2022-2023學年山東省青島中學高二（下）期末數(shù)學試卷含答案

2022-2023學年山東省青島中學高二（下）期末數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）已知函數(shù)f（x）＝cos2x，則f（x）的導數(shù)f′（x）＝（）A．sin2x B．2sin2x C．﹣sin2x D．﹣2sin2x2．（5分）若C20x＝C203x﹣4，則實數(shù)x的值為（）A．2 B．4 C．6 D．2或63．（5分）如果一次伯努利試驗中，出現(xiàn)“成功”的概率為13，記6次獨立重復試驗中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X，則D（XA．23 B．43 C．24．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝2，am+n＝aman，則S5＝（）A．64 B．62 C．32 D．305．（5分）在（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）9的展開式中，x3的系數(shù)為（）A．120 B．210 C．720 D．50406．（5分）某質檢員從某生產線生產的零件中隨機抽取了一部分零件進行質量檢測，根據(jù)檢測結果發(fā)現(xiàn)這批零件的某一質量指數(shù)X服從正態(tài)分布N（50，9），且X落在[47，56]內的零件個數(shù)為81860，則可估計所抽取的零件中質量指數(shù)小于44的個數(shù)為（）（附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ﹣σ≤Z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤Z≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤Z≤μ+3σ）≈0.9973）A．270 B．2275 C．2410 D．45507．（5分）已知離散型隨機變量X的分布列為P（X＝n）=an+n+1（n＝1，2，……，15），其中a為常數(shù)，則A．12 B．23 C．348．（5分）甲、乙、丙3人準備前往A，B，C，D這4個景點游玩，其中甲和乙已經去過A景點，本次不再前往A景點游玩，若每個人都至少選擇1個景點但不超過3個景點游玩，則3人可組成的不同的游玩組合有（）A．735種 B．686種 C．540種 D．465種二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.（多選）9．（5分）下列命題正確的是（）A．回歸直線y?=b?B．在回歸直線方程y?=0.5x+2中，變量y?與C．變量x，y的樣本相關系數(shù)|r|越大，表示它們的線性相關性越強 D．在回歸分析中，殘差平方和越大，模型的擬合效果越好（多選）10．（5分）在某次數(shù)學測試中，學生的成績X～N（100，σ2）（σ＞0），則（）A．P（X＞100）＝0.5 B．若σ越大，則P（95＜X＜105）越大 C．P（X＞80）＝P（X＜120） D．P（80＜X＜90）＝P（120＜X＜130）（多選）11．（5分）已知(1+2x)A．a2＝144 B．a0C．a1D．ai（i＝0，1，2，??，8，9）的最大值為a6（多選）12．（5分）已知函數(shù)y＝f（x）是奇函數(shù)，對于任意的x∈(0，π2]滿足f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0（其中f′（x）是函數(shù)fA．3f(-π6)＜f(-C．f(π4)＞-三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知某學校高二年級有男生500人、女生450人，調查該年級全部男、女學生是否喜歡徒步運動的等高堆積條形圖如圖，現(xiàn)從所有喜歡徒步的學生中按分層抽樣的方法抽取24人，則抽取的女生人數(shù)為．14．（5分）在（a+2b+3c）5的展開式中，含a2b2c的系數(shù)為．15．（5分）某學校組織學生進行答題比賽，已知共有4道A類試題，8道B類試題，12道C類試題，學生從中任選1道試題作答，學生甲答對A，B，C這3類試題的概率分別為12，14，16．若學生甲答對了所選試題，則這道試題是B16．（5分）已知對任意x∈（1，+∞），不等式k(ekx+1)-(1x四、解答題：本題共6小題，共70分，其中第17題滿分70分，其它每道小題滿分70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）某商場為提高服務質量，隨機調查了50位男顧客和50位女顧客，每位顧客對該商場的服務給出滿意或者不滿意的評價，得到如表部分列聯(lián)表：滿意不滿意男顧客10女顧客15（1）分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率；（2）能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異？附：K2P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．（12分）設數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2an﹣n．（1）求{an}的通項公式；（2）證明：i=1n19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝6ex﹣3x2﹣ax．（1）若曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為5x﹣y+6＝0，求a；（2）若函數(shù)f（x）在R上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍．20．（12分）某單位組織員工進行排球娛樂比賽，比賽規(guī)則如下：比賽實行五局三勝制，任何一方率先贏下3局比賽時比賽結束，每一局比賽獲勝方得2分，失敗方得1分，甲，乙兩隊相互打比賽．已知甲隊每一局獲勝的概率均為23（1）求甲、乙兩隊3局結束比賽的概率；（2）記比賽結束時甲隊的得分為η，求η的分布列和期望．21．（12分）為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊計劃了解當?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測得了平均金屬含量y（單位：g/m3）與樣本對原點的距離x（單位：m）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計量的值．（表中ui=1xyui=19i=19i=19i=19i=19697.900.21600.1414.1226.13﹣1.40（Ⅰ）利用樣本相關系數(shù)的知識，判斷y＝a+bx與y=c+dx哪一個更適宜作為平均金屬含量y關于樣本對原點的距離（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結果回答下列問題：（i）建立y關于x的回歸方程；（ii）樣本對原點的距離x＝20時，金屬含量的預報值是多少？（Ⅲ）已知該金屬在距離原點x米時的平均開采成本W（單位：元）與x，y關系為W＝100（y﹣lnx）（1≤x≤100），根據(jù)（Ⅱ）的結果回答，x為何值時，開采成本最大？參考公式：（1）樣本相關系數(shù)r=（2）對于一組數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸直線y?=b?x+22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ln1x-ax2+x（（Ⅰ）討論f（x）的單調性；（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點x1，x2，證明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．

2022-2023學年山東省青島中學高二（下）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）已知函數(shù)f（x）＝cos2x，則f（x）的導數(shù)f′（x）＝（）A．sin2x B．2sin2x C．﹣sin2x D．﹣2sin2x【解答】解：f′（x）＝（cos2x）′＝﹣sin2x?（2x）′＝﹣2sin2x．故選：D．2．（5分）若C20x＝C203x﹣4，則實數(shù)x的值為（）A．2 B．4 C．6 D．2或6【解答】解：∵C20x＝C203x﹣4，∴x＝3x﹣4或x+3x﹣4＝20，解得x＝2或6，故選：D．3．（5分）如果一次伯努利試驗中，出現(xiàn)“成功”的概率為13，記6次獨立重復試驗中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X，則D（XA．23 B．43 C．2【解答】解：一次伯努利試驗中，出現(xiàn)“成功”的概率為13，則“不成功”的概率為2則完成6次獨立重復試驗，符合“二項分布”，即X～B（6，13D（X）＝nP（1﹣P）=6×1故選：B．4．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝2，am+n＝aman，則S5＝（）A．64 B．62 C．32 D．30【解答】解：am+n＝aman，令m＝1，則an+1＝a1an＝2an，數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故S5故選：B．5．（5分）在（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）9的展開式中，x3的系數(shù)為（）A．120 B．210 C．720 D．5040【解答】解：由題意可得x3的系數(shù)為C1+C故選：B．6．（5分）某質檢員從某生產線生產的零件中隨機抽取了一部分零件進行質量檢測，根據(jù)檢測結果發(fā)現(xiàn)這批零件的某一質量指數(shù)X服從正態(tài)分布N（50，9），且X落在[47，56]內的零件個數(shù)為81860，則可估計所抽取的零件中質量指數(shù)小于44的個數(shù)為（）（附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ﹣σ≤Z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤Z≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤Z≤μ+3σ）≈0.9973）A．270 B．2275 C．2410 D．4550【解答】解：由題意可知，P(47≤X≤56)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)+P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)則所抽取的零件總數(shù)為818600.8186故估計所抽取的零件中質量指數(shù)小于44的個數(shù)為100000×1-0.9545故選：B．7．（5分）已知離散型隨機變量X的分布列為P（X＝n）=an+n+1（n＝1，2，……，15），其中a為常數(shù)，則A．12 B．23 C．34【解答】解：P（X＝n）=a由分布列的性質可得，P（X＝1）+P（X＝2）+…+P（X＝15）=a(2-1+3-P（X≤8）＝P（X＝1）+P（X＝2）+…+P（X＝8）=a(2故選：B．8．（5分）甲、乙、丙3人準備前往A，B，C，D這4個景點游玩，其中甲和乙已經去過A景點，本次不再前往A景點游玩，若每個人都至少選擇1個景點但不超過3個景點游玩，則3人可組成的不同的游玩組合有（）A．735種 B．686種 C．540種 D．465種【解答】解：因為甲和乙已經去過A景點，本次不再前往A景點游玩，所以兩人可以從B，C，D這3個景點中，選擇1個，2個或3個去游玩，兩人的選擇方法均為：C3而丙的選擇方法有：C4所以3人可組成的不同的游玩組合有：7×7×14＝686（種）．故選：B．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.（多選）9．（5分）下列命題正確的是（）A．回歸直線y?=b?B．在回歸直線方程y?=0.5x+2中，變量y?與C．變量x，y的樣本相關系數(shù)|r|越大，表示它們的線性相關性越強 D．在回歸分析中，殘差平方和越大，模型的擬合效果越好【解答】解：對于A，回歸直線y?=b?x+對于B，在回歸直線方程y?=0.5x+2中，0.5＞0，所以變量y?與x對于C，變量x，y的樣本相關系數(shù)|r|越大，越靠近1，表示它們的線性相關性越強，C正確；對于D，在回歸分析中，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，D錯誤．故選：BC．（多選）10．（5分）在某次數(shù)學測試中，學生的成績X～N（100，σ2）（σ＞0），則（）A．P（X＞100）＝0.5 B．若σ越大，則P（95＜X＜105）越大 C．P（X＞80）＝P（X＜120） D．P（80＜X＜90）＝P（120＜X＜130）【解答】解：因為X～N（100，σ2）（σ＞0），所以P（X＞100）＝0.5，A正確；當σ＝5時，P（95＜X＜105）≈0.6827，當σ＝2.5時，P（95＜X＜105）≈0.9545，B不正確；因為80+120＝2×100，所以P（X＞80）＝P（X＜120），C正確；根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性P（80＜X＜90）＝P（110＜X＜120），D不正確．故選：AC．（多選）11．（5分）已知(1+2x)A．a2＝144 B．a0C．a1D．ai（i＝0，1，2，??，8，9）的最大值為a6【解答】解：A選項，根據(jù)二項展開式的通項，a2=CB選項，取x＝1代入等式，得到39＝a0+a1+a2+??+a8+a9，B選項正確；C選項，取x＝﹣1代入等式，得到﹣1＝a0﹣a1+a2﹣??+a8﹣a9，結合B選項a0兩式相加得a0+aD選項，根據(jù)二項展開式的通項，ai=C9i解得173≤i≤203，又i∈N，故i＝6，即a故選：ABD．（多選）12．（5分）已知函數(shù)y＝f（x）是奇函數(shù)，對于任意的x∈(0，π2]滿足f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0（其中f′（x）是函數(shù)fA．3f(-π6)＜f(-C．f(π4)＞-【解答】解：構造函數(shù)h(x)=f(x)sinx，則由已知有h（x）在(0，π又因為f（x）為奇函數(shù)，故h（x）為偶函數(shù)，故h（x）在[-π所以h(π6)＜h(π3由奇函數(shù)的性質可知，f(-π3)＜h(π4)＞h(又因為函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，故f(π6)=-f(-π6h(-π2)＞h(-π4)，化簡得故選：CD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知某學校高二年級有男生500人、女生450人，調查該年級全部男、女學生是否喜歡徒步運動的等高堆積條形圖如圖，現(xiàn)從所有喜歡徒步的學生中按分層抽樣的方法抽取24人，則抽取的女生人數(shù)為9．【解答】解：由等高堆積條形圖可得喜歡徒步的男生有500×0.6＝300人，喜歡徒步的女生有450×0.4＝180人．故喜歡徒步的總人數(shù)為300+180＝480人．按分層抽樣的方法抽取24人，則抽取的女生人數(shù)為180480故答案為：9．14．（5分）在（a+2b+3c）5的展開式中，含a2b2c的系數(shù)為360．【解答】解：把（a+2b+3c）5的展開式看成是5個因式（a+2b+3c）的乘積形式，展開式中，含a2b2c項的系數(shù)可以按如下步驟得到：第一步，從5個因式中任選2個因式，這2個因式取a，有C5第二步，從剩余的3個因式中任選2個因式，都取2b，有C3第三步，把剩余的1個因式中都取3c，有C1根據(jù)分步相乘原理，得含a2b2c項的系數(shù)是C5故答案為：360．15．（5分）某學校組織學生進行答題比賽，已知共有4道A類試題，8道B類試題，12道C類試題，學生從中任選1道試題作答，學生甲答對A，B，C這3類試題的概率分別為12，14，16．若學生甲答對了所選試題，則這道試題是B類試題的概率為【解答】解：設學生選1道A類試題為事件A，學生選1道B類試題為事件B，學生選1道C類試題為事件C，設學生答對試題為事件D，則P(A)=44+8+12=16P(D|A)=12，P(D|B)=1所以P(D)=1所以P(B|D)=P(BD)故答案為：1316．（5分）已知對任意x∈（1，+∞），不等式k(ekx+1)-(1x+1)lnx＞0恒成立，則正數(shù)【解答】解：因為對任意的x∈（1，+∞），不等式k?(e所以對任意的x∈（1，+∞），不等式kx（ekx+1）＞（1+x）lnx恒成立，令f（x）＝（1+x）lnx，則有f（ekx）＞f（x）對x∈（1，+∞）恒成立，又f′（x）＝lnx+1+x令h（x）＝lnx+1+x則h′（x）=1所以當x＞1時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增，所以h（x）＞h（1）＝2，即f′（x）＞2，所以f（x）在（1，+∞）上單調遞增，所以ekx＞x對x∈（1，+∞）上恒成立，即k＞lnxx對于x令g（x）=lnxx，則g′（x）所以當x＞e時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，當1＜x＜e時，g′（x）＞0，則g（x）單調遞增，所以g（x）的最大值為g（e）=1則k＞1所以正實數(shù)k的取值范圍為（1e故答案為：（1e四、解答題：本題共6小題，共70分，其中第17題滿分70分，其它每道小題滿分70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）某商場為提高服務質量，隨機調查了50位男顧客和50位女顧客，每位顧客對該商場的服務給出滿意或者不滿意的評價，得到如表部分列聯(lián)表：滿意不滿意男顧客4010女顧客3515（1）分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率；（2）能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異？附：K2P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解答】解：（1）由題意可知，50位男顧客對商場服務滿意的有40人，所以男顧客對該商場服務滿意的概率估計為4050因為50位女顧客對商場服務滿意的有35人，所以女顧客對該商場服務滿意的概率估計為3550（2）由題意可得列聯(lián)表為滿意不滿意合計男顧客401050女顧客351550合計7525100所以K2所以沒有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異．18．（12分）設數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2an﹣n．（1）求{an}的通項公式；（2）證明：i=1n【解答】（1）解：已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2an﹣n，則當n＝1時，S1＝2a1﹣1，即a1＝1，當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（2an﹣n）﹣（2an﹣1﹣n+1）＝2an﹣2an﹣1﹣1，即an＝2an﹣1+1，即an+1＝2（an﹣1+1），又a1+1＝2，即數(shù)列{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，即an即an=2n-1，（2）證明：由（1）可得：1a則i=1n故命題得證．19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝6ex﹣3x2﹣ax．（1）若曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為5x﹣y+6＝0，求a；（2）若函數(shù)f（x）在R上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）因為f（x）＝6ex﹣3x2﹣ax，所以f'（x）＝6ex﹣6x﹣a，因為曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為5x﹣y+6＝0，所以f'（0）＝5，即6﹣a＝5，解得a＝1．（2）因為f'（x）＝6ex﹣6x﹣a，又函數(shù)f（x）在R上單調遞增，所以f'（x）＝6ex﹣6x﹣a≥0恒成立，即a≤6ex﹣6x在R上恒成立，令g（x）＝6ex﹣6x，x∈R，則g'（x）＝6ex﹣6＝6（ex﹣1），所以當x＞0時g'（x）＞0，當x＜0時g'（x）＜0，所以g（x）在（﹣∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，所以g（x）在x＝0處取得極小值即最小值，即g（x）min＝g（0）＝6，所以a≤6，即實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，6]．20．（12分）某單位組織員工進行排球娛樂比賽，比賽規(guī)則如下：比賽實行五局三勝制，任何一方率先贏下3局比賽時比賽結束，每一局比賽獲勝方得2分，失敗方得1分，甲，乙兩隊相互打比賽．已知甲隊每一局獲勝的概率均為23（1）求甲、乙兩隊3局結束比賽的概率；（2）記比賽結束時甲隊的得分為η，求η的分布列和期望．【解答】解：（1）根據(jù)題意可知，若甲、乙兩隊3局結束比賽，則甲贏三局或甲輸三局，所以P=2故甲、乙兩隊3局結束比賽的概率為13（2）根據(jù)題意可知，η的可能取值為3，5，6，7，8，則P(η=3)=1P(η=5)=CP(η=6)=2P(η=7)=CP(η=8)=C所以η的分布列為：η35678P12722782732811681則E(η)=3×121．（12分）為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊計劃了解當?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測得了平均金屬含量y（單位：g/m3）與樣本對原點的距離x（單位：m）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計量的值．（表中ui=1xyui=19i=19i=19i=19i=19697.900.21600.1414.1226.13﹣1.40（Ⅰ）利用樣本相關系數(shù)的知識，判斷y＝a+bx與y=c+dx哪一個更適宜作為平均金屬含量y關于樣本對原點的距離（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結果回答下列問題：（i）建立y關于x的回歸方程；（ii）樣本對原點的距離x＝20時，金屬含量的預報值是多少？（Ⅲ）已知該金屬在距離原點x米時的平均開采成本W（單位：元）與x，y關系為W＝100（y﹣lnx）（1≤x≤100），根據(jù)（Ⅱ）的結果回答，x為何值時，開采成本最大？參考公式：（1）樣本相關系數(shù)r=（2）對于一組數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸直線y?=b?x+【解答】解：（I）y＝a+bx的線性相關系數(shù)r1=i=1y＝c+dx的線性相關系數(shù)r2∵|r1|＜|r2|，∴y＝c+dx更適宜作為平均金屬含量y關于樣本對原點的距離（II）（i）β?α?∴y?=100﹣10u＝100∴y關于x的回歸方程為y?=100（ii）當x＝20時，金屬含量的預報值為y?=100-1020=99.5（III）W＝1000（y﹣lnx）＝1000（100-10x令f（x）＝100-10x-lnx，則f′（x當1≤x＜10時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；當10＜x≤100時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，∴f（x）在x＝10處取得極大值，也是最大值，此時W取得最大值，故x為10時，開采成本最大．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ln1x-ax2+x（（Ⅰ）討論f（x）的單調性；（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點x1，x2，證明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．【解答】解：（I）函數(shù)f（x）的定義域為（0，﹣∞），f′（x）=-1x-2a＞0，設g（x）＝﹣2ax2+x﹣1，Δ＝1﹣8a，（1）當a≥18，△≤0，g（∴f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞減，（2）當0＜a＜18時，Δ＞0，f′（x）＝0可得x1=1-1-8a4a若f′（x）＞0可得x1＜x＜x2，f（x）為增函數(shù)，若f′（x）＜0，可得0＜x＜x1或x＞x2，f（x）為減函數(shù)，∴函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（0，x1），（x2，+∞）；增區(qū)間為（x1，x2）；（II）由（I）當0＜a＜18，函數(shù)f（x）有兩個極值點x1，x∴x1+x2=12a，x1x2f（x1）+f（x2）＝﹣lnx1﹣ax12+x1﹣lnx2﹣ax22+x2＝﹣ln（x1x2）﹣a（x12+x22）+（x1+x2）＝﹣ln（x1x2）﹣a（x1+x2）2+2ax1x2+（x1+x2）＝﹣ln12a-a×14a2+2a×12a=設h（a）＝lna+14ah′（a）=1a-1所以h（a）在（0，18h（a）＞h（18）＝ln18+1所以f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2；2022-2023學年山東省煙臺市高二（下）期末數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1．（5分）若函數(shù)f（x）＝sinxcosx，則f′（x）＝（）A．sin2x B．﹣sin2x C．cos2x D．﹣cos2x2．（5分）已知全集U＝R，A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|0≤x＜2}，則圖中陰影部分表示的集合為（）A．{x|﹣3＜x＜0} B．{x|﹣3＜x≤0} C．{x|﹣3＜x＜2} D．{x|0≤x＜1}3．（5分）若p：實數(shù)a使得“?x0∈R，x02+2x0+a=0”為真命題，q：實數(shù)a使得“?x∈[1，+∞），x2﹣A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（5分）某銀行擬面向部分科創(chuàng)小微企業(yè)開展貸款業(yè)務．調查數(shù)據(jù)表明，科創(chuàng)小微企業(yè)的貸款實際還款比例P（x）關于其年收入x（單位：萬元）的函數(shù)模型為P(x)=e-0.5+kx1+e-0.5+kxA．14萬元 B．16萬元 C．18萬元 D．20萬元5．（5分）函數(shù)f（x）＝ln|x﹣1|﹣ln|x+1|的部分圖象大致為（）A． B． C． D．6．（5分）已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)=4-2x+2A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．47．（5分）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）＝f（x），y＝f（x+1）是偶函數(shù)，若f（x）在（0，1）上單調遞增，a＝f（ln2），b=f(-e)，A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a8．（5分）已知函數(shù)f（x）＝（x+1）ex，若函數(shù)F（x）＝f2（x）﹣mf（x）+m﹣1有三個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍為（）A．(-1e2，0)C．(1-1e2二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．（多選）9．（5分）已知a＝log212，b＝log318，則（）A．a＜b B．（a﹣2）（b﹣2）＝1 C．a+b＜7 D．ab＞9（多選）10．（5分）已知函數(shù)f(x)=xA．f（x）有極大值﹣4 B．f（x）在（﹣∞，0）上單調遞增 C．f（x）的圖象關于點（1，﹣2）中心對稱 D．對?x1，x2∈（1，+∞），都有f(（多選）11．（5分）對于函數(shù)f（x），若在其定義域內存在x0使得f（x0）＝x0，則稱x0為函數(shù)f（x）的一個“不動點”，下列函數(shù)存在“不動點”的有（）A．f(x)=2x2+14 B．f（x）＝C．f（x）＝ex﹣1﹣2lnx D．f(x)=lnx-（多選）12．（5分）關于曲線f（x）＝lnx和g(x)=aA．無論a取何值，兩曲線都有公切線 B．若兩曲線恰有兩條公切線，則a=-1C．若a＜﹣1，則兩曲線只有一條公切線 D．若-1三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）寫出一個同時具有下列性質的函數(shù)f（x）＝．①f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）；②f（x）為增函數(shù)．14．（5分）若函數(shù)f（x）＝x2﹣x+alnx在（1，+∞）上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍為．15．（5分）已知函數(shù)f(x)=ex+a，x≤0ln(x+3a)，x＞0，若方程f（x）＝1有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)16．（5分）若f（x）是區(qū)間[a，b]上的單調函數(shù)，滿足f（a）＜0，f（b）＞0，且f″（x）＞0（f″（x）為函數(shù)f′（x）的導數(shù)），則可用牛頓切線法求f（x）＝0在區(qū)間[a，b]上的根ξ的近似值：取初始值x0＝b，依次求出y＝f（x）圖象在點（xk﹣1，f（xk﹣1））處的切線與x軸交點的橫坐標xk（k＝1，2，3，…），當xk與ξ的誤差估計值|f(xk)|m（m為|f′（x）|（x∈[a，b]）的最小值）在要求范圍內時，可將相應的xk作為ξ的近似值．用上述方法求方程x3+2x﹣1＝0在區(qū)間[0，34]上的根的近似值時，若誤差估計值不超過0.01，則滿足條件的k的最小值為四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知集合A＝{x|a﹣3＜x＜2a+1}，B＝{x|x2+3x﹣10≤0}．（1）當a＝1時，求A∩B；（2）若A∪B＝B，求實數(shù)a的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ax3+bx2+2x，f′（x）＞0的解集為（﹣∞，1）∪（2，+∞）．（1）求a，b的值；（2）若g（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≤0時，g（x）＝f（x），求不等式g（2x﹣3）+g（x）＞0的解集．19．（12分）若函數(shù)f（x）＝aex+bx﹣1在x＝0處取得極小值0．（1）求f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程；（2）若不等式f（x）+f（2x）≥3x+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣lnx．（1）討論函數(shù)f（x）的單調性；（2）證明：當0＜a＜1時，?x∈（0，+∞），使得f（x）＜3a﹣a2﹣ln2．21．（12分）某物流公司計劃擴大公司業(yè)務，但總投資不超過100萬元，市場調查發(fā)現(xiàn)，投入資金x（萬元）和年增加利潤y（萬元）近似滿足如下關系y=90+2x-3（1）若該公司投入資金不超過40萬元，能否實現(xiàn)年增加利潤30萬元？（2）如果你是該公司經營者，你會投入多少資金？請說明理由．22．（12分）已知函數(shù)f(x)=xlnx+1（1）求函數(shù)f（x）的零點個數(shù)；（2）若g（x）＝（x﹣1）ex﹣af（x）有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍．

2022-2023學年山東省煙臺市高二（下）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1．（5分）若函數(shù)f（x）＝sinxcosx，則f′（x）＝（）A．sin2x B．﹣sin2x C．cos2x D．﹣cos2x【解答】解：f（x）＝sinxcosx，則f'（x）＝（sinx）'cosx+sinx（cosx）'＝cos2x﹣sin2x＝cos2x．故選：C．2．（5分）已知全集U＝R，A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|0≤x＜2}，則圖中陰影部分表示的集合為（）A．{x|﹣3＜x＜0} B．{x|﹣3＜x≤0} C．{x|﹣3＜x＜2} D．{x|0≤x＜1}【解答】解：根據(jù)韋恩圖，陰影部分表達的是集合A中不屬于集合B的元素組成的集合，又A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|0≤x＜2}，故陰影部分表示的集合為{x|﹣3＜x＜0}．故選：A．3．（5分）若p：實數(shù)a使得“?x0∈R，x02+2x0+a=0”為真命題，q：實數(shù)a使得“?x∈[1，+∞），x2﹣A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：對于p：?x0∈R，x0所以Δ＝4﹣4a≥0，即a≤1．對于q：?x∈[1，+∞），x2﹣a＞0，因為函數(shù)y＝x2﹣a在[1，+∞）上單調遞增，所以當x＝1時，（x2﹣a）min＝1﹣a，則1﹣a＞0，即a＜1．所以p是q的必要不充分條件．故選：B．4．（5分）某銀行擬面向部分科創(chuàng)小微企業(yè)開展貸款業(yè)務．調查數(shù)據(jù)表明，科創(chuàng)小微企業(yè)的貸款實際還款比例P（x）關于其年收入x（單位：萬元）的函數(shù)模型為P(x)=e-0.5+kx1+e-0.5+kxA．14萬元 B．16萬元 C．18萬元 D．20萬元【解答】解：由題意可知P(10)=e∴e﹣0.5+10k＝1，得k＝0.05，∴P(x)=e令P(x)=e得5e﹣0.5+0.05x＝3（1+e﹣0.5+0.05x），得e-0.5+0.05x取對數(shù)得-0.5+0.05x=ln得x=ln3-ln2+0.5故選：C．5．（5分）函數(shù)f（x）＝ln|x﹣1|﹣ln|x+1|的部分圖象大致為（）A． B． C． D．【解答】解：由|x-1|＞0|x+1|＞0，得x所以函數(shù)f（x）的定義域為（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞），關于原點對稱，又f（﹣x）＝ln|﹣x﹣1|﹣ln|﹣x+1|＝ln|x+1|﹣ln|x﹣1|＝﹣f（x），所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，故排除CD選項；當x=12時，函數(shù)當x=-12時，函數(shù)f(x)=ln3故選：A．6．（5分）已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)=4-2x+2A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【解答】解：由于log24由于f（x）為奇函數(shù)，所以f(logf(log所以g(logf(g(log故選：C．7．（5分）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）＝f（x），y＝f（x+1）是偶函數(shù)，若f（x）在（0，1）上單調遞增，a＝f（ln2），b=f(-e)，A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a【解答】解：因為在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）＝f（x），所以f（x）的周期為2，則b=f(-e)=f(2-e又因為2-e1＞ln2＞lne=所以0＜2-e又因為f（x）在（0，1）上單調遞增，于是f(2-e所以b＜c＜a．故選：D．8．（5分）已知函數(shù)f（x）＝（x+1）ex，若函數(shù)F（x）＝f2（x）﹣mf（x）+m﹣1有三個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍為（）A．(-1e2，0)C．(1-1e2【解答】解：函數(shù)f（x）＝（x+1）ex的定義域為R，求導得f′（x）＝（x+2）ex，當x＜﹣2時，f′（x）＜0，當x＞﹣2時，f′（x）＞0，因此函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣2）上單調遞減，在（﹣2，+∞）上單調遞增，f(x)min=f(-2)=-1e2，且由F（x）＝0，得[f（x）﹣1][f（x）﹣m+1]＝0，即f（x）＝1或f（x）＝m﹣1，由f（x）＝1，得x＝0，于是函數(shù)F（x）有3個不同零點，當且僅當方程f（x）＝m﹣1有2個不同的解，即直線y＝m﹣1與y＝f（x）圖象有2個公共點，在同一坐標系內作出直線y＝m﹣1與y＝f（x）的圖象，如圖，觀察圖象知，當-1e2＜m-1＜0，即1-1e2＜m＜1時，直線y＝所以實數(shù)m的取值范圍為(1-1故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．（多選）9．（5分）已知a＝log212，b＝log318，則（）A．a＜b B．（a﹣2）（b﹣2）＝1 C．a+b＜7 D．ab＞9【解答】解：對于A，因為a＝log212＞log28＝3，b＝log318＜log327＝3，所以a＞b，故A錯誤；對于B，因為a＝log212＝log23+log24＝log23+2，即a﹣2＝log23，b＝log318＝log32+log39＝log32+2，即b﹣2＝log32，所以（a﹣2）（b﹣2）＝log23×log32＝1，故B正確；對于C，因為a＝log212＜log216＝4，由A選項知，b＜3，所以a+b＜7，故C正確；對于D，由B選項知，a＝log23+2，b＝log32+2，因為log23≠log32，且log23＞log21＝0，log32＞log31＝0，所以ab=(log即ab＞9，故D正確．故選：BCD．（多選）10．（5分）已知函數(shù)f(x)=xA．f（x）有極大值﹣4 B．f（x）在（﹣∞，0）上單調遞增 C．f（x）的圖象關于點（1，﹣2）中心對稱 D．對?x1，x2∈（1，+∞），都有f(【解答】解：對于A：f（x）=x21-x的定義域為{xf′（x）=2x?(1-x)-(-1)?令f′（x）＝0得x＝0或2，所以在（﹣∞，0）上f′（x）＜0，f（x）單調遞減，在（0，1）上f′（x）＞0，f（x）單調遞增，在（1，2）上f′（x）＞0，f（x）單調遞增，在（2，+∞）上f′（x）＜0，f（x）單調遞減，所以當x＝2時，f（x）極大值＝f（2）＝﹣4，故A正確；對于B：由上可知f（x）在（﹣∞，0）上單調遞減，故B錯誤；對于C：f（1﹣x）+f（1+x）=(1-x所以f（x）關于點（1，﹣2）對稱，故C正確；對于D：由（1）知f′（x）=-所以f″（x）=(-2x+2)(1-x當x＞1時，f″（x）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上向下凸，所以對?x1，x2∈（1，+∞），都有f(x1+故選：ACD．（多選）11．（5分）對于函數(shù)f（x），若在其定義域內存在x0使得f（x0）＝x0，則稱x0為函數(shù)f（x）的一個“不動點”，下列函數(shù)存在“不動點”的有（）A．f(x)=2x2+14 B．f（x）＝C．f（x）＝ex﹣1﹣2lnx D．f(x)=lnx-【解答】解：A：f（x）定義域為R，f(x)=2x2+14=x，則B：f（x）定義域為R，f（x）＝ex﹣3x＝x，記g（x）＝ex﹣4x，則g（x）的圖象是連續(xù)不斷的曲線，g（0）＝1＞0，g（1）＝e﹣4＜0，根據(jù)零點存在性定理可知g（x）在（0，1）存在零點，故B正確，C：f（x）定義域為（0，+∞），f（x）＝ex﹣1﹣2lnx＝x，由于f（1）＝e0﹣0＝1，所以x＝1是f（x）的一個不動點，故C正確，D：f（x）的定義域為（0，+∞），f(x)=lnx-2x=x，令F(x)=lnx-故當x＞2時，f′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調遞減，當0＜x＜2時，f′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調遞增，故當x＝2時，F(xiàn)（x）取極大值也是最大值，故F（x）≤F（2）＝ln2﹣3＜0，故f(x)=lnx-2x=x故選：BC．（多選）12．（5分）關于曲線f（x）＝lnx和g(x)=aA．無論a取何值，兩曲線都有公切線 B．若兩曲線恰有兩條公切線，則a=-1C．若a＜﹣1，則兩曲線只有一條公切線 D．若-1【解答】解：不妨設曲線f（x）＝lnx和g(x)=ax(a≠0)的公切線分別與兩曲線相切于（m，lnm）（m因為f′(x)=1x，所以f′(m)=1m，此時公切線的方程為y-lnm=1即y=1也可以為y-a即y=-a所以1m整理得ln(-n所以lnn當a＞0時，﹣a＜0，此時上述式子無意義，則兩曲線沒有公切線，故選項A錯誤；不妨設F(n)=lnn此時F(n)=2lnn-2a可得F′(n)=2當0＜n＜﹣a時，F(xiàn)′（n）＜0；當n＞﹣a時，F(xiàn)′（n）＞0，所以函數(shù)F（n）在（0，﹣a）上單調遞減，在（﹣a，+∞）上單調遞增，則F（n）min＝F（﹣a）＝2ln（﹣a）+2﹣ln（﹣a）﹣1＝ln（﹣a）+1，當F（﹣a）＝ln（﹣a）+1＜0，即-1e＜a＜0時，F(xiàn)此時方程lnn2-當F（﹣a）＝ln（﹣a）+1＝0，即a=-1e時，F(xiàn)（此時方程lnn2-當F（﹣a）＝ln（﹣a）+1＞0，即a＜-1e時，F(xiàn)（此時方程lnn2-不妨設F(n)=lnn此時F(n)=2ln(-n)-2a得到F′(n)=2所以函數(shù)F（n）在（﹣∞，0）上單調遞減，當n→﹣∞時，2ln（﹣n）→+∞，-2a所以F（n）→+∞，當n→0時，2ln（﹣n）→﹣∞，-2a所以F（n）→﹣∞，易知函數(shù)F（n）在（﹣∞，0）上一定存在n0使得F（n0）＝0，即方程lnn2-綜上所述，當a=-1e時，有兩條公切線，故選項當a＜-1又-1＜-1所以當a＜﹣1時，只有一條公切線，故選項C正確；當-1因為-1所以當-1e2故選：BCD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）寫出一個同時具有下列性質的函數(shù)f（x）＝log2x．①f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）；②f（x）為增函數(shù)．【解答】解：取f（x）＝log2x，該函數(shù)的定義域為（0，+∞），對任意的x1、x2∈（0，+∞），f（x1x2）＝log2（x1x2）＝log2x1+log2x2＝f（x1）+f（x2），即f（x）＝log2x滿足①；又因為函數(shù)f（x）＝log2x為定義域（0，+∞）上的增函數(shù)，即f（x）＝log2x滿足②．故函數(shù)f（x）＝log2x滿足條件．故答案為：log2x（形如f（x）＝logax（a＞1）都可以，答案不唯一）．14．（5分）若函數(shù)f（x）＝x2﹣x+alnx在（1，+∞）上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍為[﹣1，+∞）．【解答】解：因為f（x）＝x2﹣x+alnx，x＞1，所以f′(x)=2x-1+a又函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調遞增，所以f′(x)=2x2-x+a即a≥﹣2x2+x在x∈（1，+∞）上恒成立，令g（x）＝﹣2x2+x，對稱軸為直線x=1所以函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調遞減，所以g（x）＜g（1）＝﹣1，所以a≥﹣1，即實數(shù)a的取值范圍為[﹣1，+∞）．故答案為：[﹣1，+∞）．15．（5分）已知函數(shù)f(x)=ex+a，x≤0ln(x+3a)，x＞0，若方程f（x）＝1有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為【解答】解：當x≤0時，0＜ex≤1，則a＜f（x）≤1+a，若a＞0，當x＞0時，f（x）＝ln（x+3a）＞ln3a，因為方程f（x）＝1有兩個不相等的實數(shù)根，如圖，所以a＞0a＜1≤1+aln3a＜1，即若a≤0，當x＞0時，f（x）＝ln（x+3a），此時方程f（x）＝1有1個解，如圖，當x≤0時，方程f（x）＝1有1個解需滿足a≤0a＜1≤1+a，即a綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為[0，e故答案為：[0，e16．（5分）若f（x）是區(qū)間[a，b]上的單調函數(shù)，滿足f（a）＜0，f（b）＞0，且f″（x）＞0（f″（x）為函數(shù)f′（x）的導數(shù)），則可用牛頓切線法求f（x）＝0在區(qū)間[a，b]上的根ξ的近似值：取初始值x0＝b，依次求出y＝f（x）圖象在點（xk﹣1，f（xk﹣1））處的切線與x軸交點的橫坐標xk（k＝1，2，3，…），當xk與ξ的誤差估計值|f(xk)|m（m為|f′（x）|（x∈[a，b]）的最小值）在要求范圍內時，可將相應的xk作為ξ的近似值．用上述方法求方程x3+2x﹣1＝0在區(qū)間[0，34]上的根的近似值時，若誤差估計值不超過0.01，則滿足條件的k的最小值為2，相應的【解答】解：設f（x）＝x3+2x﹣1，則f′（x）＝3x2+2，f″（x）＝6x，當x∈(0，3故可用牛頓切線法求f（x）＝0在區(qū)間[a，b]上的根ξ的近似值．由于|f′（x）|＝3x2+2在x∈[0，3所以|f′（x）|≥2，所以|f′（x）|的最小值為2，即m＝2，y＝f（x）圖象在點（xk﹣1，f（xk﹣1））處的切線方程為：y=(3x化簡得y=(3x令y＝0，則xk由于x0所以x1x2所以f(x1)=f(f(x2)=f(故x2作為ξ的近似值，故答案為：2；511四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知集合A＝{x|a﹣3＜x＜2a+1}，B＝{x|x2+3x﹣10≤0}．（1）當a＝1時，求A∩B；（2）若A∪B＝B，求實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）當a＝1時，A＝{x|﹣2＜x＜3}，而B＝{x|x2+3x﹣10≤0}＝{x|﹣5≤x≤2}，所以A∩B＝{x|﹣2＜x≤2}．（2）因為A∪B＝B，所以A?B，當A＝?時，a﹣3≥2a+1，即a≤﹣4，此時滿足A?B；當A≠?時，要使A?B成立，則需滿足a-3＜2a+1a-3≥-52a+1≤2，解得綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤﹣4或-2≤a≤118．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ax3+bx2+2x，f′（x）＞0的解集為（﹣∞，1）∪（2，+∞）．（1）求a，b的值；（2）若g（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≤0時，g（x）＝f（x），求不等式g（2x﹣3）+g（x）＞0的解集．【解答】解：（1）因為f（x）＝ax3+bx2+2x，所以f′（x）＝3ax2+2bx+2，又f′（x）＞0的解集為（﹣∞，1）∪（2，+∞），所以1和2是方程3ax2+2bx+2＝0的兩個根，且a＞0，所以1+2=-2b解得a=13，（2）由（1）知，f(x)=1由題意，當x≤0時，g(x)=f(x)=1則g′（x）＝x2﹣3x+2＞0，所以函數(shù)g（x）在（﹣∞，0]上單調遞增，又g（x）是定義在R上的奇函數(shù)，g（0）＝0，所以函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調遞增，所以函數(shù)g（x）在R上單調遞增．由g（2x﹣3）+g（x）＞0，得g（2x﹣3）＞﹣g（x）＝g（﹣x），所以2x﹣3＞﹣x，即x＞1，所以不等式g（2x﹣3）+g（x）＞0的解集為（1，+∞）．19．（12分）若函數(shù)f（x）＝aex+bx﹣1在x＝0處取得極小值0．（1）求f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程；（2）若不等式f（x）+f（2x）≥3x+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【解答】解：（1）因為f（x）＝aex+bx﹣1，則f′（x）＝aex+b，因為函數(shù)f（x）在x＝0處取得極小值0，則f(0)=a-1=0f′(0)=a+b=0解得a=1b=-1此時f（x）＝ex﹣x﹣1，則f′（x）＝ex﹣1，由f′（x）＜0可得x＜0，由f′（x）＞0可得x＞0，所以函數(shù)f（x）的減區(qū)