2022屆高中數(shù)學(xué)新人教A版必修第一冊(cè) 5 .7 三角函數(shù)的應(yīng)用

5.7三角函數(shù)的應(yīng)用

學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)

1.了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要1.通過建立三角模型解決實(shí)際問題，

函數(shù)模型，并會(huì)用三角函數(shù)模型解決一些簡(jiǎn)培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

單的實(shí)際問題.（重點(diǎn)）2.借助實(shí)際問題求解，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算

2.實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)模型.（難點(diǎn)）素養(yǎng).

［情境吐?探新知］情境趣味導(dǎo)學(xué)?預(yù)習(xí)素養(yǎng)感知

畬情境與問題

如圖所示，將一個(gè)有孔的小球裝在彈簧的一端，彈簧的另

一端固定，小球穿在水平放置的光滑桿上，不計(jì)小球與桿之間

的摩擦，稱小球靜止時(shí)的位置為平衡位置.將小球拉離平衡位置之后釋放，則小球?qū)⒆笥疫\(yùn)

動(dòng).從某一時(shí)刻開始，如果記,s后小球的位移為xcm,則由物理學(xué)知識(shí)可知x與，的關(guān)系

可以寫成

x=Asin（0/+9）的形式，其中A,co,9都是常數(shù).

日常生活中，一般家用電器使用的電流都是交流電流，交流電流i與時(shí)間/"的關(guān)系一般

可以寫成

i=/,”sin（0/+9）的形式，其中/,”，co,°都是常數(shù).

顯然，上述x與i都是f的函數(shù).那么，這種類型的函數(shù)在生產(chǎn)生活中有哪些應(yīng)用？

知識(shí)點(diǎn)函數(shù)y=Asin（ox+9）,A>0,。>0中參數(shù)的物理意義

體驗(yàn)1.函數(shù)尸聶心+襲）的周期、振幅、初相分別是（）

2_1匹__171

A.3兀，y%B.071,不4

TL7T

C.3兀,3,—D.6兀,3,5

［尸;singx+Q的周期T=牛=6兀，振幅為g,初相為5.］

B

3

的頻率為,相位為,初相為

1

1171兀方近21

-r小一工—T［頻率為丁=丁,

4K266L2兀4K

相位為5—看，初相為一言］

［合作探究?祥疑難］疑難問題解惑?學(xué)科素養(yǎng)形成

類型1三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用

【例1】已知彈簧上掛著的小球做上下振動(dòng)時(shí)，小球離開平衡位置的位移s(cm)隨時(shí)

間小)的變化規(guī)律為s=4sin(2f+§,+8).用“五點(diǎn)法”作出這個(gè)函數(shù)的簡(jiǎn)圖，并

回答下列問題.

(1)小球在開始振動(dòng)0=0)時(shí)的位移是多少？

(2)小球上升到最高點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)時(shí)的位移分別是多少？

(3)經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間小球往復(fù)振動(dòng)一次？

［解］列表如下：

7C71匹7兀5兀

t~6n312~6

713兀

0712兀

2~2

sin(2/+§

010-10

s040-40

描點(diǎn)、連線，圖象如圖所示.

(1)將f=0代入s=4sin”f+電，得s=4sing=24§,所以小球開始振動(dòng)時(shí)的位移是2小

(2)小球上升到最鬲點(diǎn)和下降到最低點(diǎn)時(shí)的位移分別是4cm和一4cm.

(3)因?yàn)檎駝?dòng)的周期是無，所以小球往復(fù)振動(dòng)一次所用的時(shí)間是71s.

「.........oS■思領(lǐng)悟..........................

在物理學(xué)中，物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)可用正弦型函數(shù)y=Asin(ox+9)表示物體振動(dòng)的位移y

隨時(shí)間尤的變化規(guī)律，A為振幅，表示物體離開平衡位置的最大距離，T=皆為周期，表示

CO

物體往復(fù)振動(dòng)一次所需的時(shí)間，為頻率，表示物體在單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的次數(shù).

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.交流電的電壓E(單位：V)與時(shí)間*單位：s)的關(guān)系可用E=22Msin(100%意來表

示，求：

⑴開始時(shí)電壓；

(2)電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時(shí)間間隔；

(3)電壓的最大值和第一次獲得最大值的時(shí)間.

［解］(1)當(dāng)/=0時(shí)，E=11S\R(V),即開始時(shí)的電壓為11岫V.

2兀1_

(2)T=］00兀=^^(s),即時(shí)間間隔為0.。2s.

(3)電壓的最大值為22MV,當(dāng)100加+專節(jié)即片卷s時(shí)第一次取得最大值.

類型2三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用

【例2】(對(duì)接教材P245例題)己知某海濱浴場(chǎng)的海浪高度y(米)是時(shí)間f(時(shí))的函數(shù)，其

中0W/W24,記下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)：

t03691215182124

y1.51.00.51.01.510.50.991.5

經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，>=/)的圖象可近似地看成是函數(shù)y=Acoso/+b的圖象.

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求其最小正周期，振幅及函數(shù)解析式；

(2)根據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度大于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛好者開放，請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一

天內(nèi)的8：00至IJ20：00之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行活動(dòng)？

嘗試與發(fā)現(xiàn)

如何借助表格中的數(shù)據(jù)探尋與參數(shù)A,①，〃的相關(guān)量？解三角不等式的關(guān)鍵是什么？

JT

［解］(1)由表中數(shù)據(jù)可知，7=12,.又，=0時(shí)，y=1.5,：.A+b=1.5-,才=3時(shí)，

］171

y=1.0,得6=1.0,所以振幅為1,函數(shù)解析式為y=1cos蒙+l(0W/W24).

1TTTTTTTTTT

(2)：y>l時(shí)，才對(duì)沖浪愛好者開放，.力=呼0$不+1>1,cosT>0,2fac-1<蒙V2防r+］,

即124一3V/V12G+3,(A-GZ).又0W/W24,所以0?3或9<7<15或21V/W24,所以

在規(guī)定時(shí)間內(nèi)只有6個(gè)小時(shí)沖浪愛好者可以進(jìn)行活動(dòng)，即9</<15.

「......?思領(lǐng)悟.........................

解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟

提醒：關(guān)注實(shí)際意義求準(zhǔn)定義域.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

2.通常情況下，同一地區(qū)一天的溫度隨時(shí)間變化的曲線接近函數(shù)y=Asin(ox+p)+6

的圖象.某年2月下旬某地區(qū)連續(xù)幾天最高溫度都出現(xiàn)在14時(shí)，最高溫度為14℃；最低溫

度出現(xiàn)在凌晨2時(shí)，最低溫度為零下2℃.

(1)求出該地區(qū)該時(shí)期的溫度函數(shù)y=Asin(s+9)+b(A>0,。>0,\(p\<n,正［0,24))的表

達(dá)式；

(2)29日上午9時(shí)某高中將舉行期末考試，如果溫度低于10°C,教室就要開空調(diào)，請(qǐng)問

屆時(shí)學(xué)校后勤應(yīng)該開空調(diào)嗎？

\A+b—14,

［解］⑴由題意知。

［—A+b=—2,

解得,

b=6,

易知彳=14—2,

JT

所以T=24,所以G=記,

易知8sin佳X2+，+6=-2,

sinQ|x2+，=

即-1,

兀兀

故正義2+9=-］+2%兀，kGZ,

又1夕|〈兀,

產(chǎn)2兀

付9=一于

所以y=8sin+6(xe[0,24)).

,(兀2力

(2)當(dāng)％=9時(shí)，y=8sin后X9一g+6

jrTT

=8sin五+6<8sin5+6=10.

所以屆時(shí)學(xué)校后勤應(yīng)該開空調(diào).

類型3數(shù)據(jù)擬合模型的應(yīng)用

【例31下表所示的是某地2000~2019年的月平均氣溫(華氏度).

月份123456

平均氣溫21.426.036.048.859.168.6

月份789101112

平均氣溫73.071.964.753.539.827.7

以月份為無軸，尤=月份-1,平均氣溫為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)描出散點(diǎn)圖，并用正弦曲線去擬合這些數(shù)據(jù)；

(2)這個(gè)函數(shù)的周期是多少？

(3)估計(jì)這個(gè)正弦曲線的振幅A；

(4)下面四個(gè)函數(shù)模型中哪一個(gè)最適合這些數(shù)據(jù)？

TIX46nx46nx?y~26.nx

紜=cosy；②’.=cosy；?=cosy；@A=siny.

［解］(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，并用曲線擬合這些數(shù)據(jù)，如圖所示.

(2)1月份的平均氣溫最低，為21.4華氏度，7月份的平均氣溫最高，為73.0華氏度,

根據(jù)散點(diǎn)圖知號(hào)=7—1=6,

：.T=12.

(3)2A=最高氣溫一最低氣溫=73.0—21.4=51.6,

，A=25.8.

(4)：x=月份-1,

不妨取x=2—1=1,y—26.0,

代人①，得5=||^>l#cos7,

/IZD.oO

...①不適合.

??v—4626.0—46,兀

代入②，仔一=258<0#cos

②不適合，同理，④不適合，

③最適合.

「.............c5?思領(lǐng)悟........................

處理數(shù)據(jù)擬合和預(yù)測(cè)問題的步驟

⑴根據(jù)原始數(shù)據(jù)，繪出散點(diǎn)圖.

(2)通過散點(diǎn)圖，作出“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線.

(3)根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識(shí)，求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式.

(4)利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對(duì)所給問題進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制，以便為決策和管理提供依

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

3.一物體相對(duì)于某一固定位置的位移y(cm)和時(shí)間f(s)之間的一組對(duì)應(yīng)值如下表所示,

則可近似地描述該物體的位置y和時(shí)間f之間的關(guān)系的一個(gè)三角函數(shù)式為.

t00.10.20.30.40.50.60.70.8

y-4.0-2.80.02.84.02.80.0-2.8-4.0

y=-4cos-t［設(shè)y=Asin(0f+p)(A>O,o)>0),則從表中數(shù)據(jù)可以得到A=4,8=萬=

油=冬，又由4sinp=-4.0,得sin0=—1,取O=—與，故y=4singf—舒，即y=-4cos

5兀

手］

［當(dāng)堂達(dá)標(biāo)?夯基礎(chǔ)］課堂知識(shí)檢測(cè)?小結(jié)問題點(diǎn)評(píng)

最大值為1看最小正周期為9胃71，初相為71第勺函數(shù)表達(dá)式是(

1.)

A.B.y

.V=|sinD.y=/in(3x+日71

C.

［由題意可知，周期T=普=號(hào),

D??co=3.

.\j=|si故選D.］

2.如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足葉水深/m

函數(shù)y=3sin&+，+k據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深(單位：m)

2

0618%時(shí)間/h

的最大值為（）

A.5B.6

C.8D.10

C[由題意可知一3+4=2,：.k=5,從而ymax=3+k=3+5=8.故選CJ

3.（多選）如圖所示是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則下列判斷正確的是（）

A.該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)周期為0.8s

B.該質(zhì)點(diǎn)的振幅為一5cm

C.該質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5s時(shí)的振動(dòng)速度最大

D.該質(zhì)點(diǎn)在0.3s和0.7s時(shí)的位移為零

3

AD[由圖可知]T=0.6,.?.T=0.8.振幅A=5cm,當(dāng)/=0.1s或0.5s時(shí)，。=0.故選AD.]

4.一根長(zhǎng)/cm的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)小球，小球擺動(dòng)時(shí)離開平衡位置的位

移s（cm）與時(shí)間*s）的函數(shù)關(guān)系式為s=3coshj^/+駕，其中g(shù)是重力加速度，當(dāng)小球擺動(dòng)

的周期是1s時(shí)，線長(zhǎng)1=_