計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)非線性回歸模型的線性化

個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途以上介紹了線性回歸模型.但有時(shí)候變量之間地關(guān)系是非線性地.例如yt=0+1+utyt=0+ut上述非線性回歸模型是無法用最小二乘法估計(jì)參數(shù)地.可采用非線性方法進(jìn)行估計(jì).估計(jì)過程非常復(fù)雜和困難，在20世紀(jì)40年代之前幾乎不可能實(shí)現(xiàn).計(jì)算機(jī)地出現(xiàn)大大方便了非線性回歸模型地估計(jì).專用軟件使這種計(jì)算變得非常容易.但本章不是介紹這類模型地估計(jì).文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)另外還有一類非線性回歸模型.其形式是非線性地，但可以通過適當(dāng)?shù)刈儞Q，轉(zhuǎn)化為線性模型，然后利用線性回歸模型地估計(jì)與檢驗(yàn)方法進(jìn)行處理.稱此類模型為可線性化地非線性模型.下面介紹幾種典型地可以線性化地非線性模型.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)4.1可線性化地模型⑴指數(shù)函數(shù)模型yt=(4.1)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)b>0和b<0兩種情形地圖形分別見圖4.1和4.2.顯然xt和yt地關(guān)系是非線性地.對(duì)上式等號(hào)兩側(cè)同取自然對(duì)數(shù)，得文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí) Lnyt=Lna+bxt+ut(4.2)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)令Lnyt=yt*,Lna=a*,則yt*=a*+bxt+ut(4.3)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)變量yt*和xt已變換成為線性關(guān)系.其中ut表示隨機(jī)誤差項(xiàng).圖4.1yt=,(b>0)圖4.2yt=,(b<0)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)⑵對(duì)數(shù)函數(shù)模型 yt=a+bLnxt+ut(4.4)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)b>0和b<0兩種情形地圖形分別見圖4.3和4.4.xt和yt地關(guān)系是非線性地.令xt*=Lnxt,則文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí) yt=a+bxt*+ut(4.5)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)變量yt和xt*已變換成為線性關(guān)系.圖4.3yt=a+bLnxt+ut,(b>0)圖4.4yt=a+bLnxt+ut,(b<0)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)⑶冪函數(shù)模型yt=axtb(4.6)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)b取不同值地圖形分別見圖4.5和4.6.xt和yt地關(guān)系是非線性地.對(duì)上式等號(hào)兩側(cè)同取對(duì)數(shù)，得 Lnyt=Lna+bLnxt+ut(4.7)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)令yt*=Lnyt,a*=Lna,xt*=Lnxt,則上式表示為 yt*=a*+bxt*+ut(4.8)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)變量yt*和xt*之間已成線性關(guān)系.其中ut表示隨機(jī)誤差項(xiàng).(4.7)式也稱作全對(duì)數(shù)模型.圖4.5yt=axtb圖4.6yt=axtb文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)⑷雙曲線函數(shù)模型1/yt=a+b/xt+ut(4.9)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)也可寫成，yt=1/(a+b/xt+ut)(4.10)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)b>0情形地圖形見圖4.7.xt和yt地關(guān)系是非線性地.令yt*=1/yt,xt*=1/xt，得文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí) yt*=a+bxt*+ut已變換為線性回歸模型.其中ut表示隨機(jī)誤差項(xiàng).圖4.7yt=1/(a+b/xt),(b>0)圖4.8yt=a+b/xt,(b>0)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)雙曲線函數(shù)還有另一種表達(dá)方式，yt=a+b/xt+ut(4.11)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)b>0情形地圖形見圖4.8.xt和yt地關(guān)系是非線性地.令xt*=1/xt，得 yt=a+bxt*+ut上式已變換成線性回歸模型.種生產(chǎn)函數(shù)是美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家柯布和道格拉斯根據(jù)1899-1922年美國(guó)關(guān)于生產(chǎn)方面地?cái)?shù)據(jù)研究得出地.地估計(jì)值是0.75，地估計(jì)值是0.25.更習(xí)慣地表達(dá)形式是文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)yt=(4.25)這是一個(gè)非線性模型，無法用OLS法直接估計(jì)，但可先作線性化處理.上式兩邊同取對(duì)數(shù)，得：Lnyt=Ln0+1Lnxt1+2Lnxt2+ut(4.26)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)取yt*=Lnyt,0*=Ln0,xt1*=Lnxt1,xt2*=Lnxt2，有文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)yt*=0*+1xt1*+2xt2*+ut(4.27)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)上式為線性模型.用OLS法估計(jì)后，再返回到原模型.若回歸參數(shù)1+2=1，稱模型為規(guī)模報(bào)酬不變型（新古典增長(zhǎng)理論）；1+2>1，稱模型為規(guī)模報(bào)酬遞增型；1+2<1，稱模型為規(guī)模報(bào)酬遞減型.對(duì)于對(duì)數(shù)線性模型，Lny=Ln0+1Lnxt1+2Lnxt2+ut，1和2稱作彈性系數(shù).以1為例，文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)1====(4.28)可見彈性系數(shù)是兩個(gè)變量地變化率地比.注意，彈性系數(shù)是一個(gè)無量綱參數(shù)，所以便于在不同變量之間比較相應(yīng)彈性系數(shù)地大小.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)對(duì)于線性模型，yt=0+1xt1+2xt2+ut，1和2稱作邊際系數(shù).以1為例，文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)1=(4.29)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)通過比較(4.28)和(4.29)式，可知線性模型中地回歸系數(shù)（邊際系數(shù)）是對(duì)數(shù)線性回歸模型中彈性系數(shù)地一個(gè)分量.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)例4.1（136P例3.4）略4.2非線性化模型地處理方法模型：無論通過什么變換都不可能實(shí)現(xiàn)線性化，對(duì)于這種模型稱為非線性化模型.可采用高斯—牛頓迭代法進(jìn)行估計(jì)，即將其展開泰勒級(jí)數(shù)后，再進(jìn)行迭代估計(jì)方法進(jìn)行估計(jì).文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)1、迭代估計(jì)法思想是：通過泰勒級(jí)數(shù)展開，先使非線性方程在某組初始參數(shù)估計(jì)值附近線性化，然后對(duì)這一線性方程應(yīng)用OLS法，得出一組新地參數(shù)估計(jì)值.下一步是使非線性方程在新參數(shù)估計(jì)值附近線性化，對(duì)新地線性方程再應(yīng)用OLS法，又得出一組新地參數(shù)估計(jì)值.不斷重復(fù)上述過程，直至參數(shù)估計(jì)值收斂時(shí)為止.其步驟如下.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)1）對(duì)模型：在給定地參數(shù)初始值b10,b20…bp0展開泰勒級(jí)數(shù)：取前兩項(xiàng)，便有線性近似：2）將上式左端看成組新地因變量，將右端看成一組新地自變量，這就已經(jīng)成為標(biāo)準(zhǔn)線性模型，再對(duì)其就用OLS法，得出一組估計(jì)值.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)3）重復(fù)第一、二步，在參數(shù)估計(jì)值附近再做一次泰勒級(jí)數(shù)展開，得到新地線性模型，應(yīng)用OLS法，又得出一組參數(shù)估計(jì)值：.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)4）如此反復(fù)，得出一組點(diǎn)序列直到其收斂為止.2、迭代估計(jì)法地EViews實(shí)現(xiàn)過程1）設(shè)定代估參數(shù)地初始值，方法有兩種：A、使用Param命令設(shè)定，例如，Param10.52030則將待估地三個(gè)參數(shù)地初始值設(shè)成了0.5，0，0.B、在工作文件窗口中雙擊序列C，并在序列窗口直接輸入?yún)?shù)地初始值.2）估計(jì)參數(shù)A、命令方式在命令窗口可以直接鍵入非線性模型地迭代估計(jì)命令NLS.格式為：NLS被解釋變量，=非線性函數(shù)表達(dá)式例如，對(duì)于非線性回歸模型估計(jì)命令為NLSy=c(1)*(x-c(2))/(x-c(3))B、菜單方式.在數(shù)組窗口“procs→makeepuation；在彈出地方程描述對(duì)話框中輸入非線性回歸模型地具體形式；y=c(1)*(x-c(2))/(x-c(3))選擇估計(jì)方法為最小二乘法后單擊（OK）例(P146例3.7)略4.3回歸模型地比較當(dāng)經(jīng)濟(jì)變量呈現(xiàn)非線性關(guān)系時(shí)，經(jīng)?？梢圆捎枚鄠€(gè)不同數(shù)學(xué)形式地非線性模型.如何選擇？1、圖開觀察分析1）觀察被解釋變量和解釋變量地趨勢(shì)圖.2）觀察被解釋變量和解釋變量地相關(guān)圖2、模型估計(jì)結(jié)果分析1）回歸系數(shù)符號(hào)和大小是否符合經(jīng)濟(jì)意義，2）改變模型后，是否使決定系數(shù)地值明顯提高.3）T檢驗(yàn)與F檢驗(yàn).3、殘差分析殘差反映了模型未能解釋部分地變化情況.殘差分布表中，各期殘差是否大都落在地虛線內(nèi).殘差分布是否具有某種規(guī)律性.近期地殘差分析情況.例1：此模型用來評(píng)價(jià)臺(tái)灣農(nóng)業(yè)生產(chǎn)效率.用臺(tái)灣1958-1972年農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總值（yt），勞動(dòng)力（xt1），資本投入（xt2）數(shù)據(jù)（見表4.1）為樣本得估計(jì)模型，文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)=-3.4+1.50Lnxt1+0.49Lnxt2(4.30)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)(2.78)(4.80)R2=0.89,F=48.45還原后得，=0.713xt11.50xt20.49(4.31)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)因?yàn)?.50+0.49=1.99，所以，此生產(chǎn)函數(shù)屬規(guī)模報(bào)酬遞增函數(shù).當(dāng)勞動(dòng)力和資本投入都增加1%時(shí)，產(chǎn)出增加近2%.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)例2：用天津市工業(yè)生產(chǎn)總值（Yt），職工人數(shù)（Lt），固定資產(chǎn)凈值與流動(dòng)資產(chǎn)平均余額（Kt）數(shù)據(jù)(1949-1997)為樣本得估計(jì)模型如下：文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)LnYt=0.7272+0.2587LnLt+0.6986LnKt(3.12)(3.08)(18.75)R2=0.98,s.e.=0.17,DW=0.42,F=1381.4因?yàn)?.2587+0.6986=0.9573，所以此生產(chǎn)函數(shù)基本屬于規(guī)模報(bào)酬不變函數(shù).例3：硫酸透明度與鐵雜質(zhì)含量地關(guān)系（摘自《數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理》1988.4,p.16）某硫酸廠生產(chǎn)地硫酸地透明度一直達(dá)不到優(yōu)質(zhì)指標(biāo).經(jīng)分析透明度低與硫酸中金屬雜質(zhì)地含量太高有關(guān).影響透明度地主要金屬雜質(zhì)是鐵、鈣、鉛、鎂等.通過正交試驗(yàn)地方法發(fā)現(xiàn)鐵是影響硫酸透明度地最主要原因.測(cè)量了47個(gè)樣本，得硫酸透明度（y）與鐵雜質(zhì)含量（x）地散點(diǎn)圖如下(file:nonli01)：文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)（1）y=121.59-0.91x(10.1)(-5.7)R2=0.42,s.e.=36.6,F=32（2）1/y=0.069-2.37(1/x)(18.6)(-11.9)R2=0.76,s.e.=0.009,F=142（3）y=-54.40+6524.83(1/x)(-7.2)(16.3)R2=0.86,s.e.=18.2,F=266（4）Lny=1.99+104.5(1/x)(22.0)(21.6)R2=0.91,s.e.=0.22,F=468還原，Lny=Ln(7.33)+104.5(1/x)y=7.33（5）非線性估計(jì)結(jié)果是y=8.2965R2=0.96,EViews命令Y=C(1)*EXP(C(2)*(1/X))例4中國(guó)鉛筆需求預(yù)測(cè)模型（非線性模型案例，file:nonli6）中國(guó)從上個(gè)世紀(jì)30年代開始生產(chǎn)鉛筆.1985年全國(guó)有22個(gè)廠家生產(chǎn)鉛筆.產(chǎn)量居世界首位（33.9億支），占世界總產(chǎn)量地1/3.改革開放以后，鉛筆生產(chǎn)增長(zhǎng)極為迅速.1979-1983年平均年增長(zhǎng)率為8.5%.鉛筆銷售量時(shí)間序列見圖4.21.1961-1964年地銷售量平穩(wěn)狀態(tài)是受到了經(jīng)濟(jì)收縮地影響.文革期間銷售量出現(xiàn)兩次下降，是受到了當(dāng)時(shí)政治因素地影響.1969-1972年地增長(zhǎng)是由于一度中斷了地中小學(xué)教育逐步恢復(fù)地結(jié)果.1977-1978年地增長(zhǎng)是由于高考正式恢復(fù)地結(jié)果.1981年中國(guó)開始生產(chǎn)自動(dòng)鉛筆，對(duì)傳統(tǒng)鉛筆市場(chǎng)沖擊很大.1979-1985年地緩慢增長(zhǎng)是受到了自動(dòng)鉛筆上市地影響.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)初始確定地影響鉛筆銷量地因素有全國(guó)人口、各類在校人數(shù)、設(shè)計(jì)人員數(shù)、居民消費(fèi)水平、社會(huì)總產(chǎn)值、自動(dòng)鉛筆產(chǎn)量、價(jià)格因素、原材料供給量、政策因素等.經(jīng)過多次篩選、組合和逐步回歸分析，最后確定地被解釋變量是yt（鉛筆年銷售量，千萬支）；解釋變量分別是xt1（自動(dòng)鉛筆年產(chǎn)量，百萬支）；xt2（全國(guó)人口數(shù)，百萬人）；xt3（居民年均消費(fèi)水平，元）；xt4（政策變量）.因政策因素影響鉛筆銷量出現(xiàn)大幅下降時(shí)，政策變量取負(fù)值.例如1967、1968年地xt4值取-2，1966、1969-1971、1974-1977年地xt4值取-1）.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)由圖4.22知中國(guó)自生產(chǎn)自動(dòng)鉛筆起，自動(dòng)鉛筆產(chǎn)量與鉛筆銷量存在線性關(guān)系.由圖4.23知全國(guó)人口與鉛筆銷量存在線性關(guān)系.說明人口越多，對(duì)鉛筆地需求就越大.由圖4.24知居民年均消費(fèi)水平與鉛筆銷量存在近似對(duì)數(shù)地關(guān)系.散點(diǎn)圖說明居民年均消費(fèi)水平越高，則鉛筆銷量就越大.但這種增加隨著居民消費(fèi)水平地增加變得越來越緩慢.圖4.25顯示政策變量與鉛筆銷量也呈線性關(guān)系.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)鉛筆銷售量時(shí)間序列（1961-1985）（文件名nonli6）Y,X1散點(diǎn)圖Y,X2散點(diǎn)圖Y,X3散點(diǎn)圖Y,X4散點(diǎn)圖文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)基于上述分析建立地模型形式是yt=0+1xt1+2xt2+3Ln(xt3)+4xt4+ut(4.40)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)yt與xt3呈非線性關(guān)系.估計(jì)結(jié)果如下.=-907.94-2.95xt1+0.31xt2+170.19Lnxt3+45.51xt4(4.41)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)(-6.4)(-3.7)(4.8)(4.4)(12.6)R2=0.9885,DW=2.09,F=429,s.e.=10.34上式說明，在上述期間自動(dòng)鉛筆年產(chǎn)量每增加1百萬支，平均使鉛筆地年銷售量減少2950萬支.全國(guó)人口數(shù)每增加1百萬人，平均使鉛筆地年銷售量增加310萬支.對(duì)數(shù)地居民年均消費(fèi)水平每增加1個(gè)單位，平均使鉛筆地年銷售量增加17億支.一般性政策負(fù)面變動(dòng)使鉛筆地年銷售量減少4.551億支.當(dāng)政策出現(xiàn)大地負(fù)面變動(dòng)時(shí)，鉛筆地年銷量會(huì)減少9.102億支.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)當(dāng)yt對(duì)所有變量都進(jìn)行線性回歸時(shí)（見下式），顯然估計(jì)結(jié)果不如(4.41)式好.=-254.26-3.29xt1+0.42xt2+0.66xt3+40.74xt4(4.42)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)(-12.0)(-3.0)(8.6)(3.5)(11.7)R2=0.9857,DW=1.77,F=346,s.e.=11.5案例5：廈門市貸款總額與GDP地關(guān)系分析（1990~2003，file:bank08）數(shù)據(jù)和散點(diǎn)圖如下.從散點(diǎn)圖看，用多項(xiàng)式方程擬合比較合理.Loant=0+1GDPt+2GDPt2+3xt3+utt=-24.5932+1.6354GDPt-0.0026GDPt2+0.0000027GDPt3文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)(-2.0)(11.3)(-6.3)(7.9)R2=0.9986,DW=2.6例6釘螺存活率曲線（file:nonli3）（生長(zhǎng)曲線模型）在冬季土埋釘螺地研究中，先把一批釘螺埋入土中，以后每隔一個(gè)月取出部分釘螺，檢測(cè)存活個(gè)數(shù)，計(jì)算存活率.數(shù)據(jù)見表4.3.散點(diǎn)圖見圖4.20.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)yt,存活率(%)t,土埋月數(shù)100.0093.0192.3288.0384.7482.0548.4641.0715.085.293.5101.3110.512設(shè)定yt地上漸近極限值k=101（因?yàn)橐延杏^測(cè)值yt=100，所以令k=101更好些.），得估計(jì)結(jié)果如下：文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)估計(jì)式是：=-4.3108+0.7653t(4.38)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)(-14.8)(18.5)R2=0.97因?yàn)閘og(0.013)=-4.3108，所以b=0.013.則邏輯函數(shù)地估計(jì)結(jié)果是=(4.39)當(dāng)t=10.5時(shí)，==2.38YYF100.099.6693.098.1792.395.1088.089.1284.778.5082.062.5048.443.4541.026.2615.043.503.451.301.630.500.77

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