自回歸條件異方差模型

關(guān)于自回歸條件異方差模型

一、自回歸條件異方差模型自回歸條件異方差(AutoregressiveConditionalHeteroscedasticityModel，ARCH)模型是特別用來建立條件方差模型并對其進行預(yù)測的。

ARCH模型是1982年由恩格爾(Engle,R.)提出，并由博勒斯萊文(Bollerslev,T.,1986)發(fā)展成為GARCH(GeneralizedARCH)——廣義自回歸條件異方差。這些模型被廣泛的應(yīng)用于經(jīng)濟學(xué)的各個領(lǐng)域。尤其在金融時間序列分析中。按照通常的想法，自相關(guān)的問題是時間序列數(shù)據(jù)所特有，而異方差性是橫截面數(shù)據(jù)的特點。但在時間序列數(shù)據(jù)中，會不會出現(xiàn)異方差呢？會是怎樣出現(xiàn)的？

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恩格爾和克拉格（Kraft,D.,1983）在分析宏觀數(shù)據(jù)時，發(fā)現(xiàn)這樣一些現(xiàn)象：時間序列模型中的擾動方差穩(wěn)定性比通常假設(shè)的要差。恩格爾的結(jié)論說明在分析通貨膨脹模型時，大的及小的預(yù)測誤差會大量出現(xiàn)，表明存在一種異方差，其中預(yù)測誤差的方差取決于后續(xù)擾動項的大小。

從事于股票價格、通貨膨脹率、外匯匯率等金融時間序列預(yù)測的研究工作者，曾發(fā)現(xiàn)他們對這些變量的預(yù)測能力隨時期的不同而有相當大的變化。預(yù)測的誤差在某一時期里相對地小，而在某一時期里則相對地大，然后，在另一時期又是較小的。這種變異很可能由于金融市場的波動性易受謠言、政局變動、政府貨幣與財政政策變化等等的影響。從而說明預(yù)測誤差的方差中有某種相關(guān)性。為了刻畫這種相關(guān)性，恩格爾提出自回歸條件異方差（ARCH）模型。ARCH的主要思想是時刻

t的ut的方差（=

t2

）依賴于時刻(t

1)的殘差平方的大小，即依賴于

ut2-1

。

第3頁,共75頁，星期六，2024年，5月

（一）

ARCH模型

為了說得更具體，讓我們回到k-變量回歸模型：(9.1.1)

并假設(shè)在時刻

(t1)

所有信息已知的條件下，擾動項

ut的分布是：

~(9.1.2)

也就是，ut遵循以0為均值，(

0+

1u2t-1)為方差的正態(tài)分布。

由于(9.1.2)中ut的方差依賴于前期的平方擾動項，我們稱它為ARCH(1)過程：然而，容易加以推廣。第4頁,共75頁，星期六，2024年，5月

例如，一個ARCH

(p)過程可以寫為：（9.1.3）

如果擾動項方差中沒有自相關(guān)，就會有

H0：這時

從而得到誤差方差的同方差性情形。恩格爾曾表明，容易通過以下的回歸去檢驗上述虛擬假設(shè)：（9.1.4）

其中，?t表示從原始回歸模型（9.1.1）估計得到的OLS殘差。第5頁,共75頁，星期六，2024年，5月

（二）GARCH(1,1)模型常常有理由認為

ut的方差依賴于很多時刻之前的變化量（特別是在金融領(lǐng)域，采用日數(shù)據(jù)或周數(shù)據(jù)的應(yīng)用更是如此）。這里的問題在于，我們必須估計很多參數(shù)，而這一點很難精確的做到。但是如果我們能夠意識到方程(6.1.3)不過是

t2的分布滯后模型，我們就能夠用一個或兩個

t2的滯后值代替許多ut2的滯后值，這就是廣義自回歸條件異方差模型(generalizedautoregressiveconditionalheterosce-

dasticitymodel，簡記為GARCH模型)。在GARCH模型中，要考慮兩個不同的設(shè)定：一個是條件均值，另一個是條件方差。

第6頁,共75頁，星期六，2024年，5月在標準化的GARCH(1,1)模型中：

(9.1.5)(9.1.6)其中：xt是1×(k+1)維外生變量向量，

是(k+1)×1維系數(shù)向量。

(9.1.5)中給出的均值方程是一個帶有誤差項的外生變量函數(shù)。由于

t2是以前面信息為基礎(chǔ)的一期向前預(yù)測方差，所以它被稱作條件方差。第7頁,共75頁，星期六，2024年，5月

(6.1.6)中給出的條件方差方程是下面三項的函數(shù)：

1．常數(shù)項（均值）：

2．用均值方程(6.1.5)的殘差平方的滯后來度量從前期得到的波動性的信息：ut2-1（ARCH項）。

3．上一期的預(yù)測方差：

t2-1

（GARCH項）。

GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指階數(shù)為1的GARCH項（括號中的第一項）和階數(shù)為1的ARCH項（括號中的第二項）。一個普通的ARCH模型是GARCH模型的一個特例，即在條件方差方程中不存在滯后預(yù)測方差

t2的說明。

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在EViews中ARCH模型是在誤差是條件正態(tài)分布的假定下，通過極大似然函數(shù)方法估計的。例如，對于GARCH(1,1)，t

時期的對數(shù)似然函數(shù)為：(9.1.7)

其中(9.1.8)

這個說明通?？梢栽诮鹑陬I(lǐng)域得到解釋，因為代理商或貿(mào)易商可以通過建立長期均值的加權(quán)平均（常數(shù)），上期的預(yù)期方差（GARCH項）和在以前各期中觀測到的關(guān)于變動性的信息（ARCH項）來預(yù)測本期的方差。如果上升或下降的資產(chǎn)收益出乎意料地大，那么貿(mào)易商將會增加對下期方差的預(yù)期。這個模型還包括了經(jīng)常可以在財務(wù)收益數(shù)據(jù)中看到的變動組，在這些數(shù)據(jù)中，收益的巨大變化可能伴隨著更進一步的巨大變化。第9頁,共75頁，星期六，2024年，5月

有兩個可供選擇的方差方程的描述可以幫助解釋這個模型：

1．如果用條件方差的滯后遞歸地替代（9.1.6）式的右端，就可以將條件方差表示為滯后殘差平方的加權(quán)平均：

（9.1.9）可以看到GARCH(1,1)方差說明與樣本方差類似，但是，它包含了在更大滯后階數(shù)上的，殘差的加權(quán)條件方差。第10頁,共75頁，星期六，2024年，5月

2．設(shè)vt=ut2

t2。用其替代方差方程（9.1.6）中的方差并整理，得到關(guān)于平方誤差的模型：

（9.1.10）因此，平方誤差服從一個異方差A(yù)RMA(1,1)過程。決定波動沖擊持久性的自回歸的根是

加

的和。在很多情況下，這個根非常接近1，所以沖擊會逐漸減弱。第11頁,共75頁，星期六，2024年，5月（三）方差方程的回歸因子

方程(6.1.6)可以擴展成包含外生的或前定回歸因子z的方差方程：

（9.1.11）注意到從這個模型中得到的預(yù)測方差不能保證是正的?？梢砸氲竭@樣一些形式的回歸算子，它們總是正的，從而將產(chǎn)生負的預(yù)測值的可能性降到最小。例如，我們可以要求：（9.1.12）

第12頁,共75頁，星期六，2024年，5月GARCH(p,q)模型

高階GARCH模型可以通過選擇大于1的p或q得到估計，記作GARCH(p,q)。其方差表示為：（9.1.13）

這里，p是GARCH項的階數(shù)，q是ARCH項的階數(shù)。

第13頁,共75頁，星期六，2024年，5月（四）ARCH-M模型金融理論表明具有較高可觀測到的風險的資產(chǎn)可以獲得更高的平均收益，其原因在于人們一般認為金融資產(chǎn)的收益應(yīng)當與其風險成正比，風險越大，預(yù)期的收益就越高。這種利用條件方差表示預(yù)期風險的模型被稱為ARCH均值模型(ARCH-in-mean)或ARCH-M回歸模型。在ARCH-M中把條件方差引進到均值方程中:

（9.1.14）

ARCH-M模型的另一種不同形式是將條件方差換成條件標準差：或取對數(shù)

第14頁,共75頁，星期六，2024年，5月ARCH-M模型通常用于關(guān)于資產(chǎn)的預(yù)期收益與預(yù)期風險緊密相關(guān)的金融領(lǐng)域。預(yù)期風險的估計系數(shù)是風險收益交易的度量。例如，我們可以認為某股票指數(shù)，如上證的股票指數(shù)的票面收益（returet）依賴于一個常數(shù)項，通貨膨脹率

t以及條件方差：

這種類型的模型（其中期望風險用條件方差表示）就稱為GARCH-M模型。第15頁,共75頁，星期六，2024年，5月二、在EViews中估計ARCH模型

估計GARCH和ARCH模型，首先選擇Quick/EstimateEquation或Object/NewObject/Equation，然后在Method的下拉菜單中選擇ARCH，得到如下的對話框。(EViews4.0)的對話框第16頁,共75頁，星期六，2024年，5月(EViews5)的對話框第17頁,共75頁，星期六，2024年，5月

與選擇估計方法和樣本一樣，需要指定均值方程和方差方程。

（一）均值方程

在因變量編輯欄中輸入均值方程形式，均值方程的形式可以用回歸列表形式列出因變量及解釋變量。如果方程包含常數(shù)，可在列表中加入C。如果需要一個更復(fù)雜的均值方程，可以用公式的形式輸入均值方程。如果解釋變量的表達式中含有ARCH—M項，就需要點擊對話框右上方對應(yīng)的按鈕。EViews4.0中，只有3個選項：

1.選項None表示方程中不含有ARCH?M項；

2.選項Std.Dev.表示在方程中加入條件標準差

；

3.選項Variance則表示在方程中含有條件方差

2。

而EViews5中的ARCH-M的下拉框中，除了這三個選項外，還添加了一個新的選項：Log(Var)，它表示在均值方程中加入條件方差的對數(shù)ln(

2)作為解釋變量。

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（二）方差方程

EViews5的選擇模型類型列表

（1）在model下拉框中可以選擇所要估計的ARCH模型的類型，需要注意，EViews5中的模型設(shè)定下拉菜單中的PARCH模型是EViews5中新增的模型，在EViews4.0中，并沒有這個選項，而是直接將幾種類型列在對話框中。第19頁,共75頁，星期六，2024年，5月

（3）在Variance欄中，可以根據(jù)需要列出包含在方差方程中的外生變量。由于EViews在進行方差回歸時總會包含一個常數(shù)項作為解釋變量，所以不必在變量表中列出C。

（2）設(shè)定了模型形式以后，就可以選擇ARCH項和GARCH項的階數(shù)。缺省的形式為包含一階ARCH項和一階GARCH項的模型，這是現(xiàn)在最普遍的設(shè)定。如果要估計一個非對稱的模型，就應(yīng)該在Threshold編輯欄中輸入非對稱項的數(shù)目，缺省的設(shè)置是不估計非對稱的模型，即該選項的個數(shù)為0。仍需注意的是，這個Threshold編輯欄也是EViews5新增的選項，即EViews5可以估計含有多個非對稱項的非對稱模型。在EViews4.0中，并沒有這個選項，非對稱模型中的非對稱項只能有1項。

第20頁,共75頁，星期六，2024年，5月

（4）Error組合框是EViews5新增的對話框，它可以設(shè)定誤差的分布形式，缺省的形式為Normal（Gaussian），備選的選項有：Student’s-t，GeneralizedError（GED）、Student’s-twithfixeddf.和GEDwithfixedparameter。需要注意，選擇了后兩個選項的任何一項都會彈出一個選擇框，需要在這個選擇框中分別為這兩個分布的固定參數(shù)設(shè)定一個值。在EViews4.0中，并沒有Error選項，誤差的條件分布形式默認為Normal（Gaussian）。

第21頁,共75頁，星期六，2024年，5月

（三）估計選項（Options）

EViews為我們提供了可以進入許多估計方法的設(shè)置。只要點擊Options按鈕并按要求填寫對話即可。

第22頁,共75頁，星期六，2024年，5月

1.回推(Backcasting)

在缺省的情況下，MA初始的擾動項和GARCH項中要求的初始預(yù)測方差都是用回推方法來確定初始值的。如果不選擇回推算法，EViews會設(shè)置殘差為零來初始化MA過程，用無條件方差來設(shè)置初始化的方差和殘差值。但是經(jīng)驗告訴我們，使用回推指數(shù)平滑算法通常比使用無條件方差來初始化GARCH模型的效果要理想。

2.系數(shù)協(xié)方差

(CoefficientCovariance)

點擊HeteroskedasticityConsistentCovariances計算極大似然（QML）協(xié)方差和標準誤差。如果懷疑殘差不服從條件正態(tài)分布，就應(yīng)該使用這個選項。只有選定這一選項，協(xié)方差的估計才可能是一致的，才可能產(chǎn)生正確的標準差。注意如果選擇該項，參數(shù)估計將是不變的，改變的只是協(xié)方差矩陣。第23頁,共75頁，星期六，2024年，5月

3.導(dǎo)數(shù)方法

(Derivatives)

EViews現(xiàn)在用數(shù)值導(dǎo)數(shù)方法來估計ARCH模型。在計算導(dǎo)數(shù)的時候，可以控制這種方法達到更快的速度（較大的步長計算）或者更高的精確性（較小的步長計算）。

4.迭代估計控制

(Iterativeprocess)

當用默認的設(shè)置進行估計不收斂時，可以通過改變初值、增加迭代的最大次數(shù)或者調(diào)整收斂準則來進行迭代控制。

5．算法選擇

(Optimizationalgorithm)

ARCH模型的似然函數(shù)不總是正規(guī)的，所以這時可以利用選擇迭代算法（Marquardt、BHHH/高斯-牛頓）使其達到收斂。第24頁,共75頁，星期六，2024年，5月三、ARCH的估計結(jié)果

在均值方程中和方差方程中估計含有解釋變量的標準GARCH(1,1)模型，

(9.3.1)

例1

為了檢驗股票價格指數(shù)的波動是否具有條件異方差性，我們選擇了滬市股票的收盤價格指數(shù)的日數(shù)據(jù)作為樣本序列，這是因為上海股票市場不僅開市早，市值高，對于各種沖擊的反應(yīng)較為敏感，因此，本例所分析的滬市股票價格波動具有一定代表性。在這個例子中，我們選擇的樣本序列{sp}是1998年1月3日至2001年12月31日的上海證券交易所每日股票價格收盤指數(shù)，為了減少舍入誤差，在估計時，對{sp}進行自然對數(shù)處理，即將序列{log(sp)}作為因變量進行估計。第25頁,共75頁，星期六，2024年，5月

由于股票價格指數(shù)序列常常用一種特殊的單位根過程——隨機游動（RandomWalk）模型描述，所以本例進行估計的基本形式為：

首先利用最小二乘法，估計了一個普通的回歸方程，結(jié)果如下：(9.3.2)

（15531）

R2=0.994對數(shù)似然值=2874AIC=-5.51SC=-5.51

第26頁,共75頁，星期六，2024年，5月

可以看出，這個方程的統(tǒng)計量很顯著，而且，擬和的程度也很好。但是對這個方程進行異方差的White和ARCH-LM檢驗，發(fā)現(xiàn)q=3時的ARCH-LM檢驗的相伴概率，即P值接近于0，White檢驗的結(jié)果類似，其相伴概率，即P值也接近于0，這說明誤差項具有條件異方差性。第27頁,共75頁，星期六，2024年，5月

股票價格指數(shù)方程回歸殘差

但是觀察上圖，該回歸方程的殘差，我們可以注意到波動的“成群”現(xiàn)象：波動在一些較長的時間內(nèi)非常?。ɡ?000年），在其他一些較長的時間內(nèi)非常大（例如1999年），這說明殘差序列存在高階ARCH效應(yīng)。第28頁,共75頁，星期六，2024年，5月ARCH的檢驗1.ARCHLM檢驗

Engle(1982)提出對殘差中自回歸條件異方差(AutoregressiveConditionalHeteroskedasticity,ARCH)進行拉格朗日乘數(shù)檢驗(Lagrangemultipliertest)，即LM檢驗。異方差的這種特殊定義是由于對許多金融時間序列的觀測而提出的，殘差的大小呈現(xiàn)出與近期殘差值有關(guān)。ARCH自身不能使標準LS推理無效，但是，忽略ARCH影響可能導(dǎo)致有效性降低。

第29頁,共75頁，星期六，2024年，5月ARCHLM檢驗統(tǒng)計量由一個輔助檢驗回歸計算。為檢驗原假設(shè)：殘差中直到q階都沒有ARCH，運行如下回歸：

式中?t是殘差。這是一個對常數(shù)和直到q階的滯后平方殘差所作的回歸。F統(tǒng)計量是對所有滯后平方殘差聯(lián)合顯著性所作的檢驗。Obs*R2統(tǒng)計量是LM檢驗統(tǒng)計量,它是觀測值數(shù)T乘以檢驗回歸R2。第30頁,共75頁，星期六，2024年，5月2.

平方殘差相關(guān)圖

顯示直到所定義的滯后階數(shù)的平方殘差?t2的自相關(guān)性和偏自相關(guān)性，計算出相應(yīng)滯后階數(shù)的Ljung-Box統(tǒng)計量。平方殘差相關(guān)圖可以用來檢查殘差自回歸條件異方差性（ARCH）。如果殘差中不存在ARCH，在各階滯后自相關(guān)和偏自相關(guān)應(yīng)為0，且Q統(tǒng)計量應(yīng)不顯著?？蛇m用于使用LS，TSLS，非線性LS估計方程。顯示平方殘差相關(guān)圖和Q-統(tǒng)計量，選擇View/ResidualTests/CorrelogramSquaredResidual，在打開的滯后定義對話框，定義計算相關(guān)圖的滯后數(shù)。第31頁,共75頁，星期六，2024年，5月

因此，對式(9.3.2)進行條件異方差的ARCHLM檢驗，得到了在滯后階數(shù)p=3時的ARCHLM檢驗結(jié)果：

此處的P值為0，拒絕原假設(shè)，說明式（9.1.2）的殘差序列存在ARCH效應(yīng)。還可以計算式（9.1.2）的殘差平方的自相關(guān)（AC）和偏自相關(guān)（PAC）系數(shù)，結(jié)果如下：第32頁,共75頁，星期六，2024年，5月

重新建立序列的GARCH（1,1）模型，結(jié)果如下：均值方程：

（23213）方差方程：

（11.44）（33.36）對數(shù)似然值=3006AIC=-5.76SC=-5.74

第33頁,共75頁，星期六，2024年，5月

方差方程中的ARCH項和GARCH項的系數(shù)都是統(tǒng)計顯著的，并且對數(shù)似然值有所增加，同時AIC和SC值都變小了，這說明這個模型能夠更好的擬合數(shù)據(jù)。再對這個方程進行條件異方差的ARCH—LM檢驗，相伴概率為P=0.924，說明利用GARCH模型消除了原殘差序列的異方差效應(yīng)。ARCH和GARCH的系數(shù)之和等于0.982，小于1，滿足參數(shù)約束條件。由于系數(shù)之和非常接近于1，表明一個條件方差所受的沖擊是持久的，即它對所有的未來預(yù)測都有重要作用，這個結(jié)果在高頻率的金融數(shù)據(jù)中經(jīng)?？梢钥吹健５?4頁,共75頁，星期六，2024年，5月第35頁,共75頁，星期六，2024年，5月

ARCH估計的結(jié)果可以分為兩部分：上半部分提供了均值方程的標準結(jié)果；下半部分，即方差方程包括系數(shù)，標準誤差，z—統(tǒng)計量和方差方程系數(shù)的P值。在方程(9.1.6)中ARCH的參數(shù)對應(yīng)于

，GARCH的參數(shù)對應(yīng)于

。在表的底部是一組標準的回歸統(tǒng)計量，使用的殘差來自于均值方程。

注意如果在均值方程中不存在回歸量，那么這些標準，例如R2也就沒有意義了。

第36頁,共75頁，星期六，2024年，5月

例2

估計我國股票收益率的ARCH—M模型。選擇的時間序列仍是1998年1月3日至2001年12月31日的上海證券交易所每日股票價格收盤指數(shù){sp}，股票的收益率是根據(jù)公式：，即股票價格收盤指數(shù)對數(shù)的差分計算出來的。ARCH—M模型：，估計出的結(jié)果是:(-2.72)(2.96)(5.43)(12.45)(29.78)

對數(shù)似然值=3010AIC=-5.77SC=-5.74

在收益率方程中包括

t

的原因是為了在收益率的生成過程中融入風險測量，這是許多資產(chǎn)定價理論模型的基礎(chǔ)——“均值方程假設(shè)”的含義。在這個假設(shè)下，

應(yīng)該是正數(shù)，結(jié)果

=0.27，因此我們預(yù)期較大值的條件標準差與高收益率相聯(lián)系。估計出的方程的所有系數(shù)都很顯著。并且系數(shù)之和小于1，滿足平穩(wěn)條件。均值方程中

t

的系數(shù)為0.27，表明當市場中的預(yù)期風險增加一個百分點時，就會導(dǎo)致收益率也相應(yīng)的增加0.27個百分點。第37頁,共75頁，星期六，2024年，5月第38頁,共75頁，星期六，2024年，5月四、ARCH模型的視圖與過程

一旦模型被估計出來，EViews會提供各種視圖和過程進行推理和診斷檢驗。

（一）ARCH模型的視圖

1.Actual,Fitted,Residual

窗口列示了各種殘差形式，例如，表格，圖形和標準殘差。

2.條件SD圖

顯示了在樣本中對每個觀測值繪制向前一步的標準偏差

t。t

時期的觀察值是由t-1期可得到的信息得出的預(yù)測值。

第39頁,共75頁，星期六，2024年，5月

3.協(xié)方差矩陣

顯示了估計的系數(shù)協(xié)方差矩陣。大多數(shù)ARCH模型（ARCH—M模型除外）的矩陣都是分塊對角的，因此均值系數(shù)和方差系數(shù)之間的協(xié)方差就十分接近零。如果在均值方程中包含常數(shù)，那么在協(xié)方差矩陣中就存在兩個C；第一個C是均值方程的常數(shù)，第二個C是方差方程的常數(shù)。

4.

系數(shù)檢驗

對估計出的系數(shù)進行標準假設(shè)檢驗。注意到在結(jié)果的擬極大似然解釋下，似然比值檢驗是不恰當?shù)摹５?0頁,共75頁，星期六，2024年，5月

5.殘差檢驗/相關(guān)圖—Q—統(tǒng)計量

顯示了標準殘差的相關(guān)圖（自相關(guān)和偏自相關(guān)）。這個窗口可以用于檢驗均值方程中的剩余的序列相關(guān)性和檢查均值方程的設(shè)定。如果均值方程是被正確設(shè)定的，那么所有的Q—統(tǒng)計量都不顯著。

6.殘差檢驗/殘差平方相關(guān)圖

顯示了標準殘差平方的相關(guān)圖（自相關(guān)和偏自相關(guān)）。這個窗口可以用于檢驗方差方程中剩余的ARCH項和檢查方差方程的指定。如果方差方程是被正確指定的，那么所有的Q—統(tǒng)計量都不顯著。第41頁,共75頁，星期六，2024年，5月

7.殘差檢驗/直方圖—正態(tài)檢驗

顯示了描述統(tǒng)計量和標準殘差的直方圖?？梢杂肑B統(tǒng)計量檢驗標準殘差是否服從正態(tài)分布。如果標準殘差服從正態(tài)分布，那么JB統(tǒng)計量就不是顯著的。例如，用GARCH(1,1)模型擬合GDP的增長率GDPR的標準殘差的直方圖如下：

JB統(tǒng)計量拒絕正態(tài)分布的假設(shè)。

第42頁,共75頁，星期六，2024年，5月

8.殘差檢驗/ARCHLM拉格朗日乘子檢驗

通過拉格朗日乘子檢驗來檢驗標準殘差中是否顯示了額外的ARCH項。如果正確設(shè)定方差方程，那么在標準殘差中就不存在ARCH項。第43頁,共75頁，星期六，2024年，5月

（二）ARCH模型的方法

1．構(gòu)造殘差序列

將殘差以序列的名義保存在工作文件中，可以選擇保存普通殘差

ut或標準殘差

ut/

t

。殘差將被命名為RESID1，RESID2等等?？梢渣c擊序列窗口中的name按鈕來重新命名序列殘差。

2．構(gòu)造GARCH方差序列

將條件方差

t2以序列的名義保存在工作文件中。條件方差序列可以被命名為GARCH1，GARCH2等等。取平方根得到如View/ConditionalSDGragh所示的條件標準偏差。第44頁,共75頁，星期六，2024年，5月

3．預(yù)測

例3

假設(shè)我們估計出了如下的ARCH(1)(采用Marquardt方法)模型：(ARCH_CPI方程，留下2001年10月—2001年12月的3個月做檢驗性數(shù)據(jù))第45頁,共75頁，星期六，2024年，5月

使用估計的ARCH模型可以計算因變量的靜態(tài)的和動態(tài)的預(yù)測值，和它的預(yù)測標準誤差和條件方差。為了在工作文件中保存預(yù)測值，要在相應(yīng)的對話欄中輸入名字。如果選擇了Dogragh選項EViews就會顯示預(yù)測值圖和兩個標準偏差的帶狀圖。第46頁,共75頁，星期六，2024年，5月

估計期間是1/03/1998-9/28/2001，預(yù)測期間是10/02/2001-12/31/2001左圖表示了由均值方程和SP的預(yù)測值的兩個標準偏差帶。第47頁,共75頁，星期六，2024年，5月第48頁,共75頁，星期六，2024年，5月五、非對稱ARCH模型

對于資產(chǎn)而言，在市場中我們經(jīng)?？梢钥吹较蛳逻\動通常伴隨著比同等程度的向上運動更強烈的波動性。為了解釋這一現(xiàn)象，Engle（1993）描述了如下形式的對好消息和壞消息的非對稱信息曲線：波動性

0

信息

EViews估計了兩個考慮了波動性的非對稱沖擊的模型：TARCH和EGARCH。

第49頁,共75頁，星期六，2024年，5月（一）

TARCH模型

TARCH或者門限(Threshold)ARCH模型由Zakoian(1990)和Glosten，Jafanathan，Runkle(1993)獨立的引入。條件方差指定為：(9.5.1)其中，當

ut<0

時，dt

=1；否則，

dt

=0

。

在這個模型中，好消息(ut>0)和壞消息(ut<0)對條件方差有不同的影響：好消息有一個

的沖擊；壞消息有一個對

+

的沖擊。如果

0

，則信息是非對稱的，如果

>0

，我們說存在杠桿效應(yīng)，非對稱效應(yīng)的主要效果是使得波動加大；如果

<0

，則非對稱效應(yīng)的作用是使得波動減小。許多研究人員發(fā)現(xiàn)了股票價格行為的非對稱的實例。負的沖擊似乎比正的沖擊更容易增加波動。因為較低的股價減少了相對公司債務(wù)的股東權(quán)益，股價的大幅下降增加了公司的杠桿作用從而提高了持有股票的風險。第50頁,共75頁，星期六，2024年，5月

估計TARCH模型，EViews4.0要以一般形式指定ARCH模型，但是應(yīng)該點擊ARCHSpecification目錄下的TARCH(asymmetric)按鈕，而不是選擇GARCH選項。EViews5要在Threshold選項中填“1”，表明有1個非對稱項，可以有多個。

例4

由于貨幣政策及其它政策的實施力度以及時滯導(dǎo)致經(jīng)濟中出現(xiàn)了不同于貨幣政策開始實施階段的條件因素，導(dǎo)致貨幣政策發(fā)生作用的環(huán)境發(fā)生了變化，此時，貨幣政策在產(chǎn)生一般的緊縮或者是擴張的政策效應(yīng)基礎(chǔ)上，還會產(chǎn)生一種特殊的效應(yīng)，我們稱之為“非對稱”效應(yīng)。表現(xiàn)在經(jīng)濟中，就是使得某些經(jīng)濟變量的波動加大或者變小。第51頁,共75頁，星期六，2024年，5月

建立了通貨膨脹率(

t)的TARCH模型。采用居民消費物價指數(shù)（CPI，上年同期=100）減去100代表通貨膨脹率

t

，貨幣政策變量選用狹義貨幣供應(yīng)量M1的增長率(M1Rt)、銀行同業(yè)拆借利率（7天）(R7t)，模型中解釋變量還包括貨幣流通速度(Vt)（Vt=GDPt/M1t）、通貨膨脹率的1期滯后(

t-1)。使用銀行同業(yè)拆借利率代替存款利率，是由于目前我國基本上是一個利率管制國家，中央銀行對利率直接調(diào)控，因此名義存款利率不能夠反映市場上貨幣供需的真實情況。第52頁,共75頁，星期六，2024年，5月第53頁,共75頁，星期六，2024年，5月

由TARCH模型的回歸方程和方差方程得到的估計結(jié)果為：

(-2.62)(25.53)(5.068)(-3.4)(1.64)

(1.152)(0.94)(-3.08)(3.9)

R2=0.96D.W.=1.83

結(jié)果表中的(RESID)*ARCH(1)項是(6.5.1)式的

，也稱為TARCH項。在上式中，TARCH項的系數(shù)顯著不為零，說明貨幣政策的變動對物價具有非對稱效應(yīng)。需要注意，方差方程中

=-0.399，即非對稱項的系數(shù)是負的。這就說明，貨幣政策對于通貨膨脹率的非對稱影響是使得物價的波動越來越小。第54頁,共75頁，星期六，2024年，5月

觀察殘差圖，還可以發(fā)現(xiàn)貨幣政策的非對稱作用在不同階段對通貨膨脹率表現(xiàn)是不同的：在經(jīng)濟過熱時期，如1992年～1994年期間，通過均值方程中貨幣政策變量的緊縮作用，導(dǎo)致了貨幣政策對通貨膨脹的減速作用非常明顯，但是由于通貨膨脹率方程的殘差非常大，由方差方程可知這一時期物價波動很大，但

，則

dt-1=0，所以TARCH項不存在，即不存在非對稱效應(yīng)。1995年～1996年初

，則TARCH項存在，且其系數(shù)

是負值，于是非對稱效應(yīng)使得物價的波動迅速減小。當處于經(jīng)濟增長的下滑階段，它的殘差只在零上下波動，雖然出現(xiàn)負值比較多，但這一時期的貨幣政策非對稱擴張作用非常小。第55頁,共75頁，星期六，2024年，5月

對于高階TARCH模型的制定，EViews將其估計為：

(9.5.3)（二）

EGARCH模型

EGARCH或指數(shù)（Exponential）GARCH模型由納爾什（Nelson，1991）提出。條件方差被指定為：

(9.5.4)

等式左邊是條件方差的對數(shù)，這意味著杠桿影響是指數(shù)的，而不是二次的，所以條件方差的預(yù)測值一定是非負的。杠桿效應(yīng)的存在能夠通過

<0的假設(shè)得到檢驗。如果

0

，則沖擊的影響存在著非對稱性。第56頁,共75頁，星期六，2024年，5月

EViews指定的EGARCH模型和一般的Nelson模型之間有兩點區(qū)別。首先，Nelson假設(shè)

ut

服從廣義誤差分布，而EViews假設(shè)擾動項服從正態(tài)分布；其次，Nelson指定的條件方差的對數(shù)與上述的不同：(9.5.5)

在正態(tài)誤差的假設(shè)下估計這個模型將產(chǎn)生與EViews得出的那些結(jié)論恒等的估計結(jié)果，除了截矩項

，它只差了。

第57頁,共75頁，星期六，2024年，5月EViews指定了更高階的EGARCH模型：(9.5.6)

估計EGARCH模型只要選擇ARCH指定設(shè)置下的EGARCH項即可。克里斯汀(Christie，1982)的研究認為，當股票價格下降時，資本結(jié)構(gòu)當中附加在債務(wù)上的權(quán)重增加，如果債務(wù)權(quán)重增加的消息泄漏以后，資產(chǎn)持有者和購買者就會產(chǎn)生未來資產(chǎn)收益率將導(dǎo)致更高波動性的預(yù)期，從而導(dǎo)致該資產(chǎn)的股票價格波動。因此，對于股價反向沖擊所產(chǎn)生的波動性，大于等量正向沖擊產(chǎn)生的波動性，這種“利空消息”作用大于“利好消息”作用的非對稱性，在美國等國家的一些股價指數(shù)序列當中得到驗證。第58頁,共75頁，星期六，2024年，5月

例5

那么在我國的股票市場運行過程當中，是否也存在股票價格波動的非對稱性呢？利用滬市的股票收盤價格指數(shù)數(shù)據(jù)，我們估計了股票價格波動的兩種非對稱模型，結(jié)果分別如下：

①TARCH模型：均值方程：

(19689.6)

方差方程：

(5.57)(7.58)(5.31)(45.43)

對數(shù)似然值

=3012.5AIC=-5.77SC=-5.75第59頁,共75頁，星期六，2024年，5月第60頁,共75頁，星期六，2024年，5月

杠桿效應(yīng)項由結(jié)果中的(RESID<0)*ARCH(1)描述，它是顯著為正的，所以存在非對稱影響。在TARCH模型中，杠桿效應(yīng)項的系數(shù)顯著大于零，說明股票價格的波動具有“杠桿”效應(yīng)：利空消息能比等量的利好消息產(chǎn)生更大的波動：當出現(xiàn)“利好消息”時，即當時，有一個

=0.127的沖擊；而出現(xiàn)“利空消息”時，即當時，則會帶來

=0.127+0.15=0.277的沖擊。第61頁,共75頁，星期六，2024年，5月②EGARCH模型：均值方程：

(19897.8)

方差方程：

(-7.26)(9.63)(-5.63)(123.29)

對數(shù)似然值

=3020.3AIC=-5.79SC=-5.76

第62頁,共75頁，星期六，2024年，5月第63頁,共75頁，星期六，2024年，5月

這個例子中，利空消息能比等量的利好消息產(chǎn)生更大的波動的結(jié)果在EGARCH模型中也能夠得到印證，在EGARCH模型中，，其非對稱項

的系數(shù)小于零，。

當時，有一個=0.306+(-0.07)=0.236倍沖擊；

當時，有一個=0.306+(-0.07)(-1)=0.376倍沖擊。

在EViews4.0的EGARCH模型結(jié)果顯示中：

|ut/t|項的系數(shù)

記作|RES|/SQR[GARCH](1)；

杠桿效應(yīng)項

記作RES/SQR[GARCH](1)；

此例中

是負的并在統(tǒng)計上是顯著的，這表明在樣本期間滬市的股票收盤價格指數(shù)中存在杠桿效應(yīng)。第64頁,共75頁，星期六，2024年，5月六、成分ARCH模型(ComponentARCHModel)

GARCH(1,1)模型將條件方差設(shè)定為：(9.6.1)令其中

是非條件方差或長期波動率，(9.6.1)變?yōu)椋?9.6.2)

表示了均值趨近于

，這個

在所有時期都為常數(shù)。

第65頁,共75頁，星期六，2024年，5月

成分ARCH模型允許均值趨近于一個變動的水平qt：

(9.6.3)此處

t仍然是波動率，而qt代替了

，它是隨時間變化的長期變動。第一個等式描述了暫時分量

t2-qt，它將隨

+的作用收斂到零。第二個等式描述了長期分量qt它將在

的作用下收斂到

。典型的

在0.99和1之間，所以qt緩慢的接近

。第66頁,共75頁，星期六，2024年，5月

我們把暫時方程和長期方程聯(lián)合起來：該方程表明了成分ARCH模型是一個非線性的嚴格的GARCH(2,2)模型。在成分ARCH模型的條件方差方程中，可以包含進外生變量，它可以在長期方程中，也可以在暫時方程中（或者兩者均可）。暫時方程中的變量將對變化率的短期移動產(chǎn)生影響，而長期方程中的變量將影響變動率的長期水平。第67頁,共75頁，星期六，20