2020年上海新高一新教材數(shù)學講義-21 期中復習（學生版）

專題21期中復習

知識梳理

一、集合與命題

1.區(qū)分集合中元素的形式:

{JC|y=/(%)}3y=/(%)}{(%,y)ly=/(%)}

函數(shù)的定義域函數(shù)的值域函數(shù)圖象上的點集

2.研究集合必須注意集合元素的特征，即集合元素的三性：確定性、互異性、無序性.

3.集合的性質(zhì)：①任何一個集合P都是它本身的子集，記為

②空集是任何集合尸的子集，記為0工P.

③空集是任何非空集合P的真子集，記為0UP.

注意：若條件為在討論的時候不要遺忘了A=0的情況.

集合的運算：④(An8)nC=An(8nC)、(AU8)UC=4U(8UC)；

翔(AB)=(aA)(?/)、翔(AB)=(4)(??.

⑤A3=A<=>AB=B。A^Bo翔BqUA<=>A?&,5=0.

⑥對于含有八個元素的有限集合“，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)

依次為：2"、2"-1、2"-1、2"-2.

4.命題是表達判斷的語句.判斷正確的叫做真命題；判斷錯誤的叫做假命題.

①命題的四種形式及其內(nèi)在聯(lián)系:

原命題：如果a,那么尸；

逆命題：如果夕，那么a；

否命題：如果那么瓦

逆否命題：如果瓦那么3；

②等價命題：對于甲、乙兩個命題，如果從命題甲可以推出命題乙，同時從命題乙也可以推出命題甲，既

“甲o乙”，那么這樣的兩個命題叫做等價命題.

③互為逆否命題一定是等價命題，但等價命題不一定是互為逆否命題.

④當某個命題直接考慮有困難時，可通過它的逆否命題來考慮.

5.常見結(jié)論的否定形式：

原結(jié)論是都是一定p或qp且q大于小于

否定形式不是不都是不一定p且qp或q不大于不小于

對所有X對任何X

原結(jié)論至少一個至多一個至少〃個至多〃個

都成立不成立

一個也

至多1至少"+1存在某無存在某X

否定形式至少兩個

個個不成立成立

沒有

6.充要條件:

條件結(jié)論推導關(guān)系判斷結(jié)果

anB。是夕的充分條件

a/?=aa是B的必要條件

a=(3豆(30a。是夕的充要條件

在判斷“充要條件”的過程中，應注意步驟性：

首先必須區(qū)分誰是條件、誰是結(jié)論，然后由推導關(guān)系判斷結(jié)果.

二、不等式

1.基本性質(zhì)：(注意：不等式的運算強調(diào)加法運算與乘法運算)

②推論：i.a>b<=>a±c>b±c；ii.a〉b且c〉d=a+c>/?+d；

ac>bec>0

③a>b=><ac=be=0c=0；

ac<bcc<0

④推論：i.a>h>0,c>d>0^>ac>bd；ii.〃>〃且a、力同號

ab

ii.a>0>h=>—>0>—；iii.a>b>0,a>0=>a(x>ba,\fa>\/b；

ab

cinnbb+m

⑤a>h>0,m>0=>—<----；

aa+m

>0[>b

⑥a-h<=0a<=b；

<0<b

2.解不等式：(解集必須寫成集合或區(qū)間的形式)

①一元二次或一元高次不等式以及分式不等式的解題步驟：

i.分解因式二>找到零點；五.畫數(shù)軸=標根=畫波浪線；迨.根據(jù)不等號，確定解集；

注意點：i.分解因式所得到的每一個因式必須為工的一次式；ii.每個因式中工的系數(shù)必須為正.

②絕對值不等式關(guān)鍵>去絕對值:

i.|x]>(2<=>x>a^<—a(Q>0)；ii.國(a>0)；

iii.\a\>\b\^a2>b2；M|/(x)卜g(x)(g(x)>0)o〃x)<-g(x)或/'(x)>g(x)；

v.|/(x)|<g(x)=-g(x)</(x)<g(x)；

③解含參數(shù)的不等式時，定義域是前提，函數(shù)增減性為基礎，分類討論是關(guān)鍵.

而分類討論的關(guān)鍵在于“分界值”的確定以及注意解完之后要總結(jié)：綜上所述

④對于不等式恒成立問題，常用“函數(shù)思想”、“分離變量思想”以及“圖象思想”.

3.基本不等式：

①。,bcR,則/+〃之2。/?,當且僅當。二〃時，等號成立.

a.beR+,則a+當且僅當。二〃時'，等號成立.

綜上，若a,beR,則a?+若22("+")-N2ab,當且僅當a=b時，等號成立.

2

a+b/-r

*②若a,bwR+,則>---->>jab>當且僅當a=6時，等號成立.

2

-+-

ab

>2x>0,當且僅當％=’,

即X=1時，等號成立

1X

*@x+—<

x<-2x<0,當且僅當％=’,

即x=-l時，等號成立

x

4.不等式的證明：

①比較法：作差一因式分解或配方一與“0”比較大小一

②綜合法：由因?qū)Ч?

③分析法：執(zhí)果索因；基本步驟：要證即證即證.

④反證法：正難則反.

⑤最值法：a>/(x)max,則a>/(x)恒成立；4</(1),疝1，則a</(x)恒成立.

三'寨'指與對數(shù)

1、幕的有關(guān)概念：

正整數(shù)指數(shù)基：d?=aa…

〃個

零指數(shù)幕：?！?1(。工0)

1*

負整數(shù)指數(shù)幕：a-p=—(a^0,peN)

分數(shù)指數(shù)累:

an="y[cF(a>0,/n,nGN*且拉>1)

11

(tz>0,m,?eN*、n>1)

1.根式的運算性質(zhì)：(1)當n為任意正整數(shù)時，(〃■)"=〃

(2)當n為奇數(shù)時，-a\當n為偶數(shù)時，小<"3).

-a{a<0)

(3)根式的基本性質(zhì)：'必刖=行，(?>0).

C=優(yōu)”+"(加,〃€。)

2.分數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)：伍"')"=a'""(m,neQ)

(ab)"=a"-b"(neQ)

一、對數(shù)

1、對數(shù)的定義：

如果J=N(a>0,aKl),那么b叫做以a為底N的對數(shù),記作log“N=A

易得:"叫N=N——對數(shù)恒等式，自然對數(shù)：以e為底的對數(shù)成為自然對然，記作In,常用對數(shù)：以10

為底的對數(shù)，記作1g。

實際上指數(shù)與對數(shù)只是數(shù)量間的同一關(guān)系的兩種不同形式.

2、指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系:

ab=N=logaN=b(。>0,N>0).

要能靈活運用這個關(guān)系，能隨時將二者互化。

3、對數(shù)運算性質(zhì)：

①log”(MN)=logaM+logJV.

M

②log”一=log〃M—log”.

N

③log“W=〃log“M.(M>0,N>0,a>0,aWl)

幾

@logM"=—log?M.(M>0,N>0,a>0,a^l)

m

10<yN

⑤換底公式：log於J",(0<aWl,03#l,40).

log.b

例題解析

一、集合與命題

（-）集合的概念與運算

【例1】已知集合A={x|y=71-x2,xeZ},B={y|y=2x-l,xeA}4iJAn8=

【例2】集合xeR,yeR-,A=1x2+x+l,-x,-x-lj；B=+1|,A=B,求x,y.

【例3】已知集合4=卜卜2%+6<%<公―3},8=卜卜％<%<6,若4復B,求實數(shù)”的取值范圍.

［例4］集合A=+4方-4々+3=()},8=卜,2+(tz-l)x+6f2=o},C=L+2辦-2Q=O},

若A,3,C中至少有一個不是空集，求。的取值范圍.

【鞏固訓練】

1.A={(x,y)|y=|x|-2,xe/?},B=[x,y)|j=-x2+2x+15,xw/?}Ac8=

2.若集合2=兇24+14》43"5},B={x\3<x<22],則能使力U8成立的所有實數(shù)a的集合是()

A.^a|l<a<9|B.{a|64a49}C.{a,49}D.0

3.已知集合用=卜h-0卜2-奴+〃-1）=0｝各元素之和等于3,則實數(shù)a的值為

4.設集合A={x|x?-2x+2/n+4=0},B={x|x<0},,若求實數(shù)機的取值范圍.

（二）命題與充要條件

【例5】命題“若，<1,則—1<%<1”的逆否命題是.

[例6]一元二次方程a?+2x+1=0（aw0）有一個正根和一個負根的充分不必要條件是

【鞏固訓練】

1.有4個命題：（1）沒有男生愛踢足球；（2）所有男生都不愛踢足球；（3）至少有一個男生不愛踢足球;

（4）所有女生都愛踢足球；其中是命題“所有男生都愛踢足球”的否定是.

2.若非空集合AB,C滿足AB=C,且B不是A的子集，貝!J（)

A.“xeC”是“xeA”的充分條件但不是必要條件

B.“xeC”是“xeA”的必要條件但不是充分條件

C.“xeC”是“xwA”的充要條件

D.“xeC”既不是“xeA”的充分條件也不是“xeA”必要條件

（三）集合與命題綜合應用

【例7】集合M={1,2,…,2008},若,XW0,。，為X中最大數(shù)與最小數(shù)的和（若集合X中只

有一個元素，則此元素既為最大數(shù)，又為最小數(shù)），那么，對M的所有非空子集，全部區(qū)的平均值為

【例8】（2015崇明一模理14文14）若X是一個集合，7是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足:

（1）X屬于「，。屬于r；（2）r中任意多個元素的并集屬于r；（3）「中任意多個元素的交集屬于「.

則稱r是集合X上的一個拓撲.已知集合*={”,"耳，對于下面給出的四個集合一

①r={0,{a},{c},{a,b,c}}；②r={0,,{c},{byc},{a,b,c}]■③T={0,{4},{a,b},{a,c}}；

④r={0,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}.其中是集合X上的拓撲的集合「的序號是.

（寫出所有集合X上的拓撲的集合r的序號）

【鞏固訓練】

1.設集合河={1,2,345,6},品S2,,“都是”的含兩個元素的子集，且滿足:對任意的E={6,偽},

I%”.aiE.土一

Sj={ahj}3豐j,i、/￡{123,k]),都有min>min<—>(min{x,訓表示兩

j9b：%W%J

個數(shù)X,y中的較小者），則女的最大值是

2.對正整數(shù)〃，記=｛1,2,3,,〃｝,匕=j耳

(1)在集合/“中，任意取出一個子集，計算它的各元素之和.求所有子集的元素之和。

(2)當〃=2014時，對集合/“及每一個非空子集定義唯一“交替和”如下:把子集中的數(shù)按遞減順序排列,

然后從最大數(shù)開始,交替地加減相繼各數(shù)，如｛12,4,6,9｝的“交替和”是9—6+4—2+1=6，集合｛7,10｝的“交

替和”是10—7=3,集合｛5｝的“交替和”是5等等.試求/”的所有的“交替和”的總和.并針對于集合｛1,2,…,

求出所有的“交替和”.

(3)*若月的子集4中任意兩個元素之和不盡整數(shù)的平方，則稱4為“稀疏集”.求〃的最大值，使6能分

成兩個不相交的稀疏集的并.

二、不等式

(一)不等式性質(zhì)與證明

【例9】若則下列結(jié)論中正確的是()

A.不等式和」>4均不能成立

ab\a\網(wǎng)

B.不等式」一」和二〉占均不能成立

b-aa\a\p|

C.不等式一L>L和均不能成立

b-aaIh)(a)

D.不等式」>」和+<^+-1均不能成立

H\b\[b)[a)

【例10]設x,y都是正實數(shù)，比較&+卜與而+夏的大小關(guān)系.

【例11]若。>2/>2,比較+b的大小關(guān)系.

【鞏固訓練】

1.設a,。,c都是大于—1的負數(shù)，&>b>c,則下列不等式正確的是（）

（A）a+b-c<0（B）a-b>b-c（C）abc>-1（Z））—>—

cc

25

2.設為實數(shù)，滿足2W-2<3,3w2w4,則「的最大值是.

yy

3.設囚七忘，令。2=1+一■—.

1+

（1）證明后介于0、。2之間；

（2）求.、“2中哪一個更接近于五；

（3）你能設計一個比“2更接近于我的一個的嗎？并說明理由.

（二）不等式解法綜合應用

X2-x-2>0

【例12】關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解的集合為{-2},求實數(shù)k的取值范圍.

2x2+（2k+5）x+5k<0

ny—5

【例13］己知關(guān)于X的不等式彩二<0的解集是M；

x'-a

（1）當a=4時，求集合M；

（2）若3eM,5eM,求實數(shù)a的取值范圍.

【例14］已知適合不等式*—4x+a|+|x—3|W5的x的最大值為3,求實數(shù)a的值，并解該不等式.

【例15］設0<6<l+a,若關(guān)于尤的不等式(x—0)2>(ax)2的解集中的整數(shù)解恰有3個，則()

A.-1<rz<0B.0<67<1C.1<。<3D.3<。<6

【例16］已知當2一+此—2。+0時不等式廠+￡-1)“一加+2>。恒成立,則實數(shù)。的取值范圍是

2廠+這一2。

【鞏固訓練】

1.不等式—2加40有實數(shù)解，且對于任意的實數(shù)解百,右恒有舊一々|<3,求實數(shù)m的取值范圍.

2.已知集合4={幻(兇-3乂12+|x|-2)40,xeR},6=x2-ar-12<0,xe,若則實

數(shù)a的取值范圍是.

3.若關(guān)于x的不等式一^+*<0的解集為(―2,—l)u(2,3),關(guān)于x的不等式一竺+竺1<0的解

x+ax+cax-\cx-1

集為.

(a+1)%2—1

4.解關(guān)于尤的不等式^—』--->無，其中a>0.

ax+l

5.已知關(guān)于無的不等式(乙一二一4)0—4)>0,其中ZeR.

(1)當女變化時，試求不等式的解集A；

(2)對于不等式的解集A,若滿足AZ=B(其中Z為整數(shù)集).試探究集合8能否為有限集？

若能，求出使得集合8中元素個數(shù)最少的k的所有取值，并用列舉法表示集合8；若不能，請說明理由.

(三)基本不等式

【例17](1)當0令弓時，函數(shù)y=5(l-2%)的最大值為.

(2)已知x＞0,)＞0,且：+]=1,求x+y的最小值_______；

(3)已知x《，求函數(shù)y=4x—2+元日的最大值________；

(4)已知心＞0,)＞0,x+2y+2xy=S,貝Ux+2y的最小值是

(5)已知“泌＞0,則廿十*官的最小值是________.

b(a-b)--------

【例18】⑴若a,Z?eR+,且2/+/=2,則ajl+口的最大值是

(2)設。＞1,。＞1,且a0-(a+，)=l,那么()

A、a+b有最小值2(亞+1)B、6有最大值(五+1-

C、。必有最大值&+1D、"有最小值2(五+1)

(3)若x,y是正數(shù)，則x+^~+('+/)的最小值是()

79

A.3B.-C.4D.-

22

【例19]某國際化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2012年英國倫敦奧運會期間進行一系列促

銷活動，經(jīng)過市場調(diào)查和測算，化妝品的年銷量尤萬件與年促銷費/萬元之間滿足3—%與t+1成反比例，

如果不搞促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件，已知2012年生產(chǎn)化妝品的設備折舊、維修等固定費用

為3萬元,每生產(chǎn)1萬件化妝品需再投入32萬元的生產(chǎn)費用，若將每件化妝品的售價定為其生產(chǎn)成本的150%

與平均每件促銷費的一半之和，則當年生產(chǎn)的化妝品正好能銷完.

(1)將2012年的利潤y(萬元)表示為促銷費t(萬元)的函數(shù).

(2)該企業(yè)2012年的促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？

(注：利潤=銷售收入一生產(chǎn)成本一促銷費，生產(chǎn)成本=固定費用+生產(chǎn)費用)

【例20】設a,力,ceR+,求證：—+—+

2a2b2cb+cc+aa+b

【鞏固訓練】

1.已知實數(shù)a、b,判斷下列不等式中哪些一定是正確的？

(1)竺一之&^；(2)a2+b2>—2ab；(3)a2+/?2>ab\(4)—+—>2

2ab

(5)a+->2；(6)-+->2(7)2Ca2+b2)>(a+b)2

a\ba\

2.設a>Z?>c>0,貝IJ2/+J-+—!---10ac+25c2的最小值是()

aba(a-b)

A.2B.4C.275D.5

3.如圖所示，將一矩形花壇ABC。擴建成一個更大的矩形花壇AMPN,要求B點在A例上，。點在AN上,

且對角線過點C,已知AB=3米，AO=2米.

(1)要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則ON的長應在什么范圍內(nèi)？

(2)當。N的長度為多少時，矩形花壇4MPN的面積最?。坎⑶蟪鲎钚≈?

4.若實數(shù)x、y、滿足|%-"|>|廠,〃|,則稱x比y遠離〃八

(1)若f-l比1遠離0,求X的取值.范圍；

(2)對任意兩個不相等的正數(shù)。、b,證明：/+/比02匕+融2遠離2必向.

三、懸、指與對數(shù)

【例1］在下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的有

?^=(|r?y=(1)t-l?>>=2*3v?y=av(x>0,6!>0,a^l)@^=lv@y=(1)2x?y=xi

【例2】函數(shù)y=(〃—3。+3)〃是指數(shù)函數(shù)，求a的值

【例3】函數(shù)y=(0.5*—8)-5的定義域是

【例4】函數(shù)=在xe(-8,+oo)上是減函數(shù)，求a的取值范圍

【鞏固訓練】

1.指出下列函數(shù)哪些是指數(shù)函數(shù)？

(1)y=4'；(2)y=x"；(3)y=T*；(4)y=(T)\

(5)y=(2a-l)”(a>g且a/1)；(6)y=4A.

2.作出函數(shù)y=2'T與y=的圖像.

3.已知x>0,函數(shù)y=(〃—8)”的值恒大于1,則實數(shù)。的取值范圍是

4.函數(shù)y=a%a>O,aHl)在區(qū)間［1,2］上的最大值比最小值大則實數(shù)。的值是

5.函數(shù)y=2,的圖像與函數(shù)y=(g)的圖像關(guān)于對稱，它們的交點坐標是

［例1］求下列各式中的實數(shù)x.

(1)(72-1)'=2(2)/=3

(3)log36x=^(4)logv(V3+V2)=-l

【例2】計算

⑴地(庫能)G+2夜).,5

（2）100』啊

【例3】已知lg2=0.3010.

⑴判斷8"25”是幾位數(shù)？

(2)判斷小數(shù)點后連續(xù)有多少個零?

【例4】設羽％z都是正數(shù)，且3*=4〉=6X。

(1)求證：-+T-=~(2)比較3x,4y,6z的大小

2yz

【鞏固訓練】

1.不用計算器，計算：

⑴(2)log23且唱4gog45g.且叫364

27145

2.化簡

⑴log

⑵Vln22+ln2-2+l+Vln22-ln2-2+l

3.已知2"=3,log35=b,yiijlog1520=（用表示）

22

4.log8a+log4b=5,log8b+log4a=7,求log2龍的值。

22

5.在RfAABC中，令BC=a,G4=>,AB=c,已知NC=90°,c-ft^1，

求證：log(網(wǎng)a+logg)a=21o瓦叫明ogg)a

二、對數(shù)的運算性質(zhì)和換底公式

【例5］已知log|89=a(aw2),18〃=5,求log^45

解題策略：注意到18=2x32,36=22X32-45=5X32,可見質(zhì)因數(shù)只有2,3,5三個，其中3出現(xiàn)得最多,

可取以3為底的對數(shù)，又已知兩等式均以18為底，故也可取以18為底的對數(shù)。

【例6】已知1。832=(7/0835=。試用2、1)表示108］5\/§5的值。

【例7】已知正數(shù)a、b、c滿足。2=qc,N>0且NW1,

【例8】若a>l,b>l,log2a?log2Z?=16,^<log,ab的最小值。

［例9］設0<x<l,a>0,a#l,比較p=|log?(1-x)|與q=|logu(1+x)|的大小。

【鞏固訓練】

1.已知log83=p,log35=q,用p,q表示lg5=

2.下列式子中正確的個數(shù)是()

22

@log?(Z>—<?)=21ogflfe—21ogac

22

@(logn3)=logfl3

③log“Sc尸(log/>(log“c)

2=

@log(A21og(A

A.0B.1C.2D.3

3.如果方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+1g2/g3=0的兩根為樸Q,那么知念的值為()

A.Ig2-lg3B.Ig2+lg3

C.—6D.T

4.設lg2=a,lg3=b,則1og512等于()

2a-\~ba+2b

A.-n-B.-n-

5.設“、氏cGR+,且3"=a=6‘，則以下四個式子中恒成立的是（）

6.若函數(shù)y=log.-3在區(qū)間（0,1）內(nèi)的函數(shù)值恒為正數(shù)，則。的取值范圍是（）

A.\a\>1B.|?|>^2

C.\a\<y[2D.]<\a\<yl2

U)r(當入24時)

7.給出函數(shù)次x)=j2,則./(log23)=()

JU+1)(當x<4時)

23八1

A.-yB.jy

J19”24

8.設a=lge,Z?=(lge)2,c=lg\[^,貝！J()

A.a>b>cB.a>c>h

C.c>d>bD.c>b>a

反思總結(jié)

1.集合中對空集的討論.

2.基本不等式.

(1)應用公式的條件：/+b2>2ab的條件是a,beR;>疝的條件是a,beR+.

(2)取等號的條件：/+從N2ab和號>疝取等號的條件都是a=b.

(3)廣義地理解公式中的字母a、b.這里。、b也可以是滿足條件的代數(shù)式.

(4)公式的逆用、變形用：如［"<疝<?<產(chǎn)手,31€R+).

---1---

ab

(5)推廣：①a,。,ceR+,有a3+/?3+c3N3出；c,當且僅當a=0=c時等號成立.

②a,"ceR*，有”，上丁蚯泥，當且僅當a=b=c時等號成立.

課后練習

填空題(12題，每題3分)

1.用列舉法表示集合A=|a—eN",aeZ,=.

5-G

2.命題“若/=1,則x=l”的否命題是.

J2TH

3.函數(shù)丁=乂-5的定義域為_____.

4.已知集合A={1,2,3,4},B={1,2}則滿足AC=BC的集合。有個.

5.已知x,yeR+,且x+4y=l,則砂的最大值為.

6.已知集合P=Q={X|(X+1)(2X—3)(X—4)>0},則PQ=

7.設全集U={1,2,3,4,5,6},用U的子集可表示由0,1組成的6位字符串，如：{2,4}表示第2個字符為1,第4個

字符為1,其余均為0的6位字符串010100,并規(guī)定空集表示的字符串為000000.若M={2,3,6},則表示

的6位字符串為.

8.不等式(a—2)/一2(。一2)%—4<()對xwR恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為.

9.若關(guān)于x不等式辦2+加+c<0的解集為（YO,—2）（一^，+8），則關(guān)于無不等式

"2-bx+a>0的解集為.

10.在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為火的所有整數(shù)組成一個“類”，記為依],即

[Z]={5〃+H〃€Z},k=0,1,2,3,4；給出下列四個結(jié)論：

①2015w[0]；②一3丘[3]；③[^。][1][2][3]囿；④“整數(shù)a,b屬于同一，類”

的充要條件是“a—人e[0]”.其中，正確結(jié)論的個教是.

II.某物流公司計劃在其停車庫附近租地建倉庫，已知每月土地占用費p（萬元）與倉庫到

停車庫的距離x（公里）成反比，而每月庫存貨物的運費*（萬元）與倉庫到停車庫的距離

x（公里）成正比，如果在距離停車庫18公里處建倉庫，這兩項費用p和k分別為4萬元

和144萬元，那么要使這兩項費用之和最小，倉庫到停車庫的距離x=公里.

12.設aeR,若x〉0時，均有[（a-1卜一1]（一一