湖南省長沙市雅禮教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE20-湖南省長沙市雅禮教化集團(tuán)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）（時量：120分鐘滿分：150分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的公差為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】設(shè)數(shù)列的公差為，則由題意可得，，由此解得的值．【詳解】解：設(shè)數(shù)列的公差為，則由，，可得，，解得.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，由已知條件求基本量．2.假如直線(2a+5)x+(a－2)y+4=0與直線(2－a)x+(a+3)y－1=0相互垂直，則a的值等于（）A.2 B.－2 C.2,－2 D.2,0,－2【答案】C【解析】(2a＋5)(2－a)＋(a－2)(a＋3)＝0，所以a＝2或a＝－2.3.在中，，，，則邊長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理可求得邊長.【詳解】由余弦定理得，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4.《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例安排問題：“衰分”是按比例遞減安排的意思,通常稱遞減的比例(百分比)為“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得,,,個單位,遞減的比例為,今共有糧石,按甲、乙、丙、丁的依次進(jìn)行“衰分”,已知丙衰分得石,乙、丁衰分所得的和為石,則“衰分比”與的值分別為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)“衰分比”為,甲衰分得石,由題意列出方程組,由此能求出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)“衰分比”為,甲衰分得石,由題意得,解得,,．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列在生產(chǎn)生活中的實(shí)際應(yīng)用,是基礎(chǔ)題,解題時要仔細(xì)審題,留意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．5.如圖所示，一個空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，假如直角三角形的直角邊長為2，那么這個幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)三視圖還原原圖，并依據(jù)錐體體積公式，計算出幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體為三棱錐，如下圖所示，故體積為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查依據(jù)三視圖還原原圖，考查幾何體體積的求法，屬于基礎(chǔ)題.6.已知向量，滿意，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計算出、的值，利用平面對量數(shù)量積可計算出的值.【詳解】，，，.，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面對量夾角余弦值的計算，同時也考查了平面對量數(shù)量積的計算以及向量模的計算，考查計算實(shí)力，屬于中等題.7.下列命題中錯誤的是（）A.假如平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)肯定存在直線平行于平面βB.假如平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)肯定不存在直線垂直于平面βC.假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD.假如平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)全部直線都垂直于平面β【答案】D【解析】由題意可知：A、結(jié)合實(shí)物：教室的門面與地面垂直，門面的上棱對應(yīng)的直線就與地面平行，故此命題成立；B、假如平面α內(nèi)存在直線垂直于平面β，依據(jù)面面垂直的判定定理可知兩平面垂直．故此命題成立；C、結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可以分別在α、β內(nèi)作異于l的直線垂直于交線，再由線面垂直的性質(zhì)定理可知所作的垂線平行，進(jìn)而得到線面平行再由線面平行的性質(zhì)可知所作的直線與l平行，又∵兩條平行線中的一條垂直于平面那么另一條也垂直于平面，故命題成立；D、舉反例：教室內(nèi)側(cè)墻面與地面垂直，而側(cè)墻面內(nèi)有許多直線是不垂直與地面的．故此命題錯誤．故選D．8.若過點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，可得圓的半徑為，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)在圓上，求得實(shí)數(shù)的值，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點(diǎn)在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓心到直線距離的計算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計算實(shí)力，屬于中等題.9.在中，，，，則（）A. B.或 C. D.不存【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理求得的值，結(jié)合大邊對大角定理以及的取值范圍可求得的大小.【詳解】由正弦定理，得，，則，且，因此，或.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理解三角形，考查計算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.10.數(shù)列中，，且，則數(shù)列前2024項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可得，化為：，利用“累加求和”方法可得，再利用裂項(xiàng)求和法即可得解．【詳解】解：∵，∴，整理得：，∴，又∴，可得：．則數(shù)列前2024項(xiàng)和為：．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“累加求和”方法、裂項(xiàng)求和，考查了推理實(shí)力、轉(zhuǎn)化實(shí)力與計算實(shí)力，屬于中檔題．11.如圖所示，平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，將其沿對角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面體ABCD的頂點(diǎn)在同一個球面上，則該球的體積為()A. B.3πC. D.2π【答案】A【解析】由題可知，球心中點(diǎn)上，所以，所以，故選A．點(diǎn)睛：本題中三棱錐的外接球的球心，首先找究竟面的外心，在中點(diǎn)上，再在過底面外心的中軸線的一點(diǎn)，滿意到各頂點(diǎn)的距離相等，則該點(diǎn)就是外接球球心，本題的中點(diǎn)恰好滿意球心．外接球問題關(guān)鍵就是找到球心，求出半徑．12.數(shù)列滿意，則的前項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分和兩種狀況探討，推導(dǎo)出。，由此可計算出數(shù)列的前項(xiàng)和.詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，，可得，，，因此，數(shù)列的前項(xiàng)和為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查分組求和，推導(dǎo)出，是解題的關(guān)鍵，考查計算實(shí)力，屬于中等題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在對應(yīng)題號后的橫線上.13.在正方體中，直線與所成角的大小為____________.【答案】【解析】【分析】分別連接,可得，得到異面直線與所成角即為直線與所成角，在中，即可求解.【詳解】如圖所示，在正方體中，分別連接,可得,所以異面直線與所成角即為直線與所成角，設(shè)，在中，可得，所以，即異面直線與所成角.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線所成角的求解，其中解答中熟記異面直線所成的求法是解答的關(guān)鍵，著重考查運(yùn)算與求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.14.設(shè)、為單位向量，且，則____________.【答案】【解析】【分析】本題首先可以依據(jù)、為單位向量得出，然后依據(jù)得出，最終通過計算的值即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?、為單位向量，所以，因?yàn)?，所以，，則，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查單位向量的相關(guān)性質(zhì)以及向量的模的相關(guān)計算，若向量為單位向量，則向量的模長為，考查計算實(shí)力，是簡潔題.15.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝an＋，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=______.【答案】；【解析】【詳解】試題分析：解：當(dāng)n=1時，a1=S1=a1+，解得a1=1,當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=（）-（）=-整理可得an＝?an?1，即=-2，故數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列，故an=1×（-2）n-1=（-2）n-1故答案為（-2）n-1．考點(diǎn):等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．16.如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則下列命題：①直線⊥平面②三棱錐的體積為定值③異面直線與所成角的取值范圍是④直線與平面所成角的正弦值的最大值為其中全部真命題的序號是____________.【答案】①②④【解析】【分析】對于①，利用線面垂直的判定定理及線面垂直的性質(zhì)定理，即可進(jìn)行推斷；對于②，利用線面平行的判定定理，得出∥平面，再依據(jù)三棱錐的體積的計算方法，即可進(jìn)行推斷；對于③，利用異面直線所成角的計算方法，即可進(jìn)行推斷；對于④，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求出直線與平面所成角的正弦值，然后借助二次函數(shù)，即可進(jìn)行推斷.【詳解】對于①，連接，，，，平面，，同理，，，直線平面，故①正確；對于②，∥，平面，平面，∥平面，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，點(diǎn)到平面的距離為定值，又的面積為定值，三棱錐的體積為定值，故②正確；對于③，∥，異面直線與所成的角即為與所成的角，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時，與所成的角為，當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時，平面，，，此時，與所成的角為，異面直線與所成角的取值范圍是，故③錯誤；對于④，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，，則，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，得，所以，直線與平面所成角的正弦值為：，當(dāng)時，直線與平面所成角的正弦值取得最大值，最大值為，故④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定定理、線面垂直的性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、三棱錐的體積的計算方法、異面直線所成角的計算方法、利用向量法求解直線與平面所成角的正弦值，考查學(xué)生對這些學(xué)問的駕馭實(shí)力，屬于中檔題.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖，在三棱錐中，，，，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：平面BDE⊥平面PAC.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）先利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而得到；（2）利用線面垂直的判定定理，證得平面，再結(jié)合面面垂直的判定，即可證得平面平面；【詳解】（1）由，，且平面，平面，且，由線面垂直的判定定理，可得平面，又因?yàn)槠矫妫?；?）由，為的中點(diǎn)，可得，又由平面，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?，且，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妗军c(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的判定及性質(zhì)，以及平面與平面垂直的判定與證明，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與論證實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.18.設(shè)數(shù)列滿意.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用遞推公式,作差后即可求得的通項(xiàng)公式.（2）將的通項(xiàng)公式代入,可得數(shù)列的表達(dá)式.利用裂項(xiàng)法即可求得前項(xiàng)和.【詳解】（1）數(shù)列滿意時,∴∴當(dāng)時,,上式也成立∴（2）∴數(shù)列的前n項(xiàng)和【點(diǎn)睛】本題考查了利用遞推公式求通項(xiàng)公式,裂項(xiàng)法求和的簡潔應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.19.已知的內(nèi)角的對邊分別是，且.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)，由二倍角正弦公式得到，然后由正弦定理求解.（2）依據(jù)，利用余弦定理，得到，再依據(jù)的面積為，得到，兩式聯(lián)立求解.【詳解】（1）由，得，由正弦定理，得，由于，所以.因?yàn)椋?（2）由余弦定理，得，又，所以.①又的面積為，即，即，即.②由①②得，則，得.所以的周長為.【點(diǎn)睛】本題主要考查等正弦定理，余弦定理應(yīng)用以及二倍角公式，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.20.如圖所示，四棱錐中，底面為正方形，平面，，，，分別為、、的中點(diǎn)．（1）求證：//平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】(1)見解析；(2).【解析】【詳解】(1)取的中點(diǎn),連接,,由于,所以,即四點(diǎn)共面.依據(jù)三角形的中位線得,所以平面.(2)由于平面,所以,而,所以平面,故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間直線與平面平行的證明,考查空間幾何體體積的求法,考查了平面延長的方法.由于平面范圍較小,故須要將平面擴(kuò)綻開來,擴(kuò)展的方法就是構(gòu)造線線平行來擴(kuò)展,即利用來擴(kuò)展這個平面,再結(jié)合三角形的中位線即可證得線面平行.21.已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動.（1）求過點(diǎn)且被圓截得的弦長為的直線方程；（2）求的最值.【答案】(1)或;(2)最大值為88,最小值為72.【解析】【分析】(1)依題意,直線的斜率存在,設(shè)出直線方程,結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式,列出方程求解,即可得出結(jié)果.(2)由設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為則.代入化簡可得,由,即可求得求的最值.【詳解】(1)依題意,直線的斜率存在,因?yàn)檫^點(diǎn)且被圓截得的弦長為,所以圓心到直線的距離為,設(shè)直線方程為,即,所以,解得或所以直線方程為或.(2)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為則.因?yàn)?所以,即的最大值為88,最小值為72.【點(diǎn)睛】本題主要考查已知弦長求直線方程,考查圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離平方和的最值問題,熟記直線與圓的位置關(guān)系,以及點(diǎn)到直線距離公式即可,難度較易.22.已知數(shù)列與滿意，.（1）若，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，求的取值范圍，使得對隨意m，，，且.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由得到，因此