內(nèi)切,一種是外接.解題時要認真分析圖形,明確切點和接點的位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系,并作出合適的截面圖,如球內(nèi)切于正方體,切點為正方體各個面的中心,正方體的棱長等于球的直徑;球外接于正方體,正方體的頂點均在球面上,正方體的體對角線長等于球的直徑.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】
(1)先證明,可證平面,再由可證平面,即得證;(2)以為坐標原點,建立如圖所示空間直角坐標系,設,求解面的法向量,面的法向量,利用二面角的余弦值為,可求解,轉(zhuǎn)化即得解.【詳解】(1)證明:因為是正三角形,為線段的中點,所以.因為是菱形,所以.因為,所以是正三角形,所以,所以平面.又,所以平面.因為平面,所以平面平面.(2)由(1)知平面,所以,.而,所以,.又,所以平面.以為坐標原點,建立如圖所示空間直角坐標系.則.于是,,.設面的一個法向量,由得令,則,即.設,易得,.設面的一個法向量,由得令,則,,即.依題意,即,令,則,即,即.所以.【點睛】本題考查了空間向量和立體幾何綜合,考查了面面垂直的判斷,二面角的向量求解,三棱錐的體積等知識點,考查了學生空間想象,邏輯推理,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.18、(1)(2)見解析【解析】
(1)取,則;取,則,∴;(2)要證,只需證,當時,;假設當時,結(jié)論成立,即,兩邊同乘以3得:而∴,即時結(jié)論也成立,∴當時,成立.綜上原不等式獲證.19、(1),;(2)【解析】試題分析:(1)利用等差數(shù)列,等比數(shù)列的通項公式先求得公差和公比,即得到結(jié)論;(2)利用分組求和法,由等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項和公式即可求得數(shù)列前n項和.試題解析:(Ⅰ)設等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意得d===1.∴an=a1+(n﹣1)d=1n設等比數(shù)列{bn﹣an}的公比為q,則q1===8,∴q=2,∴bn﹣an=(b1﹣a1)qn﹣1=2n﹣1,∴bn=1n+2n﹣1(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn=1n+2n﹣1,∵數(shù)列{1n}的前n項和為n(n+1),數(shù)列{2n﹣1}的前n項和為1×=2n﹣1,∴數(shù)列{bn}的前n項和為;考點:1.等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應用;2.等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應用;1.數(shù)列求和.20、(Ⅰ)見證明;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)利用等比數(shù)列的定義結(jié)合得出數(shù)列是等比數(shù)列(Ⅱ)數(shù)列是“等比-等差”的類型,利用分組求和即可得出前項和.【詳解】解:(Ⅰ)當時,,故.當時,,則,,數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列.(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,,.【點睛】(Ⅰ)證明數(shù)列是等比數(shù)列可利用定義法得出(Ⅱ)采用分組求和:把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列.21、(1)或;(2).【解析】
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