（高二數(shù)學(xué)高分突破）第三章《圓錐曲線》同步單元必刷卷（培優(yōu)卷）（解析版）

（高二數(shù)學(xué)高分突破）第三章《圓錐曲線》同步單元必刷卷（培優(yōu)卷）（解析版）（高二數(shù)學(xué)高分突破）第三章《圓錐曲線》同步單元必刷卷（培優(yōu)卷）（解析版）/（高二數(shù)學(xué)高分突破）第三章《圓錐曲線》同步單元必刷卷（培優(yōu)卷）（解析版）第三章《圓錐曲線》同步單元必刷卷(培優(yōu)卷)一、單項選擇題：本題共8小題,每小題滿分5分,共40分．在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,選對得5分,選錯得0分．1．"”是"方程表示雙曲線”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】求出方程表示雙曲線時參數(shù)的取值范圍,從而可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】因為方程表示雙曲線,故,故,而為的真子集,故"”是"方程表示雙曲線”的充分不必要條件,故選：A.2．已知定點,點為橢圓的右焦點,點M在橢圓上移動,求的最大值和最小值為(

)A．12, B．,C．12,8 D．9,【答案】C【分析】根據(jù)給定條件,利用橢圓的定義,結(jié)合線段和差的三角不等式列式求解即可.【詳解】令橢圓的左焦點為,有,由橢圓定義知,

顯然點在橢圓內(nèi),,直線交橢圓于,而,即,當(dāng)且僅當(dāng)點共線時取等號,當(dāng)點與重合時,,則,當(dāng)點與重合時,,則,所以的最大值和最小值為12,8.故選：C3．已知是拋物線：上一點,過的焦點的直線與交于兩點,則的最小值為(

)A．24 B．28 C．30 D．32【答案】D【分析】求出拋物線方程后,設(shè),不妨設(shè),設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線和拋物線方程消元后,利用韋達(dá)定理及拋物線的定義可得,利用基本不等式即可求出最小值.【詳解】因為是拋物線上一點,所以,故,則拋物線方程為,設(shè),不妨設(shè),設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,所以,,則,當(dāng)且僅當(dāng)且時,等號成立,故的最小值為,故選：4．已知橢圓的上頂點為,兩個焦點為,離心率為.過且垂直于的直線與交于兩點,,則的周長是(

)A．11 B．12 C．13 D．14【答案】D【分析】由離心率為,得到a,b,c之間的關(guān)系,做出簡圖,分析可得直線的方程為：,且直線垂直平分,所以的周長等于的周長,等于,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用弦長公式求出c,a的值.【詳解】因為橢圓的離心率為,所以,,

如圖,,所以為正三角形,又因為直線過且垂直于,所以,直線的方程為,設(shè)點坐標(biāo),點坐標(biāo),將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,得,顯然,則,,所以,解得,,由圖,直線垂直平分,所以的周長等于的周長,.故選：D.5．已知分別為雙曲線的左、右焦點,點在上,,則雙曲線的漸近線方程為(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件結(jié)合雙曲線的定義可得,從而可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】依題,,則,根據(jù)雙曲線的定義,又,得,所以,所以其漸近線方程為.故選：C6．拋物線上兩點(不與重合),滿足,則面積的最小值是(

)A．4 B．8 C．16 D．18【答案】C【分析】設(shè)直線為且,且,聯(lián)立拋物線應(yīng)用韋達(dá)定理求得,根據(jù)已知有,直線過定點,再由求最值.【詳解】由題設(shè),可設(shè)直線為且,且,聯(lián)立,消去得,故,則,由,易知,則或(舍),故的方程為過定點(4,0),由上知：,則面積為,時等號成立.故選：C7．已知雙曲線虛軸的一個頂點為D,分別是C的左,右焦點,直線與C交于A,B兩點．若的重心在以為直徑的圓上,則C的漸近線方程為(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】不妨取,再求得兩點的坐標(biāo)為,從而求得重心的坐標(biāo)為,進(jìn)而得到,解得,由此得解.【詳解】因為雙曲線,則其虛軸上的頂點為,不妨取,聯(lián)立,解得,則兩點的坐標(biāo)為,所以的重心的坐標(biāo)為,即,因為△ABD的重心在以為直徑的圓上,而為直徑的圓的方程為,所以,解得,所以的漸近線方程為.故選：D.8．已知圓錐曲線統(tǒng)一定義為"平面內(nèi)到定點F的距離與到定直線l的距離(F不在l上)的比值e是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線”．過雙曲線的左焦點的直線l(斜率為正)交雙曲線于A,B兩點,滿足．設(shè)M為AB的中點,則直線OM斜率的最小值是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件畫出圖形結(jié)合圓錐曲線的定義及條件可得,然后利用點差法可得,進(jìn)而可得,然后利用基本不等式即得.【詳解】由題可知在左支上在右支上,如圖,設(shè),在左準(zhǔn)線上的射影為,因為,則,所以,設(shè),則,所以,,即,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時,等號成立,故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)圓錐曲線的定義結(jié)合條件表示出,然后利用點差法得,根據(jù)基本不等式即得.多項選擇題：本題共4小題,每小題滿分5分,共20分．在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對得5分,部分選對得2分,有選錯的得0分．9．橢圓的左、右焦點分別為,,過的直線l與C交于P,Q兩點,且點Q在第四象限,若,則(

)A．為等腰直角三角形 B．C的離心率等于C．的面積等于 D．直線l的斜率為【答案】ABC【分析】由線段比例關(guān)系以及橢圓定義可知,且滿足,即可得A正確;易知可得C正確;在等腰直角三角形中,可知直線的斜率為,計算可得的離心率等于.【詳解】對于選項A：因為,不妨設(shè),又因為,可得;利用橢圓定義可知,所以;即,所以點即為橢圓的上頂點或下頂點,如下圖所示：

由,可知滿足,所以,故A正確;對于選項B：在等腰直角三角形中,易知,即可得離心率,故B正確;對于選項C：因為為等腰直角三角形,且,因此的面積為,故C正確;此時可得直線的斜率,故D錯誤;故選：ABC.10．若雙曲線：與雙曲線關(guān)于直線對稱,則雙曲線的焦點坐標(biāo)可能為(

)A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)點的軸對稱性,可得答案.【詳解】由題意得的焦點分別為,．設(shè)關(guān)于直線對稱的點為,則,得,設(shè)關(guān)于直線對稱的點為,則,得,故的焦點坐標(biāo)分別為,．故選：AC11．設(shè)拋物線E：的焦點為F,點A,B是拋物線E上不同的兩點,且,則(

)A．線段AB的中點到E的準(zhǔn)線的距離為4B．直線AB過原點時,C．直線AB的傾斜角的取值范圍為D．線段AB的垂直平分線過某一定點【答案】ABD【分析】先求出,可判斷A與B,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立拋物線,結(jié)合韋達(dá)定理與判別式可判斷C,化簡的垂直平分線方程可判斷D．【詳解】由題意知焦點,準(zhǔn)線為,設(shè),由拋物線：,得,由拋物線的定義得,所以,所以線段AB的中點到E的準(zhǔn)線的距離為,故A正確;直線AB過原點時,設(shè),則,所以,,所以,故B正確;當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)直線AB的方程為,由得,所以,得,又,得,故或,故C錯誤;直線AB的斜率存在時,線段AB的中點的坐標(biāo)為,所以線段AB的垂直平分線的方程為,又,所以得,直線過定點,當(dāng)直線AB的斜率不存在時也成立,故D正確．故選：ABD．12．隨著我國航天科技的快速發(fā)展,雙曲線鏡的特性使得它在天文觀測中具有重要作用,雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線,經(jīng)雙曲線反射后,反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.由此可得,過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角.已知分別為雙曲線的左,右焦點,過C右支上一點作直線l交x軸于,交y軸于點N,則(

)A．C的漸近線方程為B．過點作,垂足為H,則C．點N的坐標(biāo)為D．四邊形面積的最小值為【答案】ABD【分析】根據(jù)方程,可直接求出漸近線方程,即可判斷A項;根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可推得點為的中點.進(jìn)而得出,結(jié)合雙曲線的定義,即可判斷B項;由已知可得,進(jìn)而結(jié)合雙曲線方程,即可得出點的坐標(biāo),即可判斷C項;由,代入利用基本不等式即可求出面積的最小值,判斷D項.【詳解】對于A項,由已知可得,,所以雙曲線的漸近線方程為,故A項正確;對于B項,如圖,

,且滿足,所以直線的方程為,聯(lián)立化簡得,由于,即為雙曲線的切線.由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知,平分,延長與的延長線交于點.則垂直平分,即點為的中點.又是的中點,所以,故B項正確;對于C項,設(shè),則,整理可得.又,所以有,所以有,解得,所以點的坐標(biāo)為,故C項錯誤;,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立.所以,四邊形面積的最小值為,故D項正確.故選：ABD填空題：本題共4小題,每小題5分,共20分.13．已知橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上一點,是以為底邊的等腰三角形,且,則該橢圓的離心率的取值范圍是．【答案】【分析】利用余弦定理將角度的范圍轉(zhuǎn)化為關(guān)于橢圓離心率的不等式即可.【詳解】因為是以為底邊的等腰三角形,所以,所以,,,在中,由余弦定理得：,故,即,即,不等式,即,解得(舍去)或不等式,即所以.故答案為：14．已知雙曲線的左?右焦點分別為,點在的左支上,,,延長交的右支于點,點為雙曲線上任意一點(異于兩點),則直線與的斜率之積.【答案】2【分析】先利用平面向量加法的法則和雙曲線的性質(zhì)求出和的邊長,再分別利用余弦定理聯(lián)立可得,最后根據(jù)斜率公式求解即可.【詳解】依題意,設(shè)雙曲線的半焦距為,則,因為是的中點,所以,故由得,又因為,所以,在中,,在中,,所以,解得,所以,所以雙曲線方程為,則,設(shè),,,所以,

故答案為：215．已知拋物線上三點,若直線AB,AC的斜率互為相反數(shù),則直線BC的斜率為【答案】/-0.5【分析】先求得拋物線的方程,設(shè)出直線的方程,由此聯(lián)立方程組,整理后可得直線的方程,從而求得直線的斜率.【詳解】將代人,得,則拋物線方程為.設(shè),聯(lián)立,得.由于A,B,C三點的縱坐標(biāo)為該方程的三個根,所以B,C兩點縱坐標(biāo)滿足.又,所以.故直線BC的斜率為.故答案為：16．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為,,過點作傾斜角為的直線l與C的左、右兩支分別交于點P,Q,若,則C的離心率為．【答案】【分析】由,的平分線與直線PQ垂直,結(jié)合圖像,根據(jù)雙曲線的定義,找出各邊的關(guān)系,列出等式,求解.【詳解】依題意,由,得,即的平分線與直線PQ垂直,如圖,設(shè)的平分線與直線PQ交于點D,則,,又,所以,所以,．由題得,,設(shè),,,在中,,,則,,由雙曲線的性質(zhì)可得,解得,則,所以在中,,又,,所以,即,整理得,所以．故答案為：四、解答題：本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知橢圓的兩焦點為,,為橢圓上一點,且.(1)求此橢圓的方程;(2)若點在第二象限,,求的面積.【答案】(1)(2)【分析】(1)由題意得,根據(jù)橢圓定義得到,然后求即可得到橢圓方程;(2)設(shè)點的坐標(biāo)為,根據(jù)數(shù)量積的公式列方程,然后解方程得到,最后利用三角形面積公式計算即可.【詳解】(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,焦距為,由題意可得,,,所以,則,所以橢圓的方程為.(2)設(shè)點的坐標(biāo)為,,,則①,,,因為,所以②,由①②得,所以.18．已知雙曲線的離心率為,右頂點到的一條漸近線的距離為.(1)求的方程;(2)是軸上兩點,以為直徑的圓過點,若直線與的另一個交點為,直線與的另一個交點為,試判斷直線與圓的位置關(guān)系,并說明理由.【答案】(1)(2)直線與圓相交,理由見解析【分析】(1)由題意列出關(guān)于的方程,求解即可.(2)設(shè),由點在圓上,得出,由的坐標(biāo),得出直線方程,將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立,得點坐標(biāo),同理可得點坐標(biāo).從而得到直線方程,通過直線過定點,,從而得出點在圓內(nèi),故直線與圓相交.【詳解】(1)因為的離心率為,所以,所以,漸近線方程,因為點到一條漸近線距離為,所以,解得,所以的方程為.(2)直線與圓相交,理由如下：設(shè),則,因為點在以為直徑的圓上,所以,所以,即,

由(1)得,直線方程為：與雙曲線方程聯(lián)立,消去得,,因為直線與都有除以外的公共點,所以,所以,即,同理當(dāng),.,所以直線方程為：,令得,,即直線經(jīng)過定點.因為,所以點在圓內(nèi),故直線與圓相交.19．已知雙曲線經(jīng)過點,一條漸近線方程為,直線交雙曲線于兩點.(1)求雙曲線的方程.(2)若過雙曲線的右焦點,是否存在軸上的點,使得直線繞點無論怎樣轉(zhuǎn)動,都有成立?若存在,求實數(shù)的值;若不存在,請說明理由.【答案】(1);(2)存在定點M,.【分析】(1)根據(jù)漸近線方程,求出a,b的關(guān)系,再將點的坐標(biāo)代入雙曲線方程,最后解出a,b即可.(2)考慮直線的斜率存在和不存在兩種情況,當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)出直線的點斜式方程并代入雙曲線方程并化簡,進(jìn)而根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系與得到答案.【詳解】(1)雙曲線的漸近線方程為,依題意,即,又,于是,所以雙曲線的方程是．(2)雙曲線的右焦點為,當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為：,,由消去y得：,顯然,設(shè),,則,假設(shè)存在點符合條件,而,由,得,即,整理得,于是,整理得,依題意,對任意的恒成立,因此,解得,此時點M的坐標(biāo)為,當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線與雙曲線的二交點,不妨令,當(dāng)點M的坐標(biāo)為時,,所以存在定點M符合條件,．20．以坐標(biāo)原點為對稱中心,坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓過點．(1)求橢圓的方程．(2)設(shè)是橢圓上一點(異于),直線與軸分別交于兩點．證明在軸上存在兩點,使得是定值,并求此定值．【答案】(1);(2)證明見解析,定值為.【分析】(1)根據(jù)給定條件,設(shè)出橢圓方程,利用待定系數(shù)法求解即得.(2)設(shè)出點的坐標(biāo),利用向量共線探討出點的坐標(biāo),再求出,并確定的坐標(biāo),再計算即得.【詳解】(1)設(shè)橢圓方程為,則,解得,所以橢圓的方程為．(2)設(shè),,則,由,得,而,于是,,同理,而,于是,則,,令,而是橢圓上的動點,則,得,于是,所以存在和,使得是定值,且定值為.【點睛】方法點睛：(1)引出變量法,解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?再把要證明為定值的量用上述變量表示,最后把得到的式子化簡,得到定值;(2)特例法,從特殊情況入手,求出定值,再證明這個值與變量無關(guān)．21．已知橢圓的右焦點,橢圓上一點到其兩個焦點的距離之和為.(1)求橢圓的離心率的值.(2)若直線經(jīng)過點,且與橢圓相交于兩點,已知點為弦的中點,求直線的方程.(3)已知平面內(nèi)有點,求過這個點且和橢圓相切的直線方程.【答案】(1)(2)(3)和【分析】(1)根據(jù)題意求出,再根據(jù)橢圓的離心率公式即可得解;(2)先求出橢圓的方程,再利用點差法求解即可;(3)分直線斜率是否存在討論,當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)直線方程為,聯(lián)立方程,根據(jù)即可得解.【詳解】(1)由題意可得橢圓得焦半徑,,故,所以橢圓的離心率;(2)由(1)得,所以橢圓得方程為,設(shè),因為點為弦的中點,所以,由,兩式相減得,即,所以,即,所以直線的方程為,即;(3)當(dāng)所求直線斜率不存在時,直線方程為,此時直線與橢圓相切,符合題意,當(dāng)所求直線斜率存在時,設(shè)直線方程為,聯(lián)