江西省2025屆高三數(shù)學上學期第二次大聯(lián)考試題文含解析

PAGE18-江西省2025屆高三數(shù)學上學期其次次大聯(lián)考試題文（含解析）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）留意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合A，干脆進行集合的交集運算.【詳解】因為，所以.故選：A【點睛】本題考查集合的交集，考查運算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】干脆依據(jù)復數(shù)的乘法法則運算即可.【詳解】.故選：B【點睛】本題考查復數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.3.已知函數(shù)，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】分析】結(jié)合分段函數(shù)解析式,先求出,進而可求出.【詳解】由題意可得，則.故選:C.【點睛】本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),考查運算求解實力,屬于基礎(chǔ)題.4.已知向量滿意，那么與的夾角為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將平方后將代入整理即可得到夾角.【詳解】由，得,即,又，所以cosθ＝﹣，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故選C．【點睛】本題考查向量的模的運算及向量的夾角，屬簡潔題5.若函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用奇函數(shù)滿意列出方程求出，從而求得函數(shù)解析式，代入值求解即可.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，即，整理得，解得，則，故.故選：A【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.6.在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠，“放牧人馬虎大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛馬羊，要求賠償五斗糧，三畜戶主愿賠償，牛馬羊吃得異樣．馬吃了牛的一半，羊吃了馬的一半．”請問各畜賠多少？它的大意是放牧人放牧時馬虎大意，牛、馬、羊偷吃青苗，青苗主子扣住牛、馬、羊向其主子要求賠償五斗糧食（1斗=10升），三畜的主子同意賠償，但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同．馬吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是馬的一半．問羊、馬、牛的主子應當分別向青苗主子賠償多少升糧食？（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,易知成等比數(shù)列,,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求出答案.【詳解】設(shè)羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,則成等比數(shù)列,且公比,則,故,,.故選:D.【點睛】本題考查數(shù)列與數(shù)學文化,考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了學生的運算求解實力,屬于基礎(chǔ)題.7.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，則，，通過三角函數(shù)誘導公式及二倍角公式進行化簡求值即可.【詳解】設(shè)，則，，故.故選：B【點睛】本題考查三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題.8.已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù).設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用偶函數(shù)的對稱性分析函數(shù)的單調(diào)性，利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較出的大小關(guān)系從而比較函數(shù)值的大小關(guān)系.【詳解】由題意可知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).因為，，，所以，故.故選：A【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的奇偶性及對稱性推斷函數(shù)值的大小關(guān)系，涉及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.9.如圖，在底面邊長為4，側(cè)棱長為6的正四棱錐中，為側(cè)棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先通過作平行的協(xié)助線確定異面直線與所成角的平面角，在中利用余弦定理求出進而求出CE，再在中利用余弦定理即可得解.【詳解】如圖，取的中點，的中點，的中點，連接，，，，則，，從而四邊形是平行四邊形，則，且因為是的中點，是的中點，所以為的中位線，所以，則是異面直線與所成的角.由題意可得，.在中，由余弦定理可得，則，即.在中，由余弦定理可得.故選：D【點睛】本題考查異面直線所成的角，余弦定理解三角形，屬于中檔題.10.給出下列三個命題：①“”的否定；②在中，“”是“”的充要條件；③將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．其中假命題的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】結(jié)合不等式、三角函數(shù)的性質(zhì),對三個命題逐個分析并推斷其真假,即可選出答案.【詳解】對于命題①,因為,所以“”是真命題,故其否定是假命題,即①是假命題;對于命題②,充分性:中,若,則,由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命題②正確;對于命題③,將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,可得到的圖象,即命題③是假命題．故假命題有①③.故選:C【點睛】本題考查了命題真假的推斷,考查了余弦函數(shù)單調(diào)性的應用,考查了三角函數(shù)圖象的平移變換,考查了學生的邏輯推理實力,屬于基礎(chǔ)題.11.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】由,可得,結(jié)合在上單調(diào)遞增,易得,即可求出的范圍.【詳解】由,可得,時,,而,又在上單調(diào)遞增,且,所以,則,即,故.故選:B.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性的應用,考查了學生的邏輯推理實力,屬于基礎(chǔ)題.12.已知函數(shù)恰有三個零點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】函數(shù)的零點等價于與的圖像的交點個數(shù)，分析兩函數(shù)圖像的交點將問題轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個不同的解，利用導數(shù)求出的最大值即可得解.【詳解】若，則，函數(shù)在R上無零點，不滿意題意，，函數(shù)的零點個數(shù)即與的圖像的交點個數(shù).因為與的圖像在上有且只有一個交點，所以與的圖像在上有兩個交點，又等價于，即，記，則，令，解得，令，解得，所以，故，即.故選：B【點睛】本題考查函數(shù)與方程，利用導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性及最值，屬于較難題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.函數(shù)的微小值是______.【答案】【解析】【分析】求出導數(shù)，由導數(shù)的符號推斷函數(shù)的單調(diào)性從而找到微小值點，代入解析式求出函數(shù)值即可.【詳解】，，令，解得，當時，，當時，.故在處取得微小值，微小值為.故答案為：【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的微小值，屬于基礎(chǔ)題.14.若實數(shù)x，y滿意約束條件，則的最大值為________.【答案】3【解析】【分析】作出可行域,可得當直線經(jīng)過點時,取得最大值,求解即可.【詳解】作出可行域（如下圖陰影部分）,聯(lián)立,可求得點,當直線經(jīng)過點時,.故答案為:3.【點睛】本題考查線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想,屬于基礎(chǔ)題.15.記等差數(shù)列和的前項和分別為和，若，則______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意設(shè)，，利用等差數(shù)列的性質(zhì)(若則)可得，，從而求得比值.【詳解】因為，所以可設(shè)，，，，，，故.故答案為：【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.16.在四面體中，，.球是四面體的外接球，過點作球的截面，若最大的截面面積為，則四面體的體積是______.【答案】【解析】【分析】將四面體補成一個長方體，過點A的最大截面面積為大圓面積可求出外接球的半徑，代入長方體的外接球的直徑計算公式()求出長方體的高，用長方體的體積減去三個相同的三棱錐的體積即為所求?！驹斀狻咳鐖D，因為，，所以該長方體的長和寬都是4，設(shè)該長方體的高為，球的半徑為，則，因為過點作球的截面，最大的截面面積為，所以，則，故四面體的體積是.故答案為：【點睛】本題考查簡潔幾何體的外接球，球的截面，屬于中檔題.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，角，，的對邊分別為，，，且.（1）證明：.（2）若，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）或【解析】【分析】(1)利用正弦定理進行角化邊并用a、b表示c，代入余弦定理即可得解；(2)由(1)中所得等式化簡為用a,c表示b，由余弦定理可得關(guān)于a、c的齊次式，利用所得齊次式即可求得.【詳解】（1）證明：因為，所以，整理得，即.由余弦定理可得，則.（2）由（1）可得，即，則，整理得，即，則或.因為，所以，則的值為或.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.18.已知首項為2的數(shù)列滿意.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列．（2）令，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）由原式可得,等式兩端同時除以,可得到,即可證明結(jié)論;（2）由（1）可求得的表達式,進而可求得的表達式,然后求出的前項和即可.【詳解】（1）證明:因為,所以,所以,從而,因為,所以,故數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）可知,則,因為,所以,則.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的證明,考查了等差數(shù)列及等比數(shù)列的前項和公式的應用,考查了學生的計算求解實力,屬于中檔題.19.如圖，底面是等腰梯形，，，點為的中點，以為邊作正方形，且平面平面.（1）證明：平面平面.（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)由、推出四邊形是平行四邊形，再由推出四邊形是菱形從而可得，利用面面垂直的性質(zhì)推出平面，即可推出兩平面垂直；(2)由(1)及已知條件可得四邊形是菱形且，推出相應邊的長度進而求出的面積，利用面面垂直的性質(zhì)由平面平面推出、從而可求OF，最終利用等體積法即可求得到平面的距離.【詳解】（1）因為點為的中點，，所以，因為，所以，所以四邊形是平行四邊形.因為，所以平行四邊形是菱形，所以.因為平面平面，且平面平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）記，的交點為，連接.由（1）可知平面，則.因為底面是等腰梯形，，，所以四邊形是菱形，且.則，，從而的面積.因為平面平面，且四邊形為正方形，所以，，所以，則.設(shè)點到平面的距離為.因為，所以，即，解得.故點到平面的距離為.【點睛】本題考查面面垂直的證明，等體積法求點到直線的距離，面面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.20.已知函數(shù)，且.（1）求的解析式；（2）已知，若對隨意的，總存在，使得成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由,可求出的值,進而可求得的解析式;（2）分別求得和的值域,再結(jié)合兩個函數(shù)的值域間的關(guān)系可求出的取值范圍.【詳解】（1）因為,所以,解得,故.（2）因為,所以,所以，則,圖象的對稱軸是.因為,所以,則,解得,故的取值范圍是.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換,考查了二次函數(shù)及三角函數(shù)值域的求法,考查了學生的計算求解實力,屬于中檔題.21.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在上恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）,對函數(shù)求導,分別求出和,即可求出在點處的切線方程;（2）對求導,分、和三種狀況探討的單調(diào)性,再結(jié)合在上恒成立,可求得的取值范圍.【詳解】（1）因為,所以,所以,則,故曲線在點處的切線方程為.（2）因為,所以,①當時,在上恒成立,則在上單調(diào)遞增,從而成立,故符合題意;②當時,令,解得,即在上單調(diào)遞減,則,故不符合題意;③當時,在上恒成立,即在上單調(diào)遞減,則,故不符合題意.綜上,的取值范圍為.【點睛】本題考查了曲線的切線方程的求法,考查了利用導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性,考查了不等式恒成立問題,利用分類探討是解決本題的較好方法,屬于中檔題.22.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：對隨意的，不等式恒成立.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，