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第一章集合與常用邏輯用語、不等式第3節(jié)不等關系與不等式性質(zhì)ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎夯實11.兩個實數(shù)比較大小的方法(1)對稱性:a>b?b<a;(2)傳遞性:a>b,b>c?a>c;(3)同向可加性:a>b?a+c____b+c;a>b,c>d?a+c____b+d;(4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc;a>b>0,c>d>0?ac____bd;(5)可乘方性:a>b>0?an____bn(n∈N,n≥1);2.不等式的性質(zhì)>>>>×××√D2.(易錯題)若a>b>0,c<d<0,則一定有(
)解析∵-3<b<5,∴-5<-b<3,又-1<a<2,∴-6<a-b<5.3.(易錯題)已知-1<a<2,-3<b<5,則a-b的取值范圍是(
) A.(-3,2) B.(-6,5) C.(-4,7) D.(-5,-1)B解析由x>y,得-x<-y,所以2-x<2-y,故選B.4.實數(shù)x,y滿足x>y,則下列不等式成立的是(
)B解析對于A,c2-cd=c(c-d)<0,所以A正確;對于B,a-c-(b-d)=(a-b)-(c-d),無法判斷與0的大小關系,所以B錯誤;對于C,不妨設a=2,b=1,c=-1,d=-2,則ac=bd,所以C錯誤;5.(多選)設a,b,c,d為實數(shù),且a>b>0>c>d,則下列不等式正確的是(
)AD>KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點突破題型剖析2BA.a<b<c
B.c<b<a C.c<a<b
D.b<a<c即c<b<a.B由f′(x)>0,得0<x<e;由f′(x)<0,得x>e.∴f(x)在(0,e)為增函數(shù),在(e,+∞)為減函數(shù).∴f(3)>f(4)>f(5),即a>b>c.當q>0且q≠1時,即eπ·πe<ee·ππ.4.eπ·πe與ee·ππ的大小關系為_______________.eπ·πe<ee·ππB中,因為b<a<0,所以-b>-a>0.故-b>|a|,即|a|+b<0,故B錯誤;ACD中,因為b<a<0,根據(jù)y=x2在(-∞,0)上為減函數(shù),可得b2>a2>0,而y=lnx在定義域(0,+∞)上為增函數(shù),所以lnb2>lna2,故D錯誤.由以上分析,知A,C正確.解析因為x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,z<0,y的符號無法確定.對于A,由題意得x>z,若y<0,則xy<0<yz,故A錯誤;對于B,因為y>z,x>0,所以xy>xz,故B正確;對于C,因為x>y,z<0,所以xz<yz,故C錯誤;對于D,當|y|=0時,x|y|=|y|z,故D錯誤.(2)(多選)已知x>y>z,x+y+z=0,則下列不等式不成立的是(
)A.xy>yz
B.xy>xz C.xz>yz D.x|y|>|y|zACD解析∵2m>2n,∴可取m=2,n=1,可得ACD不成立.訓練1(1)若2m>2n,則下列結論一定成立的是(
)B當c=0時,ac2=bc2,∴D不成立.故選ABC.(2)(多選)設b>a>0,c∈R,則下列不等式中正確的是(
)ABC解析因為-1<x<4,2<y<3,所以-3<-y<-2,所以-4<x-y<2.由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6,所以1<3x+2y<18.例2(1)已知-1<x<4,2<y<3,則x-y的取值范圍是___________,3x+2y的取值范圍是___________.(-4,2)(1,18)解析設3x+2y=λ(x-y)+μ(x+y),即3x+2y=(λ+μ)x+(μ-λ)y,(2)已知-1<x-y<4,2<x+y<3,則3x+2y的取值范圍為________.∵-1<x-y<4,2<x+y<3,解析因為a>b>c,2a+b+c=0,所以a>0,c<0,b=-2a-c.因為a>b>c,所以-2a-c<a,將b=-2a-c代入b>c中,得-2a-c>c,(-3,-1)FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓練鞏固提升3解析由a>|b|可知,當b≥0時,a>b;當b<0時,a>-b,則a>0>b,綜上可知,當a>|b|時,a>b恒成立,故選B.1.若a,b∈R,且a>|b|,則(
)B解析法一
令a=1,b=-2,則a2=1,-ab=2,b2=4,從而a2<-ab<b2,選A.法二
由a+b<0,且a>0可得b<0,且a<-b.因為a2-(-ab)=a(a+b)<0,所以0<a2<-ab.又因為0<a<-b,所以0<-ab<(-b)2,所以0<a2<-ab<b2,選A.2.已知a+b<0,且a>0,則(
) A.a2<-ab<b2
B.b2<-ab<a2 C.a2<b2<-ab
D.-ab<b2<a2A綜上,a>c>b.BA.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a解析當c>0時,ac>bc,A錯誤;當a=3,b=-1時,|a|>|b|,D錯誤;B,C正確.4.(多選)對于實數(shù)a,b,c,下列命題是真命題的為(
) A.若a>b,則ac<bc B.若ac2>bc2,則a>b C.若a<b<0,則a2>ab>b2 D.若a>0>b,則|a|<|b|BC對于A,ab<0,a-b<0,ab(a-b)>0,符合題意;對于B,ab>0,a-b>0,ab(a-b)>0,符合題意;對于C,ab<0,a-b>0,ab(a-b)<0,不符合題意;對于D,ab>0,a-b>0,ab(a-b)>0,符合題意.ABDA.b>0>a B.0>a>b C.a>0>b D.a>b>06.把下列各題中的“=”全部改成“<”,結論仍然成立的是(
)D解析對于A,如果a<b,c<d,那么a-c<b-d不一定正確,如5<6,4<9,但5-4>6-9;對于B,如果a<b,c<d,那么ac<bd不一定正確,如-2<-1,1<4,此時ac>bd;易知D正確.由函數(shù)y=x3,y=2x的單調(diào)性可知,②③正確;當a=1,b=-1時,lna4=lnb4=ln1=0,故④錯誤.7.已知非零實數(shù)a,b滿足a>b,則下列結論正確的是________(填序號).②③解析設f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n為待定系數(shù)),則4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.8.設f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,則f(-2)的取值范圍是____________.[5,10]∴f(-2)=3f(-1)+f(1).又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.解析由題意知d>c①;②+③得2a+b+d<2c+b+d,化簡得a<c④;由②式a+b=c+d及a<c可得到b>d⑤,綜合①④⑤式得到b>d>c>a.9.實數(shù)a,b,c,d滿足下列三個條件: ①d>c;②a+b=c+d;③a+d<b+c.
那么a,b,c,d的大小關系是________________.b>d>c>a∵a+b>0,(a-b)2≥0,(2)∵c>a>b>0,∴c-a>0,c-b>0.解析∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b,又∵b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,兩式相減得2b=2+2a2,即b=1+a2,12.已知實數(shù)a,b,c滿足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,則a,b,c的大小關系為(
) A.a<b≤c B.b≤c<a C.b<c<a D.b<a<cA∴b>a,∴a<b≤c.解析因為f(1)=0,所以a+b+c=0,所以b=-(a+c).又因為a>b>c,所以a>-(a+c)>c,且a>0,c<0,證明
因為|b|>|c|,且b>0,c
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