湖北省武漢市黃陂區(qū)第六中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE17-湖北省武漢市黃陂區(qū)第六中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題(本題包括12小題，每小題5分，共60分).1.在等差數(shù)列中，若，則（）A.360 B.300 C.240 D.200【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以故選：B【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2.若且，則下列不等式成立是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一推斷.【詳解】選項(xiàng)A:，符合，但不等式不成立，故本選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；選項(xiàng)B:當(dāng)符合已知條件，但零沒有倒數(shù)，故不成立，故本選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；選項(xiàng)C:當(dāng)時(shí)，不成立，故本選項(xiàng)是錯(cuò)誤；選項(xiàng)D:因?yàn)椋砸罁?jù)不等式的性質(zhì)，由能推出，故本選項(xiàng)是正確的，因此本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)，舉特例是解決這類問題的常見方法.3.中，若，則的形態(tài)為（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等邊三角形 D.銳角三角形【答案】B【解析】【分析】通過三角形的內(nèi)角和，以及兩角和的正弦函數(shù)，化簡(jiǎn)方程，求出角的關(guān)系，即可推斷三角形的形態(tài)．【詳解】因?yàn)閟inC=2sinAcosB，所以sin（A+B）=2sinAcosB，所以sinAcosB-sinBcosA=0，即sin（A-B）=0，因?yàn)锳，B，C是三角形內(nèi)角，所以A=B．三角形的等腰三角形．故答案為B．4.三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿意，那么點(diǎn)P是三角形的（）A.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心【答案】B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)得，即得點(diǎn)P為三角形的垂心.【詳解】由于三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿意，則即有，即有，則點(diǎn)P為三角形的垂心.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的運(yùn)算和向量垂直的數(shù)量積，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平.5.若關(guān)于的不等式的解集為，其中，為常數(shù)，則不等式的解集是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先由解集為計(jì)算出的值，然后再求一元二次不等式的解集.【詳解】因?yàn)榈慕饧癁?，所以，解得，所以，所以，解得，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法，難度較易.若一元二次不等式的解集為，則一元二次方程的兩個(gè)根為.6.若銳角滿意，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)得到，故，得到答案.【詳解】，故.故，故.銳角，，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和轉(zhuǎn)化實(shí)力.7.在中，已知的三邊a、b、c成等比數(shù)列，且c=2a，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由三邊a、b、c成等比數(shù)列，且，得，然后干脆套入余弦定理，即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)槿卆、b、c成等比數(shù)列，所以，又，則，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列與余弦定理的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求解實(shí)力.8.在中，已知面積，則角的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由面積公式和余弦定理化簡(jiǎn)條件可得，從而得解.【詳解】由，得，解得，又角為的內(nèi)角，所以.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理及面積公式求解三角形，屬于基礎(chǔ)題.9.在矩形中，，點(diǎn)在邊上，若，則的值為（）A.0 B. C.-4 D.4【答案】C【解析】分析】先建立平面直角坐標(biāo)系，求出B,E,F坐標(biāo)，再依據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)表示得結(jié)果.【詳解】如圖所示，．以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，為軸，為軸，則，因此，故選C.【點(diǎn)睛】平面對(duì)量數(shù)量積的類型及求法(1)求平面對(duì)量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式；三是利用數(shù)量積的幾何意義.(2)求較困難的平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn).10.已知正數(shù)、滿意，則的最小值為（）A. B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】由得，再將代數(shù)式與相乘，利用基本不等式可求出的最小值．【詳解】解：，所以，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，對(duì)代數(shù)式進(jìn)行合理配湊，是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．11.已知數(shù)列滿意，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由累加法，可得，然后借助函數(shù)的單調(diào)性，即可確定的最小值.【詳解】由題，得，所以，，因?yàn)殡p勾函數(shù)在遞減，在遞增，且，所以的最小值為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查利用累加法求通項(xiàng)公式以及借助函數(shù)的單調(diào)性確定數(shù)列的最小項(xiàng)，考查學(xué)生的分析問題與解決問題的實(shí)力.12.已知正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)遞增，則使得不等式對(duì)隨意都成立的的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式可得；依據(jù)單調(diào)遞增可知單調(diào)遞減，則要保證恒成立只需，從而解得結(jié)果.【詳解】由可得：，即單調(diào)遞增單調(diào)遞減對(duì)隨意，有的取值范圍為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠通過解不等式得到恒成立的條件，再結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性得到結(jié)果.二、填空題(本題包括4個(gè)小題，每小題5分，共20分)13.已知向量，，且，則實(shí)數(shù)______．【答案】0【解析】【分析】利用向量垂直的性質(zhì)干脆求解．詳解】解：向量，，且，，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要仔細(xì)審題，留意向量垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用．14.已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．【答案】（-4，2）【解析】試題分析：因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以考點(diǎn)：基本不等式求最值15.已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示，△EFG(點(diǎn)G是圖象的最高點(diǎn))是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則=______，f()＝________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】依據(jù)奇函數(shù)得到，依據(jù)，得到，，故，代入計(jì)算得到答案.【詳解】，函數(shù)為奇函數(shù)且，故，故.是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，故，故，，故.，故，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖像，求解析式，意在考查學(xué)生的識(shí)圖實(shí)力和計(jì)算實(shí)力.16.正整數(shù)數(shù)列滿意，已知，的前6項(xiàng)和的最大值為，把的全部可能取值從小到大排成一個(gè)新數(shù)列，全部項(xiàng)和為，則________.【答案】62【解析】【分析】依據(jù)分段數(shù)列和,倒過來依次分析的前5項(xiàng),即可求出和,從而求出答案.【詳解】正整數(shù)數(shù)列滿意,且,所以或1,再依次分析,則可得的前6項(xiàng)分別為:128,64,32,16,8,4;或21,64,32,16,8,4;或20,10,5,16,8,4;或3,10,5,16,8,4;或16,8,4,2,1,4;或2,1,4,2,1,4;因此,,,故答案為:62【點(diǎn)睛】本題考查分段數(shù)列的運(yùn)用,考查學(xué)生的計(jì)算推理實(shí)力,有肯定難度.三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.）17.已知數(shù)列滿意：，.（1）求，及通項(xiàng)；（2）設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列，，，…中哪一項(xiàng)最小？并求出這個(gè)最小值.【答案】（1），，；（2）最小，為【解析】【分析】（1）干脆計(jì)算得到，推斷數(shù)列為等差數(shù)列，計(jì)算得到答案.（2），，故最小，依據(jù)公式計(jì)算得到答案.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，，，.，故數(shù)列為首項(xiàng)是，公差為的等差數(shù)列，故.（2），故，，故最小，.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式，和的最值，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的敏捷運(yùn)用.18.已知關(guān)于的不等式.（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；（2）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式.【答案】（1）；（2）詳見解析【解析】【分析】（1）將不等式化為即可求得結(jié)果；（2）將不等式化為；當(dāng)時(shí)干脆求得；當(dāng)時(shí)，不等式變?yōu)?，?jì)算的兩根，依據(jù)兩根大小關(guān)系探討不等式解集；當(dāng)時(shí)，不等式變?yōu)?，依?jù)方程兩根大小關(guān)系即可得到解集.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，不等式可化為：不等式的解集為（2）不等式可化為：，（i）當(dāng)時(shí)，，解得：不等式解集為（ii）當(dāng)時(shí)，，的根為：，①當(dāng)時(shí)，不等式解集為②當(dāng)時(shí)，，不等式解集為③當(dāng)時(shí)，不等式解集為（iii）當(dāng)時(shí)：此時(shí)不等式解集為或【點(diǎn)睛】本題考查不含參數(shù)和含參數(shù)的一元二次不等式的求解問題；關(guān)鍵是能夠依據(jù)一元二次不等式和二次函數(shù)、一元二次方程之間的關(guān)系，分別在參數(shù)不同范圍的狀況下探討一元二次方程根的大小，從而得到解集；易錯(cuò)點(diǎn)是忽視了二次項(xiàng)系數(shù)為零的狀況，導(dǎo)致狀況不完整.19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若滿意，，，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)得到，取，解得答案.（2），解得，依據(jù)余弦定理得到，再用一次余弦定理解得答案.【詳解】（1）.取，解得.（2）,因?yàn)?，故?依據(jù)余弦定理：，..【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)單調(diào)性，余弦定理，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)學(xué)問的綜合應(yīng)用.20.合肥一中、六中為了加強(qiáng)溝通，增進(jìn)友情，兩校打算實(shí)行一場(chǎng)足球賽，由合肥一中版畫社的同學(xué)設(shè)計(jì)一幅矩形宣揚(yáng)畫，要求畫面面積為，畫面的上、下各留空白，左、右各留空白.（1）如何設(shè)計(jì)畫面的高與寬的尺寸，才能使宣揚(yáng)畫所用紙張面積最小?（2）設(shè)畫面的高與寬的比為，且，求為何值時(shí)，宣揚(yáng)畫所用紙張面積最小?【答案】（1）畫面的高，寬時(shí)所用紙張面積最??；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)畫面高為，寬為，紙張面積為，可得到，利用基本不等式可求得最小值，同時(shí)確定當(dāng)時(shí)取最小值，從而得到結(jié)果；（2）畫面高為，寬為，則，依據(jù)的范圍可知，依據(jù)（1）中的表達(dá)式，結(jié)合對(duì)號(hào)函數(shù)圖象可知時(shí)取最小值，從而得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)畫面高為，寬為，紙張面積為則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)即畫面的高為，寬為時(shí)所用紙張面積最小，最小值為：.（2）設(shè)畫面高為，寬為，則，又由（1）知：由對(duì)號(hào)函數(shù)性質(zhì)可知：在上單調(diào)遞減，即時(shí)，所用紙張面積最小【點(diǎn)睛】本題考查建立合適的函數(shù)模型解決實(shí)際問題，重點(diǎn)考查利用基本不等式、對(duì)號(hào)函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)最值的問題；關(guān)鍵是能夠建立起合適的函數(shù)模型，易錯(cuò)點(diǎn)是忽視了自變量的取值范圍，造成最值求解錯(cuò)誤.21.已知向量，，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的值域；（2）若對(duì)隨意，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)向量數(shù)量積，得到函數(shù)表達(dá)式，利用倍角公式、降冪公式，化簡(jiǎn)得，依據(jù)自變量x的范圍，求的值域．（2）利用換元法，令，轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的一元二次不等式．通過分別參數(shù)，結(jié)合基本不等式，求參數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以值域?yàn)椋?）令，，由（1）得，問題等價(jià)于，恒成立，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，恒成立，因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為2，故，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了利用降冪公式、倍角公式對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、求值，利用換元法、基本不等式等、分別參數(shù)法等解不等式，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．22.已知數(shù)列滿意我們知道當(dāng)a取不同的值時(shí)，得到不同的數(shù)列，如當(dāng)a＝1時(shí)，得到無窮數(shù)列：1，2，，…；當(dāng)a＝時(shí)，得到有窮數(shù)列：，﹣1，0.（1）求當(dāng)a為何值時(shí)；（2）設(shè)數(shù)