（高二數(shù)學(xué)高分突破）第6章空間向量與立體幾何章末題型歸納總結(jié)（原卷版）

（高二數(shù)學(xué)高分突破）第6章空間向量與立體幾何章末題型歸納總結(jié)（原卷版）（高二數(shù)學(xué)高分突破）第6章空間向量與立體幾何章末題型歸納總結(jié)（原卷版）/（高二數(shù)學(xué)高分突破）第6章空間向量與立體幾何章末題型歸納總結(jié)（原卷版）第6章空間向量與立體幾何模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：空間向量及其線性運(yùn)算經(jīng)典題型二：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算經(jīng)典題型三：空間向量基本定理經(jīng)典題型四：空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示經(jīng)典題型五：用空間向量研究平行、垂直問題經(jīng)典題型六：用空間向量研究異面直線所成角問題經(jīng)典題型七：用空間向量研究線面角問題經(jīng)典題型八：用空間向量研究二面角問題經(jīng)典題型九：用空間向量研究距離問題模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③特殊到一般思想模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：空間向量及其線性運(yùn)算例1．(2024·四川瀘州·高二四川省瀘縣第四中學(xué)?？计谀?如圖,在四面體中,,,,點(diǎn)M在上,且,N為的中點(diǎn),則(

)A． B．C． D．例2．(2024·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末)如圖,在三棱柱中,M為的中點(diǎn),設(shè),,,則(

)A． B． C． D．例3．(2024·福建莆田·高二仙游一中校聯(lián)考期末)如圖,平行六面體中,點(diǎn)在上,點(diǎn)在上,且,,若,則(

)A． B． C． D．例4．(2024·山東棗莊·高二校聯(lián)考階段練習(xí))如圖,在四面體中,點(diǎn)E,F分別是,的中點(diǎn),點(diǎn)G是線段上靠近點(diǎn)E的一個(gè)三等分點(diǎn),令,,,則()A． B．C． D．例5．(2024·北京西城·高二北師大二附中校考階段練習(xí))如圖,在平行六面體中,若,,則(

)A． B．C． D．經(jīng)典題型二：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算例6．(2024·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末)正四面體的棱長為2,設(shè),,,則.例7．(2024·重慶黔江·高二重慶市黔江中學(xué)校?？茧A段練習(xí))向量,向量在向量上的投影向量坐標(biāo)是.例8．(2024·湖南張家界·高二張家界市民族中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知正四面體的棱長為2,點(diǎn),分別是,的中點(diǎn),則的值為．例9．(2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí))若,則例10．(2024·高二課時(shí)練習(xí))若是一個(gè)單位正交基底,且向量,,．經(jīng)典題型三：空間向量基本定理例11．(2024·山東·高二統(tǒng)考期末)已知空間向量,,,下列命題中正確的(

)A．若向量,共線,則向量,所在的直線平行B．若向量,所在的直線為異面直線,則向量,一定不共面C．若存在不全為0的實(shí)數(shù)使得,則,,共面D．對于空間的任意一個(gè)向量,總存在實(shí)數(shù)使得例12．(2024·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí))如圖,在三棱柱中,為空間一點(diǎn),且滿足,,則下列說法錯(cuò)誤的是()A．當(dāng)時(shí),點(diǎn)在棱上B．當(dāng)時(shí),點(diǎn)在線段上C．當(dāng)時(shí),點(diǎn)在棱上D．當(dāng)時(shí),點(diǎn)在線段上例13．(2024·河北保定·高二河北定興第三中學(xué)校聯(lián)考期末)如圖,在平行六面體中,為的中點(diǎn),點(diǎn)滿足．若四點(diǎn)在同一個(gè)平面上,則(

)A． B． C． D．例14．(2024·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí))如圖,空間四邊形中,,,,且任意兩個(gè)之間的夾角均為,,,則(

)

A． B． C． D．2例15．(2024·廣東深圳·高二深圳第三高中校考期末)在平行六面體中,若,則(

)A． B．1 C．2 D．經(jīng)典題型四：空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示例16．(2024·新疆喀什·高二統(tǒng)考期末)已知空間向量,且,則.例17．(2024·四川達(dá)州·高二?？茧A段練習(xí)),若,則實(shí)數(shù)值為.例18．(2024·廣東珠?！じ叨？茧A段練習(xí))已知向量,,,若向量與所成角為銳角,則實(shí)數(shù)的范圍是.例19．(2024·湖南衡陽·高二?？计谀?已知向量,,且與平行,則.例20．(2024·廣東惠州·高二?？茧A段練習(xí))已知點(diǎn).若點(diǎn)在平面內(nèi),則x=.例21．(2024·河南鄭州·高二鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí))若向量共面,則．例22．(2024·貴州·高二統(tǒng)考階段練習(xí))已知向量,則在上的投影向量的模為.例23．(2024·山西太原·高二統(tǒng)考期末)已知,則向量與的夾角為．例24．(2024·北京通州·高二統(tǒng)考期末)在空間直角坐標(biāo)系中,已知,,.則與的夾角的余弦值為;在的投影向量.經(jīng)典題型五：用空間向量研究平行、垂直問題例25．(多選題)(2024·山東日照·高二山東省日照實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知直線l的一個(gè)方向向量為,平面的一個(gè)法向量為,則(

)A．若,則 B．若,則C．若,則 D．若,則例26．(多選題)(2024·云南曲靖·高二?？计谀?設(shè)直線的方向向量分別為,平面的法向量分別為,則下列命題正確的是(

)A．若,則 B．若,則C．若,則,使得 D．若,則例27．(2024·安徽淮北·高二淮北市第十二中學(xué)?？计谀?如圖,在正方體中,,分別是,的中點(diǎn)．

(1)求證：平面;(2)求證：例28．(2024·廣東江門·高二臺(tái)山市華僑中學(xué)?？计谀?長方體中,,.點(diǎn)為中點(diǎn).(1)求證：平面;(2)求證：平面.例29．(2024·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí))如圖,正四棱錐的高為6,,且M是棱上更靠近C的三等分點(diǎn).(1)證明：;(2)若在棱上存在一點(diǎn)N,使得平面,求的長度.例30．(2024·廣東清遠(yuǎn)·高二校聯(lián)考期末)如圖所示,在底面是矩形的四棱錐中,底面分別是的中點(diǎn),.(1)求兩點(diǎn)間的距離;(2)求證：平面;(3)求證：平面平面.經(jīng)典題型六：用空間向量研究異面直線所成角問題例31．(2024·四川遂寧·高二射洪中學(xué)校考階段練習(xí))如圖,在正四棱柱中,,是棱上任意一點(diǎn)．(1)求證：;(2)若是棱的中點(diǎn),求異面直線與所成角的余弦值．例32．(2024·黑龍江佳木斯·高二?？计谀?如圖,正方體的棱長為1,線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且.’(1)求證：(2)求三棱錐的體積(3)求異面直線所成的角的最小值.例33．(2024·新疆喀什·高二校考期末)已知棱長為2的正方體,點(diǎn)M、N分別是和的中點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

(1)寫出圖中、、M、N的坐標(biāo).(2)求直線AM與NC所成角的余弦值.例34．(2024·廣東惠州·高二?？计谀?如圖,四棱錐S-ABCD中,SD⊥AD,SD⊥CD,E,F分別是SC,SA的中點(diǎn),O是底面正方形ABCD的中心,AB=SD=4.(1)求證：EO平面SAD;(2)求異面直線EO與BF所成角的余弦值.經(jīng)典題型七：用空間向量研究線面角問題例35．(2024·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末)如圖,在正方體中,E,F,G分別為,,的中點(diǎn)．(1)求證：平面;(2)求直線與平面所成角的余弦值．例36．(2024·陜西西安·高二高新一中?？茧A段練習(xí))如圖,三棱柱的底面是邊長為2的等邊三角形,平面平面ABC,．(1)過作出三棱柱的一個(gè)截面,使AB與截面垂直,并給出證明;(2)求與平面所成角的正弦值．例37．(2024·云南昆明·高二云南師大附中校考階段練習(xí))在四棱錐中,底面為梯形,,,,平面．

(1)求證：平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值．例38．(2024·陜西西安·高二?？计谀?如圖所示的四棱錐的底面是一個(gè)等腰梯形,,且,是的中線,點(diǎn)是棱的中點(diǎn).

(1)證明：平面.(2)若平面平面,且,,求直線與平面所成角的正弦值.經(jīng)典題型八：用空間向量研究二面角問題例39．(2024·湖南長沙·高二雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖,圓柱底面直徑長為4,是圓上一點(diǎn),且點(diǎn)為圓弧中點(diǎn).(1)求證：平面平面;(2)若該圓柱的體積為,求平面與平面夾角的余弦值.例40．(2024·河南省直轄縣級單位·高二河南省濟(jì)源第一中學(xué)校考階段練習(xí))如圖,在矩形中,,,為的中點(diǎn),將沿折起,使點(diǎn)到點(diǎn)處,平面平面.(1)證明：平面平面;(2)求二面角的余弦值.例41．(2024·四川成都·高二石室中學(xué)?？计谀?已知三棱錐中,,,,.

(1)求點(diǎn)到平面的距離;(2)求平面與平面夾角的正弦值.例42．(2024·河南·高二伊川縣第一高中校聯(lián)考階段練習(xí))如圖,在四棱錐中,底面ABCD為梯形,,.

(1)求點(diǎn)到平面ABCD的距離;(2)在棱上是否存在點(diǎn),使得平面DBF與平面PBC夾角的余弦值為?若存在,求出點(diǎn)的位置;若不存在,請說明理由.例43．(2024·廣東東莞·高二?？茧A段練習(xí))已知三棱錐(如圖一)的平面展開圖(如圖二)中,四邊形為邊長等于的正方形,和均為正三角形,在三棱錐中：(1)證明：平面平面;(2)若點(diǎn)M在棱上運(yùn)動(dòng),當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí),求平面與平面所成銳二面角的余弦值．經(jīng)典題型九：用空間向量研究距離問題55．(2024·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí))如圖,在棱長為4的正方體中,點(diǎn)在棱上,且.(1)求平面與平面夾角的余弦值;(2)若點(diǎn)在棱上,且到平面的距離為,求到直線的距離.例44．(2024·陜西寶雞·高二陜西省寶雞市長嶺中學(xué)校考階段練習(xí))如圖,直四棱柱的高為3,底面是邊長為4且的菱形,,,是的中點(diǎn)．(1)求二面角的大小;(2)求點(diǎn)到平面的距離．例45．(2024·全國·高二專題練習(xí))設(shè)正方體的棱長為2,求：(1)求直線到平面的距離;(2)求平面與平面間的距離.例46．(2024·遼寧葫蘆島·高二校聯(lián)考期末)如圖,在棱長為2的正方體中,E,F分別是,的中點(diǎn)．(1)求到直線的距離;(2)求到平面的距離．例47．(2024·天津南開·高二天津市天津中學(xué)?？茧A段練習(xí))在三棱臺(tái)中,若平面,分別為中點(diǎn)．(1)求證：平面;(2)求平面與平面所成角的余弦值;(3)求點(diǎn)到平面的距離;(4)求點(diǎn)到直線的距離．模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想例48．(2024·浙江·高二校聯(lián)考開學(xué)考試)已知長方體中,,,用過該長方體體對角線的平面去截該長方體,則所得截面的面積最小值為(

)A． B． C． D．例49．(2024·高二課時(shí)練習(xí))已知平面與平面成角,,則C與D之間的距離是(

)A． B．C．或 D．或例50．(2024·浙江·校聯(lián)考三模)在正方體中,平面經(jīng)過點(diǎn)B、D,平面經(jīng)過點(diǎn)A、,當(dāng)平面分別截正方體所得截面面積最大時(shí),平面所成的銳二面角大小為(

)A． B． C． D．②轉(zhuǎn)化與化歸思想例51．(2024·寧夏銀川·高二賀蘭縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末)在三棱錐中,為的中點(diǎn),若,則(

)A． B．C． D．例52．(2024·河北保定·高二校聯(lián)考期末)定義：設(shè)是空間的一個(gè)基底,若向量,則稱實(shí)數(shù)組為向量在基底下的坐標(biāo).已知是空間的單位正交基底,是空間的另一個(gè)基底.若向量在基底下的坐標(biāo)為,則向量在基底下的模長為(

)A．3 B． C．9 D．6例53．(2024·安徽合肥·高二校聯(lián)考期末)如圖是元代數(shù)學(xué)家郭守敬主持建造的觀星臺(tái),其可近似看作一個(gè)正四棱臺(tái),若,點(diǎn)在上,且,則(

)

A． B．C． D．例54．(2024·北京·高二?？计谀?如圖,已知多面體的底面是邊長為2的菱形,底面,,且.若直線與平面所成的角為,則二面角的余弦值為(