小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決策略的研究

PAGEPAGE2附件1：全國優(yōu)秀教育碩士專業(yè)學(xué)位論文推薦表單位名稱：長春市樹勛小學(xué)填表日期：2008年10月28日論文題目“小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決策略的研究”作者姓名論文答辯日期學(xué)科專業(yè)方向程明喜2006．11．26教育管理攻碩期間及獲得碩士學(xué)位后一年內(nèi)獲得與碩士學(xué)位論文有關(guān)的成果發(fā)表學(xué)術(shù)論文(題目，刊名,時(shí)間，社會影響)《什么樣的課是新課程下的好課》發(fā)表在《實(shí)踐新課程》2007年第7、8期《關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)效性的思考》發(fā)表在《實(shí)踐新課程》2007第11期《信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合的思考》發(fā)表在《現(xiàn)代教育科學(xué)研究》2004年第八期論文所產(chǎn)生的實(shí)際影響(對作者工作及所在單位工作)作者從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)管理工作，且受聘為吉林省、長春市數(shù)學(xué)學(xué)科新課程講師團(tuán)成員及南關(guān)區(qū)兼職教研員。本研究成果曾多次在培訓(xùn)省市骨干教師及校本教研中作為講座內(nèi)容。對于教師從問題解決的角度來看待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，從培養(yǎng)學(xué)生問題解決策略的角度思考數(shù)學(xué)教學(xué)，以及培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力等方面均起到了實(shí)質(zhì)性的推動作用。在區(qū)域范圍內(nèi)掀起了以“問題解決策略”為核心的數(shù)學(xué)教學(xué)研討活動。此研究成果亦自然注入并豐富了作者的教學(xué)思想，使教學(xué)形成了樸素自然，靈活深刻的風(fēng)格。2005年第二屆全國小學(xué)數(shù)學(xué)新課程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)成果交流會上，此成果進(jìn)行了大會交流，受到關(guān)注與好評。出版專著(名稱、出版社、出版時(shí)間)《小學(xué)趣味數(shù)學(xué)教學(xué)研究》東北師范大學(xué)出版社2006年5月《同升數(shù)學(xué)》（小學(xué)數(shù)學(xué)雙語教學(xué)教材第一冊）編委2007年12月獲獎(jiǎng)項(xiàng)目(名稱、等級及時(shí)間）《信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合的思考》獲中央電教館論文一等獎(jiǎng)、長春市教育科研成果一等獎(jiǎng)2005年《返璞歸真，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿智慧》論長春市骨干教師專業(yè)發(fā)展論壇數(shù)學(xué)學(xué)科“金星獎(jiǎng)”第一名2006年《數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)》獲省科研成果一等獎(jiǎng)2004年中文論文摘要(論文選題的意義,論文運(yùn)用的主要研究方法,主要研究成果,主要參考文獻(xiàn))“問題解決”是近年來國際上提出的數(shù)學(xué)教育的研究熱點(diǎn)，是國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育發(fā)展的趨勢。隨著第八次課程改革的進(jìn)行，尤其是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》實(shí)施以來，培養(yǎng)學(xué)生在情境中提出問題、分析問題、解決問題的能力越來越引起廣大數(shù)學(xué)教師的重視，探究并培養(yǎng)學(xué)生形成多種問題解決的策略也成為當(dāng)下研究的關(guān)注點(diǎn)。本研究的目的是對數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行總結(jié)與提煉，對當(dāng)前關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決策略的眾多說法進(jìn)行梳理。研究采用文獻(xiàn)法、案例分析法和行動研究法。在文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上，通過研究者執(zhí)教、深入課堂聽課、分析學(xué)生的作業(yè)等研究活動，對小學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決策略應(yīng)用現(xiàn)狀進(jìn)行全面的分析，并對小學(xué)生問題解決的基本策略進(jìn)行了整理。在此基礎(chǔ)上，本文結(jié)合教學(xué)案例，提出了相應(yīng)的促進(jìn)小學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決策略形成的教學(xué)對策。以期改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式、思維方式、以及問題解決的策略，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。本文分六部分（詳見原文）【主要參考文獻(xiàn)】[1]馬云鵬.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].人民教育出版社,2003.327-353.[2]鄭毓信.問題解決與數(shù)學(xué)教育[M].江蘇教育出版社，1994.(完整的)[3]李士琦.PME:數(shù)學(xué)教育心理[M.]華東師范大學(xué)出版社,2001.1-45.[4]孔企平.張維忠,黃榮金.數(shù)學(xué)新課程與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[M].高等教育出版社,2003.1-17，159-166.[5]程明喜.小學(xué)趣味數(shù)學(xué)教學(xué)研究（第二版）[M].長春:東北師范大學(xué)出版社,2006.197-212.[6]戴再平.小學(xué)數(shù)學(xué)開放題集[M].上海教育出版社,1999.(完整的)[7]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀[M].北京師范大學(xué)出版社,2002.69-108，181-189.[8]美國中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)6：（[EB／OL].2005-04）[9]孫聯(lián)榮.小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決策略的研究[J].上海教育科研，2000(10):51-53[10]陳鳳偉.基于“問題解決”的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)[EB／OL].,2005-01專家推薦理由專家簽字：單位推薦意見學(xué)位評定委員會分會主席（簽章）：單位公章年月日說明：學(xué)科專業(yè)方向包括教育管理、教育技術(shù)、小學(xué)教育和學(xué)科教學(xué)，其中學(xué)科教學(xué)要說明具體方向，如學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）。本表可復(fù)印、附頁。

學(xué)校代碼：10200研究生學(xué)號：1018303269分類號：G427密級：無碩士學(xué)位論文小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決策略的研究Thestrategyandresearchofsolvingmathsproblemduringprimaryperiod

作者：程明喜指導(dǎo)教師：馬云鵬教授學(xué)科專業(yè)：教育碩士研究方向：教育管理學(xué)位類型：教育碩士東北師范大學(xué)學(xué)位評定委員會2006年11月獨(dú)創(chuàng)性聲明本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含為獲得東北師范大學(xué)或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書而使用過的材料。與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明并表示謝意。學(xué)位論文作者簽名：日期：學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書本學(xué)位論文作者完全了解東北師范大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：東北師范大學(xué)有權(quán)保留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交學(xué)位論文的復(fù)印件和磁盤，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)東北師范大學(xué)可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或其它復(fù)制手段保存、匯編學(xué)位論文。（保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)書）學(xué)位論文作者簽名：指導(dǎo)教師簽名：日期：日期：學(xué)位論文作者畢業(yè)后去向：工作單位：電話：通訊地址：郵編：中文摘要“問題解決”是近年來國際上提出的數(shù)學(xué)教育的研究熱點(diǎn)，是國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育發(fā)展的趨勢。隨著第八次課程改革的進(jìn)行，尤其是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》實(shí)施以來，培養(yǎng)學(xué)生在情境中提出問題、分析問題、解決問題的能力越來越引起廣大數(shù)學(xué)教師的重視，探究并培養(yǎng)學(xué)生形成多種問題解決的策略也成為當(dāng)下研究的關(guān)注點(diǎn)。本研究的目的是對數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行總結(jié)與提煉，對當(dāng)前關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決策略的眾多說法進(jìn)行梳理。研究采用文獻(xiàn)法、案例分析法和行動研究法。在文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上，通過研究者執(zhí)教、深入課堂聽課、分析學(xué)生的作業(yè)等研究活動，對小學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決策略應(yīng)用現(xiàn)狀進(jìn)行全面的分析，并對小學(xué)生問題解決的基本策略進(jìn)行了整理。在此基礎(chǔ)上，本文結(jié)合教學(xué)案例，提出了相應(yīng)的促進(jìn)小學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決策略形成的教學(xué)對策。以期改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式、思維方式、以及問題解決的策略，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。本文分六部分：第一部分主要闡述了小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決策略研究的背景、研究的目的和方法，并在理論與實(shí)踐分析的基礎(chǔ)上，探究本課題研究的意義。第二部分主要對問題解決策略及相關(guān)概念作了界定，在對國內(nèi)外資料進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合研究的實(shí)踐，揭示了問題解決策略的類型。第三部分主要對《標(biāo)準(zhǔn)》中關(guān)于解決問題的目標(biāo)要求作了闡述和分析。以明確進(jìn)行問題解決教學(xué)中不同學(xué)段的要求，更好地指導(dǎo)教學(xué)，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生問題解決策略，提高問題解決能力的目的。第四部分主要從教師、學(xué)生以及課程與教學(xué)等幾方面分析了影響學(xué)生問題解決策略形成的因素。第五部分主要從外顯與內(nèi)隱兩個(gè)維度整理與揭示學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)問題解決的一般策略與思維策略。第六部分在總結(jié)以往數(shù)學(xué)教學(xué)對于培養(yǎng)學(xué)生問題解決策略方面的寶貴經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，從策略指導(dǎo)的關(guān)注點(diǎn)、策略指導(dǎo)的方法、策略指導(dǎo)應(yīng)該注意的問題三個(gè)方面，闡述了促進(jìn)小學(xué)生問題解決策略形成的教學(xué)指導(dǎo)策略。關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；問題解決；策略

Abstract“Theproblemsolving”ismathematicseducationresearchhotspotwhichtherecentyearsoninternationalproposed,isthedomesticandforeignmathematicseducationdevelopmenttendency.Marchreformswhichalongwiththeeighthcurriculum,"theFull-timeCompulsoryeducationMathematicsCurriculumStandard(ExperimentalManuscript)"hasimplementedsinceinparticular,trainsthestudentinthesituation,proposedthequestion,theanalysisquestion,solvethequestionabilitymoreandmoretobringtothegeneralmathematicsteacher'sattention,inquiredintoandtrainsthestudenttoformtheattentionspotwhichmanykindsofproblemsolvingthestrategybecomesstudiesimmediately.Thisresearchgoaliscarriesonthesummaryandtherefinementtomathematicsproblemsolvingpractice,tocurrentcarriesonabouttheelementaryschoolmathematicsquestionsolutionstrategymultitudinousviewscombs.Theresearchusestheliteraturelawandthemethodofinspection.Intheliteratureresearchandintheinvestigationfoundation,teachers,thethoroughclassroomthroughtheresearcherattendsalecture,analyzesstudent'sresearchandsoonwork,carriesonthecomprehensiveanalysistotheelementarystudentmathematicsproblemsolvingstrategyapplicationpresentsituation,andhascarriedonthereorganizationtotheelementarystudentproblemsolvingbasicstrategy.Inthisfoundation,thisarticleunifiestheteachingcase,proposedthecorrespondingpromotionelementarystudentmathematicsproblemsolvingstrategyformsteachingcountermeasure.Improvesstudent'smathstudyway,thethinkingmodebythetime,aswellastheproblemsolvingstrategy,andthenenhancesstudent'smathematicsaccomplishment.Thisarticleisdividedsixparts:Thefirstpartmainlyelaboratedtheelementaryschoolmathproblemsolvingstrategyresearchbackground,theresearchgoalandthemethod,andinthetheoryandinthepracticeanalysisfoundation,inquiresintothistopicresearchthesignificance.Thesecondpartmainlyhasmadethelimitstotheproblemsolvingstrategyandthecorrelationconcept,incarriesontheanalysistothedomesticandforeignmaterialsinthefoundation,theunionresearchpractice,haspromulgatedtheproblemsolvingstrategytype.Thethirdpartmainlyaboutsolvedthequestiongoalrequestto"Standard"tomaketheelaborationandtheanalysis.Carriesoninexplicitlytheproblemsolvingteachingnotschoolmatethesectionrequestinstructstheteachingwell,achievedraisesthestudentquestionsolutionstrategy,sharpenstheproblemsolvingabilitythegoal.Thefourthpartmainlyfromtheteacher,thestudentaswellasthecurriculumandtheteachingandsoonseveralaspectsanalyzedhasaffectedthefactorwhichthestudentproblemsolvingstrategyformedThefifthpartmainlyfromapparentreorganizesandpromulgatesthestudenttocarryonmathematicsproblemsolvingwithinhiddentwodimensionsthegeneralstrategyandthethoughtstrategy.Thesixthpartregardingraisesthestudentproblemsolvingstrategyaspectinthesummaryformermathematicsteachinginthevaluableexperiencefoundation,fromthestrategyinstructionattentionspot,thestrategyinstructionmethod,thestrategyinstructionshouldpayattentiontothequestionthreeaspects,elaboratedpromotesteachinginstructionstrategywhichtheelementarystudentproblemsolvingstrategyforms.Keyword:Elementaryschoolmath;problemsolving;Strategy

目錄中文摘要……………………Ⅰ英文摘要……………………Ⅱ目錄……………………Ⅳ一、問題的提出與研究方法……………1二、問題解決策略的研究綜述……………31．概念的界定………………………42．問題解決策略的類型……………53．問題解決策略教學(xué)與培養(yǎng)………5三、小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題的目標(biāo)及分析……………………6四、影響小學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決策略形成的因素…………8（一）來自教師的影響………………8（二）來自學(xué)生自身的限制…………10（三）來自課程與教學(xué)的影響………11五、小學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的一般策略與思維策略………12（一）一般策略………………………12（二）思維策略………………………17六、促進(jìn)小學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決策略形成的教學(xué)指導(dǎo)策略………………21（一）策略指導(dǎo)的關(guān)注點(diǎn)……………21（二）策略指導(dǎo)的方法…………………22（三）策略指導(dǎo)注意的問題……………23結(jié)束語……………………28參考文獻(xiàn)……………………29后記……………………31一、問題的提出與研究方法（一）問題的提出隨著社會的飛速發(fā)展以及由此引發(fā)的社會對人才需求的提高，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力成為社會發(fā)展和教育發(fā)展的大趨勢。教育改革，特別是數(shù)學(xué)教育改革越來越重視培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力。“問題解決”成為數(shù)學(xué)教育研究的一個(gè)重要領(lǐng)域，越來越被數(shù)學(xué)界普遍關(guān)注，并廣泛研究,以此來發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維，提高綜合學(xué)習(xí)能力，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識等。而數(shù)學(xué)的問題解決是以數(shù)學(xué)問題為對象的，在新一輪數(shù)學(xué)課程改革中，提倡解決問題策略的多樣化，尤為廣大教師所關(guān)注。1．問題解決是數(shù)學(xué)教育的核心內(nèi)容之一問題解決是數(shù)學(xué)的核心問題，能夠應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識技能、多種策略解決現(xiàn)實(shí)生活中以及學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題是數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)之一。以往的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)將應(yīng)用題作為培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力的重要載體甚至是唯一途徑。實(shí)際上，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程本身就應(yīng)該成為問題解決的過程?！度罩屏x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）不再將應(yīng)用題作為一個(gè)獨(dú)立的學(xué)習(xí)領(lǐng)域，而將問題解決貫穿于各個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域，從而加強(qiáng)了問題解決的教學(xué)。2．強(qiáng)調(diào)問題解決是數(shù)學(xué)課程改革的趨勢之一1980年4月,以美國數(shù)學(xué)教師全國聯(lián)合會(NCTM)的名義，公布了一份名曰《行動綱領(lǐng)-80年代數(shù)學(xué)教育的議程》的文件，首次提出：“問題解決(problemsolving)是80年代中學(xué)數(shù)學(xué)的核心”（第一條），“數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)創(chuàng)造一種使問題得以蓬勃發(fā)展的課堂環(huán)境”。在1980年8月的第四屆國際數(shù)學(xué)會議上，美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會提出了80年代中學(xué)數(shù)學(xué)教育行動計(jì)劃的八點(diǎn)建議，指出80年代中學(xué)數(shù)學(xué)教育改革焦點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生問題解決的能力，這種力量是衡量個(gè)人和國家數(shù)學(xué)水平的標(biāo)志。到1988年召開的第六屆國際數(shù)學(xué)教育會議上，則將問題解決列為大會的七個(gè)主要研究課題之一。目前，美國把問題解決作為一切數(shù)學(xué)活動的組成部分和數(shù)學(xué)課程的核心可見美國中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)6：問題解決[EB／OL].2005-04.；英國把問題解決當(dāng)作一種教學(xué)模式和教學(xué)的指導(dǎo)思想；日本、新加坡也把問題解決納入教學(xué)大綱新加坡新修訂的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱突出強(qiáng)調(diào)問題解決。數(shù)學(xué)問題解決包括將數(shù)學(xué)應(yīng)用于解決實(shí)際工作中的問題、真正的生活中的問題以及數(shù)學(xué)問題本身。；這樣，在美國和國際數(shù)學(xué)教育會議的推動下，問題解決受到了世界各國數(shù)學(xué)界普遍重視，不僅成為國際數(shù)學(xué)教育界研究的重要課題，而且成為了國際數(shù)學(xué)教育發(fā)展的潮流，這種潮流沖擊著我國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育思想，并對我國基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革有著直接的影響。我國以往的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱就提到了數(shù)學(xué)科具有應(yīng)用的廣泛性特點(diǎn)。并在教學(xué)目的中提出：“使學(xué)生具有進(jìn)行……的能力，培養(yǎng)初步的思維能力和空間觀念，能夠探索和解決簡單的實(shí)際問題?！笨闪硪姟毒拍炅x務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用修訂版）》，中華人民共和國教育部制訂，北京：人民教育出版社，2000年版，第1～2頁。并在教學(xué)要求中提出：“培養(yǎng)學(xué)生觀察和認(rèn)識周圍事物間的數(shù)量關(guān)系和形體特征的興趣和意識，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系，通過觀察、操作、猜測等方式，培養(yǎng)學(xué)生的探索意識，使學(xué)生初步學(xué)會運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和方法解決一些簡單的實(shí)際問題”。進(jìn)一步說明了學(xué)生進(jìn)行問題解決過程中數(shù)學(xué)的策略方法與數(shù)學(xué)知識的重要性。我國在2001年出臺的《標(biāo)準(zhǔn)》中，已經(jīng)將解決問題與數(shù)學(xué)思考列為課程三維一體目標(biāo)可見美國中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)6：問題解決[EB／OL].2005-04.新加坡新修訂的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱突出強(qiáng)調(diào)問題解決。數(shù)學(xué)問題解決包括將數(shù)學(xué)應(yīng)用于解決實(shí)際工作中的問題、真正的生活中的問題以及數(shù)學(xué)問題本身。可另見《九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用修訂版）》，中華人民共和國教育部制訂，北京：人民教育出版社，2000年版，第1～2頁?？闪硪姟度罩屏x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中華人民共和國教育部制訂，北京：北京師范大學(xué)出版社，2001年版，第6～7頁。3．加強(qiáng)問題解決策略的培養(yǎng)是提高學(xué)生解決問題能力的需要（1）反思我國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育，不難發(fā)現(xiàn)：“看重基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)熟練，要求嚴(yán)謹(jǐn)”已成為世界公認(rèn)的中國數(shù)學(xué)教學(xué)特色。習(xí)慣通過“精講多練”以及知識的梳理和結(jié)構(gòu)掌握，達(dá)到鞏固雙基的目的，已成為數(shù)學(xué)教學(xué)的經(jīng)典模式。中小學(xué)生學(xué)習(xí)勤奮，基本功扎實(shí)，基礎(chǔ)知識和基本技能熟練成為世界公認(rèn)的成績。但是，隨著時(shí)代的發(fā)展和實(shí)施素質(zhì)教育的要求，目前中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中也確實(shí)存在著一些亟待解決的問題。主要是學(xué)習(xí)過程中，涉及到實(shí)際情景的問題，學(xué)生的動手操作能力、理解和解決問題的能力、創(chuàng)新能力、克服困難獨(dú)立探究、合作交流的能力以及解決問題的信心等方面顯得是不盡人意的。（2）隨著建國以來第八次課程改革的全面進(jìn)行，《標(biāo)準(zhǔn)》對課程內(nèi)容的選擇及呈現(xiàn)進(jìn)行了多方面的改革：第一，提倡有教育價(jià)值的數(shù)學(xué)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有趣的和富有挑戰(zhàn)性的；第二，《標(biāo)準(zhǔn)》提倡以“問題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用與拓展”的基本模式呈現(xiàn)知識內(nèi)容，讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”與“再創(chuàng)造”的過程，形成自己對數(shù)學(xué)概念的理解；第三，提倡在關(guān)注獲得知識結(jié)果的同時(shí)，關(guān)注知識的獲得過程；第四，內(nèi)容的設(shè)計(jì)應(yīng)具有一定的彈性。（3）課程改革后的數(shù)學(xué)教學(xué)，內(nèi)容多以“問題情境”為主要呈現(xiàn)方式出現(xiàn)，教學(xué)過程主要是以問題解決的方式進(jìn)行，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程也更多地成為“問題解決”的過程。這為我們解決數(shù)學(xué)教學(xué)中長期存在的上述問題提供了可能。但我們應(yīng)該清楚地認(rèn)識到，內(nèi)容本身的改變不能自覺轉(zhuǎn)化成學(xué)生解決問題等能力的提高，其中很重要的是，教師能否在教學(xué)過程中，讓學(xué)生真正參與到問題解決的過程中來，不斷學(xué)習(xí)并積累問題解決的策略，綜合運(yùn)用所學(xué)的知識、已有的經(jīng)驗(yàn)和問題解決策略，解決問題；能否使培養(yǎng)學(xué)生問題解決的多種策略成為教學(xué)的關(guān)注點(diǎn)，能否使問題解決的策略成為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的細(xì)節(jié)技能。從而使學(xué)生的搜集信息和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力、合作與交流的能力等得到培養(yǎng)。為此，本研究關(guān)注的是小學(xué)生問題解決式學(xué)習(xí)中的問題解決策略的培養(yǎng)。（二）研究方法本研究以信息加工理論與建構(gòu)主義的整合為理論基礎(chǔ)，認(rèn)為小學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的過程既是信息加工的過程，又是一個(gè)在他人幫助下，進(jìn)行主動的意義建構(gòu)的過程。是一個(gè)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題、反思問題并形成問題解決經(jīng)驗(yàn)的過程。在這一過程中，學(xué)生不僅獲得了知識，同時(shí)也豐富了問題解決的策略，而各種問題解決策略的豐富，又必將提升學(xué)生的解決問題的能力、提高其數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，研究主要采用的方法是：1．文獻(xiàn)法2．案例分析法3．行動研究法試圖通過文獻(xiàn)的檢索與資料分析了解當(dāng)前關(guān)于問題解決策略研究的動態(tài)，通過課堂教學(xué)實(shí)踐，借助對學(xué)生問題解決過程的行為觀察及具體的教學(xué)案例的分析，了解學(xué)生問題解決策略的水平，整理并歸納出問題解決的多種策略，并提出相應(yīng)的教學(xué)指導(dǎo)策略。研究Ⅰ：對有關(guān)問題解決的大量文獻(xiàn)進(jìn)行分析。閱讀了有關(guān)的學(xué)術(shù)專著、學(xué)術(shù)期刊、博士和碩士論文，并查閱了大量的電子文獻(xiàn)，把握當(dāng)前問題解決研究的趨向和問題解決策略研究的成果，并對查閱的資料進(jìn)行了分類整理，包括相關(guān)概念的不同界說，問題解決策略的構(gòu)成以及小學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的有關(guān)要求等，從而找準(zhǔn)研究的切入點(diǎn)。研究Ⅱ：以小學(xué)二、三、四、五年級172名學(xué)生為被試，主要收集他們在學(xué)習(xí)教材中“解決問題”部分的作業(yè)資料和課堂學(xué)習(xí)中的解題方法與策略，同時(shí)，兼顧數(shù)與代數(shù)、空間與圖形以及統(tǒng)計(jì)與概率三個(gè)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)情況。本研究主要采取進(jìn)入課堂聽課、與教師與學(xué)生交談、查看教師教學(xué)后記和學(xué)生作業(yè)的方法進(jìn)行。本研究累計(jì)聽課85節(jié)。研究Ⅲ：以小學(xué)六年二班（研究者執(zhí)教的班級）53名學(xué)生為被試，主要是有意識地指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問題解決式的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生策略意識。主要觀察學(xué)生問題解決水平，總結(jié)學(xué)生多種問題解決策略，并與第一學(xué)段（一、二、三年級）及六年級其他班級進(jìn)行對比，分析學(xué)生問題解決策略的差異。本研究采取的方式是研究者本人進(jìn)行授課。兩個(gè)學(xué)期累計(jì)授課228節(jié)。筆者在研究期間，先后任長春市樹勛小學(xué)五、六年級數(shù)學(xué)教師和四年級的數(shù)學(xué)課外活動課教師，同時(shí)，作為學(xué)校的教務(wù)處主任可經(jīng)常深入班級聽課，為研究創(chuàng)造了便利條件。期間，受吉林省教育學(xué)院繼續(xù)教育辦公室的指派，曾多次向全省數(shù)學(xué)骨干教師、農(nóng)村教師進(jìn)行關(guān)于“問題解決”的講座，與廣大小學(xué)數(shù)學(xué)教師廣泛交流?；趯鴥?nèi)外關(guān)于問題解決研究及實(shí)踐現(xiàn)狀的分析，提出了小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決策略的研究這一問題。主要探索分析學(xué)生和教師問題解決的策略構(gòu)成、影響學(xué)生問題解決策略形成的因素以及促成學(xué)生問題解決策略形成的教學(xué)指導(dǎo)策略。二、問題解決策略的研究綜述1．概念的界定問題：美籍匈牙利著名數(shù)學(xué)教育家波利亞(G.Polya)在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書中曾給出“問題”明確含義，并從數(shù)學(xué)角度對問題作了說明。他指出，所謂“問題”就是意味著要去尋找適當(dāng)?shù)男袆樱赃_(dá)到一個(gè)可見而不立即可及的目標(biāo)。《牛頓大詞典》對“問題”的解釋是：指那些并非可以立即求解或較困難的問題(question)，那種需要探索、思考和討論的問題，那種需要積極思維活動的問題。在1988年的第六屇國際數(shù)學(xué)教育大會上，“問題解決、模型化及應(yīng)用”課題組提交的課題報(bào)告中，對“問題”給出了更為明確而富有啟發(fā)意義的界定，指出一個(gè)問題是對人具有智力挑戰(zhàn)特征的、沒有現(xiàn)成的直接方法、程序或算法的待解問題情境。該課題組主席奈斯(M.Niss)還進(jìn)一步把“數(shù)學(xué)問題解決”中的“問題”具體分為兩類：一類是非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題；（開放性問題，結(jié)構(gòu)不良問題，現(xiàn)實(shí)情境問題。）另一類是數(shù)學(xué)應(yīng)用問題。這種界定現(xiàn)已經(jīng)逐漸為人們所接受。

我國的張奠宙、劉鴻坤教授在他們的《數(shù)學(xué)教育學(xué)》里的“數(shù)學(xué)教育中的問題解決”中，對什么是問題及問題與習(xí)題的區(qū)別作了很好的探討，根據(jù)他們的思想觀點(diǎn)，我們可對“問題”作以下幾個(gè)方面的理解和認(rèn)識。轉(zhuǎn)引香港中文大學(xué)的一篇文章《數(shù)學(xué)中的問題解決》。問題是一種情境狀態(tài)。在這一狀態(tài)下，不能僅僅應(yīng)用某種典范的解法去解答，一個(gè)問題一旦可以使使用以前的算法輕易地解答出來，那么它就不是一個(gè)問題了。

問題解決中的“問題”，并不包括常規(guī)數(shù)學(xué)問題，而是指非常規(guī)數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)的應(yīng)用問題。這里的常規(guī)數(shù)學(xué)問題，就是指課本中既已唯一確定的方法或可以遵循的一般規(guī)則、原理，而解法程序和每一步驟也都是完全確定的數(shù)學(xué)問題。

問題是相對的。問題因人因時(shí)而宜，對于一個(gè)人可能是問題，而對于另一個(gè)人只不過是習(xí)題或練習(xí)，而對于第三個(gè)人，卻可能是所然無味了。另一方面，隨著人們的數(shù)學(xué)知識的增長、能力的提高，原先是問題的東西，現(xiàn)在卻可能變成常規(guī)的問題，或者說已經(jīng)構(gòu)不成問題了。例如，涉及到計(jì)算一個(gè)長方體容器的容積的問題，對低年級的大部分同學(xué)可能是問題，但對高年段的學(xué)生來說可能就不是問題。問題解決：問題解決是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育中的一個(gè)研究領(lǐng)域。也是心理學(xué)研究領(lǐng)域一個(gè)老課題，不同流派持有不同的觀點(diǎn)。行為主義派別認(rèn)為問題解決一個(gè)試誤的過程，而格式塔學(xué)派強(qiáng)調(diào)的是頓悟式解決問題。而奧蘇伯爾和魯濱遜則提出了如下的問題解決模式，把問題解決分為四個(gè)階段：呈現(xiàn)問題情境命題——明確問題目標(biāo)與已知條件——填補(bǔ)空隙過程——解答之后的檢驗(yàn)。綜合以上國內(nèi)外專家學(xué)者對問題的界定及問題解決的不同界說，可以對問題解決表述如下：問題解決是一個(gè)教學(xué)活動，它也是學(xué)生的一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。它以問題為中心。以學(xué)生已有知識和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，在活動中教師引導(dǎo)學(xué)生自主地發(fā)現(xiàn)問題，分析問題和解決問題，獲得活動經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)的理解，提高應(yīng)用意識和解決問題能力。問題解決作為一種學(xué)習(xí)活動，與《標(biāo)準(zhǔn)》中所提出的解決問題是相一致的，解決問題更加具體，而問題解決同時(shí)也是國際上數(shù)學(xué)教育的一個(gè)研究領(lǐng)域。問題解決策略，國內(nèi)外對問題解決策略進(jìn)行概念界定的并不多見。但可以肯定的是，要教會學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，需要讓學(xué)生掌握并自覺運(yùn)用學(xué)習(xí)策略；同樣，要讓學(xué)生學(xué)會解決問題，就需要學(xué)生掌握并自覺運(yùn)用問題解決的策略。目前，對學(xué)習(xí)策略的理解，仁者見仁，智者見智。主要有如下幾種觀點(diǎn)：可另見劉電芝：《小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)與教的策略》，西南師范大學(xué)出版社，2001年8月出版，第2頁。（1）把學(xué)習(xí)策略看作是內(nèi)隱的學(xué)習(xí)規(guī)則系統(tǒng)（Duffy,1982年）；（2）把學(xué)習(xí)策略視為具體的學(xué)習(xí)方法和技能（Mayer,1988年）；（3）主張學(xué)習(xí)策略就是學(xué)習(xí)的程序和步驟（Rigney,1978年）；（4）主張學(xué)習(xí)策略就是學(xué)生的學(xué)習(xí)過程（Nisbet,1986年）。此外，也有人認(rèn)為學(xué)習(xí)策略就是學(xué)習(xí)者“為了完成學(xué)習(xí)目標(biāo)而制訂的復(fù)雜的計(jì)劃”。問題解決策略對于學(xué)習(xí)策略而言更為狹義具體，問題解決策略所針對的對象主要針對問題，而本研究所指的問題解決策略則主要是小學(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的問題解決。借鑒國內(nèi)外對學(xué)習(xí)策略的界定，對問題解決策略做如下表述：問題解決策略指的是在解決問題的過程，所采取的總體思路，它所強(qiáng)調(diào)的是創(chuàng)造能力和應(yīng)用意識。在數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域，它既是數(shù)學(xué)教學(xué)的目的，又是數(shù)學(xué)教學(xué)的方法與手段。它是數(shù)學(xué)思想、方法在解決問題時(shí)思維決策的選擇。如：解決“在一張紙上任意畫15條直線，這些直線最多有多少個(gè)交點(diǎn)”可另見劉電芝：《小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)與教的策略》，西南師范大學(xué)出版社，2001年8月出版，第2頁。2．問題解決策略的類型通過對大量文獻(xiàn)資料的分析，目前對于問題解決策略要素構(gòu)成與分類主要有以下兩個(gè)方面：第一，根據(jù)各策略所起作用的差異，分為基礎(chǔ)策略和支持策略。第二，根據(jù)策略構(gòu)成的成分，分為情感策略、認(rèn)知策略、元認(rèn)知策略和資源管理策略?？闪硪娙鸢彩薪逃纸萄惺摇缎W(xué)數(shù)學(xué)策略學(xué)習(xí)研究》，可另見瑞安市教育局教研室《小學(xué)數(shù)學(xué)策略學(xué)習(xí)研究》，根據(jù)研究和整理，本研究把問題解決的策略分三個(gè)層面：綜合策略、一般策略、思維策略。此處僅是列舉了小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決的幾個(gè)層面的策略，并非嚴(yán)格意義的分類。在本文第五部分對問題解決的一般策略與思維策略有專門的論述。綜合策略指的是指導(dǎo)問題解決全過程的思考策略。波利亞怎樣解題的四個(gè)步驟是綜合策略中具有代表性的一種，即問題理解——制訂計(jì)劃——計(jì)劃實(shí)施——結(jié)果的反饋。在面對一個(gè)問題情境時(shí)，表現(xiàn)為：問題是什么——在什么范疇內(nèi)——涉及到哪方面的知識？有沒有解決此類問題的經(jīng)驗(yàn)？現(xiàn)在水平能否解決？在情境中，提供了哪些信息？——用什么策略解決？——實(shí)施計(jì)劃——交流與反思。應(yīng)該說，綜合策略是學(xué)生面對一個(gè)新的問題情境時(shí)，在審視、分析、明確問題的同時(shí)，調(diào)用已有的活動經(jīng)驗(yàn)，做出初步的問題解決的方案，并按預(yù)想進(jìn)行實(shí)施等一整套的策略。相對一般策略與思維策略來說，更具有綜合意義。關(guān)于一般策略和思維策略在第五部分專門闡述。3．問題解決策略教學(xué)與培養(yǎng)隨著國內(nèi)外對數(shù)學(xué)問題解決的實(shí)踐和研究不斷深入，對學(xué)生進(jìn)行問題解決策略的教學(xué)越來越引起廣泛的關(guān)注。以新加坡數(shù)學(xué)教學(xué)為例，在課程處理上，除了將問題解決思想融入教材編制中，體現(xiàn)在教材中之外，還另編成冊，單獨(dú)編制訓(xùn)練問題解決的問題集，其中的問題都是基于現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的，以活動形式給出，同時(shí)非常強(qiáng)調(diào)較高級的基礎(chǔ)課題，強(qiáng)調(diào)問題解決活動過程。每一項(xiàng)活動前都先指明本活動所用的問題解決策略。在我國，隨著第八次課程改革尤其是是《標(biāo)準(zhǔn)》的實(shí)施，在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生形成多種問題解決的策略已成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一種要求。廣大教師在教學(xué)中也總結(jié)出了多種問題解決的策略及相應(yīng)的教學(xué)策略。如正確定位問題解決的目標(biāo)，把握好難易尺度；調(diào)整教學(xué)要求和進(jìn)度，為體驗(yàn)創(chuàng)造條件；教師宏觀指導(dǎo)，為學(xué)生自主解決問題留有時(shí)間與空間等等。三、小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題的目標(biāo)及分析《標(biāo)準(zhǔn)》明確了義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)，并從知識與技能、數(shù)學(xué)思考、解決問題、情感態(tài)度等四個(gè)方面作出了進(jìn)一步的闡述。其中，數(shù)學(xué)思考與解決問題屬于過程性目標(biāo)。數(shù)學(xué)思考指的是抽象思維、形象思維、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念、合情推理及初步的演繹推理等方面的發(fā)展；解決問題，指學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度提出、分析、理解、解決問題的意識和能力，以及交流和評價(jià)反思等方面的發(fā)展。這兩個(gè)具體的過程性目標(biāo)與知識與技能、情感與態(tài)度構(gòu)成了三位一體目標(biāo)的四個(gè)具體方面，這四個(gè)方面是一個(gè)密切聯(lián)系的有機(jī)整體，對人的發(fā)展有十分重要的作用，它們是在豐富多彩的數(shù)學(xué)活動中實(shí)現(xiàn)的。其中，數(shù)學(xué)思考、解決問題、情感態(tài)度的發(fā)展離不開知識與技能的學(xué)習(xí)，同時(shí)，知識與技能的學(xué)習(xí)必須以有利于其他目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)為前提。《標(biāo)準(zhǔn)》在“總體目標(biāo)”中就指出了要讓學(xué)生“形成解決問題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神。”（一）解決問題的總體目標(biāo)引自《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中華人民共和國教育部制訂，北京：北京師范大學(xué)出版社，2001年版，第7頁。解決問題的總體目標(biāo)是“初步學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題?！本唧w要求包括：1．逐步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度提出問題、理解問題并能綜合運(yùn)用所學(xué)知識和技能解決問題；2．形成解決問題的基本策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力與創(chuàng)新精神；3．學(xué)會與人合作，能與他人交流思維的過程和結(jié)果，逐步形成評價(jià)與反思的意識。當(dāng)我們認(rèn)真審視“解決問題”這一目標(biāo)時(shí)，不難發(fā)現(xiàn)，他以知識與技能為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)思考為核心，以情感態(tài)度作為調(diào)節(jié)。其他目標(biāo)可以通過“解決問題”這一活動來達(dá)成。對解決問題目標(biāo)的理解，可以分為以下四個(gè)方面：第一，問題解決是一系列的學(xué)習(xí)活動，并非單一的解決問題的過程。具體說，目標(biāo)要求首先要讓學(xué)生面對和嘗試不同的現(xiàn)象，在不同的情境中“從數(shù)學(xué)的角度提出問題”。能夠識別存在于數(shù)學(xué)現(xiàn)象或日常的、非數(shù)學(xué)的現(xiàn)象與問題中的數(shù)學(xué)問題或數(shù)量關(guān)系，并把他們提出來。然后，才是解決問題。以往學(xué)生較為習(xí)慣直接面對一個(gè)確定的問題，思考解題方法，提出問題是教師或教材的職責(zé)。而此目標(biāo)把“你發(fā)現(xiàn)了什么”這一過程還給了學(xué)生，成為學(xué)生問題解決過程的第一步。第二，在問題解決的過程中，倡導(dǎo)運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的知識技能、數(shù)學(xué)的思想方法，但更強(qiáng)調(diào)知識的綜合運(yùn)用，包括學(xué)科內(nèi)部以及學(xué)科間知識的整合。教學(xué)要培養(yǎng)全面發(fā)展的人，就要在突出學(xué)科育人功能的同時(shí)，走出學(xué)科本位。實(shí)際上，在現(xiàn)實(shí)生活中，包括數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部以及其他學(xué)科學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生所遇到的問題，往往需要綜合多方面的學(xué)科知識與方法才能解決。這一目標(biāo)為問題解決開擴(kuò)了視野與思路。第三，強(qiáng)調(diào)策略在問題解決過程中的作用，倡導(dǎo)問題解決策略的個(gè)性化體驗(yàn)與積累。對于學(xué)生發(fā)展而言，問題解決的真正意義不只是獲得具體的結(jié)論，很重要的一個(gè)方面在于體驗(yàn)問題解決過程中策略的多樣化。在多樣化的鼓勵(lì)下，形成思維的個(gè)性化。這也是創(chuàng)新思維培養(yǎng)的重要途徑。第四，強(qiáng)調(diào)問題解決過程的個(gè)體性與全體性的結(jié)合，強(qiáng)調(diào)問題解決對于發(fā)展學(xué)生思維品質(zhì)的重要教育價(jià)值。教學(xué)的本質(zhì)是師生交往，積極互動，共同發(fā)展的過程，數(shù)學(xué)問題解決的過程又是一個(gè)思考的過程。所以，在教學(xué)中，我們應(yīng)該倡導(dǎo)自主探究下的合作交流，倡導(dǎo)學(xué)生不同思維成果的碰撞與共生。（二）學(xué)段目標(biāo)引自《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中華人民共和國教育部制訂，北京：北京師范大學(xué)出版社，2001年版，第8引自《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中華人民共和國教育部制訂，北京：北京師范大學(xué)出版社，2001年版，第8～10頁。在總體目標(biāo)的基礎(chǔ)上，針對不同學(xué)段學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)生的年齡特點(diǎn)，提出了學(xué)段解決問題的目標(biāo)考查要求：1．第一學(xué)段要考查：（1）學(xué)生能否在教師的指導(dǎo)下，從日常生活中發(fā)現(xiàn)并提出簡單的問題；（2）能否選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題；（3）是否愿意與同伴合作解決問題；（4）能否表達(dá)解決問題的大致過程和結(jié)果；2．第二學(xué)段要考查：（1）能否從現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題；（2）能否探索解決問題的有效方法，并試圖尋找其他方法；（3）能否與他人合作；（4）能否表達(dá)解決問題的過程，并嘗試解釋所得的結(jié)果；（5）是否具有回顧與分析解決問題過程的意識對比分析兩個(gè)學(xué)段的解決問題目標(biāo)要求，可以形成以下四點(diǎn)認(rèn)識：第一，不同學(xué)段的學(xué)生，應(yīng)有不同水平的要求，但區(qū)別不是很大。其中，兩個(gè)學(xué)段都要求從熟悉的日常生活中“看到”一些數(shù)學(xué)現(xiàn)象，并提出一些問題。第一學(xué)段，在提出問題上，教師教或者指導(dǎo)的程度要大一些；第二，在解決問題策略上，第一學(xué)段要求學(xué)生能夠應(yīng)用已有的問題解決策略，體驗(yàn)到同一個(gè)問題可以有不同解決方法即可，而第二學(xué)段則需要綜合運(yùn)用多種策略或根據(jù)問題情境的差異，探索新的策略方法。第三，在合作交流思維成果方面，第一學(xué)段主要體會合作交流對于解決問題的重要作用，愿意與人交流；而第二學(xué)段則需要學(xué)生形成表達(dá)自己對問題的理解、解決問題的思路的技能，更有效地理解他人對問題的思考與解決方法，在比較中學(xué)會評價(jià)，從而形成自己的策略。發(fā)展學(xué)生的思維能力，特別是創(chuàng)造性思維能力，是數(shù)學(xué)教學(xué)，尤其是問題解決的優(yōu)勢功能。思維能力主要集中表現(xiàn)為解決問題的能力。提高學(xué)生解決問題的能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo)，對學(xué)生進(jìn)行問題解決策略的傳授和訓(xùn)練，是提高學(xué)生問題解決能力的重要途徑和手段，也是實(shí)現(xiàn)各學(xué)段目標(biāo)的一個(gè)具體的內(nèi)容和有效途徑。四、影響小學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決策略形成的因素對于小學(xué)來說，其問題解決策略形成不僅受自身的影響與限制，教師以及來自課程與教學(xué)等外部的影響，同樣也不容忽視。在多年數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，尤其是進(jìn)行問題解決策略的研究過程中，通過大量案例的分析，認(rèn)為以下幾方面對學(xué)生問題解決策略的形成有著重要的影響。（一）來自教師的影響在小學(xué)生學(xué)習(xí)過程中，教師作為一個(gè)組織者、引導(dǎo)者與合作者的角色，始終為學(xué)生創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，組織各種學(xué)習(xí)活動，對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程與結(jié)果進(jìn)行評價(jià)等等。雖然今天的教師不再是知識的唯一擁有者，不再是信息的唯一來源，不再是評判學(xué)生學(xué)習(xí)成果對與錯(cuò)的法官，但教師個(gè)人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、教學(xué)技能等對學(xué)生的影響作用還是非常大的。通過聽課以及對學(xué)生課堂學(xué)習(xí)狀況的觀察包括對學(xué)生作業(yè)的分析?？梢缘贸鲆韵氯矫嬲J(rèn)識，說明教師對學(xué)生問題解決策略形成的影響。筆者曾在2000年于浙江教育學(xué)院參加全國小學(xué)數(shù)學(xué)教師國家級骨干培訓(xùn)，期間與來自七個(gè)省市地區(qū)的教師做過較為深入的交流，同時(shí)，在吉林省范圍內(nèi)多次在講座中與省內(nèi)骨干教師及長春市包括長春市地區(qū)外五縣、大安市、扶余縣等地的教師做過關(guān)于問題解決的探討。1．對問題解決缺乏認(rèn)識。受傳統(tǒng)教學(xué)觀念、方式的影響，相當(dāng)一部分教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，關(guān)注的更多是書本上的知識點(diǎn)，教學(xué)的任務(wù)就是幫助學(xué)生把書本上的知識裝進(jìn)學(xué)生的口袋，裝進(jìn)學(xué)生的腦袋。他們的教學(xué)效益觀就是：在有限的時(shí)間內(nèi)，教給學(xué)生更多的知識。由于對問題解決缺乏認(rèn)識，所以，在教學(xué)內(nèi)容的選擇與開發(fā)上，在教學(xué)活動的組織與實(shí)施上，在對學(xué)生學(xué)習(xí)活動的評價(jià)上，都沒有將學(xué)生的解決問題的活動、活動中的體驗(yàn)與反思作為關(guān)注點(diǎn)。顯然，學(xué)生的學(xué)習(xí)更多的是間接知識的獲得，而非問題解決式的學(xué)習(xí)活動的經(jīng)歷。2．問題解決實(shí)施的片面化在《標(biāo)準(zhǔn)》中，針對不同學(xué)段，提出了解決問題的目標(biāo)要求，而且在教材中設(shè)置了解決問題和數(shù)學(xué)廣角模塊。很多教師認(rèn)為，在教學(xué)中，只有到了這兩個(gè)模塊的內(nèi)容時(shí)，才組織學(xué)生進(jìn)行問題解決式的學(xué)習(xí)。沒有將問題解決作為一種學(xué)習(xí)活動或?qū)W習(xí)方式應(yīng)用到數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率三個(gè)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中。這對于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式是不利的。另外，很多教師認(rèn)為，問題解決就是讓學(xué)生用多種策略解決問題。教師往往把問題呈現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生所要做的就是探究多種解決問題的策略。這種“去兩頭、抓中段”的做法，忽視了學(xué)生問題的提出，忽視了學(xué)生對問題解決過程、方法的回顧與反思，不利于培養(yǎng)學(xué)生提出問題的意識的培養(yǎng)，更不利于學(xué)生積累問題解決的多種策略。3．教師自身缺乏問題解決的策略意識在數(shù)學(xué)教師中流行過這樣的一句話：數(shù)學(xué)教學(xué)，講招不講理。的確，在長期的講練結(jié)合，熟能生巧教學(xué)方式和思想的指導(dǎo)下，教學(xué)成果的獲得唯一的途徑就是題海戰(zhàn)術(shù)。教師在教學(xué)中，往往就是就題講題，尤其注重典型應(yīng)用題的傳授，對于智力水平一般的學(xué)生，就告訴學(xué)生記住算法就可以了。例如下面這個(gè)問題：一個(gè)長方形鏡框，長是70厘米，比寬多，鑲這個(gè)鏡框大約要多少平方厘米的玻璃？在教師長期的訓(xùn)練下，學(xué)生形成了記憶。從題中語言敘述的方式來看，比寬多，求寬。一定用除法。因?yàn)槔蠋熤v過：比誰求誰用除法。同時(shí)，還說了，見多就加，見少就減。于是學(xué)生在求寬時(shí)很快列出算式：70÷（1+）=49（厘米），70×49=3430（平方厘米）。從學(xué)生的學(xué)習(xí)過程來看，由于只是機(jī)械的記憶，所以，雖然很快地獲得了答案，但這樣的學(xué)習(xí)過程，對數(shù)學(xué)的理解、對自身思維的發(fā)展、解決問題能力的提高，作用是非常有限的。再如：數(shù)線段可參見《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)第九冊》，可參見《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)第九冊》，北京師范大學(xué)出版社，第70頁。缺少找規(guī)律的任務(wù)感，所以，只是被動地按老師的要求去發(fā)現(xiàn)規(guī)律。如果，教學(xué)時(shí)，直接給出含有6個(gè)點(diǎn)的線段，問一共有幾條線段，并讓學(xué)生想辦法來解決，那學(xué)生的學(xué)習(xí)是主動的，具有挑戰(zhàn)性的。如果，只是看書填數(shù)，那么，當(dāng)學(xué)生遇到這樣的問題：在一張薄餅上面切10刀（不可摞起來切），最多可以得到多少塊餅？這時(shí)，學(xué)生往往想不到找規(guī)律的方法，相當(dāng)一部分學(xué)生可能就是在圓上畫來畫去，而不得求解。這種現(xiàn)象的產(chǎn)生，與教師自身缺少策略意識是不無關(guān)系的。（二）來自學(xué)生自身的限制學(xué)生問題解決策略是否形成，最終要由學(xué)生內(nèi)因起主要作用。由于學(xué)生知識基礎(chǔ)、問題解決經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)的差異，使學(xué)生面對同一個(gè)問題時(shí)，表現(xiàn)出思維水平和解決策略的差異。這種差異的直接表現(xiàn)就是問題解決的策略優(yōu)與劣、多與少、快與慢，進(jìn)而影響到策略的內(nèi)化與靈活運(yùn)用。通過對學(xué)生作業(yè)的分析及課堂學(xué)習(xí)過程的觀察。將影響學(xué)生問題解決策略形成的主要因素歸結(jié)為以下兩方面：1．知識基礎(chǔ)與經(jīng)驗(yàn)的影響通過對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中學(xué)困生的分析，發(fā)現(xiàn)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的困難主要表現(xiàn)為兩個(gè)方面：一方面是對于基本的數(shù)學(xué)概念和運(yùn)算不能熟練掌握，另一方面是不能將這些概念和運(yùn)算正確地應(yīng)用到問題情境中去。有研究發(fā)現(xiàn)，超過75%的數(shù)學(xué)學(xué)困生在計(jì)算簡單的利息、測量以及稍復(fù)雜的情境類題目時(shí)有嚴(yán)重困難。這些學(xué)生不能合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能解決問題，不能很好地將生活中的經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)建立有機(jī)的聯(lián)系。如城市中的孩子往往分不清方向，在學(xué)習(xí)方向與位置時(shí)，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。如讓學(xué)生解決糧囤中糧食的重量問題，有農(nóng)村生活經(jīng)驗(yàn)的和沒有農(nóng)村生活經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生，顯然的問題解決的策略上會存在差異。顯而易見，知識基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生問題解決的基礎(chǔ)，是影響學(xué)生問題解決策略形成的重要因素。2．定勢的影響問題解決的定勢是指學(xué)生習(xí)慣用過去解決問題的策略和套路來解決當(dāng)前的相似問題。這時(shí)會出現(xiàn)兩種可能的結(jié)果：如果當(dāng)前的問題和以前的問題外表不同而本質(zhì)相同即異形同型，那么解決定勢能促進(jìn)問題解決者快速、正確的解決問題。反之，如果二者是外形相似而本質(zhì)相異（即同形異型）的，那么過去經(jīng)驗(yàn)形成的這種模式對于當(dāng)前的問題解決是不適當(dāng)?shù)摹＠?，有這樣一道九個(gè)點(diǎn)的問題，要求學(xué)生用鉛筆在不離開紙面情況下最多畫四條直線穿過這九個(gè)點(diǎn)。如果學(xué)生把搜索空間局限于九個(gè)點(diǎn)所圍成的范圍內(nèi)，并認(rèn)為這些直線都交于這九點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)，那么這種思維定勢很難使問題獲得解決。實(shí)際上，這個(gè)問題正確的思路應(yīng)該是突破這個(gè)九個(gè)點(diǎn)的邊界，把直線延伸到這些點(diǎn)的范圍之外，且直線可以兩兩相交而不必要求同時(shí)相交于一點(diǎn)。突破傳統(tǒng)的思維定勢，重新覓得問題解決的途徑，最后使問題得以解決。定勢，往往是某種問題解決策略的熟練化、自動化，某種策略定勢的形成，往往抑制其他策略的嘗試與積累，所以說，定勢是影響學(xué)生策略形成的一個(gè)重要因素。（三）來自課程與教學(xué)方面的影響1．問題缺少挑戰(zhàn)性數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程是一個(gè)問題的解決過程，很難想象，如果一個(gè)學(xué)生整天面對的是大量機(jī)械的計(jì)算，每天套用公式、法則、固定算法解答那些條件充分、解法單一、結(jié)論固定的數(shù)學(xué)題，學(xué)生的問題解決策略會得到培養(yǎng)，學(xué)生的問題解決能力會得到發(fā)展。因此，《標(biāo)準(zhǔn)》中提，“要選擇現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的問題……”而現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教材，首先要考慮基礎(chǔ)性、普及性，然后才是發(fā)展性。作為重要的數(shù)學(xué)知識載體和學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要媒介，教材有了很大的改變。但旨在傳遞大眾數(shù)學(xué)的意愿，是面對大眾的數(shù)學(xué)。雖然讓學(xué)生接觸更多的富有挑戰(zhàn)性的問題與教材并無矛盾，但教材中提供的“問題”在某種程度上滿足不了學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，很難刺激學(xué)生的挑戰(zhàn)欲望。而教師如果照本宣科，而不去開發(fā)有價(jià)值的教學(xué)資源，那么，學(xué)生所面對的大部分是缺少挑戰(zhàn)性的問題。由于這些“問題”自身結(jié)構(gòu)良好，留給學(xué)生的思考空間有限，所以，不利于學(xué)生多種問題解決策略的產(chǎn)生。2．教學(xué)重結(jié)論輕過程對于問題解決而言，過程表征學(xué)生的探究過程和探究方法，結(jié)論表征的是學(xué)生對問題的探究結(jié)果。兩者是相互作用、相互依存、相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系。學(xué)生有什么樣的探過程和探究方法（問題解決的策略）就相應(yīng)的會得出什么樣的探究結(jié)論或結(jié)果。問題的解決往往需要特定的策略方法，需要一個(gè)復(fù)雜的過程。受長期形成的教學(xué)思想的影響，很多教師在教學(xué)中，更加關(guān)注的是結(jié)果。具體教學(xué)中的表現(xiàn)是：第一，給學(xué)生的探究時(shí)間不足。很多課堂，教學(xué)追求所謂的有限時(shí)間內(nèi)的教學(xué)效益最大化，而實(shí)際上是剝奪了學(xué)生自主探究與發(fā)現(xiàn)的過程，剝奪了學(xué)生應(yīng)有的學(xué)習(xí)體驗(yàn)過程。這對于學(xué)生解決問題，尤其是形成個(gè)性化的問題解決策略是極為不利的。本研究曾針對十節(jié)數(shù)學(xué)教學(xué)作過提問后留給學(xué)生思考時(shí)間的統(tǒng)計(jì)，其中提問的頻次平均在四十次左右，而留給學(xué)生思考時(shí)間在五秒以內(nèi)的占80%，而學(xué)生探究與操作的時(shí)間，一般都不超過三分鐘。長期下去，課堂成為教師和幾個(gè)尖子生的主宰。當(dāng)學(xué)生面對一個(gè)問題時(shí)，很多學(xué)生選擇的是放棄或消極等待，因?yàn)樵谝淮未问『?，相?dāng)一批學(xué)生認(rèn)為：老師不會給我們太多時(shí)間的，這么短的時(shí)間我是做不出來的，還是等著別人做完，我記住就可以了。第二，教學(xué)評價(jià)單一，缺少指導(dǎo)性評價(jià)與鼓勵(lì)求異創(chuàng)新的評價(jià)。教師要培養(yǎng)學(xué)生問題解決的能力，使學(xué)生有問題意識、有一定的策略積累、有挑戰(zhàn)困難的精神，就需要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，尤其要贊賞學(xué)生獨(dú)特性和富有個(gè)性化的理解和表達(dá)。以此積極引導(dǎo)學(xué)生從事實(shí)踐活動和實(shí)驗(yàn)活動，使學(xué)生樂于動手、勤于實(shí)踐的意識和習(xí)慣得以養(yǎng)成，使學(xué)生面對問題時(shí)，不再只是單一的紙筆，單一的計(jì)算，單一的套用某種解法，而是自覺地運(yùn)用多種方式方法，這將積極促進(jìn)學(xué)生問題解決策略的形成?？上驳氖?，在第八次課程改革實(shí)施以來，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們看到了教師開始關(guān)注對學(xué)生學(xué)習(xí)的評價(jià)。但看到的多是鼓勵(lì)性評價(jià)，缺少建設(shè)性的、建議性的評價(jià)。如果說鼓勵(lì)性評價(jià)可以激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的愿望，那么后者就是對學(xué)生問題解決策略方法的一種價(jià)值引導(dǎo)。在聽課過程中，當(dāng)教師看到某種獨(dú)特的方法時(shí)，很多教師采用的是全班同學(xué)鼓掌、或教師語言贊賞的方式。而要促進(jìn)學(xué)生間個(gè)性化學(xué)習(xí)成果的進(jìn)一步交流與共享，除了鼓勵(lì)性評價(jià)外。應(yīng)該多一些這樣的談話：他的方法好在哪里？你是用什么方法來解決這個(gè)問題的？你們兩個(gè)人的方法有什么不同？3．教學(xué)中忽視學(xué)習(xí)反思學(xué)習(xí)反思是學(xué)習(xí)者對自己的學(xué)習(xí)過程和結(jié)果的反向思考，傳統(tǒng)教學(xué)正是因?yàn)楹鲆暳藢W(xué)生的自我反思作用而使教學(xué)效率低下。有人從時(shí)間維度上將學(xué)習(xí)反思分為三種類型：學(xué)習(xí)活動中的反思、學(xué)習(xí)活動后的反思和為開展學(xué)習(xí)活動的反思。學(xué)習(xí)活動中的反思是學(xué)生在學(xué)習(xí)活動過程中進(jìn)行的自我監(jiān)控和即時(shí)反饋，利用知識、方法、思路、策略等解決問題；學(xué)習(xí)活動后的反思又稱對于學(xué)習(xí)的反思，即學(xué)生在學(xué)習(xí)活動完成之后對自己的行動、想法、做法和結(jié)果等的反思；為開展學(xué)習(xí)活動的反思以前兩種反思為基礎(chǔ)而形成的對即將進(jìn)行的學(xué)習(xí)活動的一種預(yù)知。由此可知：學(xué)習(xí)反思不光尋找學(xué)習(xí)問題與答案，更為了積累并形成問題解決的多種策略，同時(shí)，也為了靈活運(yùn)用所學(xué)的知識和形成的技能、策略解決所面臨的新的問題。在對課堂教學(xué)進(jìn)行分析時(shí)發(fā)現(xiàn)，教師比較重視設(shè)疑引思，對學(xué)生問題解決提供支持，促進(jìn)學(xué)生對解決問題的方式方法的反思與調(diào)整。但相當(dāng)一部分教師對學(xué)生學(xué)習(xí)后活動的反思認(rèn)識不夠，造成操作上的偏失。有的教師一節(jié)課結(jié)束前的最后階段，沒有總結(jié)與反思，只是布置作業(yè)；有的教師注意了對本節(jié)課學(xué)習(xí)的總結(jié)，但指向的是本節(jié)課所傳授的知識點(diǎn)。如“通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你都掌握了哪些知識？”“這些知識你們都學(xué)會了嗎？”在這種指向下，學(xué)生對學(xué)習(xí)的反思往往就停留在知識本身、結(jié)論本身，他們對教師提出的問題，回答就是照搬黑板上的知識框架，復(fù)述書中的概念、法則與公式。長此下去，學(xué)生不再關(guān)注學(xué)習(xí)過程，不再關(guān)注問題解決的多種策略，不再積累各種活動的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生只能學(xué)到死知識，而學(xué)不到策略方法，問題解決的能力培養(yǎng)更無從談起。五、小學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的一般策略與思維策略本研究查找了大量的資料，對策略進(jìn)行分類的多見于學(xué)習(xí)策略分類，其中分類的標(biāo)準(zhǔn)很雜，多見于心理學(xué)研究領(lǐng)域的分類。就數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)來說，多見于對不同學(xué)習(xí)內(nèi)容的諸如概念學(xué)習(xí)策略、應(yīng)用題學(xué)習(xí)策略、幾何圖形學(xué)習(xí)策略等分類方法；本研究從學(xué)生問題解決的內(nèi)隱與外顯兩個(gè)維度，探討并歸納總結(jié)出一般策略和思維策略。（一）一般策略一般策略，指的是對發(fā)現(xiàn)和解決問題具有幫助作用的具體策略，相當(dāng)于解題方法。通過觀察分析，將學(xué)生解決問題過程中，經(jīng)常用到的一些策略整理為以下幾項(xiàng)可參見程明喜《小學(xué)趣味數(shù)學(xué)教學(xué)研究（第二版）》，東北師范大學(xué)出版社，2006年版，第197可參見程明喜《小學(xué)趣味數(shù)學(xué)教學(xué)研究（第二版）》，東北師范大學(xué)出版社，2006年版，第197～212頁。1．嘗試和檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，往往是通過觀察后，獲得初步的解題方向，然后試一試，再經(jīng)過調(diào)整，來實(shí)現(xiàn)問題的解決。如：下面這個(gè)算式，等號兩邊是不相等的。請你把等號兩邊的數(shù)調(diào)換位置，結(jié)果使等號兩邊相等。0.2×0.07+0.4×0.6+0.5×0.9+0.18+0.3=1。一般情況下，學(xué)生會先把等號左邊的算式，計(jì)算一下，看一看結(jié)果與1相差多少，然后，再根據(jù)相差的數(shù)值來調(diào)換某兩個(gè)數(shù)的位置。經(jīng)計(jì)算：0.2×0.07+0.4×0.6+0.5×0.9+0.18+0.3=1.184，比1多0.184。這樣需要對算式中的數(shù)，尤其是0.6、0.5、0.9這三個(gè)數(shù)中的某個(gè)數(shù)與0.2交換位置,使最后算式的結(jié)果小一點(diǎn)。但經(jīng)過嘗試，共同發(fā)現(xiàn)了一個(gè)問題：即調(diào)整后算式中前三個(gè)積的和都是三位小數(shù)，加上0.18與0.3后，結(jié)果不等于1。這樣的嘗試，看上去是失敗了，實(shí)際上，排除了在三個(gè)乘法算式間進(jìn)行調(diào)換的可能。再次嘗試，就需要避開計(jì)算中出現(xiàn)三位數(shù)的現(xiàn)象，這樣，就需要將0.07與0.18和0.3這兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)對調(diào)。如果換成0.18，0.2×0.18結(jié)果又是三位小數(shù)。這樣，只能是將0.07與0.3對調(diào)。這樣，得到新的算式：0.2×0.3+0.4×0.6+0.5×0.9+0.18+0.07，通過計(jì)算來進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果等于1。在解決問題的過程，學(xué)生正是通過仔細(xì)地觀察、不斷地試誤、調(diào)整策略、檢驗(yàn)，最終實(shí)現(xiàn)了問題的解決。從而積累了經(jīng)驗(yàn)。2．猜測和驗(yàn)證《標(biāo)準(zhǔn)》中說：數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容要有利于學(xué)生主動地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動。事實(shí)上，問題作為學(xué)生數(shù)學(xué)活動的前提，當(dāng)其具有了一定的探究價(jià)值時(shí)，學(xué)生在解決問題時(shí)，除了會用到嘗試檢驗(yàn)策略外，比較常用的是猜測與驗(yàn)證。猜測與驗(yàn)證是科學(xué)探索的方法，是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光、科學(xué)的方法解決問題的重要策略。猜測是學(xué)生根據(jù)已有的學(xué)習(xí)、生活經(jīng)驗(yàn)，借助直覺思維、非邏輯地對問題作出判斷。猜測往往可以提高解決問題的速度，但由于只是一種基于經(jīng)驗(yàn)的反應(yīng)，所以，這種結(jié)果也是概括的、不準(zhǔn)確的，需要進(jìn)行科學(xué)地驗(yàn)證。在小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決的過程中，學(xué)生會經(jīng)常用到此策略。如：一個(gè)常滴水的水龍頭，一小時(shí)能浪費(fèi)水多少？一天呢？在解決這個(gè)問題時(shí)，學(xué)生會爭相猜測：一小時(shí)能浪費(fèi)500毫升、1.2升……接下來，需要自己驗(yàn)證，拿一個(gè)容器計(jì)時(shí)接水，可以計(jì)時(shí)10分鐘，也可以是5分鐘、6分鐘等。通過量杯測量，再通過計(jì)算等方法，最后驗(yàn)證猜測的結(jié)果的準(zhǔn)確性。3．畫圖小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，正處在以形象思維為主，向抽象思維過渡的階段，在問題解決的過程，畫圖是必要的輔助策略。一般來說，畫圖有平面圖、立體圖、線段圖幾種。其中，最常用的是線段圖和平面圖。如：在一條筆直的公路上，甲、乙兩車停在相距20千米的A、B兩地，甲車的速度是75千米/小時(shí)，乙車的速度是25千米/小時(shí)，如果兩車同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過多長時(shí)間相距100千米？這是一道開放性的行程問題，如果不借助圖形直觀，對于小學(xué)生來說，在分析甲、乙兩車運(yùn)動方向，確定數(shù)量關(guān)系的過程中，很容易遺漏某種情況。反之，如果借助線段圖，就能夠直觀反映出兩車行駛的方向。從而確定是相遇還是追及。第一種情況：兩車相向而行，相遇后繼續(xù)向前行進(jìn)，再離開100千米。圖（1）經(jīng)過的時(shí)間為：（20+100）÷（75+25）=1.2（小時(shí)）第二種情況：兩車相背而行，在原有的20千米距離的基礎(chǔ)上，再共同行進(jìn)80千米就可以了。圖（2）經(jīng)過的時(shí)間為：（100－20）÷（75+25）=0.8（小時(shí)）第三種情況：甲車追趕乙車，追趕上后又落下甲車100千米。圖（3）經(jīng)過的時(shí)間為：（20+100）÷（75－25）=2.4（小時(shí)）第四種情況：乙車追趕甲車，由于乙車速度慢于甲車，所以只能是甲車在前落下乙車至100千米。原來甲車落下乙車100千米，現(xiàn)在只需要在此基礎(chǔ)上，再落下80千米就可以了。圖（4）經(jīng)過的時(shí)間為：（100－20）÷（75－25）=1.6（小時(shí)）再如：六年級三個(gè)班人數(shù)相等。六年一班的男生人數(shù)等于六年二班的女生人數(shù)。六年三班男生占三個(gè)班男生總數(shù)的。問，六年級女生占三個(gè)班學(xué)生總數(shù)的幾分之幾？在解決這個(gè)問題時(shí)，如果借助平面圖，就會使問題變得很容易。由一班男生人數(shù)等于六年二班的女生人數(shù)，可知，前兩個(gè)班中，男生人數(shù)和女生人數(shù)，分別相等于一個(gè)班的總?cè)藬?shù)。再由六年三班男生占三個(gè)班男生總數(shù)的，可知，六年三班男生占其他兩班男生總數(shù)的。這樣可知，前兩班男生總數(shù)亦即每個(gè)班的總?cè)藬?shù)都可以看作是5份。而三班中男生人數(shù)是2份。觀察圖可知。三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是15份，而女生總數(shù)是8份。六年級女生占三個(gè)班學(xué)生總數(shù)的。4．找規(guī)律在解決復(fù)雜問題時(shí)，往往需要發(fā)現(xiàn)規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律來完成。如：20張邊長是4厘米的正方形，如圖相互重疊在一起，求周長。其解法大致有以下幾種：第一種解法：4×4+2×76=168（厘米）第二種解法：張數(shù)：123456789……周長：162432404856647280……每增加一張，周長增加8厘米。這樣，在第一張的基礎(chǔ)上，增加了19張。20張的周長是：16+8×19=168（厘米）5．制表制表可以將問題中的各要素條理化，找到數(shù)量關(guān)系；或通過一一列舉，將所有情況有序地寫出來。如：立立和冬冬玩投飛鏢游戲。游戲規(guī)則是：投中內(nèi)圈得5分，投中中圈得3分，投中外圈得1分。立立投了15支，共得49分。投中內(nèi)圈、中圈、外圈的飛鏢各有幾支？在用制表法解決這一問題時(shí)，會以尾數(shù)、估算知識作為輔助手段。其實(shí)是一個(gè)多種方法的綜合。在列表時(shí)，在確定49分后，由于考慮到了總枚數(shù)，所以沒有列舉全，最后，經(jīng)過檢查，發(fā)現(xiàn)了上述不同的答案（作○標(biāo)記的）。6．從簡單的情況入手著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出：善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅。如：計(jì)算通過觀察發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)因數(shù)除了個(gè)位分別是6和7外，前19位數(shù)字均是6。如果足夠地退，從簡單入手，來探索規(guī)律，此題或許可以找到解決的辦法。6×7＝4266×67＝4422666×667＝4442226666×6667＝44442222……觀察可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，積由高位起，依次由若干個(gè)4和與4個(gè)數(shù)相同的2組成的多位數(shù)。4與2的個(gè)數(shù)分別與第一個(gè)因數(shù)中6的個(gè)數(shù)相同。于是得出原題的結(jié)果是：7．從相反的方向去思考從相反的方向去思考，即逆向思維法，顧名思義，就是反過來想一想，不采用人們通常思考問題的思路，而是換一個(gè)思考問題的角度。逆向思維法具有挑戰(zhàn)性，常能出奇制勝，取得突破性解決問題的方法。如：從1到100中，不能被3或者5整除的數(shù)有多少個(gè)？如果采用正向思維方式去找不能被3和5整除的數(shù)，就會使問題的解決過程變得很復(fù)雜。如果換個(gè)角度，反過來找能被3和5整除的數(shù)，問題就會迎刃而解。8．列方程對于小學(xué)生來說，受長期的算術(shù)方法的訓(xùn)練，在面對復(fù)雜問題而遲遲不能解決時(shí)，往往想不到用方程幫助解決。有些問題，用算術(shù)法解起來比較難于理解，可用方程就簡單得多了。如雞兔同籠問題。再如：觀察下面的每一組算式，說一說有什么特點(diǎn)。你能寫出一組這樣的算式嗎？3+1.56+1.211+1.13×1.56×1.211×1.1通過觀察發(fā)現(xiàn):參與計(jì)算的兩數(shù)之和等于兩數(shù)之積。但再寫出一組這樣算式，對于小學(xué)生來說，有一定的困難。如果借助方程就可以使問題得以解決。如果用a、b分別表示兩個(gè)數(shù)。依題意有：a+b=aba=ab－ba=b(a－1)b=a÷(a－1)這樣，任意令a為一個(gè)大于1的數(shù)，就可以通過計(jì)算，得到b。由此，可以感受到方程對于解題的重要作用。9．邏輯推理推理是由一個(gè)或幾個(gè)判斷推出另一個(gè)判斷的思維過程。掌握比較完善的邏輯推理能力是兒童智力發(fā)展的重要環(huán)節(jié)和主要標(biāo)志。小學(xué)生的推理能力是隨著兒童掌握比較復(fù)雜的知識經(jīng)驗(yàn)和語法結(jié)構(gòu)而逐漸發(fā)展起來的。在問題解決過程中，經(jīng)常需要學(xué)生在分析綜合、抽象概括的基礎(chǔ)上進(jìn)行邏輯推理。如：一個(gè)正方體六個(gè)面上分別寫著1、2、3、4、5、6。根據(jù)下圖擺放的三種情況。判斷每個(gè)數(shù)字對面上的數(shù)字是幾？觀察三個(gè)正方體上的數(shù)字?？梢园l(fā)現(xiàn)：出現(xiàn)次數(shù)最多的是1、3、4，各出現(xiàn)了兩次?？梢赃x擇任何一個(gè)數(shù)字作為突破口。由1和2、3、4、6相鄰，可推出1和5相對；由3和1、2、4、5相鄰，可推出3和6相對；由1和5相對，3和6相對，可推出2和4相對。（二）思維策略可參見孔企平,張維忠,黃榮金：《數(shù)學(xué)新課程與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)》[M].高等教育出版社，2003年版，第170～196頁。所謂思維策略，指的是一般性的較普遍的思維方法，是在一定數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下，所采取的總體思路。它不同于解題思路和一般策略，解題思路和一般策略是在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生的具體的方案、方法和手段。思維策略大體可分以下幾項(xiàng)：觀察與實(shí)驗(yàn)，分析與綜合，特殊與一般，類比，歸納與演繹，聯(lián)想與猜想。美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。而當(dāng)我們解題時(shí)遇到一個(gè)新問題，總想用熟悉的題型去套，這只是滿足于解出來，只有對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會貫通時(shí)，才能提出新看法、巧解法。問題解決的教學(xué)為我們向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想、訓(xùn)練思維方法提供了機(jī)會。中小學(xué)教師只有理解數(shù)學(xué)的各種思維方法，才能引導(dǎo)學(xué)生有意識地應(yīng)用數(shù)學(xué)的思維方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)。1．觀察與實(shí)驗(yàn)對周圍世界的各個(gè)客觀事物和現(xiàn)象，在其自然條件下，按照客觀事物本身存在的特征的自然聯(lián)系的實(shí)際情況，研究和確定它們的性質(zhì)和關(guān)系的方法，稱為觀察。觀察是一種有目的、有計(jì)劃、有組織的知覺。其次，觀察不僅是一種單純的知覺過程，它還包含著積極的思維過程。例如，我們在進(jìn)行觀察的過程中，必須隨時(shí)比較所觀察的事物，以及了解它們的性質(zhì)和關(guān)系。比較事物就是思維活動的一種顯著的表現(xiàn)。正因?yàn)橹X和思維的密切聯(lián)系是觀察的一個(gè)主要特征，所以，觀察有時(shí)也被稱為“思維的知覺”。在解決問題的過程，一定要精細(xì)地觀察，這是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得解題方法的第一步。例1．下圖是個(gè)數(shù)字“金字塔”，這個(gè)數(shù)字“金字塔”中，所有數(shù)字之和是多少？學(xué)生看到此題，首先要觀察，觀察的具體方法很多，可以看橫行，也可以看斜行，還可以確定觀察某個(gè)數(shù)字的個(gè)數(shù)。不同的觀察方法，可以產(chǎn)生不同的解決問題的具體辦法：如第一行和是1，第二行和是4，第三行和是9……每橫行的數(shù)字和等于中間數(shù)的平方。這樣，“金字塔”中數(shù)字之和是：12+22+32+42+……+82+92=285；如果由最后一行中間數(shù)9的個(gè)數(shù)開始觀察，會發(fā)現(xiàn)，這個(gè)“金字塔”中有1個(gè)9，3個(gè)8，5個(gè)7……數(shù)字從9，8，7，6……至3，2，1，其個(gè)數(shù)分別為1，3，5……至15，17，于是得到新的算法：9×1＋8×3＋7×5＋6×7＋5×9＋4×11＋3×13＋2×15＋1×17。實(shí)驗(yàn)(試驗(yàn))通常是指一種研究客觀事物和現(xiàn)象的方法，即根據(jù)這些事物和現(xiàn)象的自然狀態(tài)和發(fā)展，人為地創(chuàng)設(shè)條件，人為地將它們分成許多部分，而且將他們同其他事物和現(xiàn)象聯(lián)系起來以深入了解所研究的事物和現(xiàn)象的自然狀態(tài)和發(fā)展情況。任何實(shí)驗(yàn)都和觀察相聯(lián)系著，實(shí)驗(yàn)者必須觀察實(shí)驗(yàn)的進(jìn)程和結(jié)果。在數(shù)學(xué)研究中，通過觀察與實(shí)驗(yàn)不僅可以收集所需要的信息、獲得必要的知識，而且觀察與實(shí)驗(yàn)往往還會產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)。如要確定一個(gè)圖形是不是軸對稱圖形，只需將其對折一下，看折痕兩邊是否完全重合即可。想知道在一個(gè)正方體上切一刀，截面是什么形狀？拿幾塊橡皮泥切一切就知道了。數(shù)學(xué)問題的解決，往往需要觀察后，作出初步的判斷、猜測，必要時(shí)還需要測一測、量一量，比一比，才能最后確認(rèn)猜測的正確性。例2．圖中的線段a與b哪一條長？2．分析與綜合例1．圖中陰影部分的面積是50平方厘米，求環(huán)形的面積。如果從已知條件出發(fā)，采用綜合法，我們假設(shè)：大圓半徑（大正方形的邊長為R，）小圓半徑（小正方形的連長為r），有R2－r2＝50，即大正方形的面積減小正方形的面積差是50平方厘米。至此，我們還可進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，50是也是大圓半徑的平方與小圓半徑的平方之差。以上的過程就是一個(gè)綜合的過程。所得出的結(jié)論對于解題有什么作用呢？讓我們從所求問題再入手，要求環(huán)形面積，需要用大圓的面積減小圓的面積，即πR2－πr2,將其整理后得:π(R2－r2),這時(shí),再根據(jù)R2－r2＝50,求得環(huán)形面積為:50π。這樣，我們可以清楚地了解分析與綜合法在解題過程中往往是同時(shí)使用的。3．特殊與一般在數(shù)學(xué)研究中，一般化與特殊化是兩種非常重要的思維方法。當(dāng)我們得到一個(gè)定理后，希望把它推廣，得出可以在更大范圍應(yīng)用的定理，這就是一般化。一般化，也稱為普遍化。另一個(gè)途徑是將定理特殊化，尋求它的推論。關(guān)于一般化與特殊化。（1）我們可以通過一般化，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的一般性原理、性質(zhì)、法則、規(guī)律等。如果我們見到下列等式：1－1/2－1/4－1/8=7/8我們觀察后發(fā)現(xiàn)，參與運(yùn)算的數(shù)是一個(gè)等比數(shù)列，被減數(shù)是1，減數(shù)依次是前一個(gè)數(shù)除以2所得的商，這樣減到1/8，等于7/8，結(jié)果是與最后一個(gè)減數(shù)同分母，分子比分母少1的數(shù)。這時(shí)我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)數(shù)學(xué)問題：這樣的算式結(jié)果是一個(gè)分子、分母差1的真分?jǐn)?shù)。這一發(fā)現(xiàn)能否具有普遍的規(guī)律，需要我們再找?guī)讉€(gè)特殊的例子試驗(yàn)一下，看能否找到規(guī)律，驗(yàn)證我們的發(fā)現(xiàn)。1－1/2=1/21－1/2－1/4=3/4